第12章 复数（复习提升）-2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

2026苏教版高中数学必修第二册

本章复习提升

易混易错练

易错点1对复数的相关概念理解不清致错

1.（2024江苏苏州部分高中适应性考试）设复数z=a+i（a£RJ为虚数单位），若（l+i）-z为纯虚

数，则复数动勺虚部为（）

A.-lB.1

C.2D.-i

2.（多选题）（2025山东威海期中）已知zi,Z2是复数,i为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A.5+i>4+iB.5•苞=Z］力

C.若％|>忆2|,则D.|Z1Z2|=|Z1||Z2|

易错点2对复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件记忆不准确致错

3.（2024江苏苏锡常镇四市教学情况调研）已知zim是两个虚数，则“zim均为纯虚数''是电

Z2

为实数”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.（2024广东东莞中学第一次段考）已知复数z-（m?+m）i,i为虚数单位,R.

（1）若z为实数，求实数m的值；

（2）若z为虚数，求实数m的取值范围；

⑶当z为纯虚数时,若复数x满足x2=z，求X.

易错点3不能正确理解复数的几何意义致错

5.（2025广东高州第一中学月考）设非零复数zi和Z2在复平面内对应的向量分别为而和

而，其中O为坐标原点，若w二为纯虚数，则（）

Z2

KVP//OQ

B.\OP\=\OQ\

C.（而+丽_L（而一砌

D.W+而|=|而一国

6.（2024福建师范大学附属中学期中）已知复数z满足|z-l+2i|=l,则|z|的最小值为.

易错点4对复数范围内方程的解的问题考虑不全面致错

7.（2024湖南衡阳期末）在复数范围内,zi,Z2是方程z3-z2+z+l=0的两个不同的复数根，则

|zg|的值为（）

A.lB.V2C.2D.&或2

8.（2025江苏无锡辅仁高级中学期中）设复数zi=l-ai（a£R）,Z2=2+i.

⑴若在复平面内，复数Z|+Z2对应的点在实轴上，求Z|Z2；

（2）若口是纯虚数，且zi是方程x2+bx+c=0（b,c£R）的根,求实数b,c的值.

思想方法练

一、函数与方程思想在复数中的应用

1.（2024江苏泰州月考）若复数z满足|z-l|=|z十i|,则|z・l|的最小值为（）

A.gB.¥C.lD.V2

2.（2024江苏泰州兴化期中）化知复数zi=m+2i（mWR）,zz=cosa+isina,且同=右忆2kzi在复平

面内所对应的点位于第二象限.

⑴求m的值；

⑵若zrZ2为纯虚数，求tan2a的值.

二、数形结合思想在复数中的应用

3.(多选题)(2024安徽淮南期中)设复数z在复平面内对•应的点为Z,则下列说法正确的有

()

A.若忆|=1,则z=±l或z=±i

B.若|z・(2+i)|=l,则|z|的最小值为

C.若z=V5-2i,则|z|=7

D.若岸忆区位，贝IJ点Z的集合所构成图形的面积为兀

4.(2025江苏连云港海头高级中学学情检测)已知复数z满足|z+2・2i|=2,且复数z在复平面

内对应的点为M.

⑴确定点M的集合所构成图形的形状；

(2)求|z-l+2i|的最大值和最小值.

三、转化与化归思想在复数中的应用

5.(2024山东青岛期末)任意一个复数z的代数形式都可写成三角形式，即z=a-bi=r(cos

0+isin0),其中a,b£R,i为虚数单位产忆|=立方京,cosG=^sin9=1,0£[0,2兀).棣莫弗定理由法

国数学家棣莫弗(1667—1754)创立，指的是设两个复数(用三角形式表示)z=Mcos6+isin

0I),Z2=T2(COSOz+isin仇),则Z]Z2=rir2[cos(Oi+02)+isin(Oi+O2)],」="[cos(9i-92)+isin(&-92)],且

z2r2

Z2#0.若令Z1=Z2=...=Z『Z，则能导出复数乘方公式:zn=d(cosnO+isinn0).请用以上知识解决

以下问题：

(1)试将z=-V3+3i写成三角形式；

⑵已知|Z1|=3,|Z2|=5,|ZI・Z2|=7,求三的值;

Z2

(3)设z=a+bi,a,b@R,当|z|=l时，求|z2+z+l|的最大值和最小值.

答案与分层梯度式解析

本章复习提升

易混易错练

1.A因为(1+i>z=(l+i)(a+i)=(a・l)+(a+l)i为纯虚数，所以忙1言解得a=l,

I。十1千U,

则z=l+i声1T,则复数2的虚部为-1.

易错警示复数z=a+bi(a,b£R)的虚部是b,而不是bi;复数z=a+bi(a,b£R)的共辄复数是

z=a-bi.

2.BD复数的虚部不为0,所以不能比较大小，故A错误；

设zi=a+bi,Z2=c+di,a,b,c,dGR,

则济•石二(a-bi)(c-di尸ac-bd-(ad+bc)i,

z1Z2=(a+bi)(c+di尸ac-bd+(ad+bc)i,贝iji]il=ac-bd-(ad+bc)i,所以彳石=z1Z2,故B正确；

当a,b,c,d均不为0时[人均为虚部不为0的复数(易错点).不能比较大小.故C错误；

由B知|Z|Z21=J(〃C/67)2+(ad+bc)2=

22

|zi|=VfZ+/),|Z2|=Vc2+6y2,

17111721=J〃2浮+〃2r/2+〃2了+/)21c2,

所以|ZlZ2|=|Zl||Z2|,故D正确.

易错警示当两个复数能比较大小时，它们均为实数,虚部为0,否则不能比较大小.

3.A若zi,Z2均为纯虚数，设zi=bi,Z2=ci淇中b,c£R且b,c，0,则。=2=空R,故充分性成立;

Z2ClC

当zi=l+i,Z2=2+2i时>=W=：£R,但zi,Z2均不是纯虚数，故必要性不成立.

综上所述,2,Z)均为纯虚数”是‘包为实数”的充分不必要条件.

Z2

易错警示要明确a=0旦b/0是z=a+bi(a,b£R)为纯虚数的充要条件，两者缺一不可.

4.解析(1)由题意可知m#0,

若z为实数、则m2+m=0(关键点)，解得m=0(舍去)或m=-l,所以实数m的值为-1.

(2)若z为虚数,则m2+m¥0(关键点).解得m^O且mr-l,

所以实数m的取值范围为(-8,-1)U(-1,0)U(0,+8).

(―=0,

⑶若z为纯虚数，则〃：解得m=・2,即z=2i.

俄2+m和(易错点),

设x=a+bi(a,beR),Mx2=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi=2i,则｛歌学解得｛露或｛屋;

所以x=l+i或x=-l-i.

易错警示@=0是2=2十匹(眦£咫为纯虚数的必要不充分条件，即a=O=/z为纯虚数，且z为

纯虚数=a=0.

5.D设zi=a+bi,Z2=c+di,w=ki,其中a,b,c,d,k£R,且a,b不同时为O,c,d不同时为0,k#0,

由题意得a+bi=ki(c+di尸-kd+cki,

所以9d^=(a,b)(c,d尸ac+bd=-kdc+kcd=O,所以而_L而，故A错误；

|而|=V?市,|丽尸后存，无法比较|而|,|而|的大小，故B错误；

(而+而)(而-诙尸而2一而2,由B知无法判断而+而，而-质的位置关系，故C错误；

/+丽|2-|历一而"4赤•既0,所以I而+而1=1而-而I，故D正确.

6.答案V5-1

解析根据复数模的几何意义，可知|z-l+2i|=l表示在复平面内，复数z对应的点与复数l-2i

对应的点(1,-2)之间的距离为1,所以复数z对应的点在以点(1,-2)为圆心』为半径的圆上,

记该圆为M,如图，

忆|表示圆M上的点到原点的距离，由图可知,忆|的最小值为OM-l=J12+(_2)2—1=石」.

方法技巧解决复数的模的几何意义问题要把握以下关键点:①|z|表示点Z到原点的距

离;②|z|=r表示点Z的集合是以原点为圆心,r为半径的圆;③|z-a-bi|(a,b£R)表示点Z到点

(a,b)的距离，其中Z为z在复平面内对应的点.在遇到与此相关的题目时，通常借助复数的几

何意义从几何角度解题.

7.D由23+22+2+1=0,得22亿+1)+2+1=(22+1)(2+1尸0,

所以Z=±i或Z=-l.

当Z|=±i,Z2=-l或Z2=±i,Z|=-l时,|Z|-Z2|=>/5；

当zi=i,Z2=-i或Z2=i,zi=-i时,|z『Z2|=2.

综上,忆1%|=夜或2.

易错警示本题容易错误地认为土i是该方程的两个不同的复数根，而忽略了.1也是该方程

的复数根.

8.解析⑴由题意可知zi+z2=3+(l-a)i,若复数Z1+Z2在复平面内对应的点在实轴上，则

Z1+Z2&R,

可得l-a=O,RPa=l,所以ziZ2=(l-i)(2+i)=3-i.

l-fli(1-ai)(2-i)_2-a_2a+\.

喟2+T(2+i)(2-i)

若丑是纯虚数，则解得a=2,

z2

因为zi=l-2i是方程x2+bx+c=O的根,所以元=l+2i也是该方程的根,

由根与系数的关系瞰舞’即{瞪所以b3

易错警示实系数一元二次方程中的虚根是以共规复数的形式成对出现的，但如果题设

中没有直接交代一元一次方程的系数是实数,就不能得出上述结论

思想方法练

1.B令z=x+yi,x,y£R,

由|z-1|=|z+i|得J(X-1)2+y2=yR+(y+])2,

通过变量代换，将所求问题转化为二次函数的最值问题，利用二次函数的性质进行求解，体

现了函数思想.

所以当X4时，忆-1|取得最小值圣

22

2.解析(I)由已知得|z2|=Vcosa+sina=1,

因为忆1|=6忆2|=6所以0144=5,解得m=il,

又zi在复平面内所对应的点位于第二象限，所以m<0,

所以m=-l.

(2)由(1)知zi=-l+2i.因为zrZ2=(-l+2i)(cosa+isina)=(-cosa-2sina)+(-sina+2cosa)i为纯虚

数，

根据纯虚数的概念列出关于cosa,sina的等式及不等式，求出cosa,sina的值后进一步得

解.

而p.f-cosa-2sina=0,

{-sina+2cosa^0,

即2sina=-cosa,且sina,2cosa,

显然cosa#),所以tana=|£=.

2tana2、G)4

所以tan2a=

l-tan2aM33

思想方法一般运用方程思想解决复数分类及复数相等中的参数问题，一般应用函数思

想解决复数模的最值或者范围问题，求解时可根据题目条件,结合复数相关概念歹J式，再转

化为函数(一般为二次函数而］题解决.

3.BD对于A,当z=^+事时，满足=1,故A错误.

对于B,因为|z-(2+i)|=l,所以z对应的点的集合是圆心为(2,1)(记为人)泮径为1的圆(如图

1),忆|表示圆上的点到原点(0,0)的距离，

由复数及其运算的几何意义画出z对应的点所表示的图形，利用几何图形的性质解决最值

问题.

易知当z对应的点为B时,忆|取得最小值,

WJ|z|min=V4+T-1=V5-1,B正确.

对于C,|z|=C3+4=V7,故C错误.

对于D,点Z的集合是以原点为圆心,1和应为半径的两个圆所夹的圆环(包括圆环的边界),

即图2中的阴影部分，其面积为兀x(鱼)2.兀乂［2=兀，故D正确.

4.解析⑴设复数-2+2i在复平面内对应的点为P(-2,2),

则|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=MP=2,故点M的集合是以点P(-2,2)为圆心,2为半径的圆.

⑵设复数l-2i在复平面内对应的点为Q(l,・2),则|z-l+2i|=MQ,

将复数模的问题转化为两点间的距离问题，通过画出图形,直观解决最值问题.

如图所示，

P<--\2

一2N工

Q

易求得PQ=J(l+2)2+(-2-2)2=5,

则|z-l+2i|的最大值即MQ的长的最大值，为PQ+2=7;

|z-l+2i|的最小值即MQ的长的最小值，为PQ-2=3.

思想方法在求复数模的最值问题时，可以利用复数及其运算的几何意义建立复数、复平

面内的点的关系.

若复数z在复平面内对应的点为Z,r>0,则|z-(a+bi)曰表示点Z的集合是以点(a,b)为圆心j

为半径的圆;|z-(a+bi)|<r表示点Z的集