2026年高考一轮复习练习：向量法求空间角（附答案）

§7.7向量法求空间角

分值：90分

K知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.若直线/的方向向量与平面a的法向量的夹角等于130。，则直线/与平面a的所成的角等于（）

C.13O0D.以上均错

2.在空间直角坐标系中，已知向量机二（1,1,-1）是平面A8C的一个法向量，且而=（0,3,4）,则直线CO

与平面ABC所成角的正弦值是（）

C杏

3.如图，在直三棱柱48C-A山iGW，ZBCA=90°,AC=CG=4,M是A出।的中点，以C为坐标原点，建立

如图所示的空间直角坐标系.若砧_1的，则异面直线CM与43所成角的余弦值为（）

4.（2024・包头模拟）如图，底面A8CD是边长为2的正方形，半圆面底面48co，点P为圆弧4。上

的动点.当三棱锥P-BCD的体积最大时，二面角P-BC-D的余弦值为（）

B.匹吟

5.如图，在正方体A8CD-4囱GG中，点E是线段4G上任意一点，则4E与平面A8CO所成角的正弦值

不可能是（）

A俘BqC号D.l

235

6.（2024.毕节模拟）钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.如图，在

某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四

棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含。点，不含12点），已知

在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时,，相邻两钟面上

的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（）

A.更B.iC.些D.立

6464

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.三棱锥A-8CD中,平面A8D与平面BCD的法向量分别为用，〃2,若〃尸（L0,（））,吸=（-6，0,1）,

则二面角A-BO-C的大小可能为（）

A弓C聋D.*

8.在AABC中，8=3A8=2,BC=3,E为4c的中点，点/在线段BC上，且CF=2BF,将A/WC以直线

8C为轴顺时针转一周围成一个圆管，。为底面圆上一点，满足血=兀，则（）

A.BALBD

B.而在而上的投影向量是:瓦5

C.直线石尸与直线co所成角的余弦值为蜜

65

D.直线七E与平面ACO所成角的正弦值为噌

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.（2025•沧州模拟）已知正四棱柱ABCEMBGOi的底面边长与侧棱长之比为1:3,则平面D4/与平面

48G夹角的余弦值为.

10.如哥，在四棱锥/M8c。中，PAJ_平面ABC。，底面A8CO是矩形，AP=AB=2,AD=4tE是8c上的

点，直线P8与平面PDE所成角的正弦值为坐，则8E的长为____________.

6

四、解答题（共28分）

11.（13分）如图，已知在斜三棱柱A8C-A7TU中，A'BLB'C,侧面A8B穴是边长为2的菱形，且NA班

BC=BC.

（1）求证：平面平面A8C；（6分）

（2）若AC=AB,E是AC的中点，2芽=5而，求AP与平面A5E所成角的正弦值.（7分）

12.（15分）（2024.厦门模拟）如图,在四棱台A8CDA由CNi中，底面A8CD是边长为2的正方形,81G=1.

（1）证明：AA〃平面8DG；（6分）

（2）若A4_L8。，BC\=CC\=2,求平面8CQ与平面SC。夹角的余弦值.（9分）

能力拓展

每小题5分，共10分

13.（2024.临沂模拟）已知正方体ABCD-A闰CD中,M,N分别为CG,G。的中点，则（）

A.直线MN与4c所成角的余弦值为日

B.平面8MN与平面8G。1夹角的余弦值为呼

C.在BG上存在点0,使得SQ_LBDi

D.在8。上存在点P,使得PA〃平面8MN

14.在楼长为2的正方体A8CO-48CQ］中，动点M,N分别在棱8C,A8上，且满足AN=8W,当三棱锥

D-MAB的体积最小时，所加与平面AiMN所成角的正弦值是.

答案精析

LA2.B3.C

4.D［三棱锥P-BCD的体积与P到平面BCD的距离成正比，

故当三棱锥RBC7)的体积最大时，此时点?处于半圆弧的正中间位置.

点2处于半圆弧的正中间位置时，记AD的中点为0,以其为原点，而，而，而的方向分别作为X,>>,

轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

显然平面8c。的一个法向量为m=(0,0,1),

则P(0,0,1),B(2,-1,0),C(2,1,0),

则该向量与而=(2,-1,-1)和正二(2,1,-1)均垂直,

设n={x,y,z)为平面P8C的一个法向量，

所以n-PB=0,n-PC=0,

从而］2x-y-z=0,

2x+y-z=0.

令I,解得p二？

故n=(x,y,z)=(l,0,2)符合条件,

显然二面角P-8C。为锐角，

因此所求余弦值为|cos(n,m)\=-I1KO+OXO+2Kli

|n||m|Vl2+02+22xVo2+o2+l2

5.C|如图，以8为原点建立空间直角坐标系，设棱长为1,

则8(0,0,0),A(1,0,0),Bi(0,0,1),设EQ,1-r,1),0WW1,

所以近=(",1-/,1),平面A8CD的一个法向量为西二(0,0,1),

由〈西，荏〉i=Sg

=2，产+1喈，1],所以AE与平面/WCD所成角的正弦值的取值范围为惇，1],

对比各选项，(2项不可能

6.B[如图，在正四棱柱ABCQ-ANGOi中，E,尸分别为侧面A8以4和侧面3CG用的中心，

设G为的中点，EN为2点钟时针，尸M为8点钟时针，

贝|JNNEG=3O。，ZMFG=30°,

设正四棱柱的底面边长为«,侧棱长为b,

以。为原点，以曲，尻，西的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则£(Q，2f2),a，#华)'

喔，a,I),M(a,a,1-^),

前=(o,容钓,

西哈0T)，

-：a2

|_网t而_______

所以|cos(EN,FM)-1

一|前||前|一匹碗,3。2一牙

口+年xg+百

所以在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为

4

7.AD[由已知可得|cos〈小，〃2〉|二中斗二4,因此二面角48D-C的大小为；或。

I311百1266

8.ABD[△48C旋转一周后所得圆锥的顶点为C,底面圆心为B,半径A8=2,

所以圆的周长为4兀，所以4。所对的圆心角为,A正确；易知B正确；

以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,2,0),£)(2,0,0),C(0,0,3),E(0,1,1),F(0,0,1),

所以屁二(0,-1,一J,

CD=(2,0,-3),CX=((),2,-3),

所以|cos<EF,CD>I=黑鲁=甯，C错误；

\cr||CZ/|OD

设平面AC。的法向量为n=(x,y,z),则卜.丝=2%-3z=0,令,

n-CA=2y-3z=0,

则〃=(3,3,2).设直线EF与平面AC。所成的角为0,

则sin<9=|cos(EF,〃〉I=篙*比等，D正确.]

9.-

19

解析如图，以点。为原点，以DA,DC,所在直线分别为,z轴，建立空间直角坐标系，

设正四棱柱A8CZ)-4BiG£h的底面边长为〃(〃>()),

则DD}=3a,所以B(a,。，0),A}(a,0,3a),G(0,a,3a),

则4iB=(0,a,-3a),

丽二(。，4,0),,a,0),

设平面D4|8与平面ABC的法向量分别为/i=(xi,yi,zi),

“2=(X2,yi,22),

则,•便=例-3azi=0,

(n•丽=axx+ay1=0,

令汨=3，则〃=(3,-3,-1),

m-A1B=ay2-3az2=0,

m•=-ax2+ay2=0,

令Z2=l,则刑=(3,3,1),

设平面ZMI与平面AiBG的夹角为0,则cos伊SS」3x谭总飞,

所以平面。48与平面A1G夹角的余弦值为白

10.2

解析由题意知，在四棱锥P-ABCD中，0A_L平面ABCD,底面AI3CD是矩形，

以A为坐标原点，以48,AO,AP所在直线分别为X,)，，z轴建立空间直角坐标系，如图，

则A(0,0,0),8(2,0,0),P(0,0,2),0(0,4,0),设EQ,1,0)(04W4),

则而=(2,0,-2),PD=(0,4,-2),

而二(2,r,-2),而=(0,r,0),

设平面POE的法向量为n=(x,y,z),

贝-n=4y-2z=0,

{PE-n=2x+ty-2z=0,

令尸2,得n=(4-t,2,4),

设直线P8与平面P。石所成的角为＜9,ew[o,]，

所以sin〃=|cos〈方，〃〉|

_jpg-n[_________2t_________\/3

一|而反xJ(4-t)2+2()-6'

即5r+8r-36=0,

解得i=2或/=-蓝(舍去)，

故8E的长为2.

11.(1)证明如图，连接A/T,取4*的中点。，连接AQ,CQ,

由侧面AB37V为菱形，

所以A'B上AB'.

又由A'BLB'C,且ABC/TOB',AB',TCu平面B'AC,

所以4'83_平面B'AC,

又ACu平面B'AC,故而A'BLAC.

又由乙488W,

J

所以△ABB为等边三角形，

所以AQ_L88'.

由B'C=BC,所以CQJ_8£,

且AQQCQ=Q,AQ,CQu平面ACQ,

所以B*J_平面ACQ,

又ACu平面ACQ,所以ACJ_8ZT,

又BB'nA'B=B,BB',

ABu平面ABB'A',

所以ACJ_平面A884,

4cL平面ABC,

故而平面AB87T_L平面ABC.

(2)解如图，取A5的中点尸，连接AF,

由(1)知A3J_AC,ACLAF,

由/为AB的中点，

则A凡LA'8',即A/_LA8,

所以A8,AC,A尸两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

由AB=AC=2,所以A(0,0,0),5(2,0,0),Af(-1,0,V3),£(0,1,0),

所以丽二(2,-1,0),7^=(3,0,-V3).

设PCs,yo,zo),由2EA,=5EP,

得2(-1,-1,V3)=5(xo,yo-1,zo),

所以照=1,,zo=.

OJ3

所以Q=(-[,I，甯.

设平面A'BE的法向量为/i=(xi,y\,zi),

则『•包=。，即片】一月=。，

(n•A'B=0,(3/-VSzj=0,

令汨=1,则y\=2,zi=V3,

所以«=(1,2,V3),

令〃为4P与平面ABE所成的角，

所以sin<9=|cos<w,AP)|

_Jn-XP|_2_V2

-|n||^?rV8x^i-T'

所以AP与平面ABE•所成角的正弦值为号.

12.⑴证明方法一由棱台定义可知A4与CG共面，且平面ABC。〃平面AIBIGO.

又平面ABCDn平面ACG4产AC,平面4出4。£平面ACG4=4G,

AD.

所以AC〃A£.

连接AC交8。于点O,如图，则。为AC的中点.

因为BC=2BiCi=2,

所以AiG=4O.

所以四边形4AOG是平行四边形，

所以A4〃OG.

又AA。平面BDC\,

OGu平面BDC、，

所以A4〃平面BDG.

方法二将棱台补形成棱锥P-ABCD,如图，

由棱台定义知平面A8CO〃平面AIBICID).

又平面48CQn平面BCGB产BC,平面48com平面BCGB尸BiG,

所以BC//ffiCi.

连接AC交"。于点0,

则。为4c的中点.

又ABCPsABCP,所以黑二磐=2,所以G为PC的中点，

»1(71PC]

所以0G为44CP的中位线，所以AA〃0G.

又AAQ平面BDC\,OCu平面BDC\,所以A4〃平面BDG.

⑵解方法一在正方形ABCD中，BD±AC,又BD±AA},ACHAA}=A,,AA|U平面ACGAi,

所以BO_L平面ACG4.

因为OGu平面ACGAi,

所以BD10Q.

在RtABOG中,N8OG=90。，

BO=y2,8G=2,所以OG二企.

在△OCG中，OC=OG=&,CCi=2,

所以OC2+OC1=CC},

所以OC±OC}.

以。为原点，分别以砺，而，竭的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.

贝Ij8(42,0,0),D(-V2,0,0),

C(0,V2-y,V2),

,-

D(T'-T,企)

所以瓦瓦二(-或，0,0),

就三号'苧,_&).

设平面BiCDi的法向量为n=(x,y,z),

则0.眄=0,

[M.雨=0,

化简整理得KJ%=0,

令y=2,则z=3,所以n=(0,2,3),

又因为平面8G。的一个法向量机二(0,1,0),

所以|cos(m,n),

所以平面BGD与平面BiC。夹角的余弦值为甯.

方法二在正方形A8CO中，

BDLAC,

又BDLAAx,ACMA-A,

AC,AAiU平面ACG4,

所以BO_L平面ACG4.

因为OGu平面ACCA,

所以BD1OC).

在RtABOCi中,ZBOCi=90°,

BO=v2,8G=2,

所以OGE

在△0CG中，OC=OC)=V2,CG=2,

所以OC2+OC1=CC^,

所以OCLOCy.

连接BC交3G于点M,连接CDi交CiD于点N,

则MM为平面4G。与平面的交线，设MN交0G于点。，连接CQ.

MBCB2'

同理^，

所以MN//I3D,

所以MNJ_平面4CG4.

又QOu平面ACGAi,

QCu平面ACCA,

所以MNJ_QO,MNLQC,

又/OQC为锐角，所以NOQC为平面BGO与平面的夹角.

由力得汕二处,，

MBQ02,

所以。。=等

«5

在Rd。。。中,QO乎，OC=V2,。。=亨，

所以cos/OQC二警.

XJ

所以平面8G。与平面8C"夹角的余弦值为粤.

JLJ

I3.C［以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1,

所以D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),AKI,0,1),D,(0,0,1),

Bi(l,1,1),G(0,1,1),

M(0,1,I),N(0,”).

对于A,MN=(O,-p0),

直线似N与4c所成角的余弦值为|cos〈丽，砧〉|二鬻四二七邛，故A错误；

\JMN\\AxC\-XV3J

对于B,MN=(0,0),

前二(-1,0,i),

设平面AMN的法向量为n={x,y,z),

n・MN=--y=0,

则一21

n-BM=—x+-z=0,

2

取x=l,可得)=0,z=2,

所以?i=(l,0,2),

丽=(0,-1,0)，跖=(-l,0,1),

设平面BC\D\的法向量为，"二(箝，ji,zi),

贝俨,丈T=f=°>

m-B(\=—+Zi=0,

取即=1,可得,zi=l,

所以m=(\,0,1),

平面BMN与平面8G"夹角的余弦值为Icos<m,〃〉仁鼎「挑二誓，故B错误；

对于C,因为。在8G上，

设(2(-tb,1,zo),

所以哀=2不，04W1,

则14二(向,0,zo-1),

CTB=(I,0,-D,

所以必=2,Zo=-i+l,

所以。(/1,I,-z+1),^Q=(；.-l,0,-/1),西=(-l,-1,1),

所以瓦G・西=