第18章 矩形、菱形与正方形（单元自测-提升卷）-华东师大版八年级数学下册【含答案】

2025-2026学年八年级下册数学单元自测

第18章矩形、菱形与正方形

建议用时：120分钟，满分：120分

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，由边长相同的9个小正方形组成的图形，则/1+/2+/3的度数为（）

B.135°C.145°D.150°

2.将两个完全相同的菱形/4CO和BFHG按如图方式放置，点D在边BF上，边BG和边CD

ZCBE=P,则2/7+3a=()

150°C.180°D.270°

3.如图，在菱形48CQ中，对角线4C与8。交于点O,延长CQ至E点，连接8E交力。于

点尸.若尸为力。的中点，DE=3,BD=2,则菱形力5。。的面积为（）

A.4叵B.6C.12D.872

4.数学社团课上，学习小组从我国占代数学家刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，开展“剪

拼正方形”活动，将如图所示两个边长不等的正方形纸片48CQ,8EFG剪拼成一个大正方形

纸片/G/",过程要求无损耗、无重叠.若S正方形=34,BC=4,则"G等于（）

试卷第1页，共8页

A.V34B.3V2C.V30D.3

5.如图，依据尺规作图的痕迹，计算（）

C.68°D.34。

6.如图，在矩形/&?£＞中，AB=3.BC=5,把矩形绕点C旋转，得到矩形C£FG

且点8恰好落在力。上，连接BG交CE于点H.则4/的长为（）

C.2GD.V13

7.如图，已知菱形力AC。的面积为20,边长为5,点P、。分别是边5C、。。上的动点

且〃。二CQ,连接尸。、,佟，P、。和C点不重合，则『。十力。的最小值为（）

A.4逐B.屈C.10D.7VI

8.数学家贾宪提出，从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两矩

试卷第2页，共8页

形面积相等（如图所示）.根据这一推论，下列说法不一定正确的是（）

A.S"Be=S&ADCB.5徵时F=

C.S固边形E8A伊二S四边形册'G。D.S4AEF=S四边形NFGD

9.如图，四边形48CO为菱形，力，8两点的坐标分别是（2,0）、（0,1）,点、C,。在坐标

轴上，点。在6c上，则。尸+力尸的最小值为（）

C.4百D.向

5

10.如图，在菱形48CO中，ZABC=\20°,AB=6,分别以点C、。为圆心，以大于鼻。。

长为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线"MMN与C7）交于点E,如果点P为线段4。

上一动点，那么尸。+房的最小值为（）

A.2yliB.3GC.6D.4x/3

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.如图，在中，M,N是上的两点，BM=DN,连接力M,MC,CN,

NA.为使得四边形4WCN是矩形，可以添加的一个条件是（写出一

种情况即可）.

试卷第3页，共8页

12.如图，在四边形48CZ）中，48与CO不平行，48=4,E,F,G,"分别是

AD,BC,BD,力。的中点.当8=时，四边形是菱形.

13.如图，将一张正方形纸片44CQ折叠，CE、C尸为折痕，点8、。折叠后的对应点分

别为点8'、D',若NB3=50°,则ZEt广的度数为.

14.如图，边长为15的大正方形48C。是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFG”

组成，连结力/并延长交BC于点M.若AH=HE,则△CFM的面积为.

15.将将正方形月一个顶点与正方形8的对角线交点重合（如图1）,则阴影部分面积是正

方形力面积的:，将正方形〃的一个顶点与正方形力的对角线交点重合（如图2）,则阴影

O

部分面积是正方形B面积的.

试卷第4页，共8页

16.如图，将等边△川5C沿力C翻折得△/I。。，连接8。交/1C于点O,n8=2百，点E为

直线力。上的•个动点，连接CE,将线段叱绕点C顺时针旋转N8CQ的角度后得到对应的

线段CF（即/ECF=NBCD）,EF交CD于点、P,则下列结论：®AO=OC；

@AClBDx③当E为线段4。的中点时，则。尸=6,48；④四边形力8。。的面积为

9L

673:⑤连接力/、DF,当。尸的长度最小时，△4b的面积为16.则说法正确的是

.（只填写序号）

三、解答题（共7小题，共72分）

17.如图所示，在四边形,43。。中，AD//BC,AD-2BC,石为力力的中点，连接月£>,

BE,AABD=90°.连接4C,若AC上BE,BC=\,求8。的长.

18.如图，在等腰△48。中，AB=BC.

（1）尺规作图：作△48。关于彳。所在直线对称的△4QC（保留作图痕迹，不写作法）:

试卷第5页，共8页

(2)连接80,交力。于点0,若BD=4,四边形力周长为4vL求四边形/8c。的面积.

19.勾股定理是初中数学中的一个重要定理，它是沟通几何与代数的桥梁.

(1)定理证明：我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图“，后人称之为

“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图1,直角三角形的两

直角边长为。力，斜边长为J请你写出赵爽弦图验证勾股定理的过程.

(2)定理应用：如图2,一架秋千，当它静止在4。的位置时，踏板离地的垂直高度OE为0.6

米，将踏板往前推送3米(4C=3米)，此时秋千的踏板离地的垂直高度8〃为L6米.已知

秋千的绳索始终保持拉直的状态，求秋千的长度.

20.如图，己知四边形力8c。为正方形，48=3/，点上为对角线4C上一动点，连接

DE,过点E作E产_LOE,交.BC于点、F,以。E、为邻边作矩形OEFG,连接CG.

(1)求证：矩形QEFG是正方形.

(2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

(3)直接写出。G的最小值.

21.如图①，在矩形。力8中，点4在x轴正半轴上，点〃在V轴正半轴上，点C在第一象

限，。4=8,OB=6.

试卷第6页，共8页

y=2x-6

B

C'

AxAxAx

图①图②图③

(1)直接写出点。的坐标:

(2)如图②，点G在4c边上，连接力G,将A/ICG沿4G折叠，点C恰好与线段48上一

点C，重合，求线段CG的长度;

(3)如图③，P是直线》=2x-6上一点，交线段力。于力.若尸在第一象限，且

PB=PD,试求符合条件的所有点尸的坐标.

22.在平面百角坐标系中，四i力形OBCD是正方形，口D(().2),点E是线段OB延长线上一点.M

是线段0B上一动点(不包括点0、B),作MNJ_DM,垂足为M,交心CBE的平分线于点N.

(1)写出点C的坐标;

⑵求证：MD=MN；

⑶连接DN交BC于点F,连接FM,下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分

乙FMB,其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明

23.如图，在菱形48CO中，AB=6,ND4B=60。，点E是力。边的中点，点M是48边上

一动点(不与点彳重合)，延长ME交射线C。于点M连接MQ,AN.

试卷第7页，共8页

(1)求证：四边形4MQN是平行四边形：

(2)填空:

①当的值为时，四边形4WON是矩形;

②当的值为时，四边形/M/DV是菱形.

试卷第8页，共8页

1.B

【分析】本题主要考查了网格中的度数、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、角的和

差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

如图：先判定△力8。~440£可得/1=/力。£,进而得到Nl+N2=90。，由正方形的性质可

得N3=45。，然后求和即可解答.

【详解】解：如图:

根据题意和图形可知力C.4。可看作两个全等矩形的对角线，

:.AC=AD.

由图可知=AE,BC=ED,

；."BCS"DE(SSS)

Nl=/ADE

ZJDE+22=90°,

.-.Zl+Z2=90o,

•••/3可以看作是正方形对角线和边构成的角，

•••/3=45。

.-.Z1+Z2+Z3=135O.

故选B.

2.C

【分析】本题考查了菱形的性质、平行线的性质，热练掌握菱形的性质、平行线的性质，是

解题的关键.

由题意可得/尸8G=NO4B=a,由菱形的性质可得/。少BC,4ABD=4CBD=a+0,由

平行线的性质可得ND48+48C=180。，进行计算即可得到答案.

【详解】解：根据题意可得：ZFBG=4DAB=a,

:四边形力8co为菱形，

/.AD//BCtNABD=NCBD=a+0,

答案第1页，共25页

ZDJZ?+ZJ^C=180°,

ZABC=/ABD+/CBD=a+/3+a+p=2a+2。

:.a+2a+2fi=180°,

3

“=90。-?，

/.2〃+3a=180。-3a+3a=180。

故选：C.

3.A

【分析】本题主要考查菱形的性质，根据AAS证明4/18尸g得48=OE=3,由勾股定

理得力。=240=4亚，最后由菱形的性质可求面积.

【详解】解：•.•四边形/5CO是菱形，

.-.AB//CD,

AABF=Z.DEF.ABAF=AEDF,

又产为力。的中点，

•••AF=DF,

在△月所和4七厂中，

AABF=ZDEF

<ZBAF=ZEDF,

AF=DF

:.“BFmDEF（羯网

:.AB=DE=3；

•••四边形48CQ是菱形，

Dr\

BO=OD==1,ACJ.BD,

2

在Rt△力08中，由勾股定理得：

-AO=^AB2-BO2=V32-12=>/8=272,

•••JC=2JO=45/2;

.•.菱形ABCD的面积5=^x472x2=472,

2

故选：A.

4.B

答案第2页，共25页

【分析】本题考查了勾股定理及正方形的性质.根据题意求得4G2=34,AB=BC=4,再

利用勾股定理厂G=BG=y)AG2-AB2计算即可求解.

【详解】解：:S正方形,=34,

•••心=34,

•；BC=4,四边形/18CQ是正方形，

：.4B=BC=4,ZABC=90°

•.•四边形出/G是正方形，

:•FG=BG=>lAG2-AB2=V34-16=3加，

故选：B.

5.B

【分析】本题主要考杳了尺规作图一角平分线和线段垂有平分线,矩形的性质,百角二角形

的性质，解题的关键是掌握以上性质.

根据痕迹得出4E平分/。1。，Gb垂直平分/C,然后得出角之间的关系和直角，然后确

定四边形力4c。为矩形，根据平行线的性质得出相等的角，最后利用先平分线的性质和直角

三角形的性质进行求解即可.

【详解】解：各交点如图所示，

根据作图痕迹可得，4E平分/Of。，G尸垂直平分XC,

:./.GAC=-ZCAD,/AUG=9(}°,

2

•:NDAB=/D=/B=9G0,

••・四边形48CQ为矩形，

:.AD〃BC,

.•.NC4Q=N4C8=6g°,

.".ZGJC=-ZCJZ)=34O,

2

答案第3页，共25页

：•Na=/AGH=90。-NG/C=90°-34°=56°,

故选：B.

6.D

【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质及勾股定理等知识点，作于点乙由

矩形的性质得CO=48=3,ND=/BCD=90°,BC//AD,则=

ZBCL=ACED,由旋转得EC=BC=5,CG=CD=3,/ECG=/BCD=9/,

则DE=jEC?-CD?=4,可证明△LBCg^OCE(AAS),得LC=DE=4,LB=CD=3,再

证明也△G〃C(AAS),则〃L=〃C=；LC=2,求得BH+Hl/=△?+2?=屈,

即可得到答案.

【详解】解：如图，作8Z._LC£于点，则NCL8=90。，

•••四边形45CQ是矩形，"=3,BC=5,

:.CD=AB=3,/D=NBCD=9Q°,BC//AD,

：.4CLB=ND,ABCL=Z.CED,

由旋转得EC=8C=5,CG=CD=3,NECG=/BCD=9。°,

-DE=^EC2-CD2=4»NHLB=NHCG=90。,

在"8。和△QCE中，

/CLB=ND

,NBCL=ZCEZ）,

BC=CE

.-.A£5C^A£>CE（AAS）,

:・LC=DE=4,LB=CD=3,

:.LB=CG,

在和AG〃C中，

答案第4页，共25页

NBHL=NGHC

4HLB=NHCG,

LB=CG

.•.△8〃L%G〃C(AAS),

:.HL=HC=-LC=2,

2

•••BH=y/LB2+HI}=VFT?=713，

故选：D.

7.D

【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，图形与坐标,

解决本题的关键是掌握菱形的性质.

过点彳作力于点"，延长40到点4,使=根据菱形的性质和勾股定理

可得8M=3,以点8为原点，4c为x轴，垂直于8c方向为V轴，建立平面直角坐标系，

可得8(0,0),43,4),C(5,0),。(8,4),4(3,-4),然后证明“即咨^QQ(SAS),可得

AP=AQ=A,P,连接4。，AP,A'P,由©P+PO>/fO,可得/f,P,。三点共线时，PD+4P

取最小值，所以尸。+力。的最小值=2。+//的最小值=4。，利用勾股定理即可解决问题.

【详解】解：如图，过点彳作4"_L8c于点〃，延长4W到点使=

•••四边形力8c。是菱形，

:.4B=BC=4D=5,ZABC=ZADC,

•.•菱形48CO的面积为20,边长为5,

/.AM=4,

在Rt△48M中，根据勾股定理得：

BM=ylAB2-AM2=3-

以点占为原点，sc为x轴，垂直丁6c方向为y轴，建立平面直角坐标系，

A.•.6(0,0),/(3,4),C(5,0),。(8,4),A'(3,-4),

答案第5页，共25页

•/PC=CQ,BC=CD,

：.BP=DQ,

在。和△4。。中，

AB=AD

<NABC=ZADC,

BP=DQ

：.^ABP^AADQ(SAS),

:.AP=AQ=A,P,

连接HO,/IP,HP,

'：A'P+PD>A'D,

：.Af,P,。三点共线时，/V5+HP取最小值，

.-PD+AQ的最小值=PD+A'P的最小值=A,D=J(8-3>+(4+4〉=咽.

但是当H,P,。三点共线时，点P不在边8c上，

•••4石<辆<7&<10.

故选：D.

8.D

【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解决此题的关键.

由题意可得四边形/£户N、四边形NFG。、四边形£«河下、四边形FMCG均是矩形，矩形

的对角线将矩形平分为两个面积相等的三角形，由此逐项论证即可.

【详解】解：•.•四边形48co是矩形，AD||EG||BC,AB\\MN\\CDt

.,•四边形/EFN、四边形期八9。、四边形四边形KWCG均是矩形.

•・•/C是对角线，且点尸在/C上，

:4ABe=S^ADC»S&AEF=^^,ANF»S4cMF=^^,CGF>故A,B选项不符合题意；

S四边形E8.”尸=S4ABC-S&AEF~SdCMF，Spq边形*G/)=^^ADC~S^NF~^ACGF»

*'•S网边形E8MF=S四边形NFGD♦故C选项不符合题意；

只有当RN=2N。时，S"NF=SJEF=S四边形杵。，

・•.当点产位置变化时，和S四边形NFG。不一定相等，故D选项符合题意.

故选：D.

答案第6页，共25页

9.A

【分析】作点。关于直线8C的对称点。，连接力少交C8的延长线于点。，连接hP,连

接DD交CB于前E,根据勾股定理可求得C8的长，再利用菱形的面积可求得OE的长，再

次根据勾股定理求解即可.

【详解】解：作点。关于直线8c的对称点。'，连接力。'交C8的延长线于点。，连接

。/,连接交。8于点E,

DP+AP=D,P+AP>AD',

二当点尸与点。重合时，DP+力产的值最小,

•••四边形/8CO为菱形，力(2,0)、5(0,1),

.•.C(-2,0),0(0,-1),

*'•力C=4，BD=2,CB=AD=也?+1~=-yfs»

'•^MCD=^ACBD=CB-DE,

=x4x2=&E,解得。七=越，

25

10.B

【分析】先证明产。=寺隹出PD+PE=PB+PE>BE,推出当点P与点P'重合时,

PO+PE的值最小，求出EP即可.

【详解】解：如图，连接。8,BE,PB,设BE交AC干点、P,BD,4c交于点O.

答案第7页，共25页

•.•四边形力8C。是菱形，

.-.AB=BC=CD=AD,AD//BC,AB//CD,ACJ.BD,OB=OD=-BD

2f

OA=OC=-AC,

2

.•.NQ/8+N/8C=180°,

vZJ5C=120°,

ZDAB=60°,

・••△//%,△8C。都是等边三角形，

vAC1BD,

.••力。平分/84。，

.♦.NOAB=LNBAD=30°,

2

:.AB=2OB=2OD,

：.OD=OB=；AB=3,

•••AC=2OA=2>jAB2-OB2=2A/62-32=6^73，

：.AO=OC=LAC=36

2

由作图可知MN垂直平分CD,

：.DE=EC=-CD=3,BELCD,

2

；.BE在直线MN上,

vAB//CD,

.•.NZ)CO=N84C=30。，

:.CP'=2EP'，

又C6+E尸2=。尸2,

'-32+EP2=4EP2,

答案第8页，共25页

AEP'=±5/3（负值舍去），

■:D,8关于力C对称，

PD=PB,

:.PD+PE=PB+PE>BE,

••・当点P与点尸重合时，P3+PE的值最小，此时P£=PE=百，

根据MN垂直平分C。，

••・此时PD=PD=FC=2FE=2百，

•••。。+尸£：的值最小为尸。+尸£=2石+石=3石.

故选：B.

【点睛】本题考查了利用菱形的性质求线段长，等边三角形的判定和性质，用勾股定理解三

角形.线段垂百平分线的性质,含3（）度角的音角三角形等知识点,解题关键是掌握卜述知

识点并能运用其来求解.

11.ZJA/C=90°（答案不唯一）

【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四

边形的判定与性质是解题的关键.

由平行四边形的性质可知，OA=OC,OB=OD,再证OM=ON,则四边形4WCN是平行

四边形，添加N4WC-90,，由矩形的判定可得出结论.

【详解】解：添加的一个条件是：AAMC=90°.

理由如下：•••四边形48CZ）是平行四边形，

:.OA=OC,OB=OD,

•••BM=DN,

=OD-DN,即OM=ON,

四边形AMCN是平行四边形，

又•••4MC=90。，

.•・四边形4MCN是矩形，添加的条件符合要求.

故答案为：N4WC=90。（答案不唯一）.

12.4

【分析】本题主要考查了菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，先由三角形

中位线定埋证明卜6=EH，则可证明四边形反才H是平行四边形，故当上G=£”

答案第9页，共25页

时，四边形EG";是菱形，则当CQ=48=4时，四边形EGFH是菱形.

【详解】解：YE、G分别是/。，4。的中点，

••.EG是△N4。的中位线，

：.EG=-AB,

2

同理可得产G=L。。，EH=-CD,HF=、AB,

:.EG=FH,FG=EH,

四边形EGF〃是平行四边形，

.•当EG=EH时,四边形EGF”是菱形，

二当CD=48=4时，四边形EGF”是菱形，

故答案为：4

13.20。##20度

【分析】由题意易得N8CO=90。，设/4'CE=a,6CF=0,NECF3则由折叠性

质得：NBCF=NBtF=a+e,NQCE=NO'CE=夕+。，然后可得30+。+/=90。，进而

可得a+〃=50。-氏最后问题可求解.

【详解】解：由题意知N8CD=90。，设/8'CE=a,NDCF=0,4ECF=B,

：.ZB'CF=ZBfCE+ZECF=a+0,/DCE=AD'CF+ZECF=〃+夕，

由折叠性质得：ZBCF=/B'CF=a+O,ZDCE=ZD'CE=fl+0,

•••4BCD=NBCF+ZECF+NDCE=90°,

:.a+0+0+0+0=90°,

3。+。+夕=90°,

又NB'CD'=50°,^B'CD'=/B'CE+NECF+ZD'CF=a+。+/=50°,

.•.a+〃=5()。—。，

30+50。—0=90。，

解得：0=20。，

/.Z£CF=6>=20°.

45

14.—

8

【分析】先参考第一张题H的解法，利用全等三角形和等腰三角形的性质求出C"的长度,

再求出CF的长度，接着过点M作MN工CF于N,利用等腰三角形三线合一得到CN和MN

的长度，最后根据二角形面积公式计算△(>〃的面积.

答案第10页，共25页

【详解】解：如图，过点M作MN_LC尸于N,令AM交BH干点、K,

•••四边形EPG〃是正方形，

HE=HG=GF=EF.

•:AH=HE,

:.AH=HE=GF=EF.

由题意得：^ABH^UBCE^UDAG^^CDF,

：.BE=CF=AH=DG,/DAG=NBCE.

：.DG=EF=GF=FC.

•:AG1DF,

•••AD=AF.

:2DAG=NFAG.

•••NBCE=NFAG.

•：/GHE=/CEB=90。,

,.AG\\EC,

：・NFAG=NEFK.

•:NEFK=NCFM,

/CFM=NBCE.

MF=MC.

设M/=MC=x,则力历=15+x,BM=\5-x.

在Ra%8"中，由勾股定理得：152+(15-X)2=(15+X)：

解得犬耳

4

〜15

CM=—.

4

在RtKDF中,CD=\5,DF=2CF,由勾股定理得：CD2=CF1+DF1BPI52=CF2+(2CF)\

解得。r=3石，

答案第11页，共25页

•:MF=MC,MNA.CF,

.'.CN=-CF=—.

22

在RMCMN中，

MN=y/CM2-CN2=乎）二手，

•••sCFM=CFXMN=二3&走=竺，

Q"2248

45

故答案为：v-

o

【点睛】本题主要考查了王方形的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾

股定理以及三角形的面积计算，熟练掌握这些几何知识并依据题意恰当地添加辅助线是解题

的关键.

15T

【分析】根据图①得出已二2&,将图②进行字母标注，然后利用全等三角形的判定和性

质得出ACOE三如OF,利用面枳之间的关系即可得出结果.

【详解】解：设正方形4的面积为其，正方形8的面积为品，

在图I中,S[9]="s*,SH=：SB,

在图2中，进行标注，如图所示:

•:乙COD=KOE+乙EOD=90°,乙EOF=^DOF+乙EOD=9。。,

：.LCOE=LDOF,

在ACOE与AQ,中,

ZCOE=4D0F

OE=OF

NCEO=NDFO=A5°

答案第12页，共25页

.*.ACOE='DOF,

S&COE~SWOF,

S阴影=SAEOF=WS.=Wx2s8=5,

故答案为：y.

【点睛】题目主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，找出全等三角

形并证明是解题关键.

16.①②④⑤

【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等

边三角形的性质等知识，由题意可证四边形力是菱形，可得/CIS。，。4=。。，可

判断①②，由菱形的面积公式可求菱形的面积，可判断④，由可证/€尸包。EC,

可得PF=CD=4B,可判断③,由“S4S”可讦△8CE四△C,可得8月=。"，则当

上时，8E有最小值，由全等三角形的性质和面积关系可求△4W的面积，可得判

断⑤，即可求解.

【详解】解：••・将等边△/必。沿力C翻折得△4QC,

：.AB=BC=CD=AD,Z.ABC=ZADC=60°,

••・四边形力8CO是菱形，

...4C±BD,OA=OC,故①②正确；

•••四边形力8CO是菱形，

N4BD=L/4BC=30。,

2

：.AO=^AB=43,BO=y5Ao=3,

AC=2y/3,BD=6,

二.四边形49CQ的面积=；X6X2V5=6G,故④正确：

将线段EC绕点C顺时针旋转/BCD的角度后得到对应的线段CF,

:.EC=FC,NECF=NBCD=120。,

.•.”=30。，

•••当E为线段力。的中点，AC=CDt

CELAD,AE=DE=；AD=Q,/：ACE=ZDCE=30o,

答案第13页，共25页

/.ZPCF=90°,

在△P。7和AOEC中，

ZF=NDCE

<CF=CE,

4PCF=4DEC

:APCF%DEC(ASA),

/.PF=CD,

:.PF=AB,故③错误;

如图，连接DF,

在"CE和中,

BC=DC

•/BCE=ZDCF,

CE=CF

：qBCE%DCF(SAS),

BE=DF,

・•・当BE有最小值时，。尸有最小值,

•・・当。时，8E有最小值,

如图，过点尸作交/。的延长线于“，过点。作CN_L4）于N,

GV1AD,△.4CZ）是等边三角形,

答案第14页，共25页

•・•△BCEWADCF'SAS),

:.BE=DF=3,ZC5E=ZCDF=90°,

/.NFDH=30。,

:.HF=；DF《DH=半，

**'S^ACF=S“cN+S株彩CNHF~^t.AHF»

•*-=-x>/3x3+lx(3+-)x(V3+—)--x-x(2V3+—)=-V3,故⑤正确，

22222222

故答案为：①②④⑤，

17.Q

【分析】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线

性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型.先证

出四边形力8CE为菱形，得出8C=48=1,AD=2BC=2,冉由勾股定理即可得出答案.

【详解】解：•.・乙48。=9。°,七是力。的中点，

二BE—DE—AE>

•••AD=IBC,

:.BC=DE,

•:AD//BC,

••・四边形8CDE为平行四边形,

vBE=DE,

•••四边形8CQE为菱形；

:.BC-BE,

•••AD//BC,

vAC1.BE,

•••四边形为菱形,

答案第15页，共25页

:.BC=AB=1,AD=2BC=2,

•/8。=90°,

•••BD=y/AD2-AB2=722-l2=出•

故答案为：行.

18.（1）见解析

（2）4

【分析】本题考杳尺规作三角形，轴对称的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形的面

积.熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

（1）分别以点力、C为圆心，48为半径画弧，两弧相交于点。，连接40、CO即可；

（2）先根据菱形得4C/8Q,08=。。，则可求得。8=2,根据菱形的周长可求得

AB=5由勾股定理，可求出。4=1,从而求得力C=2O4=2,然后由菱形的面积公式可

求解.

【详解】（1）解：△/IOC即为所求，

由作图可知：AD=CD=AB,

•••AB=BC

AD=CD=AB=BC

二四边形，88为菱形，

△ABC与缸ADC关于直线AC对称;

（2）解：如图，

答案第16页，共25页

由(1)知四边形/出C。为菱形，

AAC1BD,OB=OD=-BD=2,AC=20/1,AB=BC=CD=AD

2

•••四边形48C。周长为4石，

:.AB=-x4旧=>/5,

4

由勾股定理，WOA-JAB2-OB2=)2-22=i,

:.AC=2OA—2.

.••四边形力BCD的面枳=，4C­8O=LX4X2=4.

22

19.(1)见解析

(2)秋千的长度是5米

【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形的判定和性质等知识，数形结合，熟练运用勾股定

理是解决问题的关键.

(1)根据S正方形=4S*8C+S正方形CFGH»即可解答；

(2)证明四边形8"尸是矩形，可得CD=CE-Z)E=1米，设秋千的长度为X米，则研=4>=x

米，/C=/O-CQ=(x-l)米，在心△力8c中，由勾股定理求出x的值，即可.

【详解】(1)证明：由题意得：小正方形C/G”的边长为"-人

S正方形CFG，=S-柏

***S正方吻ME=4s“8C+S正方形CFGH

:.c2=4x^ab+(a-b)2

即/+〃=/；

(2)解：由题意得：B产=1.6米，BC=3米,QE=()6米，

•・•BF1EF,AE1EF,BCLAE,

••・四边形是矩形，

二.CE=8/=1.6米，

:.CD=CE-DE=\.6-0.6=\(米)，

设秋千的长度为x米，

则==x米，4C=4Q-CQ=(x-l)米，

答案第17页，共25页

在出△力4。中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

gp(x-l)2+32=x2,

解得：x=5,

即秋千的长度是5米.

20.⑴见解析

(2)是定值,6

⑶OG=3

【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质,

正确作出辅助线是解题的关键.

(1)过£作£必18。于M点，过E作ENLCD于N点,可证四边形EA/CW是正方形，得

EM=EN,进而证明△用M且AZ)EN(ASA),得到所=EQ,即可求证；

(2)证明△力OE%CQG(SAS),可得花=CG,即得CE+CG=CE+/E=&48,

即可求解；

(3)由矩形。/G为正方形，得到QG=QE,根据垂线段最短可知，当。E14。时，DE

取得最小值，最小值为;.4C,此时，0G有最小值，即可解答.

【详解】(1)证明：如图，过E作于M点，过E作ENJ.CD于N点,

•:EM工BC,ENLCD,

Z.EMF=Z.ENC=ZEND=90°,

••・四边形fMCN是矩形，

:./MEN=90°,

•••E是正方形48C。时角线的一点,

.•./MCE=45。，

...NMCE=NC£W=45。，

答案第18页，共25页

:.EM=CM,

二四边形EMOV是正方形，

:.EM=EN,

•••四边形。EFG为矩形，

："FED=9M,

:.々MEN-/FEN=/.FED-ZFEN,

即NMEF=4NED,

在△FEM和△。/N中，

4EMF=ZEND

■EM=EN,

NMEF=4NED

：oFEM%DEN〈ASA),

•••EF=ED,

矩形QE?G为正方形；

(2)解：CE+CG是定值，定值为6,理由如下:

•.•矩形OEEG为正方形，

:.DE=DG,NEDG=90。,

•••四边形是止方形，

AD=DC,ZADC=90c,

：2EDG-AEDC=ZADC-ZEDC,

即/ADE=ACDG,

AD=DG

在WDE和△CQG中，/-ADE=NCDG,

DE=DG

.•.△4OE%CQG(SAS),

AE=CG,

:CE+CG=CE+AE=AC=6AB=6，

.•."+CG是定值，定值为6.

(3)解：•.•矩形O£rG为正方形，

：•DG=DE,

答案第19页，共25页

由垂线段最短可知，当。E//C时，OE取得最小值,最小值为:4C,

此时，DG有最小值，

由(2)知力。=6,

•••QG的最小值为(力。=3.

70

21.(1)(8,6)；(2)3：(3)(4,2)或芍争

【分析】(1)结合题意，根据矩形、直角坐标系的性质分析，即可得到答案；

(2)结合矩形和勾股定理性质，计算得力8；根据轴对称性质，得力C=4C,CG=CG,

ZC=Z/fCG=90°,从而得8C；根据勾股定理性质列方程并求解，即可得到答案：

(3)当点P在BC下方时,过点尸作E8/4C交P轴于£,交力C于尸；结合矩形性质，通

过证明尸Eg△尸。尸，得P尸,EP=DF,通过计算即可得到点尸坐标；当点P在8c的上

方时，过点。作好*8c交y釉干片，交力C的延长线干歹，同理讦明尸，通过

计算得到点，坐标，即可完成求解.

【详解】解：(1)•.•矩形。4C/J中，04=8,04=6

二点C的坐标为：(&6)

故答案为：(8,6)；

(2)••。=8,08=6

.-./?C=8,AC=6

：.AB=yjBC2+AC2=764+36=10，

由题意知，AC=AC=6,CG=CG,ZC=ZJC,G=90°

:.BC=/1B—AC'=4,Z5CG=90°

--BG2=CG2+BC,2

.-.(8-CG)2=CG2+16

••.CG=3；

(3)设点尸(a,2a-6),

当点P在8C下方时，如图③，

答案第20页，共25页

过点。作E&/8C,交y轴于E,交4C于尸，

:./BEP=NBO4=9()。,4PFD=/CAO=9。