浙教版初升高一数学暑假预习练：二元二次方程组（原卷版+解析）

二元二次方程组

1.二元二次方程的定义：含有两个未知数且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方

程.

2.二元二次方程组的定义：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组或由两个二元二次方

程组成的方程组叫做二元二次方程组.

3.一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法：

（1）代入法

①把二元二次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；

②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；

③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；

④将所解得未知数的值代入二元一次方程，求另一个未知数的值（若代入的是二元二次方程，会出现“增

解”问题）；

⑤将解得两个未知数的值组在一起就是原方程组的解.

2x—y=0①

例：解方程组

/­/+3=0②

X]=lIX=-l

【解答】2

%=21的=-2

【解析】由①得”③，将③代人②得,./一（2,）2+3=0,解得=

将&=1代入③，得妁=2,将及=-1,得沙2=-2,

为=1=T

所以原方程组的解是

纳=2%_2

（2）逆用根与系数的关系

对于形如I的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，将z、4看作一元二次方程

xy—b

z?—az+6=0的两个根，求得的Z］和22的值，就是/、y的值，当g=z1时，仍=3；当数=z?时，的二zu，

所以原方程组的解是两组“对称解”.

工+

例：解方程组《n=7

xy=12

©=3Jg=4

【解答】

5

2/1=4|?/2=3

【解析】这个方程组中的力、"恰好是#-7N+12=0的两个杈,

解得Z1=3,N2=4,・••原方程组的解为QXi=^g=4

I阴=4y-2=3'

4.两个二元二次方程组成的方程组的解法

(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与

原方程组中的另一个二元二次方程组成新的两个方程组，解新的方程组所得的解就是原方程组的解.

2

例：解方程组Ix/—?/2=5H(，+,")②①

Xi=\/43X=-y/43x=-lg=6

【解答】23

g=-6'

Vi=-\/43'y2=y/43，g=l

【解析】由①得①之一"2—5(/+")=0,3+。(①一")—5(N+J)=0,(N+U)(z—沙-5)=0,

・•・e+V=0或z—-5=0,原方程组可化为以下两个方程组,

，+u=°或x—</—5=0

x2+xy+y2=^/+巾+/=43

Xi=\/43x=--\/43

2啊=-1IX4=6

yi=-y2=y/43'y：i=-6'|5=1

(2)当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到

的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到4

个二元一次方程组，解这4个二元一次方程组所得的解都是原方程组的解.

/+/=26①

例：解方程组

曲=5②

二5=1q=-1IX=-5

【解答】4

明

9=1'y-2=5'=-5']yA=-1

【解析】①十②X2得/+/+2叼=36,

Gr+?/)2=36,c+g=6或c+g=-6,

①—②X2得/+y2—2xy=16»

(x—z/)2=16,x—y=4-y=-4

a+y=6jc+g=6c+g=-6c+g=-6

•・•原方程组可化为

x—y=4\x—y=-^x—y=4x-y=-4

为=5Irr2=1Ix3=-1x=~b

解这4个方程组，得原方程组的解是4

妫=1'1"2=5'1级=-55=T

PS：对称性方程组I或都可以通过变形转化为卜+"=m的形式，通过构造

x-\-y=bxy=0xy=n

一元二次方程求解.

5.其他解法

(1)加减法、代入法解二元二次方程组

x2xy=12①

例：解方程组

xy-\-y2=4②

x=3①2=-3

【解答】x

仍=1如=T

【解析】①一②X3得一+由—3(ig+夕?)=(J,gpa；2—2xy—3y2=0,

，(/—3夕)(c+g)=0,—3y=0或/+〃=0,

①一3g=0Ii+y=0

，原方程组可化为两个方程组

冲+/=4']xy^-y2=4c

用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是二:,二::.

(2)换元法解二元二次方程组

(注1)2(72

例：(94

Ix-y=l

4(c+1)2—9(g—1)2=36

【解析】原方程组可化为

(e+1)—(?/-1)=3

4m2-9n2=36

令e+1=m.y—l=n则原方程组可化为

m—n=3

39

m=3T

解得A

=024

n-2=T

34

X\=2s

代人得原方程组的解为

%=129,

石~

巩固练习

一.选择题

1.二元二次方程组《的解是（)

xy=-1（）

Xi=-5x=2

A.2

y\=2的二一5

N1=5x=2i

B.2

g=2'2/2=5

£1=5g=_2

C.

仍=_2'的=5

21=-5g=-2

D.

川二-2'出二一5

2.下面的方程组,不是二元二次方程组的是()

x2—x=3y=x-1

A.B.

y=2Q—1)(i/+l)=x

化+g=1x—y=l

C.D.

x+yz=2xy=2

：2^"二2有且只有一组实数解，则机

3.关于x,y的二元二次方程组《的值是（）

2.x+y=m

A.1B.2C.3D.

（弋?”的解的个数是，

4.二元二次方程组

A.1B.2C.3D.4

二.填空题

5.若二元二次方程组J:"+"=；的解是某个一元二次方程的两个根，则这个一元二次方程为_________.

12x—y=7

6.方程组J是关于小y的二元二次方程组，则用、〃的取值范围是________.

|3e+2g=1

7.由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的二元二次方程组最多有组解.

8.二元二次方程组《一八小的解是_______________________.

Ie—2g=0②

9.关于x、y的二元二次方程组Ix+y=a的一个解是'的=；；那么这个方程组的其余的解

xy=b[?/i=-2

是.

三.解答题

10.若方程组《:::，一是二元二次方程组，求加的值.

I—6xy=4

x2—y2=1

11.若二元二次方程组有唯一解，求实数k的值.

y=k(x—力+1

X=7?.(?/+2)有两个实数解｛I£和｛；11;其中"2,且言+$=/

12.二元二次方程组

x2+4y2=41

求常数〃,f的值.

13.阅读材料，解答问题:

\X2y2=10①

我们可以利用解二兀一次方程组的代入消兀法解形如＜C'H小的二兀二次方程组,实质是将二兀

I2N-〃=5②

二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解.其解法如下：

解：由②得：y=2x-5③

将③代入①得：?+(2x-5)2=10

整理得：A2-4.r+3=0,解得xi=l,4=3

将/l=l,A2=3代入③得yl=lX2-5=-3,.V2=2X3-5=l

Xi=l饱=3

•••原方程组的解为

仍=-3'的=1

{2x—y=3①

(1)请你用代入消元法解二元二次方程组:(y2—4x2+6c-3=0②

]2v+g=1①

⑵若关Q的二元二次方程组Q-，2+2，+1=。②有两组不同的实数解’求实数的取信范围.

二元二次方程组

1.二元二次方程的定义：含有两个未知数且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方

程.

2.二元二次方程组的定义：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组或由两个二元二次方

程组成的方程组叫做二元二次方程组.

3.一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法：

(1)代入法

①把二元二次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；

②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；

③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；

④将所解得未知数的值代入二元一次方程，求另一个未知数的值(若代入的是二元二次方程，会出现“增

解”问题)；

⑤将解得两个未知数的值组在一起就是原方程组的解.

2x—y=()①

例：解方程组

—夕2+3=0②

£1=1J际=-1

【解答】

2/1=2)y-2=-2

［解析］由①得g=2］③，将③代入②得，X2—(2①)*+3=0,解得为=1，的=-1，

将0=1代入③，得加=2,将e=-1,得沙2=-2,

所以原方程组的解是4X2=~1.

纳=2'北=_2

(2)逆用根与系数的关系

对于形如1"十的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，将2、g看作一元二次方程

xy—b

2的两个根，求得的々和之的值，就是、的值，当g=为时，/=；当g=3时，=为，

z—az+b=021yz-2y-2

所以原方程组的解是两组“对称解”.

例：解方程组《x+y=7

xy=12

=3I2：2=4

【解答】

劭=4'1为=3

【解析】这个方程组中的/、沙恰好是z2—7z+12=0的两个根,

解得为=3/2=4,・••原方程组的解为4为=?,电=4

12/1=4的=3

4.两个二元二次方程组成的方程组的解法

（1）当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与

原方程组中的另一个二元二次方程组成新的两个方程组，解新的方程组所得的解就是原方程组的解.

Ix2—ir=5(/+?/)①

例：解方程组/

2］=x2=-\/43%=Tg=6

【解答】

Vi=-A/43'2/2=/43，g=-6'%=1

［解析］由①得a?一力—5(z+?)=0,3+y)(x—y)—5(rr+y)=0,Q+y)Q—y—5)=0,

・・・①+沙=0或c-g—5=0,原方程组可化为以下两个方程组,

“+"=0或n—y-5=0

/+磔/+y2=43/2+阴+/=43

Xi=v^43x2=-A/43g=_lIXi=6

,

3h=-V^437/2=A/43，?/3=-6|y4=l

（2）当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到

的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到4

个二元一次方程组，解这4个二元一次方程组所得的解都是原方程组的解.

X2+y2=26①

例：解方程组

眼二5②

©=5x=lg=T叫=_5

【解答】2

2/1=1?I的=51%=-52/4=-1

【解析】①+②X2得二+犷+？维,=36,

(C+")2=36,z+y=6或o+g=-6,

①一②X2得/+—2xy=16,

(2—y)2=16,c—y=4或c—沙=一4,

x+y=6Jc+y=6x-\-y=-6Jz+g=_6

•・•原方程组可化为

w—y=4，]x—y=-4x—y=4\x—y=-4

21=5的=1IX=-1Ix=-5

解这个方程组，得原方程组的解是34

4的=5']?/3=-5,|?/4=-1

仍=1

PS：对称性方程组1i”犷=。或J♦+犷:。都可以通过变形转化为I"=m的形式，通过构造

x-\-y=bxy=bxy—n

一元二次方程求解.

5.其他解法

（1）加减法、代入法解二元二次方程组

出之+到=12①

例：解方程组

xy-\-y2=4②

⑻=3g=-3

【解答】

纳=1«/2=-1

【解析】①一②X3得力+/—3（巾+/）=o,即22—2冲一3/=0,

—3g)Q+g)=0,，①一3y=0或G+y=0,

i—3y=0\i+y=0

，原方程组可化为两个方程组

22

xy+y'=4'\Xy+y=4

用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是；二:二：:

（2）换元法解二元二次方程组

(Z+1)2。-1)2

例：〈94

x-y=l

12•=3-4

5

V2=259

4(1+1)2—9(y—1)2=36

【解析】原方程组可化为

(化+1)-G-1)=3

4m2—9n2=36

令①+1=—1=71,则原方程组可化为

m—n=3

及-354

Ci=2

代人得原方程组的解为

2/1=1如-295

巩固练习

一.选择题

1.二元二次方程组J”+“二：的解是()

xy=-1()

JNI=-5(X2=2

\协=2'\如=一5

【解答】C

【解析】依题意得x=3-)，

，刊=(3-y)y=-10

-)2+3y+10=0

-3y-10=0

(>--5)(/2)=0

y\=5,>'2=-2

J6=5JX2=-2

・•・方程的解为:［协=-2'1觇=5

2.下面的方程组，不是二元二次方程组的是()

x2—x=3Iy=x—l

A，[y=2-1)6+1)=c

r

ce+g=lDx-y=}

c+w=2']xy=2

【解答】C

【解析】A、8、D中的方程组均含有两个未知数，并且未知数的次数是2,故均为二元二次方程组，不符

合题意：

O中含有三个未知数，故是三元二次方程组，故本选项错误，符合题意.

,

3.关于x,y的二元二次方程组I；2+"=2有且只有一组实数解，则〃?的值是()

2x±y=m

A.1B.2C.3D.4

【解答】C

【解析】将两式相减，可得

j2-2x=2-m,

整理得』-2X+〃L2=0,

由题可得(-2)2-4(m-2)=0,

解得m=3.

+2)

4.二元二次方程组仆十0包2=°的解的个数是(•

A.1B.2C.3D.4

【解答】A

「鲜柘】-J(，+D("+2)=。①

【脩析】解方程组«小，

(0=工92②

将②代入①，得：(x+l)(/+2)=0,

VA2+2>0,

/.A+1=0,即X=-1,

将x=-1代入②得，y=\

所以方程组的解为：<X="1.

，=1

二.填空题

5.若二元二次方程组I:"+"=；的解是某个一元二次方程的两个根，则这个一元二次方程为__________.

2x-y=7

【解答】Ax-6=0

【解析】方程组(尸个的解为卜二2

y2x-y=71"=一3

'：x+y=2+(-3)=-1,与，=2X(-3)=-6,

・••以2和-3为根的一元二次方程可为/-(-1)x-6=0,即/+x-6=0.

故答案为/+x-6=0.

6.方程组,"I'是关于小丫的二元二次方程组，则,〃、〃的取值范围是______.

|3N+2g=1

【解答】〃?，〃不能同时为0

【解析】当山工0、时，方程组是关于小)，的二元二次方程组，

当加=0、时，方程组是关于x、y的二元二次方程组，

当加20、〃=0时，方程组是关于x、y的二元二次方程组，

故答案为：〃?，〃不能同时为0.

7.由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的二元二次方程组最多有组解.

【解答】两

【解析】把二元一次方程变形后代入二元二次方程，得到关于某一个未知数的一元二次方程，

由根的判别式可知，方程有两个不等实数根或两个相等实数根或没有实数根.

所以二元一次方程和一个二元二次方程所组成的二元二次方程组可能有两个解或两个相同的解(可以看做

一个解)或没有解.

所以一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的二元二次方程组最多有两组解，

故答案为；两.

f/—力一2/+1=0①

8.二元二次方程组＜/八小的解是________________________.

Ix-2y=0②---------------------

【解析】由②得：x=2y,

代人①整理得：3y2-4y+l=0,

解得：y=l或\，

把v代入x=2y,

9

得：x=2或互.

o

2

g=2心=3

故本题答案为:

为=1的=可1,

‘+"二。的一个解是一

9.关于小y的二元二次方程组:那么这个方程组的其余的解

工y=b协=-2

是

■小、I&=-2

【解答］＜_

夕2=1

“，代入方程组得：＜a=-l

【解析】把

2/1=-2b=-2

e+g=T

方程组为

xy=-2

x=-2

则这个方程组的其余解是2

的=1

X=-2

故答案为:2

故=1

三.解答题

、）卡-kmu"*"2,"-l—7

10.若方程组，一是二元二次方程组，求加的值.

5/—6xy=4

【解答】根的值为1土1土/?，3或-1

（解析1根据题意，tn2-2”?-1=0或-2〃？-1=1或n?-2m-1=2,

解n?-2m-\=0,得：m=1±,

解加2-2/n-1=1,得：m=1士，

解〃P-2m-1=2,得：m=3或-I.

综上，，〃的值为1士,1±，5，3或-1.

（/22=1

u.若二元二次方程叫片M二5+1有唯一解，求实数z的值.

【解答】当々=1或-I时，原方程组有唯一解

（2-2=1①

【解析】IV=人：（N-2）+1

②

把②代入①得X2-伙（X-2）+“2=1,

整理得（1・必）/+2&（2八1）x-4lc+4k-2=0,

当I-必=0时，即左=±1,关于x的方程变形为一元一次方程，方程有一个解:

当I-MWO时，即左W±l,关于x的方程变形为一元二次方程，

当△=（）时，方程有两组相同的解，即12k（2A-1）『-4（1-炉）（-49+4k-2）=。,

整理得弘2-4-2=0,此方程无实数根，

所以当女=1或-I时，原方程组有唯一解.

12.二元二次方程组（彳1%+?有两个实数