基本不等式的综合应用（原卷版及解析）

第一章集合、常用逻辑用语、不等式

§1.5基本不等式的综合应用

【高考考向预测】

近三年高考基本不等式综合应用考查频次较高，常以选择、填空小题为主，也常融入函数、数

列、解析几何等题型考查坡值求解、取值范围确定，重点考查一正二定三相等条件及配凑、换元等

解题技巧；预测2027年高考仍会保持高频考查趋势，命题更侧重多形式配凑、双变量最值及实际

情境应用，注重与其他知识点融合设问，强化等号成立条件判断，题型灵活多变但紧扣核心用法，

侧重考史学生灵活变形与逻辑运算能力。

【题型突破•明方向】

题型一与基本不等式有关的恒(能)成立问题

例I(1)(2025•达州模拟)已知心0,b>0,若不等式义W丝善恒成立，则实数〃?的最大值为()

a+bab

A.64B.25C.13D.12

(2)若正实数x,)，满足旧尸1,且不等式有解，则实数"?的取值范围为.

【跟踪训练】1(1)(2026・遵义模拟)"9”是“不等式(x+y)G+328m>0)对于任意正实数x,y

恒成立”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)若两个正实数x,y满足x+2y=xy,且存在这样的x,y使不等式2K+yv〃F+8"?有解，则实数〃?的

取值范围是()

9)

B.(-9,1)

C.(-8,-9)U(1,+oo)

D.(-oo,-1)U(9,+8)

题型二基本不等式的实际应用

例2随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素

的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗公司为了进一步增加市场竞争力，

计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产x（x

一（2x2+80x,0<%<40,

xeN

£N"）台，需另投入成本G（x）万兀，且G（x尸36ooon»由市场调研

知，该产品的售价为每台200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.

（I）写出年利润W（x）（万元）关于年产量x（台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）；

⑵当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？

【跟踪训练】2某村现有180户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8万元.为

探索科技助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排x（0<x<180,户村民只从事直播带货

工作，其余的只从事海产品养殖工作，预计调整后从事直播带货工作的村民平均每户的年收入为

8（。一盘）（4°）万元，从事海产品养殖工作的村民平均每户的年收入相比原来提高51％，若从事直

播带货工作的村民不管有多少户，他们的总年收入都不大于从事海产品养殖工作的村民的总年收入,

则a的最大值为（）

A.12B.14C.22D.60

题型三基本不等式与其他知识交汇的最值问题

例3⑴（2025•荷泽模拟）已知A,B,C三点不共线，点O不在平面ABC内，而《万5+x而+何不工，

）>0）,若A,B,C,。四点共面，则外的最大值为（）

A.-B.—C.lD.2

816

（2）（2026•苏州模拟）已知随机变量ETV（1,『），且P（4W0）"（经〃），贝咛+六（0令<〃）的最小值为（）

A.9B.-9C.4D.6

2

【跟踪训练】3（1）（2025・绍兴模拟）原点到直线/：Zr+y-/l+l=0（2£R）的距离的最大值为（）

A.2B.—C.—D.V2

555

⑵[2025•海南模拟）已知数列｛小｝的前n项和为S广岛•〃，当红巴取得最小值时，”________.

an

■微拓展,

柯西不等式

1.二维形式的柯西不等式

(a2^-b2)(c2+d2)(ac+bd)\a,b,c,d£R,当且仅当ad二be时，等号成立).

2.二维形式的柯西不等式的变式

(1)Va24-b2-yjc2+d2^\ac+hd\(a,b,c,d£R,当且仅当ad二。c时，等号成立).

(2)，Q2+b?7c2+d22|ad+|/M(〃,b,c,d£R,当且仅当ad=bc时，等号成立).

(3)m+/?)(c+M2(VHF+VS3)2(a,b,c,d》0,当且仅当时，等号成立).

3.一般形式的柯西不等式

设。2,。3,…，%,bl,b2,…,〃”是实数，则(a?+a：+…+a分(b：+b[+…+b一)》(。1"+大2岳+…+Q"y,

当JL仅当/片O(i=l,2,•,,,〃)或存在一个实数k,使得a产物gl,2,〃)时，等号成立.

4.二维形式的柯西不等式的向量形式

|a.|W|a|W|(当且仅当“是零向量，或存在实数k,使时，等号成立).

典例(1)实数1，y满足力^+仃工口，则Z=2Y+圾，的最小值是()

A.-5B.-6C.3D.4

(2)设。=(1,-2),b=(x,)，)，若/+)心=16,则。•力的最大值为.

■微拓展

权方和不等式

1.二维权方和不等式：若a,b,x,y>0,则《+《》史空，当且仅当吼士时，等号成立.

zxyx+yxy

变脑1:已知x,y,a,b>0,则,2,迤±®,当且仅当工：产伞：历时，等号成立.

/xyx+y”

变彬2:已知x,%a,b>0,且〃>0,则啧弓2分;，当且仅当g时，等号成立・

2.多维权方和不等式：

公式1:若%>0,儿>0,〃£N*,则善用…+普》竽等T匚当且仅当詈考二詈二…二詈时，等号成

立.

公式2:若小>0,瓦>0.〃WN*.〃〉()，则a置产置+••,(：；：：+1+：：)'；.当且仅当:■詈=皆=…二詈

bbm

%2n\<b1+b2+-+bn)bxb2b3bn

时，等号成立.

权方和不等式的特征是分子的幕指数比分母的球指数大1,用于“知和求和型”快速求最值，本质还是

代数式常数化.

典例(1)若A>0»)>0,2x；y+*jy=2，则6x+5》的最小值为.

⑵已知正数小.z满足x+)，+z=l,则与•g-+=-的最小值为

J'y+2zz+2xx+2y-------------

【限时训练】

（30分钟）

11知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共20分）

1.（2021・新高考全国I卷）已知尸B是椭圆C的两个焦点，点M在。上，则IMRHMFd的最

94

大值为（）

A.13B.12C.9D.6

2.（2025•福州模拟）当Q0,）>0时，3号2出，则实数〃?的最大值为（）

A.9B.8C.4D.1

3.若存在xU（O,2],使不等式6-2.什3a<0成立，则实数。的取值范围是（）

A.6-<—B.OWY

37

C/屋D.S

37

4.（链接教材，人教A版必修第二卅P55阅读与思考）中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，

即假设在平面内有一个三角形,边长分别为。力,c,三角形的面积S可由公式设Jp（p-a）（p-b）（p-c）

求得，其中p为三角形周长的一半.已知AABC的周长为12,c=4,则此三角形面积最大时，A等于（）

A.30°B.45°

C.60°D.90c

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

5.（2026・常州模拟）已知点P是△48C的中线BD上一点（不包含端点）且而而+），而，则下列说法正确

的是（）

A.A+2y=lB2Kty=1

C.2'+4'22企D.O三的最小值是9

Xy

6.已知x>。，y>0,且2x+），=I,若巴卓<-+2y恒成立，则实数"的可能取值为（）

m-1

A.-B.-C.3D.—

2816

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.若正实数人y满足X+产2,且土恒成立，则M的最大值为,

8.已知函数八丫）=加+21，+〃的值域为[0,+8）,其中则—的最小值为

四、解答题（共28分）

9.（13分）（2025・武汉模拟）已知x,y都是正数，且汾=1.

（1）求2x+y的最小值；（6分）

（2）已知不等式Mr+2），）W（3x+2y）2恒成立，求实数2的取值范围.（7分）

1005分）（2025・曲靖模拟）某村原有一块矩形ABC。场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需

求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地AEGF.为了不影响原有的锻炼环境，建

造时要求点8在AE上，点。在A/上，且对角线经过点C,如图所示.已知A8=16m,AD=\2m,

设DF=xm,矩形AEGF的面积为yn?.

（1）写出y关于x的表达式，并求出x为多少时，y有最小值；（8分）

（2）要使矩形AEGF的面积大于1024m2,则DF的长应在什么范围内？（7分）

』能力拓展「.，

［每小题5分，共10分］

11<人教A版必修第一册P49习题2,2T8改编）己知矩形A8CD（A8>A。）的周长为24,将△A8C沿4c

向折叠，AB折过去后与DC交于点P.设AB=x,则DP=（用x表示），当△4DP

的面积最大时，m.

12.已知函数次幻二2026工2026.,若/心0,且/一2）t/'（§Msin2026兀），则熹十士的最小值

为

第一章集合、常用逻辑用语、不等式

§1.5基本不等式的综合应用

【高考考向预测】

近三年高考基本不等式综合应用考查频次较高，常以选择、填空小题为主，也常融入函数、数

列、解析几何等题型考食:最值求解、取值范围确定，重点考查一正二定二相等条件及配凑、换元等

解题技巧；预测2027年高考仍会保持高频考查趋势，命题更侧重多形式配凑、双变量最值及实际

情境应用，注重与其他知识点融合设问，强化等号成立条件判断，题型灵活多变但紧扣核心用法，

侧重考查学生灵活变形与逻辑运算能力。

【题型突破•明方向】

题型一与基本不等式有关的恒（能）成立问题

例1（1）（2025•达州模拟）已知心0,b>0,若不等式名《竺曾恒成立，则实数〃?的最大值为（）

a+oab

A.64B.25C.13D.12

【答案】B

【解析】。>0,b>0,则a+b>0f

不等式yW曾恒成立，即〃"詈•（"少恒成立，

a+babab

管力仁++手咛，13+2屏25.

当且仅当¥二2，即力=1〃时，等号成立，

ba3

所以mW25,即实数用的最大值为25.

（2）若正实数x,），满足x+y=l,且不等式・号4〃2+|〃7有解，则实数，〃的取值范围为.

【答案】（-8,-3）U（|,+8）

【解析】因为x+曰，所以等伯］，所以a=（1+抓等+%2+河泊罗2底号与

当且仅当々=宇时，等号成立，因为卢户1,所以此时广:，产|,所以2」的最小值为3由题可得

x+12yJ3/3x+1y2

.+|〃7>|,解得m<-3或

【思维升华】VxWM,使得凡等价于7U）min2a,YxRM,使得等价于/WmaxWa;

M,使得等价于/U）max2a,Bx^Mt使得y（x）Wa,等价于/U）minWa.

【跟踪训练】1(1)(2026•遵义模拟)“〃=9”是“不等式。+岭+堂》8(公>0)对于任意正实数x,y

恒成立”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当。=9时，对于任意正实数x,y,

(x+y)(：+3=1。+(*21。+2弓=16,当且仅当y=3x时取等号，

即比时不等式(x+田(1+])2830)对于任意正实数x,y恒成立，充分性成立；

当不等式。+)，心+乡28(*0)对于任意正实数x,y恒成立时，

(x+y)G+])=11+〃+2•会=1+a+2y[a,

当且仅当y=\[ax时取等号，

此时需满足1+。+2628m>0),解得。2(2或一1)2,此时。不一定等于9,必要性不成立，

故%=9”是“不等式。+.岭+328(心0)对于任意正实数占y恒成立”的充分不必要条件.

(2)若两个正实数x,)，满足x+2产X)，，且存在这样的心)，使不等式右+产〃尸+即〃有解，则实数〃，的

取值范围是()

A.(・1,9)

B.(-9,1)

C.(-8,-9)U(1,+8)

D.(-8,-1)U(9,+8)

【答案】c

【解析】由Q0,)>0,X+2E得然=1，

2x+y=(2x+y)(1+沪+货詈5+2J1•§=%

当且仅当x=y=3时，等号成立，

则要使不等式2x+y<m2^m有解，只需满足小+8加>9即可，

解得〃z<-9或〃Qi,即/〃的取值范围为(-8,-9)U(1,+8).

题型二基本不等式的实际应用

例2随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素

的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗公司为了进一步增加南场竞争力，

计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产x(x

,2x2+80x,0<x<40,

EN*)台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)="^^3600由市场调研

ZUIX十-----ZoU/U,4U<.XSOU,

知，该产品的售价为每台200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.

(1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量M台)的函数解析式(利润=销售收入-成木)：

⑵当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？

【解析】(1)由该产品的年固定成本为300万元，

另投入成本G(x)万元，

(2x24-80%,0<x<40,

GN，；

且GO尸(201X+4^-2020,40<X<80/

当04IW40时，VV(x)=200.r-300-G(x)

=-2r2+120x-300,

当40<xW80时，W(X)=200X-300-G(X)=-X-L^+1720,

所以利润W(x)(万元)关于年产量x(台)的函数解析式为

(-2x2+120%-300,0<x<40,

XGN

W(加纯+1720,40<X<80,-

X

⑵当0<xW40时，VV(x)=-2.r+120x-300=-2(x-30)2+1500,

故当厂30时，W(x)最大，最大值为1500；

当406W80时，W(x)=-(x+^^)+1720W1720-2JX.L^2=1600,

当且仅当产空，即尸60时等号成立，

X

综上可得，当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1600万元.

【思维升华】利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，

抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.

【跟踪训练】2某村现有180户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8万元.为

探索科技助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排M0UV180,x£N«)户村民只从事直播带货

工作，其余的只从事海产品养殖工作，预计调整后从事直播带货工作的村民平均每户的年收入为

8(a-2)(a>0)万元，从事海产品养殖工作的村民平均每户的年收入相比原来提高5i%,若从事直

播带货工作的村民不管有多少户，他们的总年收入都不大于从事海产品养殖工作的村民的总年收入,

则a的最大值为()

A.12B.14C.22D.60

【答案】B

【解析】由题意可得8（”新W（180-x）8（l+5x%）,化简可得忘詈咛+8,

因E为J丁180亦X8--2-2-］|丁180X/8=14.,

当且仅当要=?,即.160时等号成立，

X20

所以“W14,即“的最大值为14.

题型三基本不等式与其他知识交汇的最值问题

例3⑴（2025・荷泽模拟）已知4,B,。三点不共线，点O不在平面A8C内，而=：瓦?+工赤+W?（x,

）>0）,若4,B,C,。四点共面，则xy的最大值为（）

A.-B.—C.lD.2

816

【答案】B

【解析】因为4B,C,/）四点共面，所以工+产匕=1,贝U工+产/又入>0,>>0,

所以孙〈（等了三，当且仅当户总时取等号.

（2）12026•苏州模拟）已知随机变量4M1，4），且PeW0）=P（Qa）,则。白（0令<。）的最小值为（）

xa-%

A.9B；C.4D.6

2

【答案】B

【解析】因为随机变量。〜Ml,『）,且P《W0）=PC2a）,则;=1,可得。=2,

因为0<x<m贝【Ja-x>0,

所以1+4，+J

xa-xx2-x

WG+直）［户（2-刈

3（1+4+号+公）

若6+2后有月

当且仅当红二产，即下;时，等号成立，

x2-X3

所以1V的最小值为:

【思维升华】基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立

体几何、解析几何、实坏问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题.

【跟踪训练】3（1）（2025・绍兴模拟）原点到直线/：石”，-2+1=0（2£1i）的距离的最大值为（）

A—B.—C.—D.V2

【答案】D

【解析】方法一设原点到直线/的距离为d,由点到直线的距离公式得

d=需=乒=三

显然当2<0时，有最大值，

此时-悬2

(一入)+(-丁

因为(・2)+(-322J(T)・(_%2,当且仅当F-1时等号成立，

所以所以dmaxWI

(“)+(F2

方法二直线/恒过定点(1,-1),故原点到直线/距离的最大值为无.

2

(2)(2025•海南模拟)已知数列｛小｝的前n项和为Slt=n+n,当年取得最小值时，片________

an

【答案】3

【解析】因为S尸〃耳〃，

22

当月22时,an=Sn-Sn-1=n+n-(n-1)-(n-1)=2n,

又当〃=1时，«I=SI=2,满足斯=2〃，故小二2〃,

则2二^^」(n+2)J

an2n2\nJ2

>-X2

2

当且仅当〃=2,即〃=3时，等号成立，

n

所以当〃=3时，员型取得最小值.

an

■微拓展

柯西不等式

1.二维形式的柯西不等式

(o2+/>2)(c2+t/2)2(ac+bd)2(a,b,c,dWR,当且仅当ad-bc时，等号成立).

2.二维形式的柯西不等式的变式

(1)JQ2+b27c2+涯冽ac+M(a,b,c,d£R,当且仅当时，等号成立).

(2)Vtz24-b2-Vc24-d2\ac\+\btl\(a,b,c,d£R,当且仅当时，等号成立).

(3)[a+b)(c+d)^(\/ac4-\[bd)2(a,b,c,d20,当且仅当ad=儿时，等号成立).

3.一般形式的柯西不等式

设0，42,。3,…,%,bl,bl,匕3,…，乩是实数，贝U(Q：+Q；+…+aQ(b，+Z^+…+632(4海1+12b2+…+〃“儿)2,

当且仅当加=0gl,2,…，⑶或存在一个实数2,使得4=幼di=l,2,…,〃)时，等号成立.

4.二维形式的柯西不等式的向量膨式

同”1〈⑷网（当且仅当“是零向量，或存在实数h使时，等号成立）.

典例⑴实数x,），满足衣+仃三⑵则z=2r+V5），的最小值是（)

A.-5B.-6C.3D.4

【答案】A

【解析】•・•实数x,），满足3f+4炉=12,

.*.y+y=l，(7+?)(16+9)N(2x+V3y)2,

即-5W2x+VS.yW5,当且仅当3gx=8y,

8

即当《%=F；旧时，左边取等号,

y二一丁

X=-8,

当《;旧时，右边取等号,

，=个

/.z=2x+\/3y的最小值是-5.

(2)设。=(1,-2),b=(x,y),若$+,2=16,则。力的最大值为.

【答案】4V5

【解析】Va=(l,-2),b=(x,y),•*.ab=x-2y.

由柯西不等式的向量形式可得

[l24-(-2)2](x2+/)^(x-2y)2,

即5X163(42)，)2,・•・-4隗Wx-2yW4同，（*）

当且仅当b=ka.

4伤

X-----

即，5'时，（*）式中右边等号成立,

8V5

、y=r

\4病

X=-------9

或S'时，（*）式中左边等号成立,

8V5

旷二于

当尸塔，尸-亭时，ab的最大值为4A/5.

OO

■微拓展

权方和不等式

].二维权方和不等式：若mb,X,）>0,则《二2位里，当且仅当巴,时，等号成立.

Jxyx+yxy

变肪1:已知x,yfa,b>0,则巴佳》还日当且仅当x：y=G：历时，等号成立.

'xyx+y-

变杉2:已知x,)，，出。>0,且〃>0,则当且仅当日时，等号成立・

2.多维权方和不等式：

公式1:若%>0,6>0,〃£N［则去拿…+的二竽?士?，当且仅当詈=詈=詈=…=詈时，等号成

%b2bnbl+b2+-+bn如b2b3bn

立.

公式2:若知>0,30,〃£N‘，心0,则普+若+…+黎岑m,当且仅当黑詈十二…喈

%b2bn(b1+b2+--+bn)brb2b3bn

时，等号成立.

权方和不等式的特征是分子的冢指数比分母的球指数大1,用于“知和求和型”快速求最值，本质还是

代数式常数化.

典例⑴若工>0,)>0,品+六=2,则6x+5y的最小值为.

【答案】y+2V3

【解析］上+1^2(1+26)2;^^,即

2x+yx+y2x+y4(x+y)2x+y4(x+y)6x+5y6x+5y6x+5y

因为X>0,y>0,

贝U6x+5y2=+26，当且仅当

/22x+y4(x+y)

即尸限，产等时取等号.

(2)已知正数X,)，，Z满足1+尹2=1,则与-的最小值为

J'y+2zz+2xx+2y-------------

【答案w

y2v272

【解析】y+:2z+z乙+2x+x、+2y

三(x+y+z)?=i

y+2z+z+2x+x+2y3*

当且仅当品=号=品，

即x=y=z=^时取等号.

【限时训练】

(30分钟)

1］知识过关

一、单项选择题(每小题5分，共20分)

LQ021•新高考全国I卷)已知F”B是椭圆C：<+4=1的两个焦点，点M在C上，则IMRHMBI的最

94

大值为()

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】由椭圆C：^+y=l,得|MFI|+|MF2|=2X3=6,则("詈电?与?：/当且仅当

|MR|=|MB|=3时等号成立.

2.(2025・福州模拟)当心>0,)>0的，：号2£^，则实数〃7的最大值为()

A.9B.8C.4D.1

【答案】A

【解析】因为当QO,)>o时，冷毒,可得a+y)G+d孙

又因为(x+))G+3堂,5e2器.,5=9,

当且仅当乙把，即产入时，等号成立，

xy

可得加W9,所以实数机的最大值为9.

3.若存在x£(0,2］,使不等式加-2x+3a<0成立，则实数。的取值范围是()

A.«<—B.OWaW，

37

C.aWDJ

37

【答案】A

【解析】当x£(0,2］时，由加-2x+3〃<0,

可得6/(^2+3)<2X,由题意得，

\X+3/max

因为磊穹期哼

当且仅当A-^(0<V^2),即产旧时，等号成立，

所以当x£(0,2］时,需的最大值为今，

故"咚

4.(链接教材，人枚A版必修第二期P55阅读与思考)中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，

即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=yjp(p-a)(p-b)(p-c)

求得，其中p为三角形周长的一半.己知△A8C的周长为⑵c=4,则此三角形面积最大时，A等于()

A.30°B.45°

C.60°D.90c

【答案】C

【解析】由题可知a+b=8,c=4,〃=6,

则S=/6（6—a）（6—b）（6—4）=J12（6—a）（6—力）<皿X6一°；6一”二4百,

当且仅当a=b=4时取等号，

所以此时三角形为等边三角形，故A=60。.

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

5.（2026・常州模拟）已知点P是△A8C的中线BD上一点（不包含端点）且而r而+）厉？，则下列说法正确

的是（）

A..x+2y=lB2Y+.V=1

C2+4，22或D.O三的最小值是9

xy

【答案】ACD

【解析】由题意可设丽之前（04<1）,

则而二而+乔二而+九丽

=AB+A（AD-AB）=（\力而4AC,

因为而二式而+v彳下，

（1—A=x,

所以卜则x+2y=l,且x>0,y>0,A正确，B不正确；

《=y，

2A+4'=2'+22V22V2%+2y=2企,

当且仅当x=2y=1时，等号成立，C正确；

又冷G+飘诩）

=1-4血+空25+2怪•”=9,

XyyjXy

当且仅当§岑，即广沟时，等号成立，D正确.

6.已知A>0,y>0,且2x+y=1,若^^Wx+2y恒成立，则实数v的可能取值为（）

A.-B.-C.3D.—

2816

【答案】ABC

【解析】由x>0,y>0,得处>0,

巴gWx+2），恒成立，

m-l

即2w匕豆三+工恒成立，

m-lxyxy

又3+匕仁+工）（僦+）,）=5口三

xy\xyJJxy

25+2空•空=9,

4xy

当且仅当户），三时，等号成立,

故,<9,即』--9二卫飞0,

m-1m-lm-1

((m-l)(-8m+9)<0,

即bn-1/0,

解得m<I或

8

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.若正实数x,y满足x+）=2,且专2M恒成立，则M的最大值为.

【答案】1

［解析］•正实数x,y满足x+y=2t

••为二彳二1,当且仅当入=）=1时，等号成立，・,•点2,

又恒成立，即M的最大值为1.

xy

8.已知函数人t）=a『+2r+〃的值域为［0,+°°）,其中心/?,则今昔-的最小值为

【答案】2V2

【解析】函数4i)=a*+2x+6的值域为［0,+°°),

令itr+2x+/?=0,

A=4-4ab=0,/io八七t、j,八

则有、八即Hn出?=1,且a>0,所以。>0,

a>0,

大cob,所以4-力>0,

a2+b2_(a-b)2+2ab•2

所以=3如+力

a-ba-b

1g（ai）=2也

当且仅当=在，且必=1,

即白上竽，尻渔第时等号成立,

所以注的最小值为2企.

a-b

四、解答题（共28分）

9.（13分）（2025・武汉模拟）已知x,y都是正数，旦芳=1.

⑴求2x+y的最小值；（6分）

（2）已知不等式总+2），氏（3%+2»恒成立，求实数X的取值范围.（7分）

【解析】(1)由题意知x>0,)>0,

则2x+y=(2x+y)(^+

-2x_2y

y~X9

当且仅当2+乙=1即％=产3时取等号,

xy

lx>0,y>0,

此时2x+y的最小值为9.

(2)方法一由题意知［号箸

min

因为尸M,x-2>0,

(3x+2y)2(3x+急)[(3X-4)2

所以

x+2y—X+总一X-

」3①-2)+2］=9(六2)+」"+12

22小(。-2).312=24,

当且仅当9(.2)=」；，即/4时，等号成立.

X一乙5

所以2W24,即2的取值范围为(-8,24］.

方法二由4得x+2y=x)>0,又Z(x+2)，)W(3x+2y)2恒成立,

xy

所以2W［史誓］,

LA2y4in

(3x+2y)2_(3x+2y)2_942+i2xy+4y2

因为

x+2yxy

年扣22212=24,

当且仅当工+2产孙>0,且詈子，

即x=*尸4时等号成立.所以AW24,即％的取值范围为(-8,241，

10/15分)(2025・曲靖模拟)某村原有一块矩形AACO场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需

求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成•个更大的矩形场地AEGF为了不影响原有的锻炼环境，建

造时要求点8在AE上，点。在A尸上，且对角线E/经过点C,如图所示.已知A8=16m,AD=\