2026年高考数学复习：一元二次函数、方程与不等式（六类重难点题型）原卷版+解析

专题1.6一元二次函数、方程与不等式

目录•重难点题型分布

序号题型

重难点题型1不含参数的一元二次不等式的解法

重难点题型2含参数的一元二次不等式的解法

重难点题型3韦达定理与根的判别式

重难点题型4二次函数根的分布问题

重难点题型5一元二次不等式的恒成立问题

重难点题型6其他综合不等式问题

重难点题型1不含参数的一元二次不等式的解法

1.（2022•广东茂名•一模）已知集合A={x|x+l>0},B=[X\3X2+2X-\=0],则A[8=（）

A.{1}B.C.T：}D.T/-

2.（四川省新高考2025届高三适应性考试（第三次联考）数学试题）已知集合

A={-2,—1,0』,2,3},4={小27_6<0},则AQ8=（）

A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1.0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.{0,1,2}

3.(2025•广西北海•模拟预测)已知集合4={\x>—l}.8={Xf+2]一3>0}.贝l]AI(«乃)=()

A.(—1,3)B.[-3,-1]C.(—1,1]D.(—3,1)

4.(2025・陕西榆林•二模)已知集合A={X|Y-5X-6<0},8={-3,-2,T0,1,2,3},则A:B=()

A.{-1,0,1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{-2,—1,0,1,2,3}D.{-1,0,1,2)

5.(2025•河南郑州•三模)已知集合4={幻|工一1|<1},B={X|X2-X-2<0},则AU^二()

A.{x|0<x<2}B.{x|-l<x<2}

C.{x|0<x<2}D.{x|-l<x<2}

2

6.（2025•江西宜春•二模）已知集合4=卜卜=4+>/^=1）,B={X|2X-7A-9<0},则（）

A.B.（T2）

9

C.D.一,+oo

2

重难点题型2含参数的一元二次不等式的解法

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1.（2023・河南周口•模拟预测）已知集合”={巾"-%匕0},N={x|（x-若（QM）UN=R,则实

数。的取值范围为（）

A.[1,2]B.（1,2）

C.（^o,-2]u[5,+co）D.S,-2）u（5,+oo）

2.（2024•福建•模拟预测）设集合八={.小>5},区=卜,gr）xi«<o},若A03=0,则。的取值范围

为（）

A.（-QO,5]B.[5,+00）C.H»,5）D.（5,+co）

3.12024•全国•二模）已知集合人={-2,-1。1,2},集合人卜--x-a<（）},则满足A08={0,1}的实数〃的

取值范围是（）

A.[0,2]B.（2,6]C.（0,2]D.（0,6]

4.（2025•河北•模拟预测）已知集合知=34<-1或x>2},N=W—bx—2,0},若M=4/V,则

a-b=.

5.（2024•全国•模拟预测）设集合A={1,〃,5}]={小2一4%+〃?=0}.若{1}=/^8）且8q4,则

m-vn=.

6.（23-24高一上•湖北•阶段练习）已知集合人={r|r2+?.r-S>0},/?={r|/_2〃丫+4<0}.若a、0,且AcA

中伶有3个整数元素，则实数。的取值范围为

重难点题型3韦达定理与根的判别式

■(■■・(■•・(・•■■■(■■■(■(■•・•・(■•・■■■■(■(・•・•・(・・■•・•・(・(・•■•■■■■■■■•■(・(・•・(・(・(・(・•・•・•・•■・■■■■■■■•■■■・■•・■・(■■・•■•・■■(■•・■■・■•■,■■■(■■■•■(■■■■■■■■■■■(

1.(2023・全国•高三专题练习)关于x的不等式以,+法+c<0的解集为(-3,1),则不等式版2+or+c<0的

解集为（）

,、（i>/3、

A.。，2）：B.（-L2）C.-5/D.--J

（4、b4

2.12023•全国•高三专题练习）已知关于x的不等式♦+的.jo的解集为孙一，其中mvo,则丁十:

kin）4。b

的最小值为（）

A.-2B.1C.2D.8

8TT、

（了一。）是一元二次方程丁+公：_5=0的两个根，则”（）

A.6x/3B.-6N/3C.D.-46

4.（2023•北京海淀•模拟预测）己如关于3的不等式M十心十人0«»0）的解集是{XIXKC/},,贝J下列四个结

论中错误的是（）

A.a2=4b

B.a~+->4

b

C.若关于x的不等式/+依-6<0的解集为（X，x。，则x匹>。

D.若关于x的不等式V+ca+ovc的解集为（.毛），且k-玉|=4,贝吐=4

5.（2024•江西•二模）法国数学家卢卡斯在研究一元二次方程/-x_i=（）的两个根0%不同寤的和时、发

现了与+为=1,丁+后=3,由此推算x：°+E°=.

6.12020•陕西榆林•一模)已知lanajan"是一元二次方程/+2/-5=0的两实根，则tan(a+/?)=.

■・■・・•・•一・・・•■・■■・■■・■・■・■■・■■•■・■■・■■・■・■・■■・■■•一•・・・・■・・•■・■■・■・■•■■・■・■・・・■・■・■■・・・・・・・•■・■■・■・■・■■・■・■・■■・■■・■・■■・■■・■•■■・■■・■・■・・・・■・■・■■・■・■・・•■■・■・・・■・一・・・・・•>・■・・•■・■・■

重难点题型4二次函数的根的分布问题

1.（22-23高三上•辽宁沈阳•期中）已知关于大的方程/一履+攵+3=0有两个正根，那么两个根的倒数和最

小值是（）

28

A.-2B.-C.-D.1

39

2.（2023•江西•模拟预测）若4,。是函数/（x）=f-3+4（〃＞（）,q＞（））的两个不同的零点，且a,b,

-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则〃•。的值等于（）

A.17B.18C.19D.20

3.（23-24高三上•上海崇明•期中）已知不等式M+ar+b＞0（a＞0）的解集是{x|"d},则下列四个命题：

①/一加W4：

②片+94；

@若不等式/+必_。＜0的解集为（小占），则入内＞。；

④若不等式f+at+bvc的解集为（.%）,且I芭一占1=4,则c=4.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2024•安徽合肥•模拟预测）函数/3=6+21-4.-6在（-2,2）上有两个零点，则，的取值范围是—.

5.（2024•新疆•模拟预测）已知不等式-丁-5X+620的解集为［必可，若关于n的不等式数?+加+年。的解

集半空，则/的最小值是.

6.（2023•全国•高三专题练习）已知方程/一（2。+1.+。（〃+1）=0的两根分别在区间（0.1）,（1,3）之内，则

实数。的取值范围为.

7.（2023・全国•高三专题练习）若方程2x（6-4）-炉+6=。有两个不相等的实根，则攵可取的最大整数值是

重难点题型5一元二次不等式的恒成立问题

1.（2024•四川攀枝花•一模）命题“大£Rf+（a+l）x+l<0〃为假命题，则实数。的取值范围为（）

A.（^O,-3]U[1,-KC）B.（f,一3）J（l,+co）

C.[-3,1]D.（-3,1）

2.（24-25高三上•湖南长沙•阶段练习）命题〃：VxeR.or?+2x+5>0为真的一个充分不必要条件是（）

I,/11

A.ci<—B.ci>\C.aW-D.ci>—

555

3.（2024•四川成都•二模）已知函数/（"=2加一向的值域为M.若。,转）土M,则实数。的取值范围是（）

4.（2024.浙江.模拟预测）若不等式收2主（女一6）*+2、。的解为全体实数，则实数4的取值范围是（）

A.2<k<\SB.-\S<k<-2

C.2<女<18D.0<&<2

5.（2025•山东•二模）已知不等式3f+1/-2）工+420时任意的上«0,也）恒成立，则实数〃的最小值

为.

6.（2025•辽宁•二模）命题p:"3xw[-l,3],/.“-用40”是假命题，则〃?的取值范围是.

7.（2024・四川成都•二模）若函数/（x）=cos2x-%cosx-2<0对xwR恒成立，则。的取值范围是.

8.（2024・贵州遵义•模拟预测）V.reR,关于X的一元二次不等式W-2x+a>0恒成立，则实数。的取值范

围是•

重难点题型6其它综合不等式问题

1.(2025•黑龙江辽宁•模拟预测)已知集合A={xez||x-l|<2),B={x|x2—3x+2工()},则Ac@8)=()

A.{0}B.{-1,0,3}C.{1,2}D.{-l,0,l,2,3}

2.（2025・上海金山•二模）己知〃ER,则下列结论不恒成立的是（）

a+22

A.a+\>aB.：

C.|1-a|+|a+2|23D.a2+67+1>0

3.（2025♦山东聊城•二模）已知集合A=31>1},8=1工420，则（）

2-x

A.[0,2）B.（1,2]C.（1,2）D.（2,-H»）

x—1

4.（2022•重庆•模拟预测）（多选题）已知全集。=口，集合人=91工<。「则关于Q4的表达方式正确

的有（）

A.(-oo,l]u[2,+oo)B.{AI(X-2)(X-1|>0}

1x-l

c.bi-->0/D.(-co/)(2,-KX)

x-2

则

5.（2024•上海•三模）已知集合♦={#_“<1},B=k-<lkAP|8=

x

X—1

6

（2。23・北京海淀•统考一模）不等式77r。的解集为.

7.（2023・上海•高三专题练习）若不等式卜-2卜1,则x的取值范围是,

专题1.6一元二次函数、方程与不等式

'目录•重难点题型分布

序号题型

重难点题型1不含参数的一元二次不等式的解法

重难点题型2含参数的一元二次不等式的解法

重难点题型3韦达定理与根的判别式

重难点题型4二次函数根的分布问题

重难点题型5一元二次不等式的恒成立问题

重难点题型6其他综合不等式问题

痴T能辎例测船63⑪国宓◎=纷夺%窈妓逾密期收詹信

”J：【T-------一一一-一

重难点题型1不含参数的一元二次不等式的解法

1.（2022•广东茂名•一模）已知集合A={H人十1>。},8={小/+2义-1=0卜则AF|B=（）

A.{1}B,出C.国D.卜；」「

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、一元二次方程的解集及其根与系数的关系

【分析】先化简集合AB,再由交集运算可得.

【详解】由4={小+1>0}={小>_1},5={X|3X2+2X-1=0}=^-1,1•,

则AcB=♦

故选：B.

2.（四川省新高考2025届高三适应性考试（第三次联考）数学试题）己知集合

4={-2,-1,0,1,2,3},8=伸2-工-6<0},则A[8=（）

A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,TO,1,2}C.{-1,0,1,2}D.{0,1,2}

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】根据题意利用一元二次不等式求集合B,进而求交集.

【详解】因为A={-2,-1,0,1,2,3},B={4^一%一6<0}=3-2〈工<3},

所以Ac3={T,(U2}.

故选：C.

3.(2025•广西北海•模拟预测)已知集合4={乂工>-1},8=.9+2X一3>。},则Al(48)=()

A.(-1,3)B.[-3,-1]C.(—1,1]D.(—3,1)

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】求解一元二次不等式得到8={Rxv-3或x>l},再结合交集、补集运算即可求解.

【详解】因为A={3x>-l},B=|x|X2+2X-3>01={X|x<-3r^x>1},

所以栩={3-3式工&1},从「(1<6)={4一1<工&1},

故选：C.

4.(2025・陕西榆林•二模)已知集合4={幻/-5工一6<0},8={-3,-2,-1,0,1,2,3},则娟8=()

A.{-1,0,1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{-2-1,0,1,2,3}D.{-1,0,1,2}

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】根据一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.

【详解】因为A={x|f-5x-6<0}={幻-l<x<6},所以AB={0,1,2,3).

故选：B.

2

5.(2025•河南郑州•三模)已知集合A={x||x-l|<l},B={x\x-x-2<6}t则A(J8=()

A.{x|0<x<2}B.{x|-l<x<2}

C.{x|0<x<2}D.{x|-l<x<2}

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】解不等式，得到A={x[0<x<2},B={x\-\<x<2}f利用并集概念求出答案.

【详解】"一1]<1=一1<工一1<1=()</<2,故A={x|0<x<2},

X2-X-2<0=>-1<X<2»故3={X|-1WXW2},

故AB={JV|0<X<2[I{x|-l<JC<2}={X|-1<x<2}.

故诜：B

6.(2025•江西宜春•二模)已知集合4=卜卜=4+7^!卜B={x|2.r2-7x-9<0},则AB=()

A.2,g)B.(-1,2)

C.(-l,+oo)D.T'+8)

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式

【分析】求y=x+有意义时x的范围，可得A,求不等式2W-7x-9vO的解集可得8,根据交集的

定义求结论.

【详解】由y=x+J=有意义可得x22,

所以4={]|xN2},

不等式2/_7>9<0可化为(2x-9)(x+l)<0,

9

所以不等式2/一7X一9<0的解集为,

c「9、

所以AB=2,-,

故选：A.

重难点题型2含参数的一元二次不等式的解法

1.(2023・河南周口•模拟预测)已知集合M={巾》-/20},八二卜(1-〃)匕4},若(QM)IN=R,则实

数。的取值范围为()

A.[1,2]B.(1,2)

C.(-<x>,-2]u[5,+co)D.(-00,-2)u(5,+oo)

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】解含有参数的一元二次不等式、根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式

【分析】先求出集合M,N,进而求出电M,再结合(4")=N=R列出关于〃的不等式组，解方程即可得

出答案.

【详解】集合“川巾厂/对卜任怆^可，

/V=|x|(x-tz)2<4^={^a-2<x<a+2],

QA1={x|x<0或x>3},因为(QM)uN=R,

a-2<0

所以,解得:l<6/<2.

a+2N3

故实数〃的取值范围为[1,2].

故选：A.

2.(2024・福建•模拟预测)设集合4={小>5},8=1卜2-3+1*+"°}，若=则。的取值范围

为()

A.B.[5,+oo)C.(f5)D.(5,+oo)

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】根据交集结果求集合或参数

【分析】先将工2-(4+1)/+〃<。因式分解，然后解不等式工2一(4+1»+〃<0,利用/一(〃+1)[+4=0两个

根的关系分类讨论，求出〃的取值范围即可.

【详解】由题可知.f_g+Dx+a<0n(x-a)(x-l)<0

当4=1时，（工一。）。-1）<0无解，得8=0,此时A8=0；

当时，解（工一。）*-1）<0,得4Vx<1,此时B=（a,l）,48=0；

当”>1时，解（工一。）。一1）<0,得1<为<〃，此时8=（1,〃），要使A8=0,则lvaK5；

综上所述，。<5.

故选：A

3.12024•全国•二模）已知集合4={-2,-1。1,2},集合8<0},则满足B={0,1}的实数〃的

取值范围是（）

A.[0,2]B.（2,6]C.（0,2]D.（0,6]

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】根据交集结果求集合或参数

【分析】根据交集的结果，代入不等式，即可求解.

<0

12-1-«<0

【详解】由条件可知《,解得：0<a<2.

(-2)2+2-e>0

故选：C

4.（2025•河北•模拟预测）已知集合M={xlx〈T或%>2},N="|加-加一2,。},若用=”，则

a-b=.

【答案】0

【难度】0.65

【知火点】根据两个集合相等求参数、补集的概念及运算

【分析】由题意可得-1和2是方程-瓜-2=0的两根，利用根与系数的关系求得&〃，可求〃的值.

【详解】由M=4N得，^M=N,因为或x>2},

所以QM={xkl<%<2},所以一1和2是方程加一床一2=0的两根，

-l+2=-

所以“，解得。=1力=1,所以j=0.

-1x2=--

故答案为：0.

5.（2024•全国•模拟预测）设集合A={1,〃,5},4={小2一公+〃?=0}.若{1}=/^用且81儿则

m-vn=.

【答案】6

【难度】0.65

【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数

【分析[根据集合间的关系可知IwB,可得加=3,再由B=A求得〃=3,即可得解.

【详解】因为集合24={1,〃,5},8={小2一41+帆=0},

八{1}=（AC8）,KI]1GA111GBi可得1一4+〃1=0,解得〃?=3,

即有H=-4X+3=0}={1,3},又BqA,所以〃=3,所以加+〃=6.

故答案为：6

6.（23-24高一上•湖北•阶段练习圮知集合4={x|/+2x-8NO},6={幻炉-2改+4«0},若a>0,且AcB

中恰有3个整数元素，则实数。的取值范围为________.

【答案】闻

【难度】0.65

【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式

【分析】利用解不含参的•元二次不等式得A,再利用函数方程根的分布，结合含参数的交集运算得

8-4^<0

20-86/<0,最后计算得结论.

29-10a>0

【详解】集合A={x|/+2x-820}={小4-4或壮2},

设fa）=f-2m:+4,则函数〃力的图象开口向上，而由。>0知：对称轴x=a>0.

因为AcB中恰有3个整数元素，所以方程/（力=0有实数根，

令小々是方程/a）二o的两根，贝人

所以0<%K2K占（取为工巧），所以Acb中恰有3个整数元素为2,3,4,

/（2）<0[8-4«<0

plij/（4）<0,即J20-8。40,解得5**29，

/（5）>039-1。4>0

-

所以实数。的取值范围为匕5，而29、〉

故答案为：[53而29、J

重难点题型3韦达定理与根的判别式

1.（2023•全国•高三专题练习）关于x的不等式衣―法+cvO的解集为则不等式加2+at+cvO的

解集为（）

（1A/3、

A.（1,2）：B.（-1,2）C.——»1D.—~,1

I2/I2/

【答案】D

«>0

【解析】7加+〃x+c<0的解集是（-3,1）,-3+1=-「，得〃=2a,c=-3a,

-3xl=-

a

则不等式取2+ar+cvOo2/+at-3a<0，

3

即2f+1_3<0,解得：--<x<l,

所以不等式的解集是

故选：D

2.[2023•全国•高三专题练习）已知关于x的不等式orz+2加+4<0的解集为，〃，一，其中用<0,则；■十：

km）4ab

的最小值为（）

A.-2B.1C.2D.8

【答案】C

4444

【解析】由题意可知，方程a*+2/»+4=0的两个根为m,则〃?•一二一，解得：4=1,故〃i+—=

mniam

m<0,

所以2〃=-m—当且仅当-加=-应，即/〃=一2时取等号，贝1坨22,

mYIm）m

所以二十2，+12、的=2,当且仅当g即8=4时取等号，

4ab4bN4b4b

b4

故";—H—的最小值为2.

4ab

故选：C.

（8冗、

3.（2024•江西•一模）己知tan。，tan彳一。是一元二次方程丁+ar—5=0的两个根，则”（）

IA/

A.65/3B.-66C.4+D.-473

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、一元二次方程的解集及其根与系数的关系

【分析】结合根与系数关系可得tanO+ta哈-。）=-%tanOta臂-。卜-5,再利用两角和的正切公式

可求出。的值.

【详解】因为tan。，是一元二次方程幺+公_5=（）为两个根，

/8兀、/8方、

显然△=/+20>0,所以tan°+tan'_0=_Q,tantan--0=-5,

\3）\7

tan+tan---0

所以----------7?----T=Uin~?=一百二一a

,八f8兀八）3

I-tantanI--I

所以a=6G.

故选:A.

4.（2023•北京海淀•模拟预测）已知关于x的不等式/+at+〃>0（a>0）的解集是{xlxwd},,则下列四个结

论中错误的是（）

A.a2=4b

B.a2+->4

b

C.若关于k的不等式f+ai=bvo的解集为5再），则x匹>0

D.若关于x的不等式/+如+8VC的解集为（鸟，/），且国-玉|=4,则0=4

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次方程的解集及其根与系数的关系、由一元二次不等式的解

确定参数

【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理，基本不等式进行求解即可.

【详解】由题意△=/-4/>=0,a2=4Z>,所以A正确；

对于B：〃+』=〃+2*zja?.&=4,当且仅当即〃=血时成立，

ba~Va~a~

所以B正确；

对于C,由韦达定理，可知KW=4=-?V0,所以C错误；

2

对于D,由韦达定理，可知须+修=一。耳占=〃一C=?■一C，

则h_X2|=J（M+a）2_4%X2=Ja2—4（.一c）=2^=4,解得c=4,

所以DIE确，

故选：C.

5.（2024•江西•二模）法国数学家卢卡斯在研究一元二次方程W-x-1=0的两个根内,当不同辕的和时，发

现了玉+~=1，<+x-=3，…，由此推算x：°+E°=.

【答案】123

【难度】0.65

【知识点】方程与不等式、一元二次方程的解集及其根与系数的关系

【分析】利用韦达定理及片=内+1，4=/+1可先计算立方和.再求五次方和，结合完全平方公式计算即

可.

【详解】因为％+%2=1，玉“2=7,=Xj+1,X?=x2+1,

所以M+片=X（Ki+l）+W（p+l）=k+©+（%+/）=2（x+/）+2=4,

所以x：+£=x；（%+1）+卫（/+1）=（x；+x；）+（x；+£）=卜；+E『一2（X/J+（X+E）=11，

所以x：°+E°=（父+七丫一2（入内）'=121+2=123.

故答案为：123

6.12020•陕西榆林•一模）已知1@11%1@I]2是一元二次方程/+2]-5=0的两实根，则tan（a+/?）=.

【答案】

【难度】0.85

【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、一元二次方程的解集及其根与系数的关系

【分析】利用韦达定理及两角和的正切公式即可求解.

【详解】因为tana,tan£是一元二次方程Y+2工-5=0的两实根,

所以tan(z十tan/7=—2>tan(z-tan/7=—5,

tana+lan1-22I

所以tan(a+/?)=

ITana,tan.

故答案为：-

重难点题型4二次函数的根的分布问题

1.（22-23高三上•辽宁沈阳•期中）已知关于x的方程一依+&+3=0有两个正根，那么两个根的倒数和最

小值是（）

28

-C-

A.B.39D.

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】一元二次方程根的分右问题、一元二次方程的解集及其根与系数的关系

1IX]+x2k1

【分析】由判别式可解得上.6,由根与系数关系可得T+Z==E=由左的范围结合不等式的

工

性质变形可得答案.

【详解】由题意可得4=（/2_像+3）..0,

解得女..6或攵＜一2,

设两个为巧，占，由两根为正根可得

玉十七二k>0

解得Q0,

XfX2=攵+3>0

综上知，k..6.

故两个根的倒数和为:+；=*

k1

k+31,2»

故1<|+淖33，

k2

12

・•.在弓

k

故两个根的倒数和的最小值是。2.

故选：B

2.（2023•江西•模拟预测）若a,方是函数一川+,/（〃〉（），。>0）的两个不同的零点，且小b,

-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则〃•。的值等于（）

A.17B.18C.19D.20

【答案】D

【难度】0.85

【知设点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、等比中项的应用、等差中项的应用

ab=4、ab=4

【分析】由题设知砧=9>0,易得、。或7cc，即可求〃、b,进而可求PP.

b-2=2a［b-2=2a

［详解］由题设知：a+b=p>0,ab=q>0,

a，h,-2这三个数可适当排序后成等差数列，则。-2=»或b-2=加或〃+8=-4（舍）;

a,b,-2这三个数可适当排序后成等比数列,则而=4或一2a=从（舍）或一3=/（舍）;

ab=4\ab=4，解得ka=l4或[6%7==14或I%67==--22（舍）・

MV4

〃-2=2厂[b-2=2a

g）p=5,<7=4,则p-g=20.

故选：D

3.（23-24高三上•上海崇明•期中）已知不等式i+办+〃>0（〃>0）的解集是（“工工刈，则下列四个命题：

①a2-lr^4:

②1

一

〃

③若不等式V+ax-ZJCO的解集为（斗士），则不M>。；

④若不等式/+如+方<。的解集为（不毛），且1%-/1=4,则c=4.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、基本不等式求和的最小值、作差法比较代数式的大

小

【解析】因为,〃")=/+"+仅。>0)有且只有一个零点，故可得△—片-48-0,即可〃一43>0,再利用

基本不等式和不等式的性质以及韦达定理，即可得答案;

【详解】由题意，△=/—4〃=(),

0b=—.

4

对「①：a2-h2=4b-h2=-(h-2)2+4<4,

等号当且仅当a=2应力=2时成立，所以①正确;

2+2+2

对于②：a^=«^-14,

等号当且仅当即〃=夜时成立,

回②正确；

对于③：由韦达定理,知中2=-b=-^-<0,0(3)错误;

对于④：由韦达定理,知Xi+x2=-a,xtx2=O-c=(-c,

2

则|.一_彳21=y/(x,+.x2)-4.1|X,==2丘=4,

解得c=4,回④正确;

综上，真命题的个数是3,

故选：C.

4.(2024・安徽合肥•模拟预测)函数/(力二加+2工-4〃-6在(-2,2)上有两个零点，则。的取值范围是

【答案】

【难度】0.85

【知以点】解含有参数的一元二次不等式、根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据函数零点的个数

求参数范围

【分析】分类讨论〃是否为0,得出不同情况下函数的情况，即可求出。的取值范围.

【详解】由题意，在/(力=双2+右一加一6中，

当。=0时，/(x)=2x-6,函数单调递增，

在(-2,2)上，/(x)=2x-6<0,无零点,舍去，

当awO时，/(丫)=+2丫-4〃一6,

/(一2)=a［(-21-4+2x(-2)-6=-10,

/(2)=«(2-4)+2x2-6=-2,

o1

对称轴工=-丁=—»回图象过(-2,-10),(2,-2),

乙aa

团函数图象开口向下，

a<0

A=22-4«(^-6)>0,解得：

故答案为：J%-言，

5.(2024・新疆•模拟预测)已知不等式一9一5X+620的解集为限可，若关于工的不等式a?+独+d0的解

集半空，则/的最小值是.

【答案】W

【难度】0.85

【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上有解问题

【分析】解不等式可得a=-6,b=\,分析可知6/-XT40的解集非空，求解即可.

【详解】由于一f-5x+6=-(x+6)(x-】)，故不等式一“2-5%+620的解集为［F1］，所以

ax2+bx+t=-6x2+x+f•

这表明条件等价于关于大的不等式6/-XTWO的解集非空.

假设，<一工，则对任意x都有642-%-26/-1+-!-=6仁-'120,所以6/7TV0的解集为空，不

24241\2)

满足条件，故一定有壮-圭.

而予=一］时，=~\16x2-x-t=6'{--—+—=—......-+—=,所以不等式6x?-x-f40的解

2412\\2）1224241224

集包含J一定非空，满足条件.

所以，的最小值是一二.

故答案为：

6.（2023♦全国•高三专题练习）已知方程f—（2々+1卜+。（〃+1）=0的两根分别在区间（0,1）,（1,3）之内，则

实数〃的取值范围为.

【答案】（0,1）.

【解析】方程/一（2。I1）%I々（al）=0=>（x«）［%（«+1）］=0

，方程两根为玉=〃+1，

若要满足题意，则〈,°,解得

1<4+1<3

故答案为：（0,1）.

7.（2023•全国•高三专题练习）若方程2x（6-4）一9+6=。有两个不相等的实根，则k可取的最大整数值是

【答案】1

【解析】方程化为(2攵-1)/一8%一6二0,

由小=64-24(2攵-1)>0,ZH；解得Av弓，

所以A最大整数值是1.

故答案为：1.

重难点题型5一元二次不等式的恒成立问题

■・・•・*•・••■•■••・•・•・•・・•・•・••■・■■・■・・・・•■•・■・・•■•・・•・•■・■•・・・••・•■・•・・・•・•・(■•・•・・■■•・・・••・•・••■•■・・■・■■•■・■■•■•■••・・■•■•・••

1.(2024♦四川攀枝花•一模)命题"3x£Rf+(a+l)x+l<0〃为假命题，则实数。的取值范围为()

A.(-oo,-3]u[h-Ko)B.(YO,-3)U(l,*o)

C.[-3,1]D.(-3,1)

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】根据全称命题的真假求参数、•元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据特称（存在性）命

题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断

【分析】由题意可知己知命题的否定为真命题，进而根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得出答案.

【详解】由已知可得，命题*+<0〃的否定，

即命题"DxtRf+g+Dx+l20”真命题，

根据二次函数的性质可得，应有A=（a+1『—4=。2+2々一3£0,

解得-3WaWl.

故选：C.

2.（24-25高三上•湖南长沙•阶段练习）命题〃：VXGR,涓+2.忏5>0为真的一个充分不必要条件是（）

A.a<-B.a>\C.D.a>-

555

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次不等式在实数集上恒成立问题

a>01

【分析】由题意以2+2工+5>0在R上恒成立，得八”八，进而得即得.

△=4-20。<05

【详解】因命题〃为真，故如2+21+5>0在R上恒成立，

a>f

故］AAon/n，解得7

△二4一20〃<05