浙教版八年级数学下册期末两周冲刺复习-平行四边形常考题突破

浙教版八下数学期末两周冲刺复习—平行四边形常考题突破

一、多边形

1.已知某正多边形的一个内角比相邻的外角大140。.

(1)求这个正多边形每个外角的度数；

(2)求这个正多边形的边数.

2.如图，四边形ARCD的内角/RAD./CDA的平分线交于点F../ARC,/RCD的平分线交于

点F。

(1)若NF=80。，贝iJ/ARONRCD-,ZE-。

(2)探索NE与NF有怎样的数量关系，并说明理由。

(3)给四边形ABCD添加一个条件，使得NE=NF。你所添加的条件

是。

3.在△ABC中，ZACB=90°,D,E分别是边AC,BC上的点，P是AB上的一个动点，设

NDPE=a.

图3

(1)如图1,若点P在线段AB上，a=50°,J则NADP+NPEB=°.

(2)如图2,若点P在边AB上，试判断a,ZADP,NPEB之间的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,当点P运动到边AB的延长线上时，直接写出a,ZADP,ZPEB之间的数量关

系.

二、平行四边形的性质与判定

4.如图，四边形ABCD是平行四边形，E,F是对角线AC上的两点且AE二CF。

AD

B

(1)求证：四边形DEBF是平行四边形。

(2)若AB二CE,ZBAC=82°,ZABE=25°,求/EDF的度数。

5.尺规作图问题：已知△ABC.NABC是钝角，AB>BC,请用尺规作AC的中点P.

小聪：如图1,以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交

于点Q，连接BQ交AC于点P,则点P为AC的中点.

小明：如图2,作AB的中垂线，垂足为点M,作BC的中垂线，垂足为点N,以点M为圆心,

BN为半径作弧，交AC边于点P,则点P为AC的中点.

小聪：小明，你的作法有问题.

小明：哦…我明白了.

图1图2

(1)证明：小聪的作法是正确的.

(2)指出小明作法中存在的问题.

6.请完成证明中的三个填空.并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题:

C

图1图2

(1)问题背景：

小刚遇到一个这样问题：如图I,两条相等的线段交于点0/400=60。，连接XC,BD,求

证：AC+BD>CD.通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题.

证明：过点C作4BIICE且使=连接BE,

.••四边形A8EC为平行四边形，则AC=▲,

•••AB||CE,

・•.乙DCE=Z▲=60°,

又•：CD=AB=CE,

；.△DCE为等边三角形,

CD=▲,

AC+BD=BE+BD>DE=CD,即AC+BDNCD.

(2)类比运用：

如图2,4B与CD相交于点。，AC=3,BD=4,AB=5,44。。=30°,^ACD+/.ABD=

240。，求线段CO的长；

三、图形的旋转

7.如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点分别是A(-3,2),B(0,4),C(0,

(1)画出△ABC绕点C顺时针旋转90。所得的△AiBiC比时点A,坐标为▲

(2)以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为▲

8.如图，将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转一定角度得到△DBE,具中点A的对应点D恰好落

在BC上，连结CE.已知AB=3,BE=5,ZABE=64°.

B

(1)求CD的长.

(2)求NBCE的度数.

9.如图1所示，将一副三角板的直角顶点重合摆放在一起。

(1)图2是由图1抽象出的几何图形，fl.ZAOB=ZCOD=90°,若NAOC=130。，求NBOD

的度数。

(2)现在把含45。角的三角尺绕直角顶点，按逆时针方向转动至图3的位置(转动的角度小于平

角)。

①请借助量角器和圆规，在图4中补全由图3所抽象出的几何图形，参照图2标上相应的字

母。

②第①题中NAOC和NBOD有怎样的数量关系?请说明理由。

四、三角形的中位线

10.如图，在RSABC中，ZBAC=90°,E,F分别是BC,AC的中点，延长BA到点D,

使AD=义AB,连结DE,DF,DE交AF于点P.

(1)求证：AP二FP；

(2)若BC=10,求DF的长.

11.如图，在△ABC中，DE是一条中位线，连结BE,过点D作DF〃BE交CB的延长线于点

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形.

(2)若BF=3,求BC的长.

12.如图，在JABCD中，对角线AC与BD交于点O,点E,F分别是AB,BC的中点.

(1)求证：四边形EBFO是平行四边形.

(2)若^AEO的面积是2,求四边形ABCD的面积.

五、反证法

13.用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.

已知：如图4,在△ABC中，AB=AC.

求证：NB,NC必为锐角.

证明：假设结论不成立，则/B,ZC……

请将证明过程补充完整.

14.已知D,E分别为AABC的边AB,AC上的点，连结BE,CD交于点F.用反证法证

明：BE,CD不能互相平分.

证明：假设,连结DE,则四边形BDEC是

・•・//,这与相矛盾，

・••不成立，所以________________________

15.阅读下列文字，回答问题.

题目:在RS48C中,NC=90°/4H45°,则ACH8C.

证明：假设=因为乙4H45°/C=90°,所以/AHa8.

所以ACHBC,这与假设矛盾，所以ACWBC.

上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正.

答案解析部分

1.【答案】(1)解：设该正多边形的内角为X。，

由题意，得x-(180-x)=140,

解得x=160.

.•.180。-160°=20。,即这个正多边形的外角是20°；

(2)解：因为多边形的外角和是360。,所以360。+20。=18,

・♦・这个正多边形是十八边形.

【知识点】多边形内角与外角；正多边形的概念；多边形的外角和公式

【解析】【分析】本题主要考查多边形的内角与外角的关系以及多边形的外角和定理.

(1)根据多边形的每个内角与相邻的外角互补，即内角+外角=180。，结合“内角比相邻的外角大

14。。”可列方程“x-(180-x)=140"，解出x=160,所以外角=180°-内角=180。-160。=20。；

(2)根据多边形外角和定理“多边形外角和为360。”，结合正多边形的每个内角相等，每个外角也相

等，由第(1)问求出的外角度数，即可得出正多边形边数.

2.【答案】(1)200°；100°

(2)解：ZE+ZF=I80°,理由如下:

ZBAD+ZCDA+ZABC+ZBCD=360°,

又.••四边形ABCD的内角/BAD,/CDA的平分线交于点E,ZABC,NBCD的平分线交于点F,

・•・ZDAE+ZADE+ZFBC+ZBCF=180°。

ZDAE+ZADE+ZE=180°,ZFBC+ZBCF+ZF=180°,

，ZDAE+ZADE+ZE+ZFBC+ZBCF+ZF=360°。

ZE+ZF=360°-(ZDAE+ZADE+ZFBC+ZBCF)=180°o

(3)AB〃CD(答案不唯一)

【知识点】三角形内角和定理.；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；多边形的内角和公式

【解析】【解答】ft?：(l)VZF=80°,

・•・ZFBC+ZBCF=180°-ZF=100°.

VZABC,/BCD的平分线交于点F,

AZABC=2ZFBC,ZBCD=2ZBCF.

JZABC+ZBCD=2ZFBC+2ZBCF=2(ZFBC+ZBCF)=2(X)°.

四边形ABCD的内角和为360°,

/.ZBAD+ZCDA=360°-(ZABC+ZBCD)=160°.

••・四边形ABCD的内角/BAD,

ZCDA的平分线交于点E,

11

:.Z,DAE=Z.BAD,Z.ADE=-^Z-CDA.

111

匕乙

ZZ4E+Z-ADE=5乙BAD+乙="乙乙BAD+Z.CDA)=80°,

/.ZE=180°-(ZDAE+ZADE)=180°-80°=100°,

故答案为：200°.100°.

(3)・.・AB〃CD,

AZBAD+ZADC=180°,

•・•四边形ABCD的内角/BAD,ZCDA的平分线交于点E,

・・・NDAE=1血。,NADE=，AOC,

・・・NDAE+ADE=9()。，

.\ZE=90°,

同理NF=900,

.,.ZE=ZF；

故答案为：AB〃CD.

【分析】(1)根据角平分线的定义得到NABC=2NFBC,ZBCD=2ZBCF,然后根据三角形的内角

和定理和多边形的内角和定理解答即可；

(2)求出四边形的内角和为36()。,然后根据角平分线的定义得到

ZDAE+ZADE+ZFBC+ZBCF=180°,然后求出NE+NF的度数解答即可；

(3)根据平行可得NBAD+NADO180。，然后根据角平分线的定义得到NDAE+ADE=90。，求出

NE和NF的度数解答即可.

3.【答案】(1)140

(2)解：NADP+NPEB=900+a.理由如下：

*.•ZADP=180°-ZCDP,ZPEB=180°-ZCEP,且NCDP+NCEP=360°-NC-NDPE=360。-90。-a=270°-

a,

.,.ZADP+ZPEB=900+a.

(3)ZADP=90°+ZPEB+a

【知识点】三角形外角的概念及性质；多边形的内角和公式

【解析】【解答】解：(1)①如图1中，连接PC.

E

APB

图1

VL\=乙DCP+zDPC,z2=乙ECP+zCPE,

•••Z1+Z2=乙DCP+Z-DPC+乙ECP=Z.ACB+乙DPE=Z-ACB+乙a,

•••乙4cB=90°,za=50°,

•••Z1+Z2=90°+50°=140°.

故答案为：140。.

(3)解：NADP=90°+NPEB+a.理由如下：

由外角的性质可知，NADP=NC+NCMD,ZCMD=ZPEB+ZDPE,

・・・NADP=90°+NPEB+a,

【分析】⑴如图1中，连接PC证明zl+z2=Z.ACB+/DPE即可.

(2)利用(1)中结论解决问题.

⑶利用三角形的外角的性质解决问题即可.

4.【答案】(1)证明：证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，

，AD=BC,AD〃BC,

AZDAF=ZBCE,

在AADF和^CBE中，

(AD=BC

]ADAF=^BCE,

(AF=CE

/.△ADF^ACBE(SAS),

•••NAFD=NCEB,DF=BE,

，DF〃BE,

・•・四边形DEBF是平行四边形

(2)解：•・•四边形ABCD是平行四边形,ZBAC=82°,

.,.AB=CD=CE,AB/7CD,

AZDCA=ZBAC=82°,ZABD=ZCDB,

AZCED=ZEDC=1(180°-ZDCE)=49°,

乙

四边形DEBF是平行四边形,

AZEBD=ZFDB,

/.ZABD-EBD=ZCDB-ZFBD,

.,.ZCDF=ZABE=25°,

AZEDF=EDC-ZCDF=24°.

【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS：等腰三角形的性质-等边对等角

【解析】【分析】（1）根据平行科边形的性质，利用SAS得到△ADFWACBE,即可得到=

乙CEB,DF=BE,进而可得OFIIBE,即口J证明结论；

（2）根据平行四边形的性质可得48=CO=",AB||CD,根据两直线平行，内错角相等得到

LDCA=Z.BAC=82°,乙ABD=ADB,然后根据等边对等角和三角形的内角和求得4CEZ）=

^EDC=49°,然后根据平行四边形的独角相等得到NEBD=NFDB,再根据角的和差解答即可.

5.【答案】（1）解：由尺规作便可知：AQ=BC,AB=CQ,

・•・四边形ABCQ是平行四边形，

AP=CP=/AC,即点P为AC的中点

（2）解：以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P”P2,如图所示，

【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线

【解析】【分析】⑴由作图可得，AQ=BC,AB=CQ,则可得四边形ABCD为平行四边形，进而可得

点P为AC的中点；

⑵以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P,P?,即可得出答案.

6.【答案】（1）BE,AOC,DE

（2）解：过A作AF//CD,过D作DF//AC,两直线交于F,连接BF,

・•・四边形AFDC是平行四边形，

AZFAB=ZAOC=30°,ZC=ZAFD,AC=DF=3.

VZABD+ZC=240°,

.-.ZABD+ZDFA=240°

・•・ZFDB=360o-240°-30o=90°

••.△FDB是直角三角形

VDF=3,BD=4.

・..由勾股定理得：FB='BD2+DF2=5,

・・・AB=FB,

AZBAF=ZAFB=30o

过点B作BEJ_AF于点E,

**•AE=EF,BE=^BF=4

・••由勾股定理得：BF2=BE2+EF:,

・

■•s&〃=5—7^3―

乙

A.4F=AE+EF=2EF=573

•・•四边形AFDC是平行四边形，

：.CD=AF=6收

【知识点】等边三角形的判定与性质：勾股定理；平行四边形的判定与性质；两直线平行，内错角相等;

等腰三角形的性质-三线合一

【解析】【解答］解：（1）过点C作/8IICE且使4B=CE,连接BE,

四边形4BEC为平行四边形，则4C=BE,

AB||CE,

乙DCE-4Aoe—60°,

又；CD=AB=CE,

.•.△OCE为等边三角形，

CD=DE,

.%AC+BD=BE+BD>DE=CD,即4c+Z?D>CD.

故答案为：BE,AOC,DE.

【分析】（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质及等边三角形的性质求解即可；

⑵作AF//CD,DF//AC,两线交于F,连接BF,证△FDB是直角三角形，得FB=5,过点B作

BE_LAF于点E,根据三线合一，勾股定理得EF=挈，则AF=5g，根据四边形AFDC是平行四

边形可得答案.

7.【答案】（1）解：如图，△ABC绕点C顺时针旋转90。所得的

（2）解：（-3,4）或（-3,0）或（3,4）

【知识点】平行四边形的性质：坐标与图形变化■旋转：作图•旋转

【解析】【解答】（1）解：点4坐标为4（0,5）.

故答案为：（0,5）.

（2）解：如图，四边形4CD1&四边形4CBD2,四边形3cB都是平行四边形,

・••点。坐标为〃1（3,4）,。2（-3,4）,〃3（-3,U）.

故答案为：（-3,4）或（-3,0）或（3,4）.

【分析】（1）根据旋转的性质作出点A,B关于点C的对应点，然后连接得到△4/1。，即可写出

点Ai坐标;

（2）作出以点A、B、a。为顶点的平行四边形，写出点。必坐标即可.

8.【答案】（1）解：山旋转可得△ABC义ADBE,

AAB=BD=3,BC=BE=5,

ACD=BC-B5-3=2；

(2)解：VAABC^ADBE,

・••NABC=NCBE=1々ABE=32。,

又TBOBE,

1800—“BE180；32。=7用

:•乙BCE=2

【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中时应角的关系;

等腰三角形的性质-等边对等角

【解析】【分析】（I）根据旋转的性质得到△ABC0ADBE,根据对应边相等得至IJAB=BD=3,

BC=BE=5,利用线段的和差解答即可;

（2）根据全等可得NCBE=32。，然后根据等腰三角形的性质和三角形的额内角和定理解答即可.

9.【答案】（1）解：因为Z■。为局角,

所以匕力08+乙BOD+乙COD+LAOC=360°,

因为匕/。8=乙COD=90°：

所以48。0+/AOC=180°,

BP：LBOD=180°-130°=50°

（2）解：①：如图4

AD

c

（图4）

②：LAOC+LBOD=180°

理由如下：因为所以，/?。「+/。。。=9。。,

因为乙A0C4-乙BOD=^AOB4-乙B0C+乙B0D,

而乙力OB+AB0C+乙BOD=Z.A0B+乙COD=900+90°=180°,

H|1乙40C+4B00=180°.

【知识点】角的运算；旋转的性质；尺规作图•作一个角等于已知角

【解析】【分析】（1）根据周角的定义和角的和差可得N80D+乙A0C=180。，然后代入数值计算即

可■；

（2）①根据题意画出图形即可；

②根据4B0C+乙B0D=90°,然后根据角的和差解答即可.

10.【答案】（1）证明：连接EF,AE.

•・,点E,F分别为BC,AC的中点，

1

.%EF||AB,EF=2AB.

又：AD=|AB,

AEF=AD.

XVEFUAD,

・•・四边形AEFD是平行四边形.

・・・AF与DE互相平分，

，AP=FP；

（2）解：在RSABC中，

TE为BC的中点，BC=10,

1

•••AE=«BC=5.

乙

又丁四边形AEFD是平行四边形，

ADF=AE=5.

【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线

【解析】【分析】（I）连接EF、AE,根据三角形的中位线定理得到EF〃AB,EF=AD,即可证明结

论；

（2）根据直角三角形斜边上的中线性质求出AE长，然后根据平行四边形的对边相等解答即可.

11.【答案】（1）证明：因为DE是△ABC的中位线，

所以DE〃FC.

又因为DF〃EB,

所以四边形BEDF是平行四边形.

（2）解：因为DE是△ABC的中位线，

所以BO2DE.

因为四边形BEDF是平行四边形，

所以BF=DE,

所以BC=2DE=2BF=6.

【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理

【解析】【分析】⑴由三角形中位线定理得DE〃BC,再由平行四边形的判定即可得出结论；

⑵由平行四边形的性质得DE=BF=3,再由三角形中位线定理解答即可.

12.【答案】（1）证明：•••□ABCD,

，AB=CD,AB〃CD,OA=OC,

•・•点E,F分别是AB,BC的中点，

11

•••BE=^AB,EF=^AB,EF||AB,

/.BE=Eb,

・•・四边形EBFO是平行四边形

（2）解：YE是AB的中点，S“EO=2,

•t,S&ABO=2s"EO=2X2=4,

S㈣边彩?\BCD=4SAABO=4X4=16.

【知识点】平行四边形的判定与性质：三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积

【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质

得至归尸IIBE=EF,即可证明结论;

（2）根据三角形斜边中线的分出的两个三角形的面积相等得到△ABO的面积，然后根据S