简单的轴对称图形第（第3课时）角平分线 同步练习-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

北师大版七年级数学下册第5章3简单的轴对称图形第第3课时角平分线

一.选择题（共10小题）

1.一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边

的距离相等，凉亭的位置应选在（）

A.△ABC三边的中垂线的交点B.△ABC的三条中线的交点

C.△ASC三条高所在直线的交点D.△ASC三条角平分线的交点

2.下列各点中，到NAOB两边距离相等的是（）

A.点、PB.点。C.点MD.点N

3.如图，在△ABC中，CQ平分NAC8交AB于点。，OE_LAC于点E,

。/_LBC于点F,且8c=4,DE=2,则△吕。。的面积是（）

A.4B.2C.8D.6

4.如图，直线/、/‘、r表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加

油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）

A.一处B.二处C.三处D.四处（第3题）

5.如图，ZVIBC的三边AB,BC,CA的长分别为20,30,20,三条角平分线交

于点O，则S/M8O：S^BOC：Sad。等于（）

A.1：1：1B.2：2：3C.2：3：2D,3：2：2

6.如图，在△44C中，AO平分/84C,若A6=10,AC=8,fflS^ABD：S&ACD=（)(第4题)

A.25：16B,5：4C.16：25D,4：5

7.如图，用直尺和圆规作NMAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（）

A.AD=AEB.AD=DFC.DF=EFD.AFIDE

8.如图，AB//CD,B尸和C尸分别平分NA3C和NOCB,A。过点P,且与A8垂直，若AO=8,则点P

到8c的距离是（)

B.6C.4

（第5题）（笫6题）（第7题）（第8题）

9.如图，已知在四边形A8CO中，N8CQ=90°,BD平分NABC,

AB=6,BC=9,CD=4,则四边形A8CD的面积是（）

A.24B.30C.36D.42

10.如图，在△A8C中，NC=90°,点。是/C44、N44。平分线的

交点，且BC=8cm,AC=6cmtAB=10cm,则点。到边AB的距离为（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm（第10题）

二,填空题（共6小题）

II.如图，在△ABC中，NC=90°,4C=20,DC=^AD,BD平分NA8C,

则点D到AB的距离等于.（第11题）

12.如图，在RtAABC中，/C=9D°,8E平分NA8C,£D_LA8于点O,AC=3c〃?，则AE+OE=cm.

13.在△A3C中，ZC=90°,力。平分N84C,8c=10,80=7,则点。到A3的距离为

14.如图，在△AAC'中，ZC=90J,A。平分NZAC父AC于点。，DELA8,垂足为

若8c=4,DE=1.6,则8。=.

15.如图，已知△/WC的周长是20c/〃，BO,CO分别平分/ABC和N4C8,ODLBC

于点。，且。。=3。〃，则△48C的面积是cm2.

16.如图，8。平分NA8C,4。平分△8AC的外角，MQ〃8C,与AC相交于点N,与A8相交于点M,

已知BM=7cm,CN=4cm,则MN的长为

（第12题）（第13题）（第15题）（第16题）

三,解答题（共8小题）

17,已知△ABC中，ZB=50°,ZC=70a,A。是△48C的角平分线，DELAB于点E.

（1）求NED4的度数；（2）若A3=10,AC=8,DE=3,求S“BC.

E

BDC

18.已知，如图，8。是N48C的平分线，4B=8C,点P在8D上,

PMVAD,PNLCD,垂足分别是M、N.试说明：PM=PN.

19.如图，A。是△A8C中N8AC的角平分线，于点区

SMBC=1,DE=2,A8=4,求力。长.

20.如图，△A8C44,AD是△ABC的角平分线，QE_LAB于点E.

(1)若NB=40°,ZC=76s,求N£ZX4的度数.

(2)若A/3=20,AC=16,DE=6,求△A/?C的面积.

21.如图，在△A3C中，ABVBC,BE±AC^E,A尸平分NBAC交于点凡DF//BC.

(1)试说明：BF=DF；(2)延长Ab交〃。于点G,试说明：BG=DF.

B

22.如图，四边形ABCQ中，NB=90°,48〃C。，M为8c边上的一点，且AM平分N8AD,QM平分

ZADC.求证：(1)4M_LOM；(2)M为8c的中点.

23.如图①，在△A8C中，NAC4是直角，ZB=60°,AD.CE分别是N84C、NBCA的平分线，AD.

CE相交于点F,且产G_LA8于G,FHLBC于H.(1)求证：NBEC=NADC；(2)请你判断并FE与

尸。之间的数量关系，并证明；(3)如图②，在△ABC中，如果N4C8不是直角，NB=60'，AD.CE

分别是NBA。、N8C4的平分线，AD.CE相交于点F请问，你在(2)中所得结论是否仍然成立？若

成立，请证明；若不成立，请说明理由.

C

图①困②

北师大版七年级数学下册第5章3简单的轴对称图形第第3课时角平分线

参考答案与试题解析

一,选择题（共10小题）

寇号123456789K）

答案DBADCBBCBB

一.选择题（共10小题）

1.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉

亭的位置应选在（）

A.△人8c三边的中垂线的交点

B.△AEC的三条中线的交点

C.△ABC三条高所在直线的交点

D.AABC三条角平分线的交点

【分析】由角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等,即可判断.

【解答】解：由角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得到△44C三条角平分线的交点到三条边的

距离相等.

故选：O.

【点评】本题考杳角平分线的性质，关健是掌握角平分线的性质.

A.点?B.点。C.点MD.点N

【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答.

【解答】解：由图形可知，点。在NA08的角平分线上，

・••点。到NA08两边距离相等，

故选：B.

【点评】本题主要考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关

键.

3.如图，在△ABC中，C。平分NAC8交4B于点Q,QE_LAC于点E,OF_L8C于点F,旦8c=4,DE

=2,则△BCD的面积是（）

【分析】根据角平分线的性质得出。E=OF=2,根据三角形的面积公式求出答案即可.

【解答】解：・・・。。平分/ACB,DELAC,DFLBC,

：.DE=DF,

•；DE=2,

/.DF=2,

VBC=4,

11

:•△BCD的面积S=xFCXDF=X4X2=4,

故选：A.

【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等.

4.如图，直.线I、/'、r表示三条相互交叉的公路，现计划是一个加油站，要求它到三条公路的距离相

等，则可供选择的地址有（）

A.一处B.二处C.三处D.四处

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解.

【解答】解：如图所示，加油站站的地址有四处.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键，作出图

形更形象直观.

5.如图，AABC的三边AB,BC,C4的长分别为20,30,20,三条角平分线交于点O,则S/MBO：

A.1：1：1B.2：2：3C.2：3：2D,3：2：2

【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20,

30,20,所以面积之比就是2：3：2.

【解答】解：过点。作OO_LBC于。，OElACfE,OFlAB^F,

丁点。是内心,

：,OE=OF=OD,

111

/.S/.ABO：S^BCOtS/\CAO=^*AB9OE：-BC*OF：-AC*OD=ABiBC：AC=2z3：2,

222

故选：C.

【点评】本题主要考杳了角平分线性质，三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.

6.如图，在△ABC中，AZ)平分NB4C,若AB=10,AC=8,则S"Q：S^ACD=()

A

A.25：16B.5：4C.16：25D.4：5

［分析］先根据角平分线性质得到点D到AB和AC的距离相等，然后根据三角形面积公式得到SMBD：

S^ACD=AB：AC.

【解答】解：・・・人。平分NMC,

/.点D到AB和AC的距离相等,

S/,ABD：S^ACD=AB：AC=10：8=5：4,

故选：B.

【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积，能熟记角平分线性质是解此题的关键，角平分线上

的点到角两边的距离相等.

7.如图，用直尺和圆规作NM4N的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（）

A.AD=AEB.AD=DFC.DF=EFD.AF1DE

【分析】利用基本作图得到AF平分NMAM则根据角平分线的画法可对选项进行一一判断.

【解答】解：角平分线的作法如下：①以点A为圆心，AD长为半径作弧，分别交AM、AN于点。、E；

②分别以点。、E为圆心，。尸长为半径作弧，两弧在/MAN内相交于点尸；

③作射线AP,Ab即为NM4N的平分线.

根据角平分线的作法可知，AD=AE,DF=EF,

根据等腰三角形的三线合一可知AFLDE,

故选：B.

【点评】本题考查了用直尺和圆规作角平分线的方法，掌握画法是解题的关键.

8.如图，AB//CD,BP和CP分别平分NABC和NOCB,AO过点P,且与AB垂直，若AO=8,则点P

到8c的距离是（)

A.8B.6C.4D.2

【分析】过点P作PE_L8C于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得以=PE,PD=PE,

那么=又AO=8,进而求出PE=4即可.

【解答】解：如图，过点P作P£_L8C于£,

由条件可知：PDLCD,

,:BP和CP分别平分NA8C和NOC8,

:.PA=PE,PD=PE,

：.PE=PA=PD,

'：PA+PD=AD=^,

工抬=尸。=4,

：.PE=4,

即点尸到BC的距离是4.

故选：C.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键.

9.如图，己知在四边形/WC力中，ZZ?CD=90°,平分N/WC,八。=6,I3C=9,CD=4,则四边形

ABCD的面积是（）

A.24B.3()C.36D.42

【分析】过。作交朋的延长线于，，根据角平分线的性质得到。"=。。=4,根据三角形的

面积公式即可得到结论.

【解答】解：过。作DHLAB交BA的延长线于H,

••MO平分N/WC,NBCD=900,

:・DH=CD=4,

/.四边形ABCD的面积=SAA£D+SZI8CD=^AI^DH+^BC*CD=1x6X4+1x9X4=30,

故选：B.

【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键.

10.如图，在△A4C‘中，NC'=90",点。是NCA从NAAC平分线的交点，且4C=8c〃bAC=6c〃z,AH

=10cm,则点O到边人8的距离为（）

【分析】过O点作OQ_LA8于。，OE1ACTE,OFVBC^F,连接OC,如图，先根据角平分线的

性质得到OD=OE=OF,再根据三角形面积公式得到，・48・0。+最4。・0£+28。・。产=14。・8。，即

-xlOXOD+|x6XOD+1x8XOD=1x6X8,然后解方程求出0。即可.

2ZZZ

【解答】解：过。点作OD_LAB于。，OE_LAC于E,OFIBC^F,连接。。，如图，

•••点。是NCA8、N4BC平分线的交点，

AOD=OE,OD=OF,

JOD=OE=OF,

*.*SMOB+SMOC+S^BOC=S8ABC，

1111

:•一AB・OD+OE+±BC+OF=/C"C,

2ILL

1ill

即一xIOX0D+4X6X0D+4X8X0D=4x6X8,

2222

解得00=2,

即点。到边A8的距离为2。几

故选：B.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了三角形的面

积公式.

二.填空题(共6小题)

1

II.如图，在△/WC中，NC=90°,AC=2()fDC=^AD,平分N/WC,则点。到AB的距离等于

由角平分线的性质可求解.

【解答】解：如图，过点。作。”_L48,垂足为从

VAC=20,DC=^AD

•••QC=5,

•••83平分NA8C,ZC=90"，DHLAB,

:.CD=DH=5,

••・点。到A"的距离等于5,

故答案为:5.

【点评】本题考瓷了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质是本题的关键.

12.如图，在「△ABC中，ZC=90°,BE平分NA8C,EDLAB于点、D,AC=3an,则4E+OE=3

cm.

【分析】根据角平分线的性质得出CE=OE，求出4E+OE=AC,再代入求出答案即可.

【解答】解：・・・NC=90°,

・・.4C_L8C,

〈ED工AB,BE平分NABC,

：.DE=EC,

*：AC=3cm,

:・AE+DE

=AE+CE

=AC

=3cm,

故答案为：3.

【点评】本题考查了角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键.

13.在△ABC中，ZC=90°,4D平分NB4C,BC=10,BD=1,则点Q到AB的距离为3.

【分析】过。作。EL48于E,根据角平分线性质求出OE=C。，即可得出答案.

【解答】解：如图，过。作OEJ_AB于E,

VBC=10,BD=1,

:・CD=BC-BD=3,

VZC=90°,AO平分N84C,

:,DE=CD=3,

故答案为：3.

C

【点评】本题考查了角平分线性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.

14.如图，在△A4C中，ZC=90o,AD平分N8AC交6c于点。，DELAB,垂足为£,若6c=4,DE

=1.6,则BD的长为2.4

【分析】由角平分线的性质可知。=DE=1.6,得出8Q=8C・8=4・1.6=24

【解答】解：:A。平分N8AC,DEA.AB,ZC=90°,

:,CD=DE,

•・・DE=1.6,

；・8=1.6,

：,BD=BC-CD=4-1.6=2.4.

故答案为：2.4

【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.

15.如图，已知△?1比?的周长是20。〃，40,CO分别平分NA8c和NAC8,OO_L4C于点D,且。。=

3cm,则△A8C的面积是30cm2.

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点。到AB、AC、的距离都相等(即OE=

OD=OF),从而可得到AABC的面积等于周长的一半乘以3,代入求出即可.

【解答】解：YOB、。。分别平分NA8C和/AC8,

AOE=OF=OD=3

•••△A4C的周长是20,OD1BC于D,且0。=3。〃，

IXABXOE+ixBCXOD+1xACXOF

乙乙乙

=1x(AB+BC+AC)X3

=1x20X3

=30(c/n2)»

故答案为：30.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系

是解题的关键.

16.如图，8。平分人。平分△B4C的外角，与4c相交于点M与相交于点

已知BM=7c/〃，CN=4cm,则MN的长为3cm.

【分析】过点。作。以L8C,交8C的延长线于点R过点。在。”_LAC,垂足为“，过点。作。G_L

AE,垂足为G,先利用角平分线的性质定理可得。G=OP=。"，从而利用角平分线的判定定理可得CO

平分NAC.人然后利用角平分线的定义和平行线的性质可得和△CON是等腰三角形，从而可得

MB=MD=7cm,CN=DN=4cm,最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答.

【解答】解：过点。作OELBC,交8c的延长线于点F,过点D在。HJ_AC,垂足为从过点。作

DGLAE,垂足为G,

：平分/ABC,DFtBF,DGLBA,

:,DG=DF,

;4。平分/CAE,DHLAC,DGA,AE,

：.DH=DG,

:・DF=DH,

・・・CO平分NAb,

/.ZACD=/DCF,

•.•8。平分/ABC,

：.ZABD=^DBC,

'：DM//BC,

，ZCDM=/DCF,ZDBC=NMDB,

/.ZABD=/MDB,ZACD=ZCDM,

:.MB=MD=「an,CN=DN=4cm,

：.MN=DM-DN=1-4=3（c/n）,

故答案为:3cm.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适

当的辅助线是解题的关键.

三,解答题（共8小题）

17,已知△ABC中，ZB=50°,ZC=70°,AD是△ABC的角平分线，DE上AB于点、E.

（1）求NED4的度数；

（2）若4/3=10,4C=8,DE=3,求&ABC.

【分析】（1）A。是△ABC的用平分线，则A。将N8AC分成两个度数相等的角;

（2）4D是△ABC的先平分线，则点。到/B4C两边的距离相等.

【解答】解：（1）VZB=50°,ZC=70°,

・・・NZMC=1800-ZB-ZC=180°-50°-70°=60°.

VAD是△ABC的角平分线，

AZBAD=^ZBAC=1x60°=30°.

*：DEA.

・・・NO£4=90°,

.\ZEDA=1800-ZBAD-ZD£A=180°-30°-90°=60°；

（2）如图，过D作DF_LAC于点凡

TA。是△A3C的角平分线，OE_LA8,

/.DF=DE=3,

又・・・AB=10,AC=8,

・•・S/、ABC=|XABXDE+1xACXDF=|xlOX3+|x8X3=27.

【点评】此题考查的是角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边的距离相等、三角形内角和等于180

度是解决此题的关键.

18.已知，如图，6。是N48。的平分线，AB=BC,点。在8。上，PMLAD,PNLCD,垂足分别是M、

N.试说明：PM=PN.

【分析】根据角平分线的定义可得/人8O=NCB。，然后利用“边角边”证明△人4。和ACB。全等，

根据全等三角形对应角相等可得NAOB=NCD8,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明

即可.

【解答】证明：:瓦)为NA8C的平分线，

・•・NABD=NCBD,

AB=BC

在△48/)和△C8。中，乙ABD=乙CBD,

BD=BD

•••△ABOdCB。(SAS),

・••NADB=/CDB,

丁点尸在8。上，PM1AD,PNLCD,

:・PM=PN.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等二角形的判定与性质，确定出

全等三角形并得到是解题的关键.

19.如图，4。是△A8C中NMC的角平分线，于点E,S^ABC=1,DE=2,AB=4,求4c长.

【分析】过。作于K根据角平分线性质求出DF=OE=2,根据以4阳+%AOC=7和三角形

面积公式求出即可.

,••人。是△/A6C中/94C的角平分线，£>EJ_A6丁点E,DE=2,

[DE=DF=2,

'：S/、ABC=7,

••S/\ADB^S^,ADC=7,

11

A-xABxDE+-xACxDF=7,

22

11

/.-x4x2+_xACx2=7,

22

解得：AC=3.

【点评】本题考查了角的平分线性质，三角形面积公式的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注

意：角平分线上的点到角两边的距离相等.

20.如图，ZXABC中，A3是△A8C的角平分线，DELAB于点E.

(1)若N4=4(r,ZC=76s,求NEDA的度数.

(2)若人“=20,AC=16,£)E=6,求△AAC的面积.

【分析】(1)先利用三角形内角和定理可得N84C=64°,然后利用角平分线的定义可得/D4B=32°,

再根据垂直定义可得NOE4=90°,从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；

(2)过点。作。/_L4C,垂足为凡先利用角平分线的性质可得。£=。尸=6,然后根据AABC的面积

=/\ACD的面积+ZL4O8的面积，进行计算即可解答.

【解答】解：(1)VZB=40°,ZC=76°,

・・・N8AC=1800-ZB-ZC=64°,

•・F。平分/84C,

/.ZDAB=|ZBAC=32°，

DEIAB,

・・・NOEA=9(T,

，NAQ£=9(T-ZDAB=5Sa,

・・・N£D4的度数为58°；

(2)过点。作。F_LAC,垂足为尸,

•••人。平分/BAC,DEA.AB,DF1AC,

:,DE=DF=6,

;AB=20,AC=16,

/.△ABC的面积=4ACQ的面枳+Z\AO8的面枳

=|xl6X6+1x20X6

乙乙

=48+60

=108,

••・△44C的面枳为108.

【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的

辅助线是解题的关键.

21.如图，在△A8C中，AB1BC,8E_LAC于E,A尸平分NBAC交8E于点F,DF//BC.

(1)试说明：BF=DF；

(2)延长AF交8。于点G,试说明：BG=DF.

B

【分析】(1)由角平分线的性质可得尸E="/,由"ASA”可证AOEF也可得8尸=。尸；

(2)由等角的余角相等可得乙4尸石=/468=/8rG,可得8尸=8G=O?

【解答】证明：(1)如图，延长。/；交A4于〃，延长4：交4c于G,

'CABLBC,DF//BC,

C.DHVAB,

平分NA4C,BEA,AC,DHLAB,

:・FE=FH,

乂•：NDFE=NBFH,NDEF=NBHF=90°,

：.»DEF4»BHFCASA),

：.BF=DFx

(2)・・・A尸平分N8AC,

：.ZEAF=ZBAG,

*：ZEAF+ZAFE=W,N8AG+NAGB=90°,

...NAFE=ZAGB,

:・NBFG=/AGB,

:,BF=BG,

:,BG=DF.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用全等三

角形的性质是本题的关键.

22.如图，四边形/WCO中，N8=90°,AB//CD,用为〃。边上的一点，且AM平分NZMD,0M平分

ZADC.求证：

(1)AMLDM；

(2)M为BC的中点.

A

【分析】(1)根据平行线的性质得到N84O+乙">C=I8()°,根据角平分线的定义得到NMAQ+NAOM

=90°,根据垂直的定义得到答案；

(2)作NM_L4O,根据角平分线的性质得到MN=CM,等量代换得到答案.

【解答】解：⑴,：AB//CD,

工N840+NAQC=180",

TAM平分N84O,QM平分N4OC,

•••2NM4£>+2/4。历=180°,

••・NAMO+NAOM=9()°,

・・・N4MO=90°,

即AM±DM：

(2)作NM_L4D交AO于N,

VZB=90°,AB"CD,

CMVCD,

TAM平分N84£),QAZ平分N人DC,

:・BM=MN,MN=CM,

：,BM=CM,

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等

是解题的关键.

23.如图①，在△A8C中，NAC8是直角，ZB=60°,A。、CE分别是N8AC、N8CA的平分线，AD.

相交于点F，且/G_LA8于G,FH人BC于H.

(1)求证：