第十一章 第3节 二项式定理

第3节二项式定理

最新考纲1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开

式有关的简单问题.

I基础诊断回归教材，夯实基础

知识梳理

1.二项式定理

(1)二项式定理：3+〃)"=C%"+C腐门b+…+C4”一必'+…+eN*)；

(2)通项公式：7kl它表示第r+1项;

⑶二项式系数：二项展开式中各项的系数C2,G,…，C*.

2.二项式系数的性质

性质性质描述

对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即a=w

当女V2(〃WN")时，是递增的

增减性二项式系数C5；

当时，是递减的

二项式当〃为偶数时，中间的一项C,取得最大值

系数最

n-ln+l

大值当〃为奇数时，中间的两项CJ与C/取最大值

3.各二项式系数和

⑴①+与〃展开式的各二项式系数和：C2+C1+G+…+©=£.

(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即或+或+ci+…

=&+6+密+…=2门

［常用结论与微点提醒］

1.二项展开式共有〃+1项；各项的次数都等于二项式的事指数〃，等于。与方

的指数的和〃.

2.通项。门=(2历"］"是①+与〃的展开式的第攵+1项，而不是第攵项，这里2=0,

1,…，n.

3.区别m+份”的展开式中“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的

系数与小人有关，可壬可负，第A+1项的二项式系数是cs,只与〃和左有关,

恒为正.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“J”或“X”）

（l）CM〃r及是二项展开式的第Z项.（）

（2）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.（）

（3）（。+/?）〃的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.（）

⑷3+/炉某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式

系数不同.（）

解析二项式展开式中C历"是第k+1项，二项式系数最大的项为中间一项

或中间两项,故（1）（2）均不正确.

答案（1）X（2）X（3）V（4）V

2.（*—），）〃的二项展开式中，第6项的系数是（）

A.C7B.C2

CC尸D.（-1）〃「©尸

解析（X—3，）”展开式中第，〃项的系数为CJT（-1）加「

答案D

3.（选修2—3P35练习Al（3）改编）

借误!的值为（）

A.2B.4

C.2017D.2016X2017

92017

解析原式=22016-1=2?=4.

答案B

4.已知Q—O'的展开式的第4项等于5,则x等于（）

A.；B.-；C.7D.—7

解析由力=5,得工=一；.

答案B

5.（2018•石家庄调研）（l+x）〃的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n=

解析（1+外〃的二项展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以2+1=6,

n=10.

答案10

I考点突破呼拈彩PPT名师讲解分类讲练，以例求法

考点一展开式中的特定项或项的系数（多维探究）

命题角度1求二项展开式中的特定项

【例1一1】（1）（2016・广东卷）（/一=）6的展开式中，常数项是（）

n15

D•讳

解析(l)TE=Cg(x2)6—{-/y=(-¥o/f,令12-3r=0,解得，=4,・••常

数项为（-9%=得

4江

（2）二项展开式的通项公式为Tk+i=X3,

,_10—2k「))

由题意一—£Z,且0W4W10,ZWN.

人1°-243

令—则攵〃，攵一尹,

J7—=r(r£Z),10—2=3J=5

・・Z£N,・•・一应为偶数.

・•・/・可取2,0,-2,即2可取2,5,8,

•・.第3项，第6项与笫9项为有理项，它们分别为45善,

6345

8'256入,

答案⑴D（2）冬2,-y,悬二

命撅角度2求二项展开式中特定项的系数

【例1一2】(1)(2017・全国I卷)。+§(1+外6的展开式中『的系数为(

A.15B.20C.30D.35

(2)(2018•江西赣州十四县联考)若的展开式中前三项的系数分别为A,B,

C,且满足4A=9(C—B),则展开式中『的系数为.

解析(1)因为(1+月6的通项为所以(1+")(1+月6展开式中含f的项为l.d

।AXS

『和因为CW+&=2以=2X^77=30,

AZA1

所以(1+§(1+幻6展开式中*的系数为30.

(2)易得A=l,B=yC=错误!=错误!，所以有4=9错误!，即/一7〃-8=(),

解得〃=8或〃=—1(舍).在卜十日中，因为通项O+i=QL/(七)=错误！•

门「，令8—2r=2,得r=3,所以展开式中*的系数为H

答案(1)C(2溪

命题角度3多项式的展开问题

【例1-3](一题多解)(206仝国I卷)(x2+x+y)5的展开式中，禽2的系数为

()

A.10B.20C.30D.60

解析法一

含)2的项为73=Cg(x2+x)3•y1.

其中(f+x)3中含x5的项为CU4•x=C\^.

所以只尸的系数为C5Ci=3().

法二(f+x+y)5表示5个f+x+y之积.

.・.必),2可从其中5个因式中选两个因式取y,两个取X2,一个取其因此2)2的系

数为C支支1=30.

答案C

规律方法(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：

第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注

意二项式系数中〃和，•的隐含条件，即〃，7•均为非负整数，且〃2/，如常数项

指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项.

(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.

z\53

【训练11⑴(2018・长沙四县联考)已知卜&一向的展开式中含/的项的系数为

30,则实数。=.

(2)(2017-全国III卷改编)(x+y)(2x-y)5的展开式中AV的系数为.

解析(1)1。一用的展开式的通项为4+1=©(«)5「・卜卷y=

5-2r

(-4t)rCS•x2.依题意，令5—2r=3,得r=l,

.•・(一〃)|・Q=30,解得〃=一6.

(2)由二项式定理可得，展开式中含2),3的项为rN(Zr)2(一)，)3+yd(2t)3(-y)2=

4aty,则的系数为40.

答案(1)一6(2)40

考点二二项式系数的和与各项的系数和

【例2】在(2x—3»。的展开式中，求：

(1)二项式系数的和；

⑵各项系数的和；

(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

(4)奇数项系数和与偶数项系数和.

解iS(2x—3y)10=«(LV10+a}X9y+ai^y1H---Ftzio.y10,(*)

各项系数和为a()+aid---Faio,奇数项系数和为oo+a2H----Fso,偶数项系数

和为41+03+05+…+。9.

由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.

(1)二项式系数的和为C?o+Clo+**,+Cl8=210.

⑵令x=y=\，各项系数和为(2—3严=(—1严=1.

(3)奇数项的二项式系数和为CYo+Go+…+CI8=21

偶数项的二项式系数和为Clo+C?o+…+C?o=29

(4)令x=y=1,得到ao+m+。2T-----卜。10=1,①

令x=l,y=—1(或X=-1,y=l),

得的-4]+〃2-43d-----F«IO=510,②

①+②得2（QO+〃2+…+mo）=1+57

，奇数项系数和为巨尹；

①一②得2（。1+。3~1-----F〃9）=1—510,

1-

・,・偶数项系数和为.

规律方法（1）“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如（办+

与"，（加+法+c产m,/?£R）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，

只需令x=l即可；对形如（如+力）〃3,人CR）的式子求其展开式各项系数之和，

只需令x=y=l即可.

（2）若ytOnqo+sx+azfH-----Faod,则人工）展开式中各项系数之和为、«1）,奇数

项系数之和为。0+。2+。4+/"）+''~

,偶数项系数之和为41+。3+

2

./⑴-/（-I）

十…二

2

【训练2](1)(2018•岳阳模拟)若二项式(3『一；)〃的展开式中各项系数的和是

512,则展开式中的常数项为()

A-21CiB.27CJ

c—9c3D.9c3

(2)(1-3x)5=+〃|x+42X2+43X3+44X4+Q5X5,求|〃o|+11+\d2\+1。3|+1。4|+|i75|=

()

A.1024B.243C.32D.24

解析（I）令x=1得2K=512,所以〃=9,故（3寸一目的展开式的通项为77+i=

C§(3f)9一(一，=(—1)©・39"8-3「，令18—3r=0得r=6,所以常数项为Ti

=(-l)6C§-33=27Cl

(2)令x=—1得ao—0+42-43+44-45=|ao|+|ai|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=[l-

(-3)J5=45=1024.

答案(1)B(2)A

考点三二项式定理的应用

【例3】⑴设复数是虚数单位),则CloizE+CMowf+CSoiTxM-----FC28H

”=()

A.iB.-iC.—1+iD.—I—i

(2)(2018・临沂模拟)487被7除的余数为则a的值为.

解析⑴二：.、=-1+i,由于Cioivx+C5oij^+C^onx3

1—1(1—1)(l+i)

H-----FC刑便37=(1+X)237—1=(]—i+02017—1=[2017-1=一].

(2)487=(49-1)7=C9497-CU96+•••+C9•49-1,由于C9497，Cl496,C949

都能被7整除，所以48丁被7除的余数为一1+7=6,即。=6.

答案(1)C(2)6

规律方法(1)逆用二项式定理的关键是根据所绐式的特点结合二项展开式的要

求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.

⑵利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将

被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论.

【训练3](1)(2018・银川模拟)C+2a+4或+…+2〃一©等于()

A.3"B.2・3"

3〃3”-1

C.y—1D."z-

(2)(2018・新乡模拟)使得多项式8比4+108/+54/+121+1能被5整除的最小自

然数1为()

A.IB.2C.3D.4

解析(1)以+2或+4久+・・・+2〃飞闫0+2&+22或+・・・+20-,=*1+

2)〃~2=2'

(2)81d+i()8x3+54.F+12r+l=(3x+l)4,所以上式能被5整除的最小自然数为

x=3.

答案(1)D(2)C

课时作业分层训练，提升能力

基础巩固题组

（建议用时：25分钟）

一、选择题

l.(x-l)5+5(x-l)4+10(X-1)3+10(X-1)2+5(X-1)=()

A/5B.X5—1

Cf+1D.(X-I)5-1

解析逆用二项式定理，得原式=[(X-1)+1]5-1=/一1.

答案B

（1\n

2.设［5.v-求J的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为M若M-N=

240,则展开式中含xH勺项为（）

A.500.VB.150xC.20xD.5x

解析由已知条件4〃-2〃=24（）,解得〃=4,

4｛一左J=（7万飞我4音,

7；+I=C5(5X)-

令4—2=1,得厂=2,。=150乂

答案B

3.已知（l+x）〃的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式

系数和为（）

A.29B.210C.2"D.212

解析由题意，CJ=C?,解得〃=10.则奇数项的二项式系数和为2〃一1=29.

答案A

Cr

丁〃的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展

4.（2018•上饶模拟）在2

W

开式的常数项为（）

A.-7B.7C.-28D.28

n（—x—1、08

解析依题意有2+1=5,.・.〃=8.二项式12患的展开式的通项公式A+i=

C旷余，令8—3=0得攵=6,故常数项为r=（一1唱C&=7.

答案B

123n

5.已知C2+2C,,+2CJ4-2C^+•••+2C?t=729,则G+C升或+…+C4等于

()

A.63B.64C.31D.32

解析逆用二项式定理得C9+2C4+22或+23&+…+2"。；=(1+2)〃=3〃=729,

即3〃=36,所以〃=6,所以C4+G+G+…+0=26—以=64—1=63.

答案A

6.若(1+x)+(l+x)2-j---6(1+x)”=4o+〃l(l—工)+。2(1-x)2+,,•+an(1—X)n,则

a。一。|+。2-…+(—1)"。〃等于()

解析在展开式中，令x=2得3+32+3，+…+3"=的-41+02—43+…一（一

3（1—3”）3

1）“。"，即制一。|+。2-43-1----F（―1）“斯=匚三=g（3〃-1）.

答案D

（1中

7.（2018•石家庄调研）在质一3j（〃@N*）的展开式中，所有项系数的和为一32,则

一的系数等于（）

A.360B.-360C.270D.-270

（1〉

解析在住一3）中，令工=|可得，其展开式所有项系数的和为（一2）〃=—32,

则〃=5,则（左一3）’的展开式的通项为。+i=C（君5[―3『令5一厂=2,可

得，・=3,所以展开式中J的系数为一270.

答案D

8.若（1+x+f）〃=ao+aix+a2x2-l---FsA”,则G+G+OI-I-------FG”等于（）

y-i3〃+i

A.2〃C.2〃+1ID.—

解析设段）=（l+x+『）〃，

则＜l）=3"=ao+ai+a2H----Vain,①

1-1）=1=。。—。|+。2-。3-1-----\-ain,②

由①+②得2mo+〃2+aiH----F〃2〃）=/U）+y（—1）,

所以制+/+四+…+而」.⑴+9一）=?.

答案D

二、填空题

9.（2017.山东卷）己知（1+3x）〃的展开式中含有x2项的系数是54,则〃=.

解析（1+3%）”的展开式的通项为77+i=a（3x）「，令r=2,得T3=9C众由题意

得9c需=54,解得〃=4.

答案4

5

10.(2018•豫南九校联考)已知m=2r^cosL+yjdv,的展开式

Jo

中x的系数为（用数字作答）.

二项式（『一）的展开式的通项为

解析由题意得m=2J"cos(x+不Jdx=—2,

77+1=0051)(一3-=(-2)「・0・”一3:令io-3r=l,得〃=3,・••展开式中x

的系数为-80.

答案一80

11.若将函数人工)=2表示为«X)=Q)+ai(l+x)+〃2(l+x)2T----卜3(1+x)5,其中

40,a\,。2,…，。5为实数，则43=(用数字作答).

解析Ax)=x5=(l+x—I)5,它的通项为77+i=CS(l+x)5"・(-1)£,令5—%=3,

则左=2,所以乃=Cg(l+x)3(—l)2=10(l+x)3,・・43=10.

答案10

12.（2018•太原二模）（2x+5一l）的展开式中常数项是（用数字作答）.

解析3+4/=叵+%『

=.(―1)+(2回5

的展开式中通项公式：7；+i=C§(—1广｛2E+91

其中(2x+j'的通项公式：

Tk+1=C£(2x)L(£)"=2厂9y一20

令r—2A=0,则/=(),r=()；k=l,r=2；k=2,r=4.

因此常数项为C?(—1)54-C?X(—1)3X2XCl+CiX(—1)X22C3