人教版九年级数学上册 因式分解法（能力提升）

2523因式分解法

能力提升题

知识点一需先整理化为一般形式再因式分解解方程

I.(25-26八年级下•安徽合肥・期口)解方程：(x-4)(x+l)=6.

【答案】玉=5,£=一2.

【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解即可求解.

【详解】解：X2-3X-4=6

X2-3X-10=0

(x-5)(x+2)=0

x-5=0或x+2=0,

=5,x2=-2.

2.(2026•黑龙江齐齐哈尔•二模)解方程：(x-l)(x+4)=4x+8.

【答案】％=4,x2=-3

【分析】因式分解法解一元二次方程.

【详解】解：(*-l)(x+4)=4x+8,

x2+3x-4=4x+8，

X2-X-12=0,

(x-4)(x+3)=0,

x-4=0或x+3=0,

&=4,x,=-3.

3.(25-26八年级下•上海•期中)解方程：2X(X-2)=X2-3

【答案】％=L占=3

【详解】解：V2X(X-2)=X2-3,

22

•••2x-4x=x-3f

•'­x2-4x+3=0,

.•.（j-l）（x-3）=0,

ul=O或x-3=0,

解得X1=1，%=3.

4.（25-26八年级下•安徽合肥・期口）用适当方法解下列方程

(l)[21)(x+3)=4；

⑵2()，-=3-7)，

_7

【答案】（1）3=1，X2

~~2

-3-VI7-3+VI7

(2)y.=

L必二一J

【分析】（1）先把方程整理成•般式，再利用因式分解法解答即可求解;

（2）先把方程整理成一般式，再利用公式法解答即可求解;

本题考杳了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

【详解】（1）解：方程整理成一般形式，得2/+54-7=0,

.-.(x-l)(2x+7)=0,

•••X-1=0或2x+7=0,

17

'•玉=1,x,=——；

■2

（2）解：去括号得2），2—4），+2=3-7,，

方程整理成一般形式，得2V+3），-1=0,

22

vA=/7-4«c=3-4x2x(-1)=17>0,

-3±V17-3±V17

"=

2x24

-3-V17-3+717

即V）=-7—,

知识点二换元法解一元二次方程

1.（25-26九年级上•江苏扬州•月考）请阅读下列材料:

解方程(/-1)--5(/-1)+4=0.

解法如下:

将视为一个整体，然后设=则卜2_[丫=),2,

原方程可化为)3—5y+4=0,解得y=l,%=4.

(1)当y=1时，V—1=1,解得x=±>/2；

(2)当y=4时，X2-1=4,解得x=土6.

综合(1)(2),可得原方程的解为玉=>/5,X2=F/^,X3=石4.

请你参考明明同学的思路，解方程(工一1)4一5(工一1)2-6=0.

【答案】x]=\+\[b,&=1-庭

【分析】设(I-1)2=y，则原方程化为一元二次方程：r-5,v-6=0,先解出y的值，再进一步解出X的

值.

【详解】解：设(x—1)2=)，，则原方程可化为：y2-5y-6=o.

解得：》=6,y2=-l,

(1)当y=6时，(x-1)2=6,解得内=1+#，4=1-娓,

(2)当y=-l时，(x-l)2=-l,此方程无实数根，

综合(1)(2),可得原方程的解是：玉=1，X,=1--76.

2.(2026.江苏南通.模拟预测)已知〃、人满足(/-⑹(/-〃+4)+4=0,则代数式的道为()

A.-2B.4C.-2或4D.2

【答案】A

【分析】设/—〃=一将等式(/一〃)(/一从+4)+4=0变形为x5+4)+4=0,解方程即可.

【详解】设

由(/一从乂6/一〃、4)+4=0,得X(X+4)+4=0,

化简得f+4X+4=0,

解得％=x2=—2,

即/一"=一2.

3.(25-26九年级上•湖北孝感・期口)已知(>+〃2)2+3(川+叫一]o=o,则加2+〃2=.

【答案】2

【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键.

根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答.

【详解】解：设

•・•"+/J+3(>+〃2)-10=()

则7+310=0,

.-.(/-2)(/+5)=0,

则7+5=0或/一2=0,

.•"=2或，=一5<0(舍去)；

Ytr+n~=2•

故答案为：2.

4.(24-25八年级上•上海・月考)解方程：(4X-I)2-10(4X-1)-24=0

【答案】为=；,-^2=~~7•

【分析】令得到关于/的方程，利用配方法求得4=12,/2=-2,进而求出x的值即可.

【详解】解：令，=4x—l,代入方程得/_10”24=0,

.「-10/-24=0,

/.“10”24,

.\r-10r+25=24+25,

.•.(-5)2=49,

.\/-5=±7»

解得：4=12,t2=-2,

当41一1=12时，工=与，

4

当44-1=-2时，x~~~»

4

13\

二•原方程的解为玉吟，x2=--.

知识点三已知方程的根，因式分解求参数

1.(2026•山东济南•二模)若关于x的一元二次方程f+工一〃?=。的一个根是工=1,则另一个根是()

A.x=2B.x=-2C.x=3D.x=-3

【答案】B

【分析】先将已知根代入方程求出〃?的值，再解一元二次方程得到另一个根.

【详解】解：•.“=1是一元二次方程/+x7〃=0的根，

•,.|2+l-/n=O,

解得〃?=2,

•••原方程为X2+X-2=O,

解得X]=1,工2=-2,

二方程的另一个根为x=-2.

2.（25-26八年级下•山东威海•期口）已知关于工的一元二次方程+文+>+加一6=0的一个根为

0,则〃?的值为.

【答案】-3

【分析】将》=0代入原方程得到关于小的方程，结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0,筛选得

到符合条件的小的值.

【详解】解：把x=0代入（〃L2*+x+〃+,〃-6=0得加+加一6=0,

因式分解得（〃叶3）（〃?-2）=0,

解得〃％=-3,“4=2,

,・,原方程是关于x的一元二次方程，

2Ho,

即〃?w2,

因此〃?=—3.

3.（25-26八年级下•福建福州•期口）已知关于％的方程F-加:+州-1=0.

（1）求证：不论/〃取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程有一根为4,求机的值.

【答案】（1）见解析

（2）m=3或〃?=5

【分析】（1）证明△=（-力〃）2-4（/-1）>0即可；

（2）把x=4代入原方程得到关于〃?的方程，解方程即可得到答案.

【详解】⑴证明：由题意得，A=（-2m）2-4（m2-l）

=4m'一4"『+4

=4>0,

••・不论〃?取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：•••方程有一根为4,

二把％=4代入x2-2//1¥+m2-1=0得4°-+“/一1=0,

解得〃?=3或〃?=5.

4.（25-26八年级下•安徽安庆・期口）已知关于尤的方程f-（2心1）1+二+1=0.

（1）若x=-2是该方程的一个解，求左的值；

⑵若该方程有实数根，求攵的取值范围.

【答案】（1）占=-1&=一3

3

4

【分析】（1）将”=一2代入f-（2女-1）工+公+1=0,然后解方程即可得到4=7,七=一3：

（2）根据根的判别式△之0,可求得出的取值范围.

【详解】（I）解：二x=-2是关于上的方程/一（2"3+二+1=0的一个解，

.-.（-2）2-（2A:-1）X（-2）+A2+I=0,

整理得公+软+3=0，

解得仁=-1&=-3：

（2）解：•・・关于x的方程幺一（24-1）工+公+1=0有实数根，

,-.[-（2A:-l）]2-4xlx（jl2+l）=-4A-3^0,

解得女”，

4

即时，关于”的方程f—（22-1）工+公+1=0有实数根.

知识点四解分式方程（化为一元二次方程）

2r

I.（25-26八年级下•河南周口•月考）分式方程一一二一二的正数解为（）

x-1x+2

A.x=-4B.A'=4C.x=—2D.x=2

【答案】B

方程两边同乘(x-l)(x+2)得:2(x+2)=x(x-l),

整理得：X2-3X-4=0.

因式分解得：(-1)=0.

解得x=4或x=T,

检验：当x=4时，"-1)(4+2)。0,

当了=-1时，(xT)(%+2)工0,

・•・原方程的正数解为或工=4.

2.(2026九年级下.北京•专题练习)分式方程一、+1=「工的解为

x-1x--l

【答案】x--2

【分析】先将分式方程化为整式方程，解整式方程后检验，排除增根即可得到原方程的解.

]2

【详解】解：一・+1==\,

x-\x-\

方程两边同乘公分母(x—l)(x+l)，得X+1+(V-1)=2,

整理得_?+工一2=0,

囚式分解得(x十2)(工一1)=0,

解得＞=-2或x=l,

检验：当x=l时，(x-l)(x+l)=0,故x=l是增根，舍去；

当x=—2时，(x-l)(x+l)w0,满足方程要求；

因此原分式方程的解为x=-2.

x2-13

3.(2026・上海徐汇•二模)分式方程「1=一;^一右的解是___________.

x+2xx(x+2)

【答案】x=2

【分析】先将分式方程化为整式方程求解，最后检验所得根是否使原分式方程分母不为零.

【详解】解:

x2+2xx(x+2)

X2-13

对分母因式分解得1—八二一^不，

x(x+2)x(x+2)

方程两边同乘最简公分母x(x+2),得丁-1=3

整理得炉=4

解得X]=2,42=-2

检验：当x=-2时，x(x+2)=0,原分式方程分母为零，

因此x=-2是增根，舍去；

当工=2时，x(x+2)=2x4=8#0,满足原分式方程分母不为零的要求.

因此原分式方程的解为＞=2.

4.(2026•上海普陀•二模)解方程：,10=^-.

x+2x--x-6x-3

【答案】%=7

x102

【详解】解•：原方程可化为二FE布

方程两边同乘最简公分母(》一3)(*+2),得X(X-3)-10=2(X+2)

展开整理得工2一5/-14=0

因式分解得(X—7)(X+2)=0

解得％=7,毛=-2

检验：当x=-2时，*-3)(x+2)=0,原分式方程分母为0,无意义，因此％=-2是增根，舍去

当工=7时，(X-3)(X+2)H0

因此原方程的解为x=7

知识点五因式分解法解一元二次方程实际应用题

1.(25-26九年级上•吉林白城•月考)一个小球以5m/s的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球速

度为lin/s.

(1)小球的滚动速度平均每秒减少m.

(2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m?(直接写出答案)

(3)小球滚动8m用了多少秒？(提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度万(初速度与末速度

的算术平均数)与路程时间，的关系为S=历.)

【答案】(1)1

(2)共滚动了12.5m

(3)小球滚动8m用了2秒

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球减少的速度，而平均每秒小球的运

动减少的速度等于速度变化+小球运动速度变化的时间，掌握此关系式是关键.

(1)从滚动到小球速度为lm/s平均每秒速度减少值为：速度变化・小球运动速度变化的时间；

(2)利用开始的速度与停止时的速度差除以时间等于速度平均每秒减小的量，即可求出小球从开始到停

止滚动的时间，再利用s=历求得小球从开始到停止滚动的距离；

(3设小球滚动到8m时的时间为心，根据s=讥得到方程，解方程即得到行驶时间.

【详解】(1)解：与l=

4

即小球的滚动速度平均每秒减少1m,

故答案为：I;

(2)解：(5-0)-l=5(s),

=12.5(m)；

2

答：小球从开始到停止滚动时，共滚动了12.5m；

(3)解：设小球滚动到8m时的时间为

由题意得：一七——-x=8,

整理得：X2-10X+16=0,

解得：玉=2,七=8(舍去)，

答：小球滚动8m用了2秒.

2.(2026・重庆•模拟预测)跳绳是我市中考体育考试的必考项目之一.该项目练习成本低，且运动安全性

较高.

(1)一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成.某工厂生产该型号跳绳，一名工人每天可生产600个手柄或120()

根绳子.现安排10名工人进行生产，应如何分配工人，才能使每天生产的手柄与绳子恰好配套？

(2)小王和小林两名同学进行跳绳训练，小王计划一次跳600个，小林计划一次跳900个.已知小林平均每

分钟跳绳个数比小王少20个，两人同时开始跳绳，过程中小王因鞋带散开系鞋带耽误了15秒，最终小王

比小林提前1分45秒完成训练.求小林平均每分钟跳绳多少个。

【答案】(1)安排8名工人生产手柄，2名工人生产绳子才能恰好配套.

⑵小林平均每分钟跳绳180个.

【分析】（1）设安排生产手柄有X名工人，则绳子的工人有。0-力名，再分别表示手柄，绳子的生产数

量，结合一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，再建立方程求解即可；

（2）设小林平均每分钟跳绳〃?个，则小王平均每分钟跳绳（，〃+2（））个，则利用时间关系建立分式方程求解

即可.

【详解】（1）解：设安排生产手柄有x名工人，则绳子的工人有（10-x）名，

由题可知：1x600x=1200（10-x）,

解得：x=8,

—）-8=2（名），

答：安排生产手柄有8名工人，生产绳子工人有2名；

（2）解：设小林平均每分钟跳绳，〃个，则小王平均每分钟跳绳（加+20）个，则

60015900——7

，〃+2060m4

解得：〃?=180或〃?=-50（不合题意，舍去），

经校验：加二180是原方程的根，且符合题意；

答：小林平均每分钟跳绳180个.

3.（25-26九年级下•重庆开州•期口）某广告公司承包了一项产品推广工作，派遣了甲组和乙蛆共同参与，

已知乙组的工作效率是甲组的力，甲组先单独做了5天，之后甲组和乙组又合作了20天，刚好如期完成了

整项工作.

⑴求甲组单独完成整项工作需要多少天？

（2）推广工作结束后，该公司负责人为提高业绩，立即发售代表该产品的特色套装纪念品，每套纪念品进价

20元，定价为40元，发售前进行市场调查，售价40元时，每天可卖800套，而售价每涨3元，日销售量

就减少60套，若想每天获利1（X）00元，在售价不低于原售价的基础上，那么该纪念品的售价应为多少元？

【答案】（1）甲组单独完成整项工作需要41天

⑵该纪念品的售价为70元

【分析】（1）根据工作总量=工作时间x工作效率，设甲组单独完成整项工作需要x天，则甲组的工作效

率是上，乙组的工作效率是占，艰据工程的完成情况列方程解答即可.

x5x

（2）根据利润=（售价-进价）x销售量，设该纪念品的售价为y元，根据涨价后的销售情况列方程解答

即可.

【详解】（1）解：设甲组单独完成整项工作需要X天，则甲组的工作效率是,，乙组的工作效率是占，

x5x

5（\4、

由题意可列方程：一+20-+丁=1,

xyx5x）

解得：x=41,

经检验，x=41是原方程的解，且符合题意，

答：甲组单独完成整项工作需要41天；

（2）解：设该纪念品的售价为y元，

由题意可列方程：（y-2。）800-y（y-40）l=10000,

整理得：（尸30）（），-70）=0,

解得：>'.=30,%=70,

y>40,

y=70.

答：该纪念品的售价为70元.

4.（25-26九年级上.重庆黔江•期天）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处

理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣

机每小时能分拣500件快递.

⑴电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000

件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？

（2）日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时.为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算

法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100。件（a>0）,且每天比原计划少工作2〃小

时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作。小时.调整后，两台机器一天恰好分

拣快递6000件，求。的值.

【答案】（1）乙分拣机至少工作6小时

（2）。的值为2

【分析】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的实际应用是解题的关

键.

（1）设乙分拣机工作x小时，则甲分拣机工作（U-x）小时，根据题意，列出不等式

400（1l-x）+500x>5000,求解即可；

（2）根据题意，列出方程（400+l00a）（8—2a）+600（8—〃）=6000,求解即可.

【详解】（1）解：设乙分拣机工作“小时，则甲分拣机工作（11-“小时，

根据题意列不等式，400（1l-x）+500x>5000

解得xNG

答：乙分拣机至少工作6小时；

（2）根据题意，甲分拣机实际效率为（400+1000件/小时，实际工作时间为（8-勿）小时：乙分拣机实际效

率为600件/小时，实际工作时间为（8-。）小时，

根据题意列方程，（400+100。）（8-2〃）+600（8-a）=60（X）,

解得a=2,a=-5（不符合题意，故舍去），

答：。的值为2.

知识点一含参数复杂一元二次方程因式分解综合求解

I.（25-26八年级下•江苏苏州•期口）关于工的一元二次方程/+〃氏+2（〃?-2）=0.

⑴求证：方程总有实数根；

⑵若该方程有两个负实数根，求阳的取值范围.

【答案】（1）见解析：

（2）附的取值范围是">2.

【分析】（1）根据△=〃72-4x1x2（2）=（，〃一4『2。即可求证；

（2）先解方程解得玉=-2,x,=2-/»,然后由该方程有两个负实数根，则有2-6<0,解得例>2,从

而求解.

【详解】（1）证明：△=〃Z2-4X1X2（〃L2）

=m1-8/W+16

=（.'w-4）'>0,

・••方程总有实数根;

(2)解：x2+〃优+2(〃？-2)二0

x2+〃zx+2机-4=0

x2-4+rnx+2ni=0

(x+2)(x-2)+/〃(x+2)=0

(x+2)(x+/〃-2)=0,

解得：百=-2,x2=2-m,

•••该方程有两个负实数根，%=-2<0,

.-.X=2-/??<0,解得：m>2,

・•.〃?的取值范围是加>2.

2.(25-26八年级下.浙江杭州•期口)已知关于工的一元二次方程(A+1)/+(Z+3)X+2=0.

(1)判断该一元二次方程根的情况；

(2)若方程有一个根为-2,求女的值及方程的另一个根；

(3)若方程的一个根是另一个根的2倍，求攵的值.

【答案】(1)当k=l时，原方程有两个相等的实数根；当女01且kw-1时，原方程有两个不相等的实数根

(2),t=0,方程的另一个根为-1

(3)k=0或攵=3

【分析】(1)根据一元二次方程的定义可得％的取值范围，再计算△可判断方程根的情况；

(2)把％=-2代入原方程求解攵，再解一元二次方程可得答案；

(3)先解含参数的一元二次方程，再分两种情况讨论即可.

【详解】(1)解：•••关于x的一元二次方程(％+l)f+("3)x+2=O,

・•.k+」w0,

:.k*—l,

而A=(&+3)2-4X2(A+I)

=/C-2k+\

=(fc-l)2>0,

••・当〃=1时，原方程有两个相等的实数根，当人工1且kw-1时，原方程有两个不相等的实数根.

(2)解；•.•方程有一个根为-2,

.♦.4(&+1)-2仅+3)+2=0,

解得：％=0,

•••方程为：f+3x+2=0,

.-.(x+2)(x+l)=0,

解得：内=-2,x2=-\,

二方程的另一个根为-1.

⑶解：•.•(攵+1)/+(&+3)%+2=0,

[伏+l)x+2](x+l)=0,

.-.(Z:+l)x+2=0,x+1=0,

2

解得：x=----♦x=-\,

[K+l2

•••方程的一个根是另一个根的2倍，

••・当-丁匚=2x(-1)时，解得：k=0,经检验符合题意；

当2、二=-1时，解得：k=3,经检验符合题意；

综上：2=0或左=3.

3.(25-26八年级下•安徽蚌埠•期口)己知：关于x的方程，渭十(〃一2)x-2=0(〃w0).

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)如果〃为正整数，且方程的两个根均为整数，求〃的值.

【答案】(1)见解析；(2)〃=1或〃=2

【分析】(1)利用根的判别式进行证明即可；

(2)将原方程因式分解可得：(秋-2)(x+l)=0,解得x2=-l,方程两个根均为整数，〃为正整

数，即可得到答案.

【详解】(1)证明：•.•”()，

•••该方程为关于x的一元二次方程，

△二(〃-2y-4x〃x(-2)=〃。-4〃+4+8〃=〃，+4〃+4=(〃+2)‘，

•••("+2)2R,即△之0,

无论〃取不为0的任意实数，方程总有两个实数根；

（2）解：将原方程因式分解可得：（心-2）（x+l）=0,解得两个根分别为玉=：,x2=-l,

T方程两个根均为整数，〃为正整数，

，工必须为整数，

n

二.“=1或〃=2.

4.（25-26八年级下•浙江杭州•期口）已知关于工的方程幺一4丘+4公一1=（）.

⑴求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根.

（2）若该方程的两个实数根七，Q，且满足2%="2（%〈股），求日的值.

【答案】（1）见解析

3

⑵

【分析】（1）求出判别式的符号，即可得证；

（2）因式分解法解方程得出内=2攵-1,々=2火+1,结合已知条件，列出关于〃的一元一次方程，解方程,

即可求解.

【详解】（1）证明：vx2-4A^+4fc2-1=0,

...△=（-44—4（4攵2-1）=165-165+4=4>0,

.•・无论〃取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：/一46+4公一1=0

A（X-2A:-1）（X-2A：4-1）=0

再<x2

XI=2k-\,x2=2A+1

2xi=x2

.♦.2（21）=22+1

解得旧

知识点二结合几何图形的方程综合题

1.（24-25八年级下•浙江温州•期口）已知关于工的方程£—（2A+l）x+4k—2=0

⑴求证：无论A取何值，此方程总有实数根.

（2）若等腰VA8C的一边长。为4,另两边Ac的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长.

【答案】（1）见解析

⑵1。

【分析】（1）先计算判别式的值得到4=（2攵-3）220,根据判别式的意义即可得到结论：

（2）分类讨论：当。=c时，方程有两个相等的实数根，解得人;，然后解方程得到〃=c=2；当

〃=。=4或c=〃=4时，方程幺-（2%+1卜+4忆-2=0有一个根/=4,可解得A的值，则代入方程可解答.

【详解】（I）证明：△=[—（2k+l）r—4xlx（4A—2）

=4〃+4%+1-162+8

=4^-122+9

=（2"3）2

•・•无论1取何值,（2无-3『20

••.△=（2攵-3『20

•••无论攵取何值，此方程总有实数根；

（2）解：由（1）得△=（2左一3）’，

①当b=6•时，即方程有两个相等的实数根，

.•.△=（22-3）2=0,

解得料，

.••把&='!代入f-（2Z+l）x+4A-2=0,

/3A3

得/-2x-+lx+4x--2=0,

I2J2

整理得f-4x+4=0

.*.（X-2）2=0

x-2

•••2+2=4,

•••不能构成三角形，舍去

②当占=。=4或c=a=4时，即方程(2%+l)x+4k—2=0有一个根x=4,

.•.16-(2k+l)x4+4"2=0

解得：k=?

方程化为x2-6工+8=(工一2)(工一4)=0,

x=

解得\2,x2=4,

即三边为4,4,2,能构成三角形,

则周长=4+4+2=10,

这个等腰三角形的周长是10.

2.(25-26八年级下•浙江•期中)已知关于x的一元二次方程(k+l)x+2Z—2=0.

⑴求证：无论A取任何实数值，方程总有两个实数根；

⑵若等腰VABC的周长为7,且两边长m〃恰好是这个方程的两个根，求大的值.

【答案】(1)见解析

(2)k=3.5或4或3

【分析】(1)根据一元二次方程根判别式证明即可；

(2)根据题意求出司=2,x2=k-lt再分三种情况解答即可，.••第1种情况：当％-1是腰，2是底边时;

第2种情况：当2是腰，攵-1是底边时：第3种情况：当火-1、2是腰时.

【详解】(1)解：△=[—(%+1)了一4x(2左一2)=&2+2%+1—8%+8

=k2-6k+9

=(t-3)2>0,

该方程总有两个实数根.

⑵解：--(&+l)x+2&-2=0,

.•.[x-(/c-l)](x-2)=0,

.•.工-(4-1)=0或4-2=0,

解得：％=2,x2=k-\,

即a=2,b=k-\,

••・第1种情况；当k1是腰，2是底边时，2+k—T+k—l=7,

:.k=3.5»

:.k-\=2.5,

V48c的三边长为：2.5、2.5、2,能组成三角形；

第2种情况：当2是腰，01是底边时，2+2+&-1=7,

：.k=4,

A-1=3,

V4?C的三边长为：2、2、3,能组成三角形；

第3种情况：当攵—1、2是腰时，攵一1=2,

:.k=3,

VA3C的三边长为：2、2、3,能组成三角形，也满足周长为7；

综上所述：1=3.5或4或3.

3.（25-26八年级下•浙江嘉兴•期口）己如VA。。的一条边〃。的长为5,另两边A3、AC的氏是关于x的

一元二次方程x2-（2左+3）X+公+3八2=0的两个实数根.

（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）当々为何值时，VA3c为直角三角形.

【答案】（1）

见解析

⑵

欠的值为2或11

【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，计算得到判别式恒大于0,即可得证：

（2）先解一元二次方程得到另两边的长度，再分BC为斜边、为直角边两种情况，结合勾股定理列方

程求解，再根据三角形三边关系可得符合条件的解即可.

【详解】（1）证明：原方程为f-（2&+3）X+/+34+2=0,

.•.△=［-（2%+3）了-4（&2+32+2）=4%2+12左+9-4&2一|22-8=1,

vl>0,

••・无论女为何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：对原方程因式分解得｝-伏+1）］卜-（左+2）］=0,

解得再一％+1，x2-k+2t

即另两边长分别为攵+1和攵+2,

根据三角形三边关系可得1+1>0,k+2>0,(Z+l)+(Z+2)>5,

解得Q-l,k>-2,k>\,

:.k>T,

分两种情况讨论：

当8C为斜边时，由勾股定理得(A+l)，(A+2)2=52,

整理得&2+3比-10=0,

解得2=2或4=-5(不合题意，舍去)；

当BC为直角边时，k+2>k+\,

「•长为左+2的边为斜边，

由勾股定理得(4+1)2+52=(2+2)2,

整理得2&=22,解得&=11,

综上，％的值为2或11.

4.(25-26八年级卜.・山东德州•期口)阅读材料，解决问题：探究平面内两点间的距离：设《(2)1)，

EK，）”

如图I>当1，△纵坐上小相同时，66二|玉一司，当公，△横坐木小相同时，《号=卜1一%|

得两点间距离公式为［6=『+(%-X)2

请直接利用两点间距离公式，解决下列问题：

⑴平面直角坐标系中有两点4(5,7),8(2,3),则线段A8长为

⑵已知一个三角形各顶点坐标为,4(-1,4),秋-3,1),C(