2025-2026学年江苏省南通市通州高级中学高二下学期第一次阶段性测试数学试题-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.3个相同的书签，放入7个不同的书架中，每个书架里至多放一个书签，则不同的放法有（）A.种 B.种 C.种 D.种2.有以下几组的统计数据：要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是（）A. B. C. D.3.的小数点后第三位数字为（

）A. B. C. D.4.已知随机变量X，Y均服从两点分布，且，若，则（）A. B. C. D.5.十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（）（参考数据：）A.0.015 B.0.016 C.0.02 D.0.0216.从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（）A. B. C. D.7.甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1分，否则乙得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.记三轮比赛后甲的总得分为X，则（）A.1 B. C. D.28.用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有（）A.240 B.480 C.420 D.360二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量，则（）A. B.C. D.10.已知的展开式中，的系数记为，则（）A.该展开式共有15项B.C.D.的最大值为24011.甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.袋中有编号为的10个大小相同的小球，现从中一次性随机取出4个．记X为取出的球中编号不大于4的球的个数，则数学期望_________．13.7名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁相邻的概率是______．14.伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴塞尔级数”难题．当，时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步.15.某学校门口设置了限时停车场，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟免费，超过15分钟但不超过30分钟收费5元，超过30分钟但不超过45分钟收费15元，超过45分钟但不超过60分钟收费30元，超过60分钟必须离开停车场.甲､乙两位家长相互独立地来该停车场停车，且甲､乙的停车时间的概率如下表所示：停车时间/分钟甲乙（1）求甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率；（2）设甲所付停车费用为，乙所付停车费用为，在的条件下，求的概率.16.某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：土地使用面积/亩12345管理时间/月810132524并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：单位：人愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民5050（1）求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）；（2）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列．参考公式：；参考数据：．17.现将红色、黄色、蓝色的3个小球随机放入甲、乙、丙、丁四个盒子中（每个盒子容纳球数不限）．（1）记甲盒中小球个数为，求的分布列和；（2）对于两个不相互独立的事件，，，．①若，则称事件与正相关（的发生会“促进”的发生）；若，则称事件与负相关（的发生会“抑制”的发生）；②定义为与的相关系数．（ⅰ）若，求证：与正相关；（ⅱ）定义事件“甲盒中恰有一个小球”，事件“甲盒中含有红球”．求，并判断事件与的相关情况．18.已知，其中．（1）若，求的值；（2）若，证明：．（3）若，求的值．19.体育赛事中，常有“局胜制”、“局胜制”、、“局胜”制，．现有甲、乙两队比赛，甲获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，且无平局．为鼓励提高比赛水平及厂商的广告需要，比赛结束后参加一项抽奖活动．箱中共有张奖券，其中有张奖券金额各万元，另外张奖券无奖金．若赛完，某队某场获胜且每局都赢，则由该队在该箱中一次性抽张奖券，而另一队不参与抽奖；若赛完，某场比赛的局数中各有输赢，则先由甲队任取张后，再由乙队从余下奖券中任抽张．（1）当，时，求甲获胜的概率；（2）当，时，求乙队获得奖金金额（万元）的分布列与期望；（3）在“局胜”制比赛中，随着增大，甲、乙谁获胜的可能性更大？证明你的结论．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.3个相同的书签，放入7个不同的书架中，每个书架里至多放一个书签，则不同的放法有（）A.种 B.种 C.种 D.种答案：D解析：思路：由题意可知只要从7个不同的书架中选出3个书架即可解答过程：由于书签都相同，书架不同，每个书架至多放一个书签，所以只要选出3个不同的书架即可．故共有种不同的放法故选：D2.有以下几组的统计数据：要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：在坐标系中画出五个点，结果除去之外，其余的点都在一条线附近，去掉这个点以后剩下的数据更具有相关关系.解答过程：，在坐标系中画出五个点，结果除去之外，其余的点都在一条线附近，去掉这个点以后剩下的数据更具有相关关系，故选：C3.的小数点后第三位数字为（

）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用二项展开式可得出该小数的前四位数，即可得解.解答过程：因为，因此，的小数点后第三位数字为.故选：A.4.已知随机变量X，Y均服从两点分布，且，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据条件概率公式，结合对立事件的概率公式进行求解即可.解答过程：，所以.故选：B5.十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（）（参考数据：）A.0.015 B.0.016 C.0.02 D.0.021答案：D解析：思路：先根据题意确定，再根据正品率和原则确定的取值范围.解答过程：已知，.又指标的部件为正品，即区间为正品.要使次品率不高于，即满足正品率大于或等于.因此要保证区间，则，所以，解得，故选项A、B、C均可能，选项D不可能.6.从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意，任意取的2个球共有种，再计算符合条件的情况，再求概率即可．解答过程：根据题意，任意取的2个球共有种，取出的2个球的编号之和为奇数，则取出的2个球的编号必须为一个奇数一个偶数，且至少有一个为黑球，所以，一个白球（奇数）一个黑球（偶数）有种，一个白球（偶数）一个黑球（奇数）有种，两个黑球（一奇一偶）共有种，故概率为．故选：C．7.甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1分，否则乙得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.记三轮比赛后甲的总得分为X，则（）A.1 B. C. D.2答案：B解析：解答过程：设甲总得分为，则的可能取值为，在不考虑出牌顺序的前提下，甲、乙两人出牌共有种，第一行为甲出牌，其余为乙出牌，如下表，甲得分2350分46102分41061分64102分61042分10461分1064则，则.8.用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有（）A.240 B.480 C.420 D.360答案：D解析：思路：按照分类加法和分步乘法计算原理，对5个区域进行分步、分类涂色即可.解答过程：先不考虑至少要用四种颜色，完成涂色需要分5步，按照顺序依次涂区域CADEB，C区域有5种颜色可选，A区域有4种颜色可选，D区域有3种颜色可选；若E区域与D区域颜色相同，E区域有1种颜色可选，则B区域有3种颜色可选；若E区域与D区域颜色不同，E区域有2种颜色可选，则B区域有2种颜色可选；再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有种；如果只使用三种颜色涂色（小于三种无法涂色），则A，B同色且D,E同色，共有种涂色方法；所以满足题意的不同的涂色方法有种.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量，则（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：由正态分布期望的性质可得A错误；由正态分布方差的性质可得B正确；由正态分布曲线的对称性可得C、D正确；解答过程：对于A，由题意，得，而，故A错误;对于B，又，则，而，所以，故B正确;对于C，因为两个正态分布对应的正态密度曲线关于直线对称，所以，故C正确；对于D，由对称性，得，所以，故D正确.故选：BCD.10.已知的展开式中，的系数记为，则（）A.该展开式共有15项B.C.D.的最大值为240答案：BCD解析：思路：根据多项式乘法的性质和二项展开式中的项数可判断A选项；根据二项展开式中特定项的系数可判断BCD选项．解答过程：对于A，展开式中共有4项，展开式中共有6项，故展开式共有24项，故A错误；对于B，f(1,2)+对于C，对于，令，则可得展开式的各项系数和为，即，i=1，令C31C5故当或时，的值最大，为，故D正确．11.甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：对于A项，1次操作后甲、乙两个口袋中各取一个红球或各取一个白球即可求解；对于B项，1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球且3次操作后甲口袋中恰有2个红球即可求解；对于C项，先求，，再利用条件概率公式求解即可；对于D项，先求出，再利用并事件的概率公式求解即可.解答过程：因在操作前，甲袋中：1红2白，乙袋中：1红2白.对于A项，要求，则1次操作后甲、乙两个口袋中各取一个红球或各取一个白球即可，则，故A项正确；对于B项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球且3次操作后甲口袋中恰有2个红球，所以，故B项正确；对于C项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球，或1次操作后甲口袋中恰有1个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球，或1次操作后甲口袋中恰有2个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球，所以，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球，所以，则，故C错误；对于D项，由，，，所以，故D项正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.袋中有编号为的10个大小相同的小球，现从中一次性随机取出4个．记X为取出的球中编号不大于4的球的个数，则数学期望_________．答案：##解析：思路：由题意确定随机变量服从超几何分布，即可求解.解答过程：编号不大于4的小球共有4个，大于4的小球共个，从10个球中取4个，表示取出的不大于4的球的个数，服从超几何分布，参数为：总体数，符合条件的个体数，抽取数，超几何分布的期望公式为，代入得：

.方法提示：13.7名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁相邻的概率是______．答案：解析：思路：记事件甲与乙不相邻，记事件丙与丁相邻，求出、，利用条件概率公式可求得的值．解答过程：记事件甲与乙不相邻，记事件丙与丁相邻，则，，则，故答案为：.14.伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴塞尔级数”难题．当，时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得______．答案：解析：思路：推导出，由得到展开式中的系数，由此得到结论.解答过程：由，，，两边同时除以得，又展开式中的系数为，所以，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步.15.某学校门口设置了限时停车场，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟免费，超过15分钟但不超过30分钟收费5元，超过30分钟但不超过45分钟收费15元，超过45分钟但不超过60分钟收费30元，超过60分钟必须离开停车场.甲､乙两位家长相互独立地来该停车场停车，且甲､乙的停车时间的概率如下表所示：停车时间/分钟甲乙（1）求甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率；（2）设甲所付停车费用为，乙所付停车费用为，在的条件下，求的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由分布列性质求得，再由独立事件乘法公式及互斥事件加法公式即可求解；（2）求得的概率，再由条件概率公式即可求解；（1）由题意可得：，所以，甲所付停车费用小于乙所付停车费用有以下情况：甲，乙或或，概率为：；甲，乙或，概率为：；甲，乙，概率为：；所以甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率为：（2）有以下情况：甲，乙；概率为：；或甲，乙；概率为：；或甲，乙；概率为：；所以,所以16.某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：土地使用面积/亩12345管理时间/月810132524并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：单位：人愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民5050（1）求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）；（2）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列．参考公式：；参考数据：．答案：（1）0.93，管理时间与土地使用面积线性相关（2）分布列见解析解析：思路：（1）根据表格中的数据，结合相关系数的计算公式，求得的值，即可得出结论；（2）根据题意，得到变量的所有可能取值，利用重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解．（1）由题意得，，，所以，可得，，则，所以管理时间与土地使用面积线性相关．（2）由题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故，，，．故的分布列为012317.现将红色、黄色、蓝色的3个小球随机放入甲、乙、丙、丁四个盒子中（每个盒子容纳球数不限）．（1）记甲盒中小球个数为，求的分布列和；（2）对于两个不相互独立的事件，，，．①若，则称事件与正相关（的发生会“促进”的发生）；若，则称事件与负相关（的发生会“抑制”的发生）；②定义为与的相关系数．（ⅰ）若，求证：与正相关；（ⅱ）定义事件“甲盒中恰有一个小球”，事件“甲盒中含有红球”．求，并判断事件与的相关情况．答案：（1）分布列见解析，期望为；（2）（i）证明见解析；（ii），与正相关.解析：思路：（1）由题设的可能取值为，应用古典概型的概率求法求对应概率，进而写出分布列并求出期望；（2）（i）根据新定义及条件概率公式得，即可证；（ii）根据题意求出，，，根据给定公式及（i）的结论，即可得.（1）由题意，的可能取值为，且每个小球都有4种放法，故3个小球共有种放法，，，，，所以的分布列如下，0123所以；（2）（i）由，则，所以，故与正相关，得证；（ii）由题意，，，所以，结合（i）结论，故与正相关.18.已知，其中．（1）若，求的值；（2）若，证明：．（3）若，求的值．答案：（1）（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）根据展开式的通项即可求解．（2）利用赋值法代入结合二项式展开式的二项式系数和计算即可．（3）求的导数，结合赋值法即可求解.（1）时，，二项展开式的通项为，令，得，解得．（2）由题意知，其中，若，，；（3）若，，，因，计算第一部分：令，则．计算第二部分