第4章 因式分解 单元综合练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025.2026学年北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》单元综合练习题(附答案)

一、单选题

1.下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是()

A.a(x—y)=ax—ayB.4x2+4xy+y2=(2x4-y)

C.(x+l)(x+3)=x2+4%+3D.y2-2y+3=y(y-2)4-3

2.多项式2%3y+8My2的公因式是()

A.x2y2B.2x3yC.2/yD.2x2y2

3.若9炉一4a2=(2a+3b)(),则括号内应填的代数式是)

A.-2a—3bB.2a+3bC.2a-3bD.3b-2a

4.多项式/+x-6可因式分解成(％4-a)(x+b),其中a,b均为整数,则(a+b)2°25的值

为)

A.-1B.1C.-2025D.2025

5.若P=2m2+血,Q=m2-3m-4,则P与Q的大小关系为()

A.P>QB.P>QC.P=QD.P<Q

6.对于任意整数〃,多项式(九+ll)2-(n+2产都能被以下哪个数整除()

A.9B.2C.11D.13

7.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a-b,x-y,x^y,

a+b,小一y2,浸一从分别表示下列六个字：化，爱，我，怀，游，美.现将(*2一、2)々2一

Q2-y2)b2因式分解，结果呈现的密码可能是()

A.我爱美B.怀化游C.美我怀化D.爱我怀化

二、填空题

8.已知多项式3/+bx+c分解因式为3(%+2)(x—3),b=,c=.

9.若多项式/+?九％+4能用完全平方公式分解因式，则整数m=.

10.因式分解：

(1)x4-81=

(2)3a2+6ab+3b2=

11.若nm=2,m-3n=3,则m③九一6zn2n2+96几3=.

12.多项式/-1+/+2ab因式分解的结果为.

13.若(7H+〃)3—nrn(7九+兀)=(m+n)•4,则4表示的多项式为.

14.若正方形的面积是25/+10xy+y2a>0,y>0),则该正方形的边长为

三、解答题

15.把下列各式因式分解：

⑴4a3b—16a2b+16ab.

(2)x2(x-y)+y2(y-x).

16.运用简便方法计算：

(1)1.23x512-1.23x492.

(2)842-28x84+142.

(3)5.76x116+57.6x18.4+576x(-3)

17.小红在翻阅数学资料时看到如图所示的阅读材料，请你根据阅读材料帮小红解决卜列问

题：

阅读材料

分解因式:(a+b)2-2(a+b)+l

解：①将"a+b"看成整体，令a+匕=m,则原式=-2m+1=(m-1)?,

2

②再将a+b=m还原，得到原式=(a+b-I).

上述解题过程中用到的是"整体思想”，它是数学中常用的一种思想

⑴因式分解：(x-y)2-8(x-y)+16：

(2)因式分解：(/—6X)(J2—6x+18)+81.

18.阅读下面因式分解的过程，弁回答所提出的问题；

l+x+x(x+l)+x(x+l)2

=(1+x)[l+x+x(x4-1)]

=(l+x)2(l+x)

=(1+x)3

⑴上述因式分解的方法是,共用了次；

(2)把多项式1十%十X(X+1)+X(X+I)2H---1-%(%+1)2026进行因式分解，结果是；

⑶依照上述方法因式分解：1+%+%(%+1)+%(X+1)2+…+X(X+1)"(n为正整数).

19.课本复习题有道题是"如果ab=0,那么Q=o或b=0,利用所学知识，尝试求解方程

/一2%=0〃"如果必=0,那么Q=0或b=0〃在数学中通常称为零乘积性质.方程/一

2x=0可化为x(x-2)=0,根据零乘积性质，若ab=0,则Q=。或b=0,因此％=0或x-

2=0,解得x=0或x=2,所以方程的解为％=0或x=2,请利用零乘积性质完成下列各

题

⑴求解方程a?+2a=0；

(2)已知%2++3%+3y=0,当y=-2,求”的值；

⑶己知△?!灰：的三边a,b,c满足M-炉+ac-bc=0,请判断△/18C的形状，并说明理由.

20.阅读材料：利用公式法，可以将一些形如以2+板+(：9/0)的多项式变形为

«(%+加产+〃的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式QM+HX+C(Q*0)的配方法，

运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有

关的问题或求代数式最大值，最小值等.

22

例如：/+4%—5=/+4x+Q—0—5=(x+2)2—9=(X+2+3)(%+2—3)=

(x+5)(x-1).

例如：求代数式F+4%+6的最小值.

原式=/+4%+4+2=(%+2/+2.

•••(x+2)2>o,

当》=-2时，/+4%+6有最小值是2.

根据以上材料，解答下列问题.

⑴分解因式(利用配方法)：x2+2x-8；

(2)求多项式4/+4x-3的最小值；

(3)已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足M+肝+c?+50=6a+8b+10c,求△力BC的

周长.

参考答案

1.B

【分析】本题主要考查了因式分解的定义，将多项式转化为几个整式的积的形式叫做因式分

解，据此可得答案.

【详解】解：A选项从左到右是整式乘法，不是因式分解；

C选项从左到右是整式乘法，不是囚式分解：

D选项右边不是积的形式，含有加号，不是因式分解；

B选项左边是多项式，右边是(2x+y)2,且4/+4盯+川=g+y)2,属于因式分解.

故选B.

2.C

【分析】本题主要考查公因式的确定：(1)数字部分：找最大公约数；(2)字母部分：找相

同字母的最低次哥，准确分析判断是解题的关键.

公因式是多项式中各项都含有的因式，需提取系数的最大公因数和各字母的最低次鼎即可得

解.

【详解】解：•.•系数2和8的最大公因数为2,字母》的最低次幕为/,字母y的最低次第为y,

・•・公因式为2/y；

故选C.

3.D

【分析】本题考查平方差公式的灵活运用，利用平方差公式将9b2-4。2分解因式，再与给

定式子对比

【详解】解：••・9b2-4a2=(3b)2-(2a)2=(3b+2a)(3b-2a),

又•:3b+2a=2a+3b,

・•.括号内应填3b-2a,

故选：D

4.B

【分析】本题考查了因式分解、有理数的乘方，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题关键.

先对多项式进行因式分解，求出〃和力的值，再计算Q+b,最后代入求解即可.

【详解】解：0x2+x-6=(%4-3)(x-2),

0a=3,6=-2或a=-2,b=3,

团a+匕=1,

(3(Q+b)2°25=12025=〜

故选B.

5.A

【分析】此题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式进行因式分解是解题的关

键.

通过计算P与。的差，并利用完全平方公式判断其非负性，从而得出大小关系.

【详解】解：13P=2m24-m,Q=m2-3m-4

田P—Q=(2m2+m)-(m2-3m-4)=2m2+m-m24-3m+4=m2+4m+4

0机2+4m+4=(机+2)2no

>0,即PZQ

故选:A.

6.A

【分析】本题考查因式分解的应用，将多项式进行因式分解后进行判断即可.

【详解】解：(n+ll)2—(n+2)2

=[(n+11)—(n+2)][(n+11)4-(n+2)]

=9(2几+13)；

故多项式(九+ll)2-(n+2)2能被9整除；

故选A.

7.D

【分析】本题主要考查了因式分解的应用，通过提取公因式和平方差公式将表达式因式分解,

得到四个因式，分别对应给定的汉字，组合后得到密码即可.

【详解】解:(x2-y2)a2-(x2-y2)b2

=(x2-y2)u2-(x2-y2)b2

=(x2—y2)(a2—b2)

=(x-y)(x+y)(a-b)(a+b),

对应汉字：x-yi爱，x+y->我，化，Q+b一怀，

团组合后的密码为"爱我怀化"，

故选：D.

8.-3-18

【分析】本题考查了多项式乘以多项式，通过展开给定的因式分解形式，与原多项式比较系

数，即可求出b和C的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键.

【详解】解：3a+2)(x-3)=3(x2—3x+2x-6)=3x2—9x4-6x-18=3x2—3x—18»

团多项式3/+bx+c分解因式为3(%+2)(%-3),

团b=-3,c=-18»

故答案为：—3,—18.

9.±4

【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟悉完全平方公式的结构特征，即

a2±2ab+b2=(a+b)2,并据此建立关于m的等式求解.

根据完全平方公式的结构，将多项式/4-7HX+4与小士2ab+川对应，确定。b=2,

从而得到mx=±2xxx2,进而求出整数m的值.

t详解】解：•••多项式/+mx+4能用完全平方公式分解因式，

/.x2+mx4-4=(%±2)2.

•••(x±2)2=x2±4%+4,

mx=±4x.

•••m=±4.

故答案为：±4.

10.

3)(%+3)(/+9)

3(a+b)2

【分析】本题考查了因式分解，包含平方差公式与完全平方公式的使用，解决本题的关键是

正确使用公式化简.

(1)连续两次应用平方差公式进行分解即可：

<2)先提取公因式，再应用完全平方公式求解即可.

【详解】解：(1)%4-81=(x2)2-92=(x2-9)(x2+9)=(x-3)(x+3)(x2+9)；

故答案为：3)(%+3)(/+9)；

(2)3Q2+6ab+3b2=3(a2+2ab+b2)=3(a+d)2.

故答案为：3(a+b)2.

11.18

【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法和公式法因式分解是解题的关键:

将所求表达式因式分解，利用已知条件代入计算即可.

【详解】解：m3n-6m2n2+9mn3

=mn(m2—6mn+9n2),

=mn(jn-3n)2,

07nn=2,m—3n=3,

回原式=2x32=2x9=18,

故答案为：18.

12.(Q+b+l)(Q+b-l)

【分析】本题考查利用完全平方公式与平方差公式进行四式分解，掌握知识点是解题的关键.

观察多项式，发现。2+〃+2岫可结合为完全平方式，再与-1构成平方差形式，应用公式

分解即可.

t详解】解:a2-l+b2+2ab

=a2+b2+2ab—1

=(a4-疗—l2

=(a+b+1)(Q+b-1).

故答案为：(a+b+l)(a+b-l).

13.m2+mn+n2

【分析】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键.

将等式左边提取公因式m+九，然后化简得到人

【详解】解：左边：(m+n)3-+n)=(m+〃)[(m+九)2-nm]

其中(m+n)2=m2+2mn+n2,

(m4-n)[m2+2mn+n2—mn\=(m+n)(m2+mn+n2)

右边：(m+ri)•4

因此A=nt2+rrin+n2,

故答案为：m2+mn+n2.

14.5x+y

【分析】本题考查了运用公式法进行因式分解，熟练掌握完全平方式的特点是解决问题的关

键.

正方形的面积是边长的平方，给定表达式是一个完全平方式，运用公式法把多项式分解，即

可得出答案.

【详解】解：给定面积表达式为25x2+10xy+y2,可因式分解为(5x+y)2,

根据正方形面积公式，边长等于面积的算术平方根，旦，>0,y>0,

故该正方形的边长为5x+y,

故答案为：5%+y.

15.(l)4ab(q-2)2

(2)(x-y)2(x+y)

【分析】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

(1)先提取公因式，再用完全平方公式因式分解即可；

(2)先将(y-x)变形为-(x-y),然后提取公因式，再用平方差公式因式分解，最后合并

即可.

【详解】(1)解:原式=桁以小-4a+4)

=4ab(a—2)2.

(2)解：原式=/(%—；y)—y2(无一y)

=(x-y)(x2-y2)

=(x-y)(x+y)(x-y)

=(x-y)2(x+y).

16.(1)246

(2)4900

(3)0

【分析】本题考查了因式分解的简便运算，涉及提取公因式、平方差公式、完全平方公式,

掌握观察式子结构，通过提取公因式或凑乘法公式简化计算是解题的关键.

(1)提取公因式1.23,再用平方差公式因式分解简化计算.

(2)将-28x84转化为-2x14x84,凑完全平方公式因式分解.

(3)统各项系数为5.76,提取公因式后”算括号内的和.

【详解】(1)解：原式=1.23x(512一492)

=1.23X(51+49)X(51-49)

=1.23x100x2

=246.

(2)解：原式=842-2x14x844-142

=(84-14)2

=702

=4900.

(3)解:原式=5.76x116+5.76X184+5.76X(-300)

=5.76x(116+184-300)

=0.

17.(l)(x-y-4)2

(2)(x-3)4.

【分析】本题考查整体思想在因式分解中的应用及完全平方公式的运用，核心是通过换元将

复杂多项式转化为熟悉的完全平方式进行分解.

(1)观察式子结构，可将a-y)看作一个整体，式子符合完全平方差公式的形式，直接套

用公式分解后还原即可；

(2)先将(%2一6%)设为影体，杷原式转化为关于该整体的二次式，展开后用完全平方公式

分解，再对还原后的多项式继续利用完全平方公式分解，得到最终的因式分解结果.

【详解】(1)解：令m=x—y,则原式=m2—8m+16=(m—4)2,

将m=还原，得原式=Q-y-4)2；

(2)解：令m=x2-6x,则原式=m(m+18)+81=m2+187n+81=(m+9)2,

将TH=X2—6%还原，得原式=(X2—6x+9)2,

x2—6x+9=(x-3)2,

二原式=[(x-3)2]2=(x-3)4.

18.(1)提公因式法，2

(2)(1+x)2027

⑶(1+》严

【分析】(1)根据提公因式法分解因式的过程可得答案；

<2)根据因式分解1+乂++1)+x(x+1尸的结果可直接得出答案：

(3)仿照已知的计算过程进行因式分解即可.

【详解】(1)解：上述因式分解的方法是提公因式法，共用了2次；

(2)解：把多项式1+¥+%0+1)+双工+1)2+...+M工+1)2。26进行因式分解，

结果是(1+幻2。27；

(3)解：1+X+X(X+1)+%(%+1)2+…+x(x+l)n

=(1+X)[l+X+%(%+1)+…+X(X+

=(14-x)2[l+x+x(x+l)+-+x(x4-l)n-2]

=(1+x)n+1.

19.(l)a=0或a=-2

(2)x=-3或%=2

(3必ABC是等腰三角形，理由见解析

【分析】(1)对方程a2+2a=0左侧因式分解，再根据零乘积性质求解；

(2)先将y=-2代入已知等式化简，再将等式左侧因式分解，然后根据零乘积性质求解;

(3)先将已知等式左侧因式分解得到(a-b)(a+b+c)=0,根据a,瓦。是4ABC的三边长,

得a+b+c>0,则a—b=0即可求解.

【详解】(1)解：对方程小+2。=0左侧因式分解得a(a+2)=0,

团a=0或a+2=0,

解得Q=0或Q=-2；

(2)解：将y=—2代入/+xy+3x+3y=0得/-2x+3%-6=0,

整理得/+工一6=0,

因式分解得(％+3)(%-2)=0

0x+3=0或X-2=0,

解得％=—3或％=2；

(3)解：△/18C是等腰三角形，理由如下：

2

团Q