人教版七年级下册不等式与不等式组知识总结与练习题

人教版七年级下册不等式与不等式组知识总结与练习题同学们，在我们的数学学习之旅中，方程帮助我们解决了许多“相等关系”的问题。但在现实生活中，数量之间的关系并非总是相等的，更多时候是“不等”的。比如，你的身高和同桌的身高，你们拥有的零花钱数量，跑步所用的时间等等。为了刻画这些不等关系，我们引入了“不等式”的概念。本章我们将系统学习不等式与不等式组的相关知识，它不仅是数学知识体系的重要组成部分，也是解决实际问题的有力工具。一、知识总结梳理（一）不等式的概念与性质1.不等式的定义：用不等号（“>”、“<”、“≥”、“≤”或“≠”）表示大小关系或不等关系的式子，叫做不等式。*例如：`x+3>5`，`2y-1≤3`，`a≠0`等都是不等式。2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。*例如：对于不等式`x+1>2`，`x=2`是它的一个解，`x=3`也是它的解，实际上它有无数个解。3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫做解不等式。*不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，这有助于我们理解和比较解集的范围。*表示“>”或“<”时，用空心圆圈表示不包含该点；*表示“≥”或“≤”时，用实心圆点表示包含该点。*大于向右画，小于向左画。4.不等式的基本性质：这是解不等式的依据，非常重要，要与等式的性质对比记忆。*性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。如果`a>b`，那么`a±c>b±c`。*性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。如果`a>b`，`c>0`，那么`ac>bc`（或`a/c>b/c`）。*性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变。如果`a>b`，`c<0`，那么`ac<bc`（或`a/c<b/c`）。*注意：在不等式两边不能同时乘以或除以0，因为0不能作除数，且乘以0后不等式变为等式。（二）一元一次不等式1.定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。*其标准形式为：`ax+b>0`或`ax+b<0`（`a≠0`），也可以是“≥”或“≤”。2.解法步骤：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变。*去分母（注意：若分母为负数，或乘以一个负数时，不等号方向要改变）；*去括号（依据乘法分配律，注意符号）；*移项（把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号）；*合并同类项（化为`ax>b`或`ax<b`的形式）；*系数化为1（两边同除以未知数的系数a。若a>0，不等号方向不变；若a<0，不等号方向改变）。*检验：虽然不像解方程那样严格要求，但可以代入特殊值检验解集的合理性，养成好习惯。（三）一元一次不等式组1.定义：把含有相同未知数的几个一元一次不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组。2.不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。3.解一元一次不等式组的步骤：*分别求出不等式组中各个不等式的解集；*利用数轴（或口诀）求出这些解集的公共部分，即为不等式组的解集。4.确定不等式组解集的口诀（借助数轴理解更直观）：*同大取大：如果两个不等式的解集都是大于某数，那么不等式组的解集就是大于那个较大的数。*同小取小：如果两个不等式的解集都是小于某数，那么不等式组的解集就是小于那个较小的数。*大小小大中间找：如果一个不等式的解集是大于较小的数，另一个是小于较大的数，那么不等式组的解集就是介于这两个数之间。*大大小小无解了：如果一个不等式的解集是大于较大的数，另一个是小于较小的数，那么这两个解集没有公共部分，不等式组无解。二、专题练习题（一）基础巩固1.用不等式表示下列数量关系：*（1）x的3倍与2的差不小于1；*（2）y的一半与4的和是非负数；*（3）a的平方与1的和大于a；*（4）m与n的差的绝对值不大于5。2.若`a<b`，则下列不等式中一定成立的是（）A.`a+3>b+3`B.`2a>2b`C.`-a<-b`D.`a-1<b-1`3.解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：*（1）`3(x-1)<2x+5`*（2）`(x-1)/2≥(2x+1)/3-1`4.解下列不等式组：*（1）`{x-1>2,2x<8}`*（2）`{3x-2≤x+6,(5x+3)/2>x}`（二）能力提升5.当k为何值时，关于x的方程`2x-k=5`的解是正数？6.若不等式组`{x>a,x<3}`无解，则a的取值范围是________。7.已知关于x的不等式`(a-1)x>a-1`的解集为`x<1`，则a的取值范围是________。8.某商店准备购进A、B两种商品。已知购进A商品3件和B商品2件，共需120元；购进A商品5件和B商品4件，共需220元。*（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？*（2）若该商店准备用不超过1000元购进这两种商品，且A商品数量不少于B商品数量的2倍，问最多能购进多少件B商品？（注：商品数量为正整数）（三）拓展应用9.某校组织学生参加社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果改租同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满。已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元。*（1）原计划租用45座客车多少辆？参加社会实践活动的学生有多少人？*（2）若要使每个学生都有座位，且租车费用最省，应该怎样租车？（可以同时租用两种型号的客车）三、参考答案与提示（部分）（为保证独立思考，此处仅提供部分提示和简要答案）基础巩固1.（1）`3x-2≥1`；（2）`y/2+4≥0`；（3）`a²+1>a`；（4）`|m-n|≤5`2.D3.（1）`x<8`；（2）`x≤2`（数轴表示略）4.（1）`3<x<4`；（2）`-1<x≤4`能力提升5.`k>-5`（提示：解方程得`x=(k+5)/2`，令`(k+5)/2>0`）6.`a≥3`7.`a<1`（提示：不等号方向改变，说明系数`a-1<0`）8.（1）A商品进价20元，B商品进价30元；（2）最多购进13件B商品。拓展应用9.（1）原计划租45座客车5辆，学生240人；（2）租4辆45座和1辆60座最省，费用1180