浙教版初升高一数学暑假预习练习题：函数的奇偶性（原卷版+解析）

函数的奇偶性

一、函数的奇偶性概念及判断步骤

/.函数奇偶性的概念

偶函数：若对于定义域内的任意一个X,都有/(-x)=/G),那么/G)称为偶函数.

奇函数：若对于定义域内的任意一个X,都有那么/(均称为奇函数.

(/)奇偶性是整体性质；

(2)4在定义域中，那么-X在定义域中吗？一一具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；

(3)/(“)=/&)的等价形式为：fM-f(-x)=0,^-^=1(f(A)0),

/*)

/(-A-)=-/(x)的等价形式为：/|»+/(-x)==-K/U)/0)；

/(x)

(4)由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有八0)=0；

(5)若了«既是奇函数又是偶函数，则必有JQ)=O.

2.奇偶函数的图象与性质

(7)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一

个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

(2)如果一个函数为偶函数，则它的图象关于)，轴对称；反之，如果一个函数的图像关于)，轴对称，则这

个函数是偶函数.

3.用定义判断函数奇偶性的步骤

3)求函数/5)的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是

奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；

(2)结合函数/(x)的定义域，化简函数/(x)的解析式：

(3)求/(—X),可根据与/(X)之间的关系，判断函数的奇偶性.

若f(r)=-/(©，则/0)是奇函数；

若f(r)=f(x)，则/。)是偶函数；

若丁(一工)工±/(戈)，则/")既不是奇函数，也不是偶函数；

若F(-x)=/(x)且)(一幻二一/(幻，则/")既是奇函数，又是偶函数

二、判断函数奇偶性的常用方法

（7）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函

数的定义域是关于原点对称的，再判断/（-外与±/（幻之一是否相等.

（2）验证法：在判断了（一幻与/3）的关系时，只需验证/（-））±/（幻=0及以二2=±1是否成立即可.

fM

（3）图象法；奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（），轴）对称.

（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个

偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

（5）分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量l的不同取值范围，有着不同

的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考

查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断/（-幻与/*）的关系.首先要特别注意工与-X的范围，然后

将它代入相应段的函数表达式中，/（戈）与/（-幻对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行

比较.

三、关于函数奇偶性的常见结论

奇函数在其对称区间父和上具有相同的单调性，即已知/（幻是奇函数，它在区间[〃,切上是增

函数（减函数），则/（X）在区间卜力，-加上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间同和-a]

上具有相反的单调性，即己知了。）是偶函数且在区间切上是增函数（减函数），则/3）在区间

上也是减函数（增函数）.

例I：判断函数的奇偶性

判断卜.列函数的奇偶性：

（/）/（①）=（%+l）V；+；；（2）/（1）=/—4枚I+3；

1

⑶/（①）=归+3]-比一3|；（4）/（x-）=9\''9；

仔十/|一2

【解答】（/）非奇非偶函数：（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数.

【解析】（/）・・丁（%）的定义域为（-1,1],不关于原点对称，因此f（x）为非奇非偶函数;

(2)对任意x£R,都有-xGR,且f(~x)-r-41x\+3=f(x),则/(A)IxI+3为偶函数：

(3);x£R,/(-x)=\~x+31-1~x~3\=|x-31-1x+31=~f(x),为奇函数：

(l-x2^Of।八、一小「

⑷.1+2:#±2'-1芋。且①,r

・“力=，1一二="一」

一八一邑+2)-2-1，

/(-x)=="直三=-/(力,・"3为奇函数.

"［X㈠"X

例2：函数奇偶性的应用

/(x),g(x)均为奇函数,"。)=4。)+佻*)+2在(0,转)上的最大值为5,则”(幻在(-oo,0)上的

最小值为.

【解答】-1

【解析】考虑到/Cr),g3)均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求〃(⑼与〃(-⑼的关系.

H(x)+〃(-/)=af(x)4-bg(x)+2+a/(-e)+bg(-x)4-2,

j(-z)=-/Q),g(-力=-g"),,

H(c)+〃(-/)=4,.

当zVO时，H⑸=4—H(~■力,

而—>0,「.HS)^5,：.H{x}2-1,

H(c)在(-oo,0)上的最小值为T.

例3：函数奇偶性的综合应用

已知y=/(用是偶函数，且在［0,+8)上是减函数，求函数/(1一/)的单调递增区间.

【脩答】［0,/］和(一8,-7］

【解析】•・•/(/)是偶函数，且在［0,+8)上是减函数，・•・/(力在(-8,0］上是增函数.

设V则函数/(1-，2)是函数/(〃)与函数”/一/的复合函数.

•・•当OWxW/时，〃是减函数，且“20,而“20时，/(〃)是减函数，根据复合函数的性质，可得

是增函数.

•・•当xW-/时，〃是增函数，且〃W0,而〃W0时.，/(〃.)是增函数，根据复合函数的性质，可得/(I一/)

是增函数.

同理可得当一/WxWO或/时，/(1——)是减函数.

・•・所求的递增区间为[0,/]和(—8,-/].

巩固练习

一、选择题

272

1.已知函数/(X)=,，则()

«[.TC.Z-O

A.函数/G)的图象关于x=2对称

B.函数/(公的图象关于x=4对称

C.函数/(%)的图象关于(2,2)对称

D.函数/(k)的图象关于(4,4)对称

2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()

A.y=x-1B.y=-.v3C.y=~~D-y=x|x|

3.函数/(x)是定义在R上的奇函数，当x>0M,f(x)=-x+1,则当x<0时，/Cr)等于()

A.-A+1B.-x-\C.x+\D.x-1

4.已知函数y=/(x)的定义域为(・8,])u(i,+oo),且/(x+1)为奇函数，当xVl时，f(x)=

-f-2x,则/("=|的所有根之和等于()

A.4B.5C.6D.12

5.已知定义在R上的偶函数)，=/(%)+x,满足/(I)=3,则/(-1)=()

A.6B.5C.4D.3

二、填空题

6.已知函数/(x)是定义在R二的周期为2的奇函数.当0<iWl时，/(#=/-纨+1,则实数〃的值

等于.

7.函数/(x)是定义在R上的奇函数，当入20时，/(x)=2?-x,则/(・1)的值为一.

8.已知/(%)是定义在(・8,+8)上的奇函数，当x>0时，f(x)=4.”f,若函数/(外在区间心

4]上的值域为[-4,4],则实数/的取值范围是.

2

9.设。为实常数，y=/(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，/(%)=41+—+7,若/(x)2〃+1

对一切工20成立，则a的取值范围为

10.设偶函数/(x)对任意在R,都有/Q+3)=-看

,且当在［-3,-2］时，/(x)=4x,则/(107.5)

11.定义在实数集R上的偶函数fix)满足/(z+1)=1+，2/(办一产包),则/(芋)=.

12.已知/(%)为定义在R上的奇函数，当工20时，/(公=|「『|一『且对任意在!<,恒有/G+1)河

G),则实数。的取值范围为.

三、解答题

13.设小旄R,函数/(x)=a^+bx-3,g(x)=\x-a\,AGR.

(1)若/Q)为偶函数，求〃的值；

(2)当6=-9时，若/(x),g(x)在［1,+8)上均单调递增，求。的取值范围.

14.已知函数/(»=/+L.

kl*

(1)求证函数/'(X)为奇函数；

(2)用定义证明：函数.f(x)在(1,+8)上是增函数.

4

15.已知函数/(力)=石十一

x

(1)判断/(X)的奇偶性；

(2)证明/(x)在区间(2,+8)上是增函数.

16.已知/(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且/(%)+g(x)=^+x-2.

(1)求/(x)和g(X)的解析式；

(2)设〃(%)=m^+3mx-3(其中〃店R),解不等式/z(x)Vg(x).

17.己知/(》)=①+&(2>0)

(1)判断函数/(X)的奇偶性，并说明理由

(2)当&=1时，判断函数/(x)在(0,1)单调性，并证明你的判断.

18.己知定义域为R的函数/(力=-)+彳三J是奇函数.

(1)求”的值；

(2)判断函数/J)的单调性并证明；

(3)若关于，〃的不等式/(-2加+川-4)+f(m2-2mt)W0在g(1,3)有解，求实数，的取值范围.

函数的奇偶性

一、函数的奇偶性概念及判断步骤

I.函数奇偶性的概念

偶函数：若对于定义域内的任意一个心都有/(-x)=/q),那么f(x)称为偶函数.

奇函数：若对于定义域内的任意一个心都有/(-公二■/&),那么/G)称为奇函数.

(7)奇偶性是整体性质；

(2)x在定义域中，那么-x在定义域中吗？--一具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；

(3)/(-x)力x)的等价形式为：/W-/(-X)=。，勺。=l(/(x)=0),

/(幻

/(-A-)=-/U)的等价形式为：/(E)+f(-X)=0,勺0=-1(/(幻/0);

fM

(4)由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有/(0)=0；

(5)若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有/(x)=0.

2.奇偶函数的图象与性质

(/)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形：反之，如果一

个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

(2)如果一个函数.为偶函数，则它的图象关干)，轴对称：反之，如果一个函数的图像关干y轴对称,则这

个函数是偶函数.

3.用定义判断函数奇偶性的步骤

3)求函数/(工)的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是

奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；

(2)结合函数/(x)的定义域，化简函数/(x)的解析式；

(3)求/(—X),可根据/(—X)与之间的关系，判断函数/(幻的奇偶性.

若f(一幻=-“X)，则/*)是奇函数；

若/(-X)=f(x),则/(X)是偶函数；

若丁(一为)工±/(戈)，则/(幻既不是奇函数，也不是偶函数;

若/（T）=/Q）且/（-）=-/（X）,则/"）既是奇函数，又是偶函数

二、判断函数奇偶性的常用方法

（/）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数：若函

数的定义域是关于原点对称的，再判断了（-工）与±/（X）之一是否相等.

（2）验证法：在判断了（-幻与/（好的关系时，只需验证/（f）±f（x）=O及与»=±1是否成立即可.

/（X）

（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y轴）对称.

（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个

偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

（5）分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量工的不同取值范围，有着不同

的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考

查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断了（-幻与/a）的关系.首先要特别注意不与-1的范围，然后

将它代入相应段的函数表达式中，/（X）与f（-x）对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行

比较.

三、关于函数奇偶性的常见结论

奇函数在其对称区间和［V,上具有相同的单调性，即已知/（幻是奇函数，它在区间上是增

函数（减函数），则/（x）在区间卜儿-加上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间必和［-"

上具有相反的单调性，即已知/（工）是偶函数且在区间公上是增函数（减函数），则/5）在区间［-A,-a］

上也是减函数（增函数）.

例I：判断函数的奇偶性

判断下列函数的奇偶性：

（/）/（c）=（工+D«；+；；（2）/Q）=/2—4团+3；

⑶/（力=归+3|-|勺一3|；（4）/⑺=0；

|了+21-2

【解答】（/）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数.

【解析】(/)・・丁6)的定义域为(-1,1］,不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；

(2)对任意x£/?,都有-%£穴，巨/(-A)-x1-41x|+3=f(x)，则/(A)=£-41x|+3为偶函数；

f(-x)=\-x^3\-\-xr3\=\x-3\-\x^3\=-f(：d,二/G)为奇函数;

⑷••・［4，­1，O)U(O，1］，

①+2#=±2-4

.“力-二1一二_一1一二

.♦八乃一(1+2)—2一］，

/.j（-，）=0二了"=-'"I=_/（"，."⑴为奇函数.

例2：函数奇偶性的应用

f(x),g(x)均为奇函数,H(x)=^(x)+bg(x)+2在(0,内)上的最大值为5,则H(x)在(-oo,0)上的

最小值为.

【解答】-1

【解析】考虑到/S),g(N)均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求〃(/)与〃(-/)的关系.

H(x)+〃(-/)=af(x)4-bg(x)+2+〃,/(-))+bg(-z)+2,

,/f(-x)=-/Q),g(-c)=-g(c),,

H(z)+〃(-力=4,.

当eV0时，H(I)=4—H(-力,

而-2>0,「.H(—①)05,.•.//(»2-1,

7•HS)在(-8,0)上的最小值为T.

例3：函数奇偶性的综合应用

己知),=/(不)是偶函数，且在［0,+oo)上是减函数，求函数/(1一/)的单调递增区间.

【解答】［0,〃和(-8,-/J

【解析】•・・/(/)是偶函数，且在［0,+8)上是减函数，・・・/())在(-8,0］上是增函数.

设"=/—X2,则函数/(1一—)是函数/(〃)与函数〃=/一入2的复合函数.

•••当0«时，〃是减函数，且“20,而心。时，/⑹是减函数，根据复合函数的性质，可得/(1一/2)

是增函数.

•.•当*W-/时，〃是增函数，且“&0,而“W0时，/(〃)是增函数，根据复合函数的性质，可得/(1一二)

是增函数.

同理可得当一/WxWO或/时，/(I——)是减函数.

・•・所求的递增区间为[0,〃和(—8,-/].

巩固练习

一、选择题

272

1.已知函数/(X)=.2，贝IJ()

X二42小Io

A.函数/(工)的图象关于x=2对称

B.函数/(工)的图象关于x=4对称

C.函数/(k)的图象关于(2,2)对称

D.函数f(x)的图象关于(4,4)对称

【解答】C

【解析】fS+2)=2不是偶函数,.・・f(x+2)的图象不关于x=0对称，・・・/(x)的图象不关于

x=2对称，即A错误；

/S+4)=不是偶函数,从而得出/(x)的图象不关于x=4对称，

即B错误；

/(:+2)-2=组誓^一2=67，・・・f(x+2)-2是奇函数，

图象关于(0,0)对称，・•・/(%)的图象关于(2,2)对称，即C正确；

小4)-4=滥热彳-4=%+京+4'•寸(1+4)・4不是奇函数，

・・・/(x)的图象不关于(4,4)对称，即D错误.

故选C.

2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()

A.y=x-1B.y=-x3C.y=~—D.y=x|x|

【解答】D

【解析】由题意，可知：

对千人：y=x-1不是奇函数，不符合题意；

对于B：y=-V在R上为减函数，不符合题意；

对于C：在(-8,0),(0,+oo)上分别为增函数，但在整体区间不为增函数，不符合题意；

j-2Tn

对于小尸木尸d,二o,图象如下:

结合图象，可知y=xR既是奇函数又是增函数.

故选D

3.函数/G)是定义在R上的奇函数，当公>。时，/(x)=・x+l,则当XV。时，/(x)等于()

A.-x+1B.-x-\C.x+1D.x-\

【解答】B

【解析】设xVO,则-x>0,

•・•当x>0时，f(x)=-x+1,・"(-%)=x+\

又,：/lx)是定义在R上的奇函数，

(X)=-/(-X)=-(x+1)=-X-\,

故选B.

4.已知函数y=/(x)的定义域为(-8,1)u(1,+8),且/(x+1)为奇函数，当xVl时，f(x)=

-A2-2x,则/⑺=|的所有根之和等于()

A.4B.5C.6D.12

【解答】A

【解析】V/(X+I)为奇函数,-V(AT+1)关于(0,0)对称,・・・/(析为于(1,0)对称,：.f(x)4/(2

-A)=0,

•・•当xVl时.，/(x)=-『-2x,

AA>1,即2-xVl时，/(x)=-/(2-x)=-(2-x)2-2(2-x)]=『-6x+8,

-x2-2x=^(D

仆=5叫，

——6①+8=5②

由①得XI+M=-2,由②为+g=6,

:.x1+X2+X3+X4=4,故选A.

5.已知定义在R上的偶函数y=f(A)十八，满足/(I)=3,则/(-1)=()

A.6B.5C.4D.3

【解答】B

【解析】-y=f(x)+x是定义在R上的偶函数，且/(I)=3；

/./(-1)-1=/(1)+1；

即/(-1)-1=3+1；

/./(-1)=5.

故选B.

二、填空题

6.已知函数/(X)是定义在R二的周期为2的奇函数.当OVxWl时，/(x)=/-奴+1,则实数〃的值

等于.

【解答】2

【解析】•・•函数/(外是定义在R上的周期为2的奇函数.

当OVxWl时，/(/)=2-"+1,

・•・/(-1)=-/<!)且/(-1)=/(-1+2)=/(1),

/./(1)=0,即/(1)=1-4+1=2-a=0,

•*«o=2.

7.函数/(x)是定义在R上的奇函数，当GO时，/(x)=2?-x,则/(・1)的值为一.

【解答】-1

【解析】V/(x)是R上的奇函数，

・•・/(-1)=-/(I)=-(2X12-I)=-1；故答案为-1.

8.已知/(公是定义在(-8,+8)上的奇函数，当£>()时，/(x)=4X-A2,若函数f(外在区间5

4]上的值域为[-4,4],则实数/的取值范围是.

【解答】卜2—2心,-2]

【解析】如XV0,则・x>0,

•・•当x>0时，f(x)=4x・P

:.当-x>0时，/(-x)=-4x+d,

•・•函数/(x)是奇函数，

,V(0)=0,且/(-X)=-4x+*=-/(X),

则/(x)=4x+/，X<0,

则函数/(')=(：二了二

I4x+①/<()

则当x>0,f(x)=4x-/=-(x-2)2+4<4,

当x<0,f(x)=4r+f=(x+2)2-42-4,

当/VO时，由4x+f=4,即.F+4X-4=0,

解得，=」一116=-2-2y/2,(正值舍掉),

若函数/(x)在区间/4］上的值域为［-4,4］,

则-2-2口WK-2,

即实数/的取值范围是［-2—2遮,-2］.

9.设〃为实常数，y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=4x+々+7,若f(x)

X

对一切x20成立，则a的取值范围为.

【解答】"WY

【解析】设x>0,则・XVO.

•・•当xVO时，/(x)=4x+—+7,

x

2

.*./(-x)=-4x----a--+7.

x

'：y=f(x)是定义在R上的奇函数,

(产

.*./(x)=-/(-%)=4c+—；—7.

V/(x)2。+1对一切x20成立，

工当x>0时，m+幺-72+1恒成立；且当x=0时，0*+1恒成立.

X

①由当x=0时，02〃+1恒成立，解得aW・l.

a2

②由当x>0时，4x-\--------7Na+l恒成立，可得：4?-(〃+8)户/2。恒成立.

X

令g(x)=4AT-(a+8)x+a2,

f-(a+8)

则当x>0时，g(x)20恒成立=<8,或△或(),

I0(0)20

Q

解得

o

Q

综上可得

o

Q

因此a的取值范围是aW-岂

0

10.设偶函数f(x)对任意x£R,都有/Q+3)二-J^,且当在［-3,-2］B'hf(x)=4x,则/(107.5)

【解答】上

【解析JV/(x+3)=-J、，

fw

・R-7^=/(4),

府

・•・函数/(x)是以6为周期的函数.

•・•当x曰-3,-2］时，/(k)=4筋

,V(107.5)=/(6X17+5.5)=/(5.5)

1=1

"./(2.5)--/(-2.5)

1=1

4X(-2.5)=W*

11.定义在实数集R上的偶函数-x)满足/(，+1)=1+x/2/Cr)—r(力,则/(竽)=.

［解答］当甚

【解析】v/(X)是R上的偶函数，

.*./(-x)=f(x)»

j(l—a:)=1+，2/(z)一尸3)=/(I+1)，

/./(x+2)—f(-x)=/(x),

・・・/(x)的周期为2,

.../(明=伽09+/修+504x2)=啕,

・••G+i)=i+旧炉HIM斗

/(1)-1=-/喝)-两边平方并整理得，2唬)—呢)+1=0,

且噜)>1，•••解得同=学,

,./2019\2+^/2

.・,(亍1=.

12.已知/(幻为定义在R上的奇函数，当工20时，/(x)=k-/|-/且对任意隹R,恒有/(.叶1)河

G),则实数〃的取值范围为.

【解答】

■sr--、1o.cJx—2a2.xa2

【解析】x与。时，f(x)=\x-a^\—a^=<；

-x,UWi。

又『(x)是定义在R上的奇函数，・・j(x)的图象如图所示:

当xVO时，函数的最大值为/；

•・•对任意尤R,恒有f(x+1)2/G)；

要满足/(x+l)1大于等于区间长度3。2・(・/)：

；•124/：

解得一：4a&：；

•••实数〃的取值范围为1昌1仁].

三、解答题

13.设a,heR,函数/(x)=a^+bx-3,g(x)=\x-a\,AGR.

(1)若/(x)为偶函数，求/?的值：

(2)当力=-1时，茗/Q),gG)在[1,十3)上均单调递增，求”的取值范围:

fl

【解答】(1)〃=0;(2)于1

【解析】(1)因为/(X)为偶函数，

所以/(x)=/(-x),

即ax^+bx-3=加-bx-3,即2尿=0对任意的实数尸恒成立，

所以b=0.

(2)若4=0,则/(I)=bx-3,由于力=-J〈0,

所以/(X)在R上单调递减，与题意不符，所以“H0；

因为/(x)=a[-<x-3在[1,+8)上单调递增，

卜>0

所以<j_<,解得心4，

因为g（x）=仇・〃|在［1,+8）上单调递增，所以

综上所述，，的取值范围为序1.

14.已知函数/（力=E+1.

（1）求证函数/（X）为奇函数：

（2）用定义证明：函数/G）在（1,+8）上是增函数.

【解答】（1）见解析；（2）见解析

【解析】（1）证明：函数的定义域是（-8.0）U（0,+8）

由/（①）=rr+—,

可得/（-2）=-/+9=一（c+j）=-/（力，

所以函数/（X）为奇函数.

（2）任取笛，&W（1，+8）,且X］＜X2，

则/（11）—/（12）=Xi+——X2——=（x［—X-2）+:=（为—22）——一-，

X\工21］工2①］啰2

由上1，及6（I，+8）,且为〈工2，可知X1VX2，X|X2-1＞0,

所以/（XI）＜/（A-2）.

即/（X。＜/（X2），

所以函数/（X）在（1，+8）上是增函数

4

15.已知函数/Q）=E+一

x

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）证明/（、）在区间（2,+8）上是增函数.

【解答】（1）奇函数；（2）见解析

【解析】（1）函数/（%）=。+?，其函数的定义域为（-8,0）U（0,+8）关于原点对称;

则/（-力=-^+777=-/3），

—JL-

4

故得函数/（X）=/+?是奇函数.

（2）设任意的X”X2满足2〈即〈12，

ifxx.44,4（/2一电）（电一电）（4一电电）

贝MQi）-/（（%）=a；i-x+---=-fe-xj+——--=---------------

2X\X*2X*2X\X*2X\

9

：2<xi<x2f

.*.4LVO.

.*./(Xi)<f(X2).

故得/(x)在区间(2,+8)上是增函数.

16.已知/(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且/(工)+g(x)=x^+x-2.

(1)求/(x)和g(x)的解析式；

(2)设/?(%)=〃储+3〃?人一3(其中相WR),解不等式"(x)<g(x).

【解答】(1)/(x)=『-2,g(x)=x；(2)｛1一3</<，｝

【解析】(1)根据题意，/(%)是偶函数，g(x)是奇函数，且/(X)+g(A)=『+x-2,

则/(-x)+g(-x)=A2-x-2»即/(x)-g(x)=1-x-2,

联立得/(x)=『・2,g(x)=x.

(2)由题意不等式即，内2+(3m-1)X-3V0,

当加=0时，即-x-3<0,解得x>-3；

当〃?W0时，即(nix-1)(x+3)<0,对应方程的两个根为©=—,X2=-3,

m

故当〃?>0时，易知不等式的解为-3Vn<!；

mm

当:"VO时，若［->-3,即<-1时，不等式的解为-3或1>,；

m3m

若工二-3,即m=时，不等式的解为xW-3；

m3

若工<-3,即时，不等式的解为2V」或心>-3；

m