高一预习人教A版高中数学必修一：对数

01思维导图与题型归纳

02基础知识梳理

知识点一、对数概念

1、对数的概念

如果片=N(a>(),且awl),那么数b叫做以。为底N的对数，记作：log“N=Z?.其中。叫做对数的

底数，N叫做真数.

知识点诠释：

对数式kg“N=b中各字母的取值范围是：〃>0且awl,N>0,bwR.

2、对数log”N(。>0且。¥1)具有下列性质：

(1)0和负数没有对数，即N>0；

(2)1的对数为0,即log。1=0；

(3)底的对数等「1,即log/=l.

3、两种特殊的对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，log。N简记作］gN,以是一个无理数，e=2.7182…)为

底的对数叫做自然对数，log,N简记为InN.

4、对数式与指数式的关系

由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系

可由下图表示.

指数式对数式

指数对数

事真数

I|

ab=NlogN=b

Ia|

底数

由此可见〃，h,汽二个字母在不同的式子中名称可能发牛变化.

知识点二、对数的运算法则

已知log“M,log“N(。>0且。/1,MNN

(1)正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；

log。(MN)=log,,M+log。N

推广：log“(2MNj=lo凡M+log“M++log“M(M、M、、M>0)

3

（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数;

M

logu-=log<jM-log(i/V

（3）正数的募的对数等于幕的底数的对数乘以哥指数;

log”M“=alog<(M

知识点诠释:

（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能

成立.

（2）不能将和、差、积、商、幕的对数与对数的和、差、积、商、幕混淆起来，即下面的等式是错误

的:

log„(M±N)=log“M±log“N,

logu(M•N)=log“M•log“N，

MlogM

I*------u---

Nlog“N

知识点三、对数公式

1、对数恒等式：

ab=N]ni=N

2、换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在心0,a4,M>0的前提下有：

（1）log„M=log,,Mn（〃eR）

令log“M=b,则有即=即）=log/AT,即：log,,M=log“".

（2）log,M=1Og（M（oO.c^l）,令logaM=b,则有c/=M,则有log,M=log,A/（c>O,cwl）

log,。

即b-loga=log（M,即〃="自知,即log”MJ。—"（c>0,cH1）

c

logt.alog,“

当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性.而且由

（2）还可以得到一个重要的结论：log/=—!—（〃>0,。工1,〃>0,/?工1）.

4

03题型精讲举一反三

题型1:指数式与对数式的互化应用

例1.将下列指数式改写为对数式：

⑴36=729;

(2)2'=4096;

⑶2『二2；

、8J4

--1

⑷643=，

4

【解析】(1)V=N(。＞0且"1)化为对数式是log.N=〃，

所以36=729化为对数式是log.729=6；

(2)「212=4096,••.对数式是log?4096=12；

(3)-(幺¥=2,.•・对数式是1咤”5=,；

I8J4743

(4)・J643=L.•.对数式是log"；"；.

443

例2.将下列对数式改写为指数式：

(l)log381=4；

⑵lg100000=5：

⑶1面=3;

(4)log.625=-4

【解析】(1)由log^l=4得81=3。

(2)由1g100000=5得］()5TQOOQO

(3)由1启=3得

⑷由%625=-4得625/斤

例3.将下列指数式改写为对数式：

(1)2,0=1024；

(3)IOY=0.0001：

5

(4)1.24=2.0736.

【解析】(1)由严=1024得1。=1鸣1024.

(2)由『、=27得一3=l°gJ7

(3)由10<=0.0001得-4=怆0.0001.

4

(4)由1.2=2.0736得4=logl22.0736.

变式1.将下列对数式改写为指数式(〃>0,且〃壬1)：

⑴】oga12=2；

(2)logam=-2；

⑶四“(4+1)=血：

⑷bg“2a=-\.

【解析】(1)因为log,12=2,所以a?=]2.

(2)因为log“〃?=-2.所以

(3)因为loga(a+l)=J5,所以/=〃+1.

(4)因为log02a=-1,所以〃T=2a.

变式2.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式:

(1)23=8;

⑵ICTOOOOO；

(3)3*=7;

(4)log232=5；

⑸晦$=-3;

(6)logv/?=2.

【解析】(1)因为析=8,所以1%8=3

(2)因为105=100000,所以log/00000=5

(3)因为3，=7,所以log37Mx

(4)因为k)g232=5,所以2’=32

(5)因为1叫1=-3,所以3T=1

(6)因为log/=2,所以x2=Z?(x>0且xwl)

6

题型2：对数的概念与定义深度解析

例4.对数1。&川）（5-。）中实数。的取值范围是（）

A.（-oo,5）B.（-3,5）C.（-3,-2）kJ（-2»5）D.（-3,+cc）

【答案】C

5-d>0a<5

【解析】由题<〃+3>0=«〃>一3=。6（-3,-2）5-2,5）.

［。+3工1a工-2

故选：C.

例5.（2026•高一•贵州贵阳•阶段检测）使式子log.T）（2-x）有意义的x的取值范围是（）

112

A.x>2B.-<x<2C.一<x<2且XH-D.x<2,

333

【答案】C

3.1>0

12

【解析】由式子log（”f（2—x）有意义，则满足3X—1/1,解.得,<x<2且x工不

2-x>0'

故选：C.

例6.给出下列说法:

①零和负数没有对数；

②任何一个指数式都可以化成对数式；

③以10为底的对数叫作常用对数；

④以e为底的对数叫作自然对数.

其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】零和负数没有对数，命题①正确；

（一1『=1，不能写成对数式，命题②错误，；

以10为底的对数叫做常用对数，命题③正确：

以e为底的对数叫作自然对数，命题④正确：

故正确命题是①③④，

故选：C.

2

变式3.（2026•高一•江苏南通•阶段检测）已知对数式—有意义，则〃的取值范围为（）

f4-67

A.（-1,4）B.（-1,0）J（0,4）

7

C.(T,0)1(04)D.(-4,1)

【答案】B

4+1>0

9

【解析】由logm用匕有意义可知・。+1/1,解得一1<〃<4且"0,

-^->0

4一〃

所以。的取值范围为（TO）.（0,4）.

故选：B

变式4.使log“（2-3a）有意义的实数。的取值范围是（）

A.(1收)B.(O,1)L(I,-H»)

C.I)D.

【答案】C

。>0

2

【解析】由题意知"I,解得0＜。＜,，所以实数a的取值范围是.

3J\3）

2-3〃>0

故选：C.

题型3：积、商、幕的对数运算法则应用

例7.（2026•高一•山西忻州•期末）计算：（c2）°Ic,n421g5lg4=

【答案】3

(e-2)°+e,n4-21g5-lg4

=l+4-(21g5+Ig4)

=5-(lg52+lg4)

【解析】=5-(lg25+lg4)

=5-lg(25x4)

=5-lgl00

=5-2

=3

故答案为：3.

例8.（2026•高一•四川绵阳・期末）计算：］og32.1og,9+＞/Jx44=

【答案】4

2

【解析】Vlog32.log29=log.2.log23=21og32.log23=2^=2,

In3In2

8

^x44=22x2'4=222=2=2,

4

logs2log29+>/2x4=2+2=4•

故答案为：4.

2

例9.（2026-高一-新疆乌鲁木齐-期末）813-e,n,+lg4+lg25-7los,2=

<27>

【答案】：

-2

2@4x25)—2=(|

【解析】原式=-e°+-1+lglO2

13〃44

故答案为：7

4

变式5.（2026•高一・广东深圳-期末）计算:

【答案】-g/-0.5

[

【解析】由题,停j_2"—怆2=(2-3)-(1g同+1g2)=2尸'-lgl0=-^-

故答案为：-万

1二

变式6.（2026•高一•北京•阶段检测）计算：-lgl6+273+lg50=

【答案】11

【解析】原式=怎2，）+（31+尼（52、2）

232

42

lg(2)4+33+ig5+lg2

=lg2+32+21g5+lg2

2(lg2+lg5)+9

=2+9=11.

故答案为：11

2

tog4

变式7.^y+3'-jlog281.log272=

32

【答案】y

9

【解析】原式=二幽隼二+二型2=3JL工.

UjJ3lg2Ig279331g3999

32

故答案为：y.

题型4：对数恒等式的基础应用

/12

例10.(2026•高一•湖北-期中)计算：111的结果为.

2

【答案】j

lo

1lJ：32)

【解析】依题意，让广*2=3%"=^_=£.

333

l,,g2

例11.(2026•高一・浙江-期中)求值：3'+logI24-iog36=

3

【答案】3

【解析】IM^=2+logrl2+log36=2+log36-log32=24-log31=2+l=3.

乙

例12.(2026•高一•湖南衡阳•阶段检测)已知工＞0且hu=2,则/2+心5=

【答案】29

【解析】因为12=2,所以x=e2,

所以/2=卜2r=卜吁=22=4,

x,nS=(e2)，n5=(eto5)2=52=25

”+”=4+25=29.

变式8.(2026•高一•陕西宝鸡•阶段检测)设函数/(刈=17‘，则/(log〃18)的值为

【答案】18

【解析】因为/(x)=17"则"1。&718)=17喻J18.

变式9.(2026•高一•湖北黄石•阶段检测)10&36+怆8+3怆5+»&9=

【答案】y

【解析】原式化为陛3£+1g2?+31g5+2y

、+3(lg2+lg5)+2^

10

,ogl5

变式10.（2026•高一•江苏南京•期末）计算：3+（0.125p+log2^=，

【答案】年/8：

JJ

【蟀析】3%s+(0.125)1+log2更=5+52^--2)6

+log—=5+83+log23-log2=5+4+--1=—

2222233

故答案为：—.

变式11.（2026•高一•陕西渭南•期末）3^2+（1-71）°=,

【答案】3

【解析】因为3喝2=2,（1-7：）°=1,所以3幅2+（］一兀）°=2+1=3.

故答案为：3

题型5：换底公式的灵活变形与运用

2

例13.(2026•高一•湖北武汉•期中)己知2?“=5，1%3=23jjli]4^=()

25

A.5B.25D.—

9

【答案】D

【解析】因10^3=^2,3=1^,3=2^,

得log,3=6b,则26b=3，又2〃=5,

42a-6b_(22产-6〃=4«-12/,=(2)=二="

2

\)(2)329

例14.（2026•高一•广东深圳•期末）已知log'〃+log/,。：:，一=。",当〃>〃>1时，则（)

2ab

A.-7B.；C.1D.—

424

【答案】D

【解析】因为log“〃+log〃a=log,/+7^7=5,所以log“〃=2或;.

Iog“b22

因为力所以log“〃>l,所以log“力=2,即为=b①.

所以所以。=2。②.

由①②得：〃=2,6=4.

,,1I3

所以一+：=：.

ab4

11

故选：D.

21

例15.(2026•高一•内蒙古呼和浩特•期末)若3,=4、=6,则一+—=()

xy

A.6B.3C.2D.1

【答案】C

V

［解析］由3'=4=6可得x=lo&6,y=log46,

2I2+1……

可得-+-=----；----=21og03+log04

xylog；6log46

=21og63+21og62=21og66=2.

故选：C

（2026•高三•湖南•阶段检测）已知〃>0*>（）,疝=』+?，则1

变式12.1-----7+-―-的最小值为

ablog。2log,2

)

A.3B.2c.75D.1

【答案】D

囚为a>0,Z?>0,\［ab=—+—,所以Jab='+'22J—.cibN2,当且仅;与a==时取等

【解析】

ahab\ab

r，

l

---------1----------=log20+log：h=\og2(ab)>log,2=1.

嗨2log。2

故选：D.

变式13.（2026•浙江金华•一模）已知e+=则。=（）

1。与uIOg27U。

A.3B.9C.27D.81

【答案】C

【解析】-r-+-^―=,og«9+lo-27=,o§-35=

log9alog27a3

所以，=35,则笳=(3$y=275,解得“27.

故选:C.

变式14.(2026•高三•四川广元•阶段检测)若log的+log»=与，，=〃“，则而=()

A.3B.6C.9D.10

【答案】C

二log.aJ

【解析】设，=1。乳"由换底公式可得log/，一噫b~t

12

所以'+:=墨解得，=3或,

由「题干中〃地位等价，不妨设，=log,*=3,

则h=a\代入ah=ba可得＞=（，）a=个,

由于〃在对数的底数上，所以。＞0且。工1,

由了="单调可得"=3〃，解得0=6,

贝ij必=1=9.

故选：C.

变式15.（2026•宁夏吴忠・一模）若而。W0,且3“=4"=6‘，则（）

111c122

A.-=—I—B.一=-H—

cabcab

八221c212

cabcab

【答案】C

【解析】设3"=4'=6'=，，则〃=1。83/力=1。84，,。=1086，，

11_lg311Ig411Ig6

0""==,'==9==

alog3/lg/blog/lg/clog6/lg/'

A.LL里+出巫」

A错误.

abIgrIgrlgrc

2।2_21g3।21g421gl2.1

B错误.

abIgrigrIgrc

c.2+_L=些+理=^11=鲤=垩=2,c正确.

abIgzIgrIgrIgrIgrc

2

D.l+2=lg3+21g4jg（3x4）=ig48^21g6=2tD错误.

abIgrIgrIgrIgrIgrc

故选：C.

题型6：基础对数方程的求解方法

例16,(2026•高一•上海松江•期中)甲、乙两人解关于4的方程：log/+b+dog,2=0,甲写错了常

数b,得两根;，乙写错了常数c,得两根;，64,则这个方程两个真实根的和为_________.

482

【答案】12

【解析】原方程可变形为：log"+9。g2-i+c=。，可看作关于log2X的一元二次方程，

•・•甲写错了0,得到根为;及:，.•.c=lo&Jxlog2：=(—2)x(—3)=6；

4K4o

13

又•「乙写错了常数C,得到根为;及64,.•.b=-（log2；+log264]=-5；

1、乙）

原方程为log；x-510g/+6=0,gp(log2x-2)(log2x-3)=0,

.,.log2x=2nJclog2x=3,.'.x=4®8.

所以这个方程两个真实根的和为4+8=12.

故答案为：12.

例17.（2026・高二・上海・期中）方程1。酸工=】（/h1。4》的解集为.

【答案】｛1,局

【解析】已知：1。&工=1%工“。当》，根据换底公式可得：瞿=骼黑,

Igo1gDIgz

化简得：岩=黑黑，约分整理得:3（lg.t）2-lg51gx=0,即：lgx（31g^-lg5）=0,

31g2Ig5Ig2

因此可得：lgx=0或lgx=殍=lg*,即：1=1或上=盯.

故方程的解集为｛1,四｝.

故答案为：｛1，痣｝

例18.（2026•高一•上海松江•期中）若方程/+月/26+1。/3=0的两根为。、B，则

【答案】36

【脩析】因为方程月十月华26+1/23=0的两根为a、n，由韦达定埋可得。+尸=-log?6,

（

/1/1、2A/.、2a+。）z.\-2hg26

喟・出吧=2f.

故答案为：36.

变式16.方程1%（9'-4）=丹1的实数解为.

【答案】log.4

【解析】由1陶（9'-4）=.丫+1,得log3（9<4）=bg33M,

所以974=3川，即（3'丫-4=3・3）

即（3'-4）（3'+1）=0,所以3，=4或3、=一1（舍去），

所以xulogj.

故答案为：log.4.

变式17.（2026・高一・上海杨浦・期末）方程32'-3川+2=0为解为.

14

【答案】x=0或1呜2

【解析】令3'=，，

则方程化为“-3f+2=0,

解得,=1或.=2,

即3』或3,二2，

故答案为：x=0或1吗2.

变式18.（2026•高一•广东惠州•期中）记;1=0.125?+Ig2+lg2-lg5+（lg5『，则关于*的方程

4T+2x+,-A=0的解集为

【答案】｛0｝

【解析】因为义=0.125一3+Ig2+lg2xlg5+(lg5)2=+Ig2+lg5x(|g2+lg5)

=85+lg2+lg5xlg10=(23)5+lg2+lg5=2+1=3*

所以方程4'+2川一4=0可化为4'+2川一3=0，

令I=2'（f>0）,则甲+2川-3=0可化为『+2"3=0，解得1=1或，=一3（舍去）,

所以2、=1=2°，故工=0，

所以方程4'+2r+,-2=0的解集为｛0｝.

故答案为：｛（）｝.

题型7：利用已知对数表示目标对数式

例19.已知Ioga2=。，log,7=/?,试用表示log28《■为

O

2b-3a

【答案】

2a+b

【解析】vlog.2=aflog37=/?,

49

49_吗9_1呜49-log；8_210g37-31og，2_29-3。

8log328log34+log3721og32+log372a+b

故答案为:

2a+h

例20.（2026•高一•湖南娄底•阶段检测）已知2“=3泊=log?5,则log35=［用。力表

示）.

a+b

【答案】

3

15

【解析】因为2"=3,所以〃=10g23,

log215_Iog23+log25_a+b

所以1呜15=

3

log28log223

故答案为：空

例21.（2026•高一・上海・期中）已知lg2=〃z,lg3=〃,则用，"、〃表示logs12

【答案】学士

1一，〃

2m+n

l-lg2I-///

山田-、，〃

故答案为：k2”?+

变式19.（2026•高一・上海•期中）已知lg2=〃,10"=3,用a〃表示log[/。=

\+2a

【答案】

b+2a

【解析】因为lg2=a,吁=3,所以b=lg3,

”.‘八lg40lg!0+lg4l+21g21+2。

所以log「40=二一=3------匚=------J=------,

12lgl2Ig3+lg4"21g2b+2a

所以用a,吐示喻4°=悬

故答案为：疗1+9//

b+2a

变式20.(2026•高一•上海•期中)已知lcgix9=a,5fr-18,则log/5=.（用含“、〃的式子表

示）

ab+2

【答案】

2b

fr

【解析】logl89=d=>logls3=^,5=18=>log518=Z>=>-=logIlt5,

ab+2

所以log/5=log18(3x5)=IogI83+log/5=£+3

2b

故答案为：筌

变式21.（2026•而一♦江苏淮安•期中）已知lg2="，®5=b,则1（^3二（用含有。，力式子

表示）.

■5、a+b—1

【答案】--------

【解析】因为联5=为3+嗟=坨3+1-42,所以lg3=a+b-l.

16

Ig3a+b-\

1嗝3=*=-----------

lg2a

a+b-l

故答案为:

题型8：常见对数恒等式的推导证明

例22.（2026•高一•陕西西安•阶段检测）（1）18世纪，瑞士数学家欧拉发现指数与对数的联系，他指

对数源出于指数”.为了计算对数的方便，常运用换底公式将代数式中不同底的对数化为同底的对数.

①请写出对数的换底公式：

②请依据对数的换底公式证明log<rb”=£log,/（a,b>0,a*1,/z^O）.

（2）请分别计算下列两小问中x,y的值：

（l）log251og57-Iog716=x；

②实数。，力满足3a=4〃=12」+：=）,.

ab

【解析】（1）①对数的换底公式：log3仇c>0"c=l）；

②log,〃"=:吗"”==2log“b（a,b>0M工\jn+0）；

log"团1%am

（2）@x=log25log57logJ6=log25^^-^-!^=log216=4.

log?5log27

②因为3"=4"=12,则a=logal2,〃=log412,

所以y=’+[=7^77+^77=1呜23+1鸣24=Iogi2（3x4）=log|212=1.

ablog312log412

例23.（2026•高一•山东济宁•阶段检测）设。=lg2力=lg3.

（1）求（a-b）o+216§x1。…的值；

⑵在1/18。-75=”^与log“48=*当这两个等式中，只有一个是正确的，请指出这个正确的等式是哪

a+2ba+3b

一个并加以证明.

【解析】（1）因为〃一力工0,所以（4-切。+216八1（）-小=1+6吗、10-（3）

=1+62X10186=1+62X10，S^=1+36x1=7.

6

（2）正确的等式是log.48="乎.

a+3b

理由如下:

17

4〃+141g2+lg3lg2“+lg3lg（2,x3）_吆48=砧.48

a+3bIg2+31g3Ig2+lg33lg（2x33）lg5454，

例24.（2026-高一•江苏•阶段检测）已知正实数x,），满足33』=42=12.

⑴比较x,y,1三个数的大小;

53

⑵求一十一的值；

%y

（3）证明：3x+5.v>4.

2

【解析】（1）由3*"=12,且32<12<3，知2<3x<3,即5Vx<1.

i7

由4”=12，且41<12<甲，知］<5yv2,即《<）,<二.

综上可知）YX<1.

（2）由33r=45>=12,可得3x=bgJ2，5y=log412,

I3,-15

则一='；-^=3k）g|23,-=--=51og124,

Alog312,log/2

S3

因此,-+-=15（logl23+logI24）=151og12I2=15.

x）'

5311

（3）证明：由（2）知一+—=15,即丁+丁=1,

xy5x5）

则3x+5y=（3x+5y）（5+（卜+琮+番2+2焉j=4.

变式22.（?026.高一-福建龙岩-阶段检测）阅读下面材料：

由于，、优二/"无。〉。），

设〃"=M（M>0）,a"=N（N>0,①

于是MN=②

根据对数的定义，由①得〃?=log1M,〃=log“N,③

由②得log“（MV）=〃z+〃④，

把③代入④得log,（MN）=\ogaM+loga7V.

M

⑴仿照上述过程，证明：log“F=log/W-log〃N；

⑵已知2“=3=«,求：的值.

ab

（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（1）中的结论）

【解析】（1）由①知：log“N=log“J=log""T=/〃-〃，

Na

18

ivl

将③代入上式，有logaT7=log〃M—log〃N,得证.

N

1log)2,r1log、31.

(2)由题设，-=-~~W=l°g#2,-=-~~下=1。。3,

v

alog2V6blog3V6

所以T+:=logG2+1og#3=1og«6=2-

变式23.(2026-高一•陕西安康・期末)某人工调控的河流的河道容量上限。可以用如下公式测算:

R

O=Wxlog,(l+=),其中W是河道宽度，R是平均径流量，E是平均蒸发量.

E

⑴若初始情况下q=31,在不改动河道宽度的前提下，要使。扩大20%,求《应控制的值；

EE

⑵己知径流量〃=4+凡，证明：D=Wxlog2(l+^-)+VVxlog2(l+-^-).

bC+A.

【解析】(1)当'=31时，D=Wxlog,(l+31)=5W,力扩大20%,即5Wx(l+20%)=6W,

E

RRRR

因此6W=Wxlog,(l+不)，即log,(1+不)=6,则1+个=26,所以j=63

EEEE

(2)当R=%+凡时，£>=WxlQg,(l+4+.),

E

而Wxlog2(l+[)+Wxlog式1+昌■)=卬噫[(1+冬(1+昌>)],

EE+R[EE+R]

又崂)。+R?)=]+旦+R2+&&=\+N(七+凡)+E&+凡&

E+&E£+弋E(E+R)E(E-RJ

I+ER]+R；+ER->+N凡]+E(R\+R)+&(N+&)[+K+R

+E(E+RJ-+E2(E+RJ-+E

所以W*晦。+3+W'g"备)=必叫。+等i,即原等式成立.

变式24.(2026•高一•江苏徐州•期中)我们知道，十进制中的任何一个正实数上都可以表示成

x=6/xl0n(l<«<10,/tGZ).当〃20时，fSxlO")等于x的整数部分的位数；当〃<0时,

/(〃X10")=T?.例如〃1.02xl0)=2J(1.02xl(r2)=2.

(1)^/(1.02X102),/(1.02X10-'),并写出f(ax10")的表达式(不必写出过程)；

(2)若j=2@,且取lg2=0.301,求〃,。以及/(〃xl(T)；

⑶已知无wN",猜想：/(2*)与/{2一)的大小关系,并证明你的结论.

【脩析】(1)依题意，/(1.02X102)=3,/(1.02X10-')=1,

当〃20时，axlO"整数部分的位数为〃+1，当〃<0时，axlO”的非有效数字的位数为一〃,

n+\,n>0

所以f(axlO)=<

—n,n<0

19

(2)由‘=2侬,得lgx=1001g2=30+0.l,则工=103°」=10。葭1()3°,

所以。=10°」，/i=30,/(axlO3°)=31.

(3)猜想：/(2*)=/(2-*),

当AwN'时，2A为正整数且不可能是1。的倍数，

因此存在mwN,使得l(r<2/<10",此时/⑵)=,〃+1，

而10""包<2"<10由，因此/(2")=机+1,

所以/(2«)=/(2-“).

题型9：对数运算的综合题型解析

In2025-P2

例25.求值:+27§+log256.25-log427-log32.

In2025+1,

In2025-T

【解析】e,n2+3

+27+log256.25-log427log32

In2025+1>

h12025-耳+(3$+[252_lg27_1g2

=2+

In2025+1)।)侬.]g4|g3

325

=2+l+9+2--=—.

22

例26.(2026•高一・贵州遵义・期末)计算:

'I、彳1£

(1)2-；

(2)dg2)2+(lg5)2+(l-lg5)x(lg25).

log83

(n-l)°=l,2=

•og48==

log242

所以？+(啦・布)^+(江一1)。一心阳8=。+?+1—2=3；

(4J22

(2)

(Ig2)2+(lg5)2+(l-lg5)x(lg25)=|ig2)2+(lg5)2+lgyx21g5=(ig2)2+(ig5)2+21g2xlg5=(lg24-lg5)2=l.

口一他

+0.252x,

例27.(2026•高一・广东・期末)(1)

，82

2°2-log32.1og49+lg2+-―-

Iog510

20

lgV27+lg8-lgx/i000

lgl.2

【解析】（1）由指数幕的运算公式，可得

4

TH-(g)+0.253x(一9=-4-1+(1)2X(V2)=-4-1+^X4=-3

又由对数的运算公式，可得:

2k*话—k>g321og49+lg2+^!^=T-Iog32xjj^+(lg2+lg5)=：—l+l=；

2

+0.25ix

河-出12)子一

所以6

log,大I

2吗・嘀+馆

-T292+.2

（2）由对数的运算公式，可得:

33333123

1g历+lg8_|gM6d_5怆3+3怆2-5_押3+2馆2-1)_如2_1)_”8历_”gl.2_。

lgl.2-ijL2-lgL2lgl.2lgl.2-lgl.2~2

变式25.(2026•高一・天津宁河-阶段检测)化简与求值：

(1)5-嗝2+噫3+噫信)+嘀32

⑵(log|2+砥2)(啕3+嗨3)

2

【解析】(1)5-^+log23+Iogj|j+log432

logs、5

2

=5+log,3+log22-log23+-log22

=4.

(2)(Iog32+log92)(log4