一元二次函数、方程和不等式 全章综合测试卷（基础篇）-人教A版高中数学必修第一册（解析版）

第二章一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（基础篇）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）（23-24高二下•重庆•阶段练习）“％2一%一2>0”是总<2”的（）

X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分又不必要条件D.充要条件

【解题思路】解不等式，得到两不等式的解集，根据包含关系得到答案.

【解答过程】/一％一2>0=%>2或%〈一1,

-<2=>x>2或％<0,

X2

由于>2或x<-1｝是｛x|x>:或x<0｝的真子集，

故“一％—2>0”是“工<2”的充分不必要条件.

X

故选：A.

2.（5分）（23-24高二上•广西桂林•期末）已知x>0,则丫=x+：的最小值为（）

A.2B.4C.-2D.-4

【解题思路】利用基本不等式求函数最小值，注意取值条件.

【解答过程】由%>0,则y=%+:>2Jx—=4,仅当x=2时等号成立，

所以函数最小值为4.

故选：B.

3.（5分）（23-24高二下•福建・期末）已知实数a,b,c,d满足a>b>0>c>d,则下列不等式一定正确的

是（）

A.*B.a+d>b+c

C.a-d>h—cD.ac>bd

【解题思路】举例说明可判断ABD；利用不等式的性质推理可判断C.

【解答过程】取3>1>0>-3〉-4,可得5V々，故A错误；

-4-3

MX2>1>0>-3>-4,可得2-4=1-3,故B错误；

因为c>d,所以一d>-c,又因为a>b,

由同向不等式的可加性可得a-d>b-c,故C正确；

取2>1>0>-3>-4,可得2x（-3）<1x（-4）,故D错误.

故选：C.

4.（5分）（23-24高一上.广东深圳•阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型

货车载重量30吨，B型货车载重量24吨，设派出A型货车x辆，B型货车y辆，则运输方案应满足的关系式

是（）

A.Sx+4y<100B.5x+4y>100

C.5x+4y>100D.5x4-4y<100

【解题思路】根据已知列出不等式，化简即可得出答案.

【解答过程】由已知可得,30x+24y>600,

所以有5%+4yN100.

故选：B.

5.（5分）（23-24高二下・北京昌平•期末）若不等式a--%-。）。的解集为“|一1则函数y=

【解题思路】由题可得一1和法方程Q/-X-C=0的两个根，求出a,c,再根据二次函数的性质即可得出.

【解答过程】由题可得一1和;是方程Q/-X-C=O的两个根，且

f-1+;=-

•••\17，解得Q=-2,c=—1,

-1x-=--

I2a

则；y=ex2—x—a=—x2—x+2=—（x+2）（x—1）,

则函数图象开口向下，与“轴交于（-2,0）,（1,0）.

故选：C.

6.（5分）（2324富一上江苏淮安期中）己知熨数小〃，0满足《一/?=。+2-2,。+人=2（12+2。+七

aa

且a>0,则a,b,c的大小关系是（）

A.b>c>aB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b

2

【解题思路】利用基本不等式得到c—8>0,两式相减得到8=小+：。+1,作差得到b-a=（Q-0+

^>0,从而得到答案.

16

【解答过程】因为a>0,由基本不等式得c-b=a+三一2N2la~^-2=2V2-2>0,

ayja

故c>b,

因为c+b=2出+2a+Ac-/j=a+--2,两式相减得，

aa

2b=2a2+2Q+——a——+2=2a2+a+2,

aa

故匕=Q2+：Q+L所以匕-Q=Q2-+I=（0-!）+登>（）,

22\4/16

故£>a,

所以c>b>a.

故选：B.

7.（5分）（23-24高一上•江苏盐城期末）已知aeZ,关于x的一元二次不等式产一8%+aW0的解集中

有且仅有3个整数，贝b的值不可能是（）

A.13B.14C.15D.16

【解题思路】设方程/一8x+Q=0的两根为与,乂2、由题有2《|%1-冷1<4,后由韦达定理可得a范围,

即可得答案.

【解答过程】设方程7—8X+Q=0的两根为右,%2，则》?-8x+a<0的解集为［无1，小］・

22

由题有2<1rl—x2\<4=>(%]—x2)=(%i+x2)—4叼％2W[4,16).又％i+x2=8,xrx2=a，

则此意二屋=12S15,则a的值不可能是16.

故选：D.

8.(5分)(23-24高一上.吉林廷边•阶段练习)已知”>0,y>0,且X+y=2.若4%+1-mxy之0恒

成立，则实数m的最大值是()

A.4B.8C.3D.6

【解题思路】借助基本不等式中'T'的妙用计算即可得.

【解答过程】由4x+l-mxy之0,则m工把匕=驴=%胃=白+；

,xy2xy2xy2y2x

=-(—+-)(x+y)=+-+-+^)>-(5+2件•=)=4,

2\2y2xJvJ'2\222y2xJ2\y/2y2xJ

当且仅当为=务即%，丫=如等号成立.

故选：A.

二.多选题(共4小题，满分20分，每小题5分)

9.(5分)(23-24高二下•宁夏银川・期木)对于任意实数a,〃，c,",有以下四个命题，其中正确的是()

A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ac2>be?,则a>b

C.若a>b,且工>；,则a》<0D.若a>b>0,则2〈处

abaa+1

【解题思路】对于A,举反例即可判断；对于BCD,由作差法或者不等式的基本性质即可判断.

【解答过程】对于A,若Q=-1>b=-2,c=-3>d=-4,则ac=3V8=bd,故A错误；

对于B,若ac2>be?,显然cW0,即>0,则a>b,故B正确；

对于C,若b—aV0,且工一：二上三>0,则ab<0,故C正确；

abab

对于D,若a>b>0,则2一匕2=如"詈等=产％vo,即2〈匕口，故D正确.

aa+1a(a+l)a(a+l)aa+1

故选：BCD.

10.(5分)(23-24高三上•浙江绍兴•期末)已知atR,关于x的一元二次不等式(ax—2)(x+2)>0的解

集可能是()

A.卜卜>；或％<-2}B.(x\x>-2}

C.|-2<xD.{%：VxV-2}

【解题思路】分Q=0,Q>0,Q<0三种情况结合2与-2的大小关系讨论，可得不等式的解集.

a

【解.答过程】当a=0时，(ax-2)(%+2)=-2(%+2)>0=x<-2；

当a>0时，(ax—2)(%+2)=a(%—^)(%+2)>0=>x>：或工<—2,故A正确：

当avO时，(ax-2)(x+2)=a(k-：)(x+2),

若(二一2=。=一1,则解集为空集；

若:V-2=-lVa<0,则不等式的解为：l<x<-2,故D正确；

若三>一2=。<一1,则不等式的解为：-2cx<马，故C正确.

aa

故选：ACD.

11.(5分)(23-24高二下.江西南昌•期末)已知正实数％y满足x+y=2,则下列不等式成立的是()

A.xy>lB.-+->2

C.Vx+^/y>2D.xz+yz>2

【解题思路】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.

【解答过程】对于A中，由正实数x,y满足x+y=2,可得孙4(子产=1,

当且仅当％=y=l时，等号成立，所以孙41,所以A不正确；

对于B中，由二+2=3=三，因为xyWl,可得三N2,所以B正确；

xyxyxyxy

对于C中，由(4+收)2=x+y+=2+2jd44,所以石+J^W2,所以C不正询；

对于D中，由/+丁2之色要=2,当且仅当x=y=l时，等号成立，所以D正确.

故选：BD.

12.(5分)(23-24高•上・山东临沂•期末)已知关于工的•元二次不等式a/+Z?x4-c>0的解集为｛%优<-2

或1),则()

A.b>0月.cV0B.4a+2b+c=0

C.不等式以+c>0的解集为｛x|x>2｝D.不等式c/一加+a<0的解集为|一1v%v：｝

【解题思路】利用一元二次不等式、二次函数、一元二次的关系求参数一一判定选项即可.

a>0

-2+1=-5=［：=匕，所以b>0且cvo,4a+2b+c=4a+2a-2a=

(-2)x1，

4a>0,故A正确，B错!误；

不等式bx+c>0<=>ax—2a=a(x—2)>0=>x>2,故C正确；

不等式c/—bx+a<0<=>-2axz-ax+a=-a(2x—l)(x4-1)<0,

即(2%—1)(无+1)>0,所以或％<—1,故D错误.

故选:AC.

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）（2024高三下•全国・专题练习）已知2<a<3,-2Vb<-1,则a+2b的取水范围为（-2,1）

【解题思路】利用不等式的性质求解即可.

【解答过程】因为一Z<b<-l,所以一4<2b<-2,

又2<Q<3,两式相加可得一2<Q+2bV1.

故答案为：（一2,1）.

以（5分）（23・24高二下•云南玉溪・期末）若、>。，使2%+&取得最小值时”的值为

【解题思路】利用基本不等式求出最小值及取最小值时工的值.

【解答过程】因为x>0,

±

所以2%+?7=3（3%+2）+谷一322,（3%+2）.工7二3二

3x4-23''3x+23，3',3x+233

当且仅当：（3x+2）=/时取等号，即X=雪.

故答案为：殍.

15.（5分）（23-24高二下.广西崇左•期末）不等式Q/+M+C<0的解集为（_8,-2）U（3,-8）,则不等

式ex?十匕X十。>0的解集是卜卜<一,或方>；｝.

【解题思路】由题意可得Q<0,且3,-2为方程Q%2+bx+c=0H勺两根，利用根与系数的关系可得｛，二工

代入c/+bx+a>0中化简可求得其解集.

［解答过程】因为不等式a/+版+c<0的解集为（一8,-2）U（3,+oo）,

所以Q<0,且3,-2为方程Q/+bx+c=0的两根，

尸(-2)=4=

所以3x(-2)=-L=-6a

'/a

所以c%2+bx+a>0可化为一6a/-ax+a>0,

因为a<0,所以67+%-i>o,

所以(2%+1)(3%—1)>0,解得无V-j或

/J

故ex?+bx+a>0的解集是卜|x<或%>

故答案为：卜卜或乃〉

16.（5分）（23-24高二下•安徽马鞍山•阶段练习）若对于任意％W（l,+8）,关于%的不等式X+，一。>0

x-？l

恒成立，则实数a的取值范围是（-8.5）.

【解题思路】由题意结合基本不等式求出即可.

【解答过程】由题意可得当％e（i,+8）时，（％-Q—i恒成立，

因为（％-l）+^>2J（x-l）^-=4,当且仅当a-l）=^,x>1即％=3时取等号，

所以4>Q-1na<5,即实数Q的取值范围是（一8,5）,

故答案为:（-8,5）.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）（23-24高一上.广西桂林•阶段练习）（1）解关于x的不等式一/+5%-6V0；

（2）解关于x的不等式/+（C+2）%+2CN0.

【解题思路】（1）解一元二次不等式即可得解.

（2）分类讨论求解一元二次不等式.

【解答过程】（I）不等式一/+5%一6V0化为：（%-2）（%-3）>0,解得％V2或%>3,

所以原不等式的解集为（一8,2）U（3,+8）.

（2）不等式/+（c+2）x+2c>0化为：（%+2）（%+c）>0,

当c=2时，xWR,

当CV2时，解得％W-2或x工-c,

当c>2时，解得xW-c或％N-2,

所以当c=2时，原不等式的解集为R；

当c<2时，原不等式的解集为（-8,-2]U[—c,+8）；

当C>2时,原不等式的解集为（-8,-c]U[-2,4-00）.

18.（12分）（2024高一上•全国・专题练习）给出三个不等式.（1）£>之（2）boad；（3）ab>0.写

ab

出一个：以其中任意两个不等式为条件，剩下的一个不等式为结论的真命题，并加以证明.

【解题思路】共有三种选择方法，通过不等式性质或作差法即可证明.

【解答过程】以（2）（3）作为条件，可得（1）成立，

因为ab>0,对儿>ad,两边同除ab得£>/

ab

以(1)(2)作为条件，可得(3)成立,

->则£-4=b1d>o,因为儿>Qd,则bc-ad>0,则Qb>0：

ababab

以(1)(3)作为条件，可得(2)成立，

因为9>2ab>0,两边同乘ab则得到be>ad.

ab

19.(12分)(23-24高一上•新疆•阶段练习)(1)比较2/-轨+16与/+2x+6的大小:

(2)已知a,匕都是正实数，比较〈+贮与a+b的大小.

ba

【解题思路】(1)(2)利用作差法即可得解.

【解答过程】(i)(2x2—4x+16)—(x2+2x4-6)=x2—6x+10=(x—3)24-1>0,

故27-4x+16>x2+2x+6：

a3+b3-azb-ab2(a-b)2(a+b)

(2)-+--(a+b)=

baab

因为Q>0,b>0,故a+b>0,ab>0,

当a=b时»4---(Q+b)=0,即J4--=a4-/?；

baba

当aHb时r荒+g—(a+b)>0,g>a+b.

20.(12分)(24-25高一上•上海・单元测试)已知正数无、y满足x+y=2.

(1)求不、的最大值；

(2)求工+油最小值.

xy

【解题思路】(1)根据基本不等式即可求解，

(2)利用乘力”法即可由不等式求解.

【解•答过程】(1)•・•%>(),y>0,.\x+y>2y[xy.

又x+y=2,.*.xy<1.

当且仅当％=y=1时等号成立，・・・xy的最大值为I.

S'112受1x+y1.y,X，13yx3G3后

(2)—+—=1-H-------=-4-----1-----1-1=-H------F->-+2-=-+yZ,

xyxy22xy22xy2yj22

当且仅当『二二即x二2或-2〃二4一2四时，二+三的最小值为:+企.

21.(12分)(2025高三•全国•专题练习)已知函数f(%)="-2ax+3.

(1)若关于X的不等式/•(%)>。的解集为R,求实数。的取值范围；

⑵解关于x的不等式/•(%)<().

【解题思路】