北师大版高中数学必修第二册-球的表面积和体积

6.3球的表面积和体积

E3E1E1E3•画MSH川川川川川卅川I川川川川川川川川川川川川川川%川川川h

［教材要点］

要点一球的截面

1.球的截面形状

(1)球面被经过的平面截得的圆称为球的大圆.

(2)球面被不经过________的平面截得的圆称为球的小圆.

2.球的截面性质

⑴球心和截面圆心的连线于截面.

⑵球心到截面的距离d,球的半径R及截面的半径r之间满足关系式

(1)解决有关球的问题的关键是确定球心的位置和球的半径，一般作出球的

一个大圆来处理问题.

(2)大圆半径等于球的半径R,大圆面积S=7rR2,是球的表面积的:.

4

(3)利用球的半径、截面的半径、球心与截面圆心的连线构建直角三角形是把空间问题

转化为平面问题的主要途径.

要点二球的切线

当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点，过球外一

点的所有切线长都.

要点三球的体积和表面积公式

y球=,s球面=.

两个结论

(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方.

(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方.

［基础自测］

1.判断正误(正确的画“J”，错误的画“X”)

(1)用一个平面去截球所得截面都是圆.()

(2)正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等.()

(3)正方体的外接球的直径与正方体的棱长相等.()

(4)球面展开一定是平面的圆面.()

2.如图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积之

比是（）

A.3：2B.2：3

C.I：2D.1：1

3.用一个平面截半径为25cm的球，截面圆的面积是225n5自则球心到截面的距离

为cm.

他川川“川川川川"川川川川川川“川游"川川川川川川心回国陶国,探堂解困勿川”川川川川川川川川用川川川川川川川川“川川川川儿

题型一球的表面积和体积——自主完成

1.球的体积是手，则此球的表面积是（）

A.127rB.16nC.詈D,

2.一个半球的表面积为1,则相对应的此球的半径应为（）

A.—B.V3nC.—D.—

3n3n3TT

3.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体枳扩大为原来的（）

A.2倍B.272倍C.V2倍D.3经倍

方法爆林

计算球的表面积和体枳的关键都是确定球的半径，注意把握表面积公式SM=4兀肥中系

数的特征及半径的平方.必要时需逆用表面积公式得到球的半径关于表面积的关系式.同时

还应注意体积公式V*=氐R中系数的特征及半径的立方.

题型二球的表面积和体积的应用——师生共研

例1一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形.在此容器内注入水并且放入一

个半径为/•的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是

多少？

设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积

来建立一个关系式解决.

方祓归附

(1)画出截面图是解答本题的关键.

(2)球的体积和表面积有着非常重要的应用.在具体问题中，要分清■涉及的是体积问题

还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算.

跟踪训练1圆柱形容器的内壁底面半径为5cm,两个直径为5cm的玻璃小球都浸没

于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？

题型三球的切、接词题——微点探究

微点1球与正方体、长方体的切、接问题

例2(1)将校长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()

A.竺B.叵

33

C.亘D.B

26

(2)一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,

则此球的表面积为.

方法归他

若一个长方体从同一顶点起的三条棱长度分别为4,b,C,则该长方体的体对角线就是

其外接球的直径，即2/?=,2+b2+C2.

微点2球与四面体的切、接问题

例3已知三棱锥。-48C,若小,PB,PC两两垂直，且切=2,PB=PC=1,则三

棱锥P-ABC的内切球的表面积为.

方祛恒时

对于正四面体，有以下结论:

(1)正四面体的外接球与内切球的球心重合：

⑵棱长为4的正四面体的高为虫出其外接球的半径为名〃，内切球的半径为在a

3412

微点3球与圆锥(圆柱)的切、接问题

例4一个圆柱形容器，它的底面直径为2人在这个容器内注入水并且放入一个半径为

/•的铁球，这时水面恰好和球面相切，则将球从容器内取出后，容器内水面的高是.

方法归他

1.要注意球心的位置，一般情况下，由于球的对称性，球心在几何体的特殊位置，比

如，几何体的中心或长方体体对角线的中点等.

2.解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切

点”和“接点”，作出轴嵌面图，把空间问题转化为平面问题来解决.

跟踪训练2(1)在例3条件下，则三棱锥P-4BC的外接球的体积为.

(2汝口图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为

易错辨析对球的“切、接”的结构特点认识模糊致错

例5设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为。，顶点在一个球面上，则该球的表

解析：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，如图.

设Q,。分别为上，二底面的中心，且球心02为0。1的中点，连接AO交于。点,

球半径为R.

・"。=彳，A。=1。=去，。。2=%

:.R』AO；1

2=-c3r-\-4-a=—12cr.

.•.S猿=4兀/?2=4兀乂，2=2改尸故选B.

答案：B

易错警示

易错原因纠错心得

球心所在的截面位置判断错误，对解决此类问题要确定球心的位置及

多面体及外接球的几何特点理解其所在的截面，在截面中寻找球半

模糊，基本量之间的关系不清.径与多面体基本量的关系.

6.3球的表面积和体积

新知初探•课前预习

要点一

1.⑴球心⑵球心

2.(1)垂直(2)J=VR2-r2

要点二

相等

要点三

［基础自测］

1.⑴J(2)7(3)X(4)X

2.解析:设球的半径为R,则球的表面积S表=4兀/?2,圆柱的侧面积s制=27IRX2R=4T:R2,

所以S&：S禽=1：1.故选D.

答案：D

3.解析：由题意知，球的半径R=25(cm),易知截面圆的半径r=15(cm),则球心到截

面的距离d=V252-152=20(cm).

答案:20

题型探究•课堂解透

题型一

1.解析：设球的半径为R,则由已知得与距=狰，解得R=2.

«5。

故球的表面积S岩=4JTR2=16Ji.

答案：B

2.解析：设球的半径为，，S表=兀/+2兀7=1,・・・,=争.

3TT

答案：c

3.解析：设改变前、后球的半径分别是人/,则由条件可知4兀/2=2X4元儿"

V=Q=2&x皿=2&V.

33

答案：B

题型二

例1解析：设△%B所在平面为轴截面，A8为水平面，设球未取出时，水面高PC=

h,球取出后水面高

如图所示.

VAC=V3r,PC=3r,

・••以A8为底面直径的圆锥的容积为

人%=，4c2.pc

=17t(V3r)2-3r=37tr3,V珠=：兀2.

球取出后水面下降到EE水的体积为

V^.=^IEH2PH

=》(P”tan30O)2-PH=|TL?.

而V*=Vail8—

即/3=3兀,一，，，.•・x=VT5r.

故球取出后水面的高为6r.

跟踪训练1解析：设取出小球后，容器中水面下降hcm,两个小球的体积为Vu=

2

2X，X(§3=等，此体积即等于它们在容器中排出水的体积V=TIX5X/Z,

所以等=71X52X4,所以〃=?(cm),

即若取出这两个小球，则容器的水面将下降qcm.

题型三

例2解析：(1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球时，球的直径等于正方

体的棱长2,则球的半径R=l.

V%=1R3=/.

(2)长方体外接球如图，长方体的体对角面是矩形，该矩形的对角线就是球的直径，此

对角线也是长方体的体对角线，长方体的体对角线长为《打+2?+32=旧,设球的半径为

R,则有

2/?=m,所以/?=与，

S雄=4TTR2=4兀X(当)2=14TL

答案：⑴A⑵147r

例3解析：由题意，设三棱锥尸・A8c的内切球的半径为广，球心为0,则V三较推―8c

=V三校校。-用s+Vs校弟。-