解三角形【21大常考题型】（原卷版）-2025-2026学年高一数学下学期（人教A版必修第二册）

解三角形【21大常考题型】

I题型归纳•内容导航I

题型1余弦定理解三角形：题型12三角形中线问题（重点）

题型2正强兔捶解=扁形..................:南型彳3M鬲舷高的向霞（■点）...........

窗型3定表:泰森兔福线含廨三备舷（■甫厂］逅型彳鬲形鬲分线的间海（重点）......

题型4判断三角舷解而不数（易错点）题型15多=角弦戢西迈舷问题（难点）

感型5录=鬲影外接面平荏麻型彳6解三鬲舷曲范函写最值词函（凝点）

面型6攵笛五花（重点）....................，面型彳7距离胸・问题

题型7倒断三角形形状（重点）.............j题型18高度测量问题

窗型8求三角形周长（常考点5...........................；面迥布隔度谢■间窗....................

题型9求三角形周长的最值（范围）（常考点）题型20解三角形写同■的融合...........

题型而三角形面积公式及应用（常考点5........:藏画21解三角形大题汇编（重菽5..................

题型11源=隔形而射的基值（括画）（童版）…1

［题型通关•靶向提分1

题型一余弦定理解三角形（共4小题）

1.（25・26高一下•广东•月考）在△力4C中，若48=1,AC=5,BC=36，则8=（）

A.30'1B.45°C.1350D.150°

2.（25-26高一上•北京东城•期末）在△力8c中,若4=120。，AB=5,BC=7,则/C等于

（）

A.8B.6C.4D.3

3.（24-25高一下•江苏南通•期中）在△/出。中，若（4+b+c）（""c）=ac,则8=（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.（25-26高一下•云南曲靖•月考）在△月8C中，角4B,C所对的边分别为a,力，c,且

4

。=3,6=5,sinC=—,则。=.

题型二正弦定理解三角形（共3小题）

5.（25-26高二上•内蒙古锡林郭勒期末）在ZUZ?。中，设角43C的对边分别为。力,。，若

1/17

b=2>/3,C=—,A=y^-，则c=()

A.2V2B.3c.3V2D.2A/6

6.（25-26高一下•江苏无锡•月考）在A/IBC中，a=2,c=2G,4=30°,则。=（)

A.30°B.60°C.120°D.6（T或120"

7.（25-26高一下•云南曲靖•月考）在△48。中，角4民。所对的边分别为。也c.若

a=2,b=\fb,B=60：,则力=（）

A.30B.45：C.60D.90°

题型三正弦、余弦定理综合解三角形（共3小题）

8.⑵-26高三上•山东青岛•期末）记△布的内角4州的对边分别为帅=日

〃=3,则sinJ=()

3痴RViorV5D.叵

105510

9.(25-26高一下•江苏无锡♦月考)在△力BC中,若4=60°6=2,其面积为26，则

a+b+c/、

-------------------------=()

sinJ+sin5+sinC

A.1B.2C.3D.4

10.（25-26高三上•山东枣庄•月考）在△W8。中，角4B,。的对边分别为。，b,c,若

c=2出,C=y,sin5=2sin,则。的值为（）

A.2B.3C.73D.4

题型四判断三角形解的个数（共4小题）

11.（25-26高三上•河北保定力考）在UBC中，若AC=m，C=f,AB=2,则△/BC

4

解的个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.不确定

12.（多选）（24-25高一下•云南曲靖•开学考试）在ZUBC中，角4B,C所对的边分别为

。，b,c,分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（）

A.。=8,Z)=16,4=30°B.a=25,6=30,A=150°

C.Q=30,6=40,A=30°D.a=72,8=30,A=450

13.(2025高一下•江苏南京•专题练习)在△力4c中，已知BC=2,B吟,若该三角形有

2/17

两个解，则4C的取值范围是—.

14.（25-26高一上•上海宝山・期末）在△力4c中，角力、B、C所对的边分别为。、h、c,

已知a=8,吟,要使该三角形有唯一解，则方的取值范围为________.

O

题型五求外接圆半径（共4小题）

15.（25-26高一上•广东汕头・期末）在LABC中，角4'。的对边分别为G,6,C,若"2,4二，

则AABC外接圆半径为.

16.（24-25高一下•上海宝山•月考）在△力8c中，/力=早b=2、S%c=石，则其外接圆

的半径为.

17.（25-26高三上•河北衡水•期末）在中，内角48,C所对边分别是〃,瓦。，若

6sinB-4cosc=ccosA,且人=3,则△/BC外接圆的面积为.

18.（25-26高一卜.•福建厦门•期末）在4力〃。中,内角力，6,C的对边分别为〃，h,c,

已知Q=2G，（sinJ-sin为伍+2G）=c（sin8+sinC）,则△/出。外接圆的面积为：.

题型六边角互化（共5小题）

19.（2025•江西南昌•二模）在△48C中，角4&C的对边分别是。,瓦。，若

Z）=3,2acosC+2ccos/l=3a,贝ija=（）

49

A.2B.3C.-D.-

32

20.（多选）（2026高一下•全国•专题练习）在△/4C中，内角4B,。的对边分别为小b,

C,若无a=2bsin4,则8=（）

7tit-57r3n

A.-B.-C.—D.—

6464

21.（25-26高一上•广东深圳•期末）在△川?。中，角4,B,C的对边分别为〃，b,c,若

S“8c=¥，2asin（8+W）=Gc,2sin8=3sinC,则"的值为（）

A.2B.3C.73D.77

22.（25-26高一下•全国•课后作业）已知中，内角4B,C所对的边分别为4,b,

。，且。2-〃=砧，C=[,则驾的值为

3sinB-------------

23.（2026高一下•全国•专题练习）在ZUBC中，a,b,。分别是角4B,C的对边，且

3/17

acosB+—b=c»则<=.

2----------------------

题型七判断三角形形状（共5小题）

24.（24-25高一下•江苏南京•期中）在△48C中，其内角A,B,C的对边分别为h,c,

若acosB-bcos4=c,则△力8c的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

25.（25-26高一下•上海普陀•月考）已知△力8c的内角4B,。所对的边分别为“，b,c,

若c=2bcos4,则△48。的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

26.（24-25高一下•江苏盐城•期中）在△/18C中，角4、B、。所对边分别为a、b、c.若

2•22二七二则该三角形一定是（）

2a

A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形

27.（24-25高一下•北京朝阳•期中）在△"（7,若QCOS8=6COS/，且。=6sinC,则△力AC

的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

28.（多选）（25-26高一下•江苏无锡•月考）△W8C的内角：4优。所对边分别为。，瓦c,下

列说法中正确的是（）

A.若sinJ>sin8,则力>8

B.若sin2/=sin28,则△月5c是等腰三角形

C.若^+/一i〉。，则△48。是锐角三角形

D.若目=3=-^；，则△力8c是等腰直角三角形

sinJcosBcosC

题型八求三角形周长（共4小题）

29.（25-26高三上•辽宁•期中）设ZUBC的内角力，B,C所对的边分别为。，b,c,若

C=y,ab=6,c=J7，则△48C的周长为.

30.（25-26高一下•山西临汾•开学考试）在△ABC中，边。也。分别为角48c的对边.满

足人早"c=la^ABC的面积为2石，则△/也C的周长为.

31.（25-26高一下•山西临汾•开学考试）在中，边。也。分别为角48,C的对边，满

4/17

足*=+C=2aqABC的面积为2百，则△力8c的周长为.

32.（2026•黑龙江哈尔滨•模拟预测）在△4?。中，角力，B,C的对边分别为。，b,c,若

S/?

a+3c=38cos/l,且ZUAC的面积为王.

2

（1）求8s8的值;

（2）若〃sinC=2&，求ZVIB。的周长.

题型九求三角形周长的最值（范围）（共4小题）

33.（2023•陕西西安•一模）在C中，内角力，B,C所对的边分别为叫b,C,且满

足a+2bcos4-2c=0,若8=2，5,则△力8。周长的取值范围为.

34.（25-26高一下•广西贵港•月考）△力8C中，sin2J-sin2B-sin2C=sin5sinC.

⑴求4

（2）若Q=3,求△力8C周长的最大值：

⑶若。=3,求。面积的最大值.

35.（24-25高一下•内蒙古锡林郭勒•期中）锐角三角形△/13C的内角4SC的对边分别为

a,b、c,已知2cos4（ccosB+6cosc）=a.

⑴求才;

⑵若。=3,求△力8c的周长的取值范围.

36.（2026•浙江•模拟预测）己知的外接圆半径为2,△力8c的内角/B,C的对边分

别为。，4c,Ra<ccosB.

⑴试判断“8C的形状；

（2）??67cosB+hcosA=2A/3,求A/BC周长的最大值.

题型十三角形的面积公式及应用（共5小题）

37.（25-26高三下,安徽•月考）在△川?。中，内角4仇。的对边分别为o,b,c,若

力c=6,/+c2-42=8收，则△力8C的面积为（）

A.1B.y[2C.2D.272

38.（25-26高三上•山西晋中•期末）在△W3C中，角A,B,。的对边分别为“，b,c,若

〃=4,b=5,c=7,则的面积为（）

A.4#B.2"C.4D.8

5/17

39.（25-26高一上•浙江湖州•期末）在△〃丸;中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,若

A=2B,c=2b=2t则的面积为（）

A.&B.1C.—D.g

22

40.（多选）（2026•陕西咸阳•一模）在A/IBC中，角力，B,C所对的边分别为叫b,c,

已知a=2,c=—，4=120。，则（）

3

A.b=—B.C=30°

3

C.△力8c的周长为2+百D.△力AC的面积为近

3

41.（25-26高一下・云南曲靖•月考）在△川叱中，角4伉C所对的边分别为a,b,c，且满足

acosC+s/3asinC-b-c=0.

⑴求角力的大小；

⑵若。=2,△49C的面积为百，求儿c的值.

题型十一求三角形面积的最值（范围）（共4小题）

42.（多选）（25-26高一下•云南曲靖•月考）在MBC中,角4B,C所对的边分别为

a,6,c,且c=2,C=g,则下列说法正确的是（）

A.a2+b2—ab=4B.a+Z?的最大值为4

C.△月8c•面积的最大值为3D.若△力台。为锐角三角形，则”的取值范围是（1,2）

43.（多选）（2026高一•全国•专题练习）在中，内角力，B,C的对边分别为。，b,

c,则下列说法中正确的有（）

A.若4=6,4=方，则△/仍。面积的最大值为36

B.若。=6,b+c=8,则△力8C面积的最大值为3b

c.若角力的内角平分线交于点且盖=；,〃="则△//?「面积的最大值为

3

Q

D.若在=4C,M为4。的中点，且4必=2,则△/出C面积的最大值为5

44.（2026高一下•福建莆田•专题练习）在△/必。中，AB=AC,。为1C中点，BD=0

则面积的最大值为

45.（24-25高一下•重庆•月考）在中，角力，B,C的对边分别为a,b,c.已知

6/17

力sin%—"CosB=0.

⑴求角8的大小：

⑵若c=V^，b=y/5»求。；

⑶若6=2,求418。面积的最大值.

题型十二三角形中线问题（共3小题）

46.（25-26高三上•浙江•期末）在ZX/IB。中，N8ZC=60°,8。=4,0为8C边上的中点，且

AD=3,则△/8C的面积为（）

A右Q5>/3r3邪>n5>/J

2422

47.（2026•湖北孝感•一模）在△力AC中，角力,B,4的对边分别为&4c,若

J5JC=-22»a=I2,则边8C上的中线长为（）

A.VHD.7l4C.GD.10

48.（2026•河南南阳•模拟预测）在△/BC中，内角4B,4所对的边分别为

a,h,c,a2+h2=c2+4,且△）8C的面积为VJ.

⑴求C;

（2）若△/4C的外接圆半径为为48的中点，求CZ）的长.

题型十三三角形高的问题（共4小题）

49.（25-26高三上•湖南长沙•月考）在△力8C中，角力，B,。所对的边分别为*btc

已知c=2b,4=120。.

（1）求cos8的值;

（2）若。=4将，求8C边上的高.

50.（25-26高二上•广东汕头•期末）已知△/出C中，48、C的对边分别为久权c,且△44。

的面积S=^H.

4

⑴求。；

（2）若Q=2,6=5,且片为钝角，求A/IBC边上的高.

51.（25-26高三上•河南三门峡♦期末）已知△/BC的内角4B,S的对边分别为a,Sc,

且（2o+c）cos8+6cosC=0,

（1）求“的大小;

7/17

（2）已知/）=6，4。为4C边上的高，求的取值范围.

题型十四三角形角分线问题（共6小题）

52.（2026•河南•模拟预测）在△力8c中，［8=4,BC=5,力。=亚，。为边4c上一点,

且平分/48C,则80=（）

206RTH914

9323

53.（25-26高二」二•安徽滁州•期末）已知△月BC的三个内角48,。所对的边分别为

，△/8c的面积为角力的平分线交边8C于点。，且8。=2。。，则。为

（）

A.&B.VH）C.Vl4D.4

54.（多选）（25-26高三上•山西临汾・期末）已知。，b,c分别是△力8c内角力，B,。的

对边，力为8c边上一点，△ABC的面积为出,且满足2sinC=csin8,Z>ccosJ=-l,则

2

（）

A.b=2

B.当4。为中线时，力。=巫

2

C.当/。为高线时，AD=—

8

2

D.当力。为角平分线时，AD=-

55.（2026高一下•全国•专题练习）中，BC=2邪,力=60。，△N3C的面积等于

2月，则角平分线力。的长等于.

56.（2026高一•全国•专题练习）已知△力4。的面积S=/sin4，角彳的平分线4。交8。于

D,/。=手，4=5则。=.

57.（25-26高一下•江苏无锡•开学考试）在△力AC中，。在边48上，CO平分/4C8,若

AC=3,BC=1,且CO=&,则力8=.

题型十五多三角形或四边形问题（共5小题）

58.（25-26高一下•江苏无锡•月考）在△48C中，已知工8:12,力C=9,/84C=120°,点E

在线段8c上，且满足25E=EC,则力£的长度为.

59.（24-25岛一下•吉林松原•期末）在△"（,“，已知4=45。，。是边上一点，如图,

8/17

NBAD=75。，DC=\tAC=6则43=()

A.—B.V5C.—D.76

22

60.(25-26高一上•浙江温州•期末)在△川%?中，内角4,C所对的边分别为。，瓦c,三知

力=2,c=3且。cos4=4cosA.

⑴求力；

(2)点D是线段BC上靠近点H的三等分点，求AD.

61.(24-25高一下•湖南岳阳・期末)为助力第四届湖南旅游发展大会，提高游客舒适度，岳

阳政府决定新增若干休闲区域.如佟I,某休闲区域488是四功形，其四周是步道,中间是

花卉种植区域，为方便观赏，中间穿插了步道4C,已知40=1,CD=4,

⑴求步道4c的长；

⑵若;求花卉种植区域总面积.

从①4。=；,②&这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

62.(25-26高一下•福建宁德•月考)如图，在中，N"C=90。，AB=2百,BC=2,

P为ZUBC内一点，且/8PC=9()。.

(1)若P8=l,求尸/的长;

9/17

⑵若NAPB=150°,求tanNPBA.

题型十六解三角形的范围与最值问题（共6小题）

63.（25-26高一上•黑龙江哈尔滨•期末）在△小。中，其面积为1,48=24C,8C的最小值

为（）

A.2B.72C.3D.V3

64.（25-26高三上•湖南长沙•期木）己知的面枳为6,。,£分别是力6,/lC的中点，若

2CD=3BE,则BC长度的最小值为.

65.（24-25高一下•广西柳州•期末）在△力〃C中，内角4B、6对应的边分别是a、b、c,

!4.bcosC+ccos4=2acos4.

⑴求角A的大小；

（2）若〃=2,Sj8c=36，求〃；

⑶若△N8C为锐角三角形，〃求b+c的取值范围.

66.（25・26高一上•江苏南通•期末）"8C的内角4B,C的对边分别为a,b,c.已知

.A+B.,

asm--------=csinA.

2

⑴求C;

4S

（2）求.2+京二2的最大值（其中Sr8c为△48c的面积）.

67.（25-26高一・全国•假期作业）设锐角△IBC的内角所对边分别为巴仇。，且

sin（3-4）+GcosS=sinC.

⑴若〃=2,△力4C的面积为石，求％BC的周长；

（2）求cos4+cosC的取值范围.

68.（25-26高一上•广东深圳•期末）在锐角三角形48c中,角儿B,6的对边分别为a,

.口cosA2c-a

b,c,且----=—;—.

cos5b

⑴求角4的大小；

⑵若8=26，求/+。2的取值范围.

题型十七距离测■问题（共4小题）

69.（24-25高一下•浙江杭州•期中）位于尸处的雷达接收到在其正东方向相距20g海里的B

10/17

处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东;且与。处雷达相

距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（）

A.156B.1075C.105/3D.1072

70.（25-26高一上•四川绵阳•期中）某船只在海面上向正东方向行驶了xkm迅速将航向调整

为南偏西60。，然后沿着新的方向行驶了306km,此时发现离出发点恰好30km,那么x的

值为（）

A.30B.60C.40或60D,30或60

71.（25-26高三下•上海•开学考试）若要测量如图所示的蓝洞的口径4〃两点间的距离，

现在珊瑚群岛上取两点C、D,测得

CD=45m,/力。8=135°,/BDC=NDC4=15°,/4CB=120°,则/A两点的距离为

72.（25-26而一下•云南曲靖•月考）某渔轮在海上航行，在点力处测得灯塔。在北偏东60。

方向，渔轮以每小时20海里的速度向正东方向航行，1小时后到达点8,此时测得灯塔C

在北偏东30”方向.求灯塔。到航线力4的距离（结果保留根号）.

题型十八高度测■问题（共4小题）

73.（24-25高一下•福建福州•期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在C处观测到河对

岸塔在北偏东75。方向，顶部力的仰角为0=30。，往正东方向前进90m到达。处，测得该

塔在北偏西45。方向，底部8和C,。在同一水平面内，则该建筑物的高为（）

A.30&mB.306mC.90&mD.30#m

74.（24-25岛一下・湖北武汉•期末）如图，某同学为了测量长江对岸的武汉龟山电视塔塔岛

11/17

48时，选取与龟山电视塔塔底8在同一水平面内蛇山上两个测量基点C与现测得

NBCD=15。,N8QC=120。，CD=200m,在点。测得塔顶4的仰角为45。，则塔高

()

D.皿“

A.100鬲B.200GmC.100\/6ni

3

75.（24-25高一下嘿龙江佳木斯•期中）圣•索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体

建筑集球、圆柱、棱柱于•体，极具对称之美.为了估算圣索菲亚教堂的高度，某人在教堂的

正东方向找到一座建筑物高约为36m,在它们之间的地面上的点M（8,M,。三

点共线）处测得建筑物顶力、教堂顶C的仰角分别是45。和60。，在建筑物顶力处测得教堂顶

C的仰角为15。,则可估算圣•索菲亚教堂的高度约为（）

A.45mD.54m

76.（24-25高一下•广东深圳•月考）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP,选取了

在同一水平面上的4B,C三处，如图所示.已知在4B,C处测得该建筑顶部尸的仰角

分别为30。、45。、601OA=2OB-OC^46=10米，则该建筑的高度。尸=米.

12/17

理型十九角度测・问题（共2小题）

77.（24-25高一下•山东淄博•期中）一艘海轮从4处出发，以每小时50海里的速度沿南偏

东40。的方向直线航行，2小时后到达8处，在C处有一座灯塔，海轮在力处观察灯塔，其

方向是南偏东70°,在4处观察灯塔.其方向是北偏东65"那么B,C两点间的距离是（）

A.5（）底海里B.50G海里C.1006海里D.100及海里

78.（24-25高一下•浙江温州•期中）一艘渔船航行到力处时看灯塔台在月的南偏东30",距

离为6海里，灯塔。在力的北偏东60。，距离为6石海里，该渔船由力沿正东方向继续航行

到。处时再看灯塔8在其南偏西30。方向，则此时灯塔C位于渔船的（）

A.北偏东60"方向B.北偏西30。方向

C.北偏西60。方向D.北偏东30。方向

题型二十解三角形与向■的融合（共5小题）

79.（25-26高一下•陕西西安•月考）已知△/出C的面积为G，C=60\

而记+册5+B•乐=-10，则|方|=.

80.（24・25高一下♦天津武清•月考）在MBC中,角4及4所对的边分别为出仇。.向量

/n=（sin4,6+c）,n-（sinC-sin5,a+b）t且

⑴求角C;

（2）若6=2,sin/=sin8,求△力8c的周长.

81.（24-25高一下•天津武清•月考）在△力8c中，角力，B,C的对边分别是〃，b,c,MBC

的面积为S,且/-从一二.已知向量比=（4sinx、4jJ）,«=（cosx,sin2x）,函数

f（x）=m-n-2j3,

⑴求角力的大小；

⑵在△48。中，。求2b+c的取值范围.

82.（25-26高一下,浙江宁波•开学考试）在锐角中，角4&C所对的边分别为,

记而=sinZ?,-cos^J-^|,n=（a,b）,满足而_L».

（1）求角N;

（2）若诙=4就,（0＜之＜1）,且满足力。=。。，求4的取值范围.

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83.（25-26高一上•四川成都•月考）记的内角4B,。所对的边分别为&b,c,已

知赤•万+而灰=2c2cos8,b=3.

⑴求力48C；

（2）若△力BC为锐角三角形，求△力3C的周长的最大值.

题型二十一解三角形大题汇编（共19小题）

84.（25-26高一下•河南•月考）己知锐角的内角4,6,C的对边分别为。八c,且

2acos5sinC+2/）cos/sinC=.

⑴求C;

（2）若b=a+l,c=币,求sinB的值.

85.（2026•广东茂名•一模）△褂。中，角4SC所对的边分别为a,6,c,4=。

4

⑴若。=正力=2,求sin。；

（2）若sinB+石cos3=2,6=4,求ZU8C的面积.

86.（24-25高一下,四川泸州•月考）已知△/出C的内角4艮C的对边分别为。也。，且

（2c-q）cos8=6cos月.

⑴求角〃的大小；

⑵若MBC外接圆的半径为名叵，且Q+C=4,求△/8c的面积.

3

87.（25-26高一下•江苏镇江•月考）在△力4c中，角力，B,。的对应边分别为。，b,c,

根据各小题条件分别求解•.

（1）。=7,b=A6,c=JI5，求最小的内角.

（2）〃，6是方程欠万3x+40=0的两个根,C=60°,求边。的长.

2

（3）cosJ=-,h=2,a=y[5,求边。的长.

J

88.（25-26高二上•贵州遵义•月考）在“8C中，角4瓦。的对边分别为。八。，且

(3sin8-A/5COS/)C=A/5GCOSC.

⑴求sinC的值;

⑵若C是锐角，且c=^M+b=5,求△4E?C的面积.

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89.（25-26而一下•江苏无锡•月考）在△48C中，角4,B,。的对边分别为。，b,c,若

a=2叵,6=2,8=30。.

⑴求边c；

⑵求△48C的面积S.

90.（25-26高一下•广东•月考）在。中，角力，B,C所对的边分别为。力了，已知

c=2b,A=l20°.

⑴求cos4的值；

（2）若。=45，求8c边上的高.

91.（25-26高一上•四川绵阳・期中）已知△48C的内角孔B,9的对边为a,b,c,且

sinC-sin/l_4c-3b

sin43（a+e）,

⑴求sin/1:

（2）设△/8c的面积为2石，b+c=S,判断△力8c的形状.

92.（25-26高一上•浙江湖州•期末）在△力8c中，内角为，B,C的对边分别为a,b,c,已

IT

知力=5,5=—.

4

⑴若力=方，求边c的值：

（2）7'f3acosB十3hcosA=2y2a.

（i）求金的值：

a

（ii）求△力8c的面积.

93.（25-2