一元二次方程 讲义-人教版数学九年级上册

人教版九年级上册第二十一章21.1一元二次方程讲义

21.1一元二次方程

层级要求：T⑤掌握一元二次方程及其相关概念并用这些概念解决问题.

掌握④掌握正确识别二次项系数、一次项系数及常数项的方法。

③理解一元二次方程的一般形式。

理解②理解一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式.

认识①使学生了解一元二次方程及整式方程的意义。

基础知识详解

知识点一一元二次方程的概念

出题角度1一元二次方程的判断

例L下列方程是一元二次方程吗？说明理由.

(1)5X2+6=3X(2X+1)；(2)8x2=x；(3)旦5；

3x

(4)4x"=3y；(5)-x2=0；(6)x(5x-1)=x(x+3)+4x2.

分析：根据整式方程中含有一个未知数，且未知数的最高次是二次的方程是一元二次方程，可得答案.

解：(1)5X2+6=3X(2X+1),是，整式方程中含有一个未知数，且未知数的最高次是二次的方程是一元二次

方程；

(2)8X2=X,是，整式方程中含有一个未知数，且未知数的最高次是二次的方程是一元二次方程；

(3)25,不是，是分式方程；

3x

(4)4x2=3y,不是,二元二次方程；

(5)-x2=0；是，整式方程中含芍一个未知数，且未知数的最高次是二次的方程是一元二次方程；

(6)x(5x-1)=x(x+3)+4x2不是，是一元一次方程.

点拨：本题考查了一元二次方程，整式方程中含有一个未知数，且未知数的最高次是二次的方程是一元二

次方程，注意要化简后才能判断.

变式练习1.下列方程是整式方程吗？还是一元一次方程？或一元二次方程?

(1)3x+2=5x-3.(2)X2=4.(3)(x-1)(x-2)=x2+8.(4)：x+3)(3x-4)=(x+2)2.

出题角度2利用一元二次方程的概念求字母的取值

例2.已知关于x的方程(m+1)x，(m-3)x-(2m+l)=0,m取何值时，它是一元二次方程？

分析：根据一元二次方程的定义，列出不等式m+lWO,求出m的取值范围即可.

解：.・•方程(m+1)x2+(m-3)x-(2m+1)=0是关于x的一元二次方程,

.•.ir+IWO,即mW-l.

点拨：此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a#0),

特别要注意aWO的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.

变式练习2.已知(6-3)/+疝”工=1是关于x的一元二次方程，则/〃的取值范围是()

Mm43民勿23C.勿2-2D.勿2-2且

出题角度3字母系数的方程分类讨论下的字母求值问题

例3.已知方程x~-mx(2x-m+1)=x.

(1)求当m为何值时，该方程为一元一次方程，并求出此方程的根；

(2)求当m为何值时，该方程为一元二次方程，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项.

分析：先把原方程化为(1-2m)x2+(m2-m-1)x=0

(1)根据一元一次方程的定义可得1-2m=0,m2-m-1^0,解即可；

(2)根据一元二次方程的定义可知：1-2川40,再解不等式即可.

解：原方程可化为(1-2m)x2+(m2-m-1)x=0

(1)根据一元一次方程的定义可知：1-2m=0,nf-m-1K0,解得：m=—,

2

原方程为——x=0,x=0

4

答：m=之时.此方程是一元一次方程，此方程的根为x=0：

(2)根据一元二次方程的定义可知：1-2mW0,解得：mW」.

2

一元二次方程的二次项系数1-2m、一次项系数n？-m-l,常数项0.

变式练习3.已知关于x的方程(加+1)/Z+(〃2-2)X-1=0,问：

(1)/〃取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程:

(2)m取何值时，它是一元一次方程?

知识点二一元二次方程的一般形式

出题角度4将一元二次方程化为一般形式，并求一元二次方程的二次项系数、一次项系数或常数项

例4.将方程化为一般形式，并指出它的二次项系数a一次项系数b和常数项c的值.

(1)(2x-5)(x+2)=1(2)-2x(x-5)=3-x(3)(2x-1)(x+5)=6x.

分析：根据整式的乘法，移项，合并同类项，可得一元二次方程的一般形式.

解：(1)2x?-x-11=0,a=2,b=-1,c=-11；

(2)2x2-6x+3=0,a=2,b=-6,c=3；

(3)2x~+3x-5=0,a=2,b=3,c=-5.

点拨：本题考查了一元二次方程的一般形式，根据整式的乘法，移项，合并同类项，可得一元二次方程的

一般形式.

变式练习4.把下列方程化成元二次方程的般形式，再写出它的二次项系数、次项系数及常数项.

(1)3y2=5y-5.(2)(2x-1)(3x+2)=3.(3)2x(x-1)=3(x+2)+1.

出题角度5由一元二次方程的二次项系数、一次项系数或常数项写出一元二次方程

例5.设a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足(a-3)4+Vb+2+Ia+b+c|=0»求

满足条件的一元二次方程.

分析：根据非负数的性质可得a-3=0,b+2=0,a+b+c=0,再解方程可得a、b、c的值，然后再写出满足条

件的一元二次方程即可.

解：•・•(a-3)’20,Vb+2>0,|a+b+c|^0,

又,(a-3)+4b+2+Ia+b+c|=0，

/.a-3-0>b+2=0,a+b+c-0,

/.a=3,b=-2,c=-1,

・•・满足条件的一元二次方程是3x2-2x-1-0.

点拨：此题主要考查了非负数的性质，以及一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形

式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且aWO)特别要注意aWO的条件.

变式练习5.分别以-2、3和0作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，尽可能多地写出满

足条件的不同的一元二次方程.

出题角度6利用一元二次方程的项的概念求字母的取值

例6.关于x的一元二次方程（m-l）x2+5x+in1-1=0的常数项为0,求加的值.

分析：由x的一元二次方程（加一1）/+51+机2-1=0的常数项为〃/一］,且此一元二次方程常数项为0

得出结论求解。

〃?21_Q

解：由题意，得：/解得：炉—1.

m-l工0.

点拨：关于x的一元二次方程。^+〃式+。=0（。，0）有一根为。与常数项为0实质上是一样的。

变式练习6.若一元二次方程（2a-4）x2+（3。+6）x+。-8=0没有一次项，则a的值为.

知识点三一元二次方程的解

出题角度7巧用一元二次方程的特殊解的特征求解

例7.若一元二次方程ad+泣+c=O中，a-b+c=0,则此方程必有一个根为.

解析：比较两个式子

ox2+hx+c=0

vJJJ

a-b+c=0

会发现：（1）等号右边相同；（2）等号左边最后一项相同；（3）第一个式子V对应了第二个式子中的1,

x2=1

第一个式子中的X对应了第二个式子中的-1.故｛.解得X=-1.

X=-1

答案：片一1

变式练习7.（2014•襄阳）若正数a是一元一次方程x2-5x+m=0的一个根，-a是一元一次方程x2+5x-m=0

的一个根，则a的值是.

出题角度8利用一元二次方程的解确定字母的取值

例8.（2014•长沙）已知关于x的一元二次方程2x2-3kx+4=0的一个根是1,则k=.

解析：.一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个

数代替未知数所得式子仍然成立.把x=l代入已知方程列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的

值.依题意，得

2X12-3kX1+4=0,即2-3k+4=0,

解得，k=2.

答案：2

点拨：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就

是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.此题是通过代入法

列出关于k的新方程，通过解新方程可以求得k的值.

变式练习8.(2022•张家界)已知关于x的方程x、2x+k=0的一个根是-1,则k=.

思维误区诊断

误区一确定一元二次方程系数时，出现系数符号错误

例I.写出方程/=3x-2的二次项系数、一次项系数和常数项

错解：错解①：二次项系数为1、一次项系数为3、

正解：把工2=3工一2化为12-3工+2=0,所以二

常数项是-2；

次项系数为1、一次项系数为-3、常数项是2。

错解②：二次项系数为1、一次项系数为3、常数项

是2；

错因分析♦：错解①是没有将方程化为一般形式；错解②是没有注意系数前面的符号。此类求一元二次方程

二次项系数、一次项系数和常数项的题目应先把方程化为一元一次方程的一般形式，再来确定系数，注意

系数都要带前面的符号。

误区二忽视一元二次方程二次项的系数〃。0的条件而出错

例2.已知关于工的一元二次方程5-2)/+3X+Q〃2-4)=0有一个解是0,求m的值。

错解：把工=0代入方程得，加2-4=0,所以正解：把工=0代入方程得，"/-4=0,所以

=±2om=±2又因为，〃一2工0,所以加工2,所以

m=-2o

错因分析：忽视一元二次方程二次项的系数〃工0,当〃?=2时，加一2=0,即二次项系数为0,此时方

程不是关于x的一元二次方程。注意：先由题目所给的条件求出m的值，然后应由二次项系数不为0舍去

不合题意的值.

误区三对于关于x的方程1)/+3x+机2=4形成思维定势，审题不认真导致出错

例3.已知关于1的方程(，〃-1)/+3_¥+〃22=4有一根是1,求m的值。

错解：把X=1代入方程得，3+m2=4,即加2=1正解：把工=1代入方程得，3+62=4,EPm2=1

所以m=±1。又因为加一1工0,所以/〃工1,所以所以，7?=±1。

m=-1。

错因分析：对于关于尢的方程Q〃-1)/十+=4形成思维定势，即认定它一定就是一个一元二次方

程导致舍去了符合题意的一个解〃7=1,而如果我们认真审题就会发现关于x的方程

+3x+m2=4既可以是一元二次方程，也可以是一元一次方程。

综合展示舞台

学霸笔记展示

一元二次方程的特殊形式

(1)当b=0,c=0时，有：or2=0,Ax2=0,Ax=0

(2)当b=0,c=0时，有：6tr2+c=0,此方程可转化为：X2=--

a

必当a与c异号时，-?〉0,根据平方根的定义可知，x=±J[.

即：当b=o,CH0,且a与c异号时，一元二次方程有两个不相等的实数根，这两个实数根是互为相反数；

©当a与c同号时，-£<0,,・•负数没有平方根，方程无实数根.

a

(3)当bwO,c=0时，有：^2+bA=O,此方程的左边可以因式分解，使方程转化为：x(我+b)=0.

即：x=0或at+b=0,/.=0,x=.

2a

由此可见：当bHO,c=0时，一元二次方程a?+bx=0有两个不相等的实数根，且两实根中必有一个是

0.

例I.关于x的一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0整理成一般形式后为x2-3x-1=0.

(1)a是否等于1?请说明理由；

(2)求a：b：c的值.

分析：(1)直接将a=l代入求出b,c的值，符合题意即可；

(2)假设a=l,进而代入求出即可.

解：(1)当a=l,则(x-1)2+b(x-1)+c=0,故x?・2x+l+bx-b+c=O,

即x2+(b-2)x+1-b+c=O

;关于x的一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0整理成一般形式后为x"-3x-1=0,

b-2=-3>1-b+c=-1,解得：b=-1,c=-3,故a可以等于1；

(2)•・•关于x的一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0整理成一般形式后为x?・3x-1=0,

.*.ax2-2ax+a+bx-b+c=O,即ax,(b-2a)x+a-b+c=O,当a=l时，

a=la=l

,b-2a二一3,解得:b=-1,

a-b+c=-1c=-3

故a：b?c=l：-1：-3.

点拨：此题主要考杳了一元二次方程的定义，根据已知得出各部分对应系数相等是解题关键.

例2.一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0化为一般式后为3x?+2x-1=0,试求@2+尸・(?'的值的算术平方

根.

分析：把a(x+1)2+b(x+1)+c=0去括号、合并同类项，化作一元二次方程的一般形式，对照3x?+2x-1=0,

求出a、b、c的值，再代入计算.

解：整理a(x+1)2+b(x+1)+c=。得ax?+(2a+b)x+(a+b+c)=0,

a=3a=3

,解得｛b=-4,

则，2a+b=2

a+b+c=-1c=0

a2+bi-C2=9+16=25,/.a"+b--c-的值的算术平方根是5.

点拨：此题主要考杳一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且aKO),注意最后的一步

是求算术平方根，容易忽略.

高效学法展示

一元二次方程的解的应用

利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常用到整体思想，需要同学们认真领会.

2

例3.已知就是关于x的方程x2-x+a=O的一个根，求a-2-*的值.

分析：方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x二5代入方程，即可得到一个

关于a的方程，从而求得a的值.然后将其化简后的所求代数式求值.

解：将乂二加代入方程x2-x+a=O中，得2-亚+a=0,解得，a二丑-2,

a2_a2_a4a2_4__4,

当a=V2-2时,a-2-

a+2a+2a+2a+2加

点拨：本题主要考查了方程的解的定义.此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求

的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式

的值.

例4.已知三个二元一次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx、ax+b=O有公共根，求证：a+b+c=O.

分析：把x=t代入3个方程得出a・/+bt+c=O,bt2+ct+a=0,ct>a*t+b=O,3个方程相加即可得出(a+b+c)

(t2+t+l)=0,即可求出答案.

证明：设这三个方程的一个公共根为t.

把x=t代入axJ+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cxJ+ax+b=0得：

a*t'+bt+c=0»bt2+ct+a=0,ct2+a*t+b=0,

相加得:(a+b+c)t2+(b+c+a)t+(a+b+c)=0,

(a+b+c)(t2+t+l)=0,

Vt2+t+1^0,.\a+b+c=0.

例5.已知方程ax'+bx+c=0(aWO)有根，

(1)若a+b+c=O时，x为多少？(2)若a-b+c=()时，x为多少？(3)若4a+c=2b时，x又为多少？

分析：(1)把x=l代入方程，即可得出答案；(2)把x=-l代入方程，即可求出答案；(3)把x=-2代入

方程，即可求出答案.

解：⑴把x=l代入ax2+bx+c=0得：a+b+c=O,即若a+b+c=O时，x为1；

(2)把x=-1代入ax，bx+c=O得：a-b+c=O,即若a-b+c=O时，x为-1；

(3)把x--2代入ax^+bx+c-O得：4a・2b+c=0,即4a+c-2b,即若4a+c-2b时，x又为・2.

能力拓展展示

巧求一元二次方程的根——找规律

例6.观察下列方程，并回答问题：

①x2-l=0；（2）X2+X-2=0；③X2+2X-3=0；@X2+3X-4=0：….

（1）请你根据这列方程的特点写出第n个方程；

（2）直接写出第2009个方程的根；

（3）说出这列方程的根的一个共同特点.

分析：（1）根据方程中所反映的特点求出即可；

（2）求出每个方程的根，即可得出规律；

（3）根据每个方程的根即可得出答案.

解⑴第n个方程是x2+（n-1）x-n=0；

（2）第2009个方程的根是x2=-2009；

（3）这列方程的根的一个共同特点是都有一个根是1.

知识要点梳理