重庆市2025-2026学年高一年级下册3月检测数学试题（含解析）

2025-2026学年高一下学期4月定时检测数学试题

一、单选题

1.已知。=(1,2),。二(一2,攵)，若〃工〃，贝必=()

A.0B.1C.2D.3

2.已知向量忖=2,〃6=3,则向量〃在。上的投影向量为(/1

1.|r3

A.-bB.-bC.—bD.b

324

3.已知。《(艺，且sin(a+,=g,则cos(2a+1)=(

)

A.-LB.竺c.L~24

D.——

25252525

4.在平行四边形ABC。中，E为AB中点,F为BC上一点,且=EF=()

17II1-9

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.——AB+-A1DD.--AB--AD

23232323

5.已知/(x)="+法+2是定义在R上的函数，且满足八2)：=5；则/(—2)的值为()

A.-5B.-3C.-1D.1

6.在VA8C中，AB=4,£9=5,AC=-,D为边AC上一点,且3。平分/ABC,则()

2

A*B.Jlc9>14

15c5D-T

9

：yA£(x>0,y>0),线段力E与BC交于点r，且BC=5B尸，则:+算的最小

7.如图，设AB=xADAC;

值为()

A

©

「9、8

A.8B.9C.—D.一

55

若凡是方程/(J]=e'+x的解.，则不等式e"+ln；</〃成立的最小整数/〃为

8.已知函数/(x)=x+lnx,

()

A.2B.3C.4D.5

二、多选题

9.下列说法正确的是（）

A.函数/"）=丁（。>0）一定过第一象限

B.函数/（外=“1+1（。>0且。工1）的图象过点（L2）且不与直线尸1相交

C.函数/（X）=Jogo5（4x-3）的定义域为（（,+8）

D.Va>l,叫>0,当x>/时，恒有/>ax>log“x

10.已知函数/（x）=sink-;-cosx+；）,下列说法正确的有（）

A.函数的最小正周期为2兀

B.函数最大值为2

C.将函数），=/*）的图像向左平移工个单位后得到的函数为偶函数

4

D.函数），=/（幻的图象关于直线X=当对称

4

11.平面直角坐标系中，。为坐标原点，点片（cosa,sina）,〃（cos/7,sin/?）,,

则下列说法正确的是（）

A.|。耳=阿B.当好尸二令时，OPXOP,=\

C.<06,04=（".0码D..-06-0张［1,⑹

三、填空题

____13

12.已知味/是两个不共线的向量，向量七-/，耳0-耳6共线，则上的值为.

13.重庆“云端之眼”观景台位「解放碑联合国际写字楼第六十七层，是各地游客来重庆旅游的网红打卡地.如

图，一架无人机在。点处观测到“云端之眼”顶端的仰角为15。，地面上A点的俯角是45。，若无人机离地面

的高度为210m,ZZMC=60°,则“云端之眼”的高度3c为m.

，、

14.己知平面向量〃=«)，)，定义线性变换丁：丁(〃)=卜3-万乂3-尸+2",且满足〃厅(〃)=1,则〃2的最小

值为.

四、解答题

15.在VA3c中，|/W|=2,|AC|=4,NB4C=60。，点。在8c边上，且30=。。.

⑴求ABAC和IAD|；

(2)求向量AD与BC的夹角的余弦值.

16.己知函数/")=2sin(i)xWcoscox-sincox)+1(①>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为；.

(I)求◎的值和/(A)在区间［0,71］上的单调递减区间；

⑵当XG0,|时，关于X的方程/。)+a=。有两个不相等的实数根，求实数〃的取值范围.

17.己知/(x)=《一-一是定义域为R的奇函数.

2e+a

(1)求实数。的值；

(2)用定义证明/(A)在R上是增函数：

⑶若对任意不等式/(/—2戊+/+1)之《工恒成立，求实数，的取值范围.

18.已知锐角VA8C的内角A,8,。所对的边分别为a,b,c,向量小=(4屏)，/?=(cosAsin/?),且

(2)若。=近，V"C的周长为5+77,求V相C的面积;

(3)若。=2,过B点在V4BC所在平面内作BD_L8C,且乙4。8=三，求线段八。+的最大值.

19.人工智能和大模型的领域内，文字、图象等信息常常是由向量表示的，通过计算向量之间的相似度,

就可以说明两段文字或两张图片所表达内容的关联度.非零向量之间的相似度的一种定义为

..,.2a-b

L(ab)=―—―.

ya~+b-

(1)菱形人ACD中，ZBAD=^,动点一在直线CD上.

(i)当AP1.AD时，求UABMP)；

(ii)求〃AB,4尸)的取值范围.

⑵在信息处理的过程中，有时为了增加。力的相似度，会选取合适的正实数九〃，将调整为

羽+〃乩〃。+劝后再纳入模型计算，证明：对任意不共线的向量及任意正实数总有

L(a,h)<L(Aa+/jb,jja+Ab).

参考答案

1.B

【详解】由)=(1,2)》=(一2闺，4人,得痴=-2+2==0,

所以k=l.

2.C

abh3h3,

【详解】向量。在匕上的投影向量为

3.A

【详解】由二倍角余弦公式可知8s,上+矶曰―2sin2(e+扪1—2x(/=—：,

即„nc°s〔(2a+了2*卜一石7.

4.B

【详解】因为E是A3的中点，EB=；AB,

因为BC=38尸，所以8尸=g8C,又BC=AD，

由题意得EF=E8+8F=；4B+(A。，故B正确.

【详解】令g(x)=c“'+bx,则f(x)=g(x)+2,因为g(工)=加+反是奇函数，所以g(-x)=-g(x).

因为/(2)=g(2)+2=5,所以g(2)=3,所以g(—2)=-g(2)=-3,

所以/(-2)=g(-2)+2=-3+2=-l.

6.B

【详解】

A

D

B

ADARA

因为平分一八AC,所以黑=黑=2，

DCoC5

乂因为4c=/Q所以">=2,DC=^5

在V/1BC中，COSA=41+AC、8C：4+(5)5=£,

2A8AC2X4X216

2

在△ABO中，BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosA=42+22-2x4x2x—=15,

16

所以BO=A.

7.D

1114

解：由=BC=AC-AB^又BC=5BF，故A尸一48;《AC-g48,所以AT7=二4。+^A8.

14

因为4B=xA£),AC=yAE,所以4/二g)，A£+《xA。，又。,E,尸三点共线,

14

所以1)，+丁=1.

X,4.______

因此，当X>o,y>。时，_1+£=十二+如=上+」+竺=上+9+3之2以"+」=3

x5yx5y5x55y5x5y55x5y55

V4T55Q

当且仅当丁=丁，即x=3，y=：时取等号，所以最小值为"

5x5y635

8.B

【详解】因为函数)'=八y=lnx在(0,+8)上均为增函数，故函数/(x)=x+lnx在(0,+8)上为增函数,

由/^J=ev+x=e¥+lner=/(el),所以e*=：,

\

因为为是方程/-=e'+x的解，则一可得.％>0,

构造函数g(x)=e'-；其中x>0,

因为函数)，=e'、)，=-,在(O,y)上均为增函数，故函数g(x)=c'-，在(0,+8)上为增函数，

XX

因为g(l)=e-l>0,2<0,所以函数g(x)的零点在区间停1)上，

-1=0,即e”=，，所以=

即％e且g(x0)=e"

所以e"+ln-!-='+%,

构造函数Mx)=x+f则函数g)在6，"上为减函数，且〃出=：，码)=2,

所以e"+ln故满足e"+ln—<m的最小整数巾为3.

9.ABD

【详解】对A：因为/(x)=x〃(a>0)的图象必过点(1』),

所以函数f(x)=xa(a>0)一定过第一象限.故A正确；

对B：因为/(1)=〃。+1=2,所以函数/=的图象过定点(1,2),

又D0,所以人工)>1,所以函数人工)的图象不与直线)，=1相交.故B正确;

3

对C：由logos(4x-3)NO=0<4工一3<1=>—vx«l,

4

,________M1

所以函数/⑴=加&)$(4x-3)的定义域为-,1,故C错误；

对D：根据指数函数，一次函数和对数函数的增长速度可得，XfVa〉l,

当J足够大时，">at>log“x必定成立，故D正确.

10.AB

兀n

【详解W=，则x+Z=o+2,sinxcos|x+：可化为sine-cos(0+]=2sin°=2sin工一7;tJ，

442I2)4

n

所以f(x)=2sinx一■-

4J

对A,函数户出)的最小正周期人言加A对;

n

对R./U)=2sinx,最大值是2,R对:

4

/

7Tc

对c,将函数y=fM的图像向左平移;个单位后得到双冷=/|x+—瓦=)2rsi•n1x+--7=2sinx的图像,

4J4J4J

该函数是奇函数，不是偶函数，C错；

对D,因为樗)­=。，所以传,。)是尸加图像的对称中心，y=g)的图象不关于直线“弓

对称，D错.

11.ACD

【详解】对于A,|(9/]|=Vcos2a+sin2a=l,|o^|=7cos2/7+sin2/?=1,所以向卜庶|,A正确;

对于B,OPXOP2=cosorcos/?+sinorsin^=cos(Gf-/?),当。一夕=m时，Of]OP,=cos-^=0.B错误;

a+夕..a+p(a+a-p

对于C,0P-0P--cosacos------sinasin-----=-cosa-------=-cos-----,

xy22L2)2

a+0..a+/(。+夕)"aa-p

()P,(I/、——cos//cos-sin//sin-——cos]〃-----J=-cos-=—cos-

因为|o小|o冏=|O用=1,

所以cos(oq,0/)=oq♦oq=Og.0〃=cos(0鸟.0鸟),

因为向量夹角范围为[0,兀],所以(班*)=(明,西),c正确;

对于D,OR-OP2-OP、=(cosa-cosp+cos,sina-sinp+sin

所以「所-。6-。用=(cos〃-cos-+cos0+"+sine?-sin/?+sin

a+B2a+3.、a+0

=(cos«-cos/?)2+(sin«-sincosa-cos/?)cos0；'+2(sina-sin/?)sin-----+cos———+sin--

2-----------22

=2-2cos(a-/7)+2cos(a-a；'-2cos^/?-a^l+1

=3-2cos(a一/?)+2cos。_2cos0：=3-2cos(a-fl),

令/=8S(a-0,则

所以|。[_06_0冏2=3_2/W[1,5],故口[_04_04k[1,逐｝D正确.

i313

【详解】由向量死-%:弓-彳/共线,根据平面向量共线定理可得54-56

[-3一

化简得：太“一6=5一/&2，

2=

所以）解得，

k=

因此攵=L

3

13.315

【详解】由题意知NQ人P=45,P2=210m,则AQ=21O0m,

在&ACQ中，NAQC=45+15=60,NQ4c=180-45-60=75,

210V2x^

故/QCA=45,则==——^-=210#(m),

sin45sin60。2

~T

在RtABC中，NBAC=60,

故BC=ACsin60=2io75x走=315(m).

2

14.2M-6

【详解】由题意得〃7(〃)=/-3盯+2)2=1,所求的〃2=同=/+/

由f-3与，+2)；=(x-y)(x-2y)=l,

^a=x-y,b=x-2yt则曲=],解得x=2。一4丁=。-,

则x2+y2=(2a-b)2+(a-b)2=4片-4ab+b2+a2-2ab+b2=5a2-6ab+2b?,

代入H=I,得人+)，=-』+助2z6倒2反2?吩一=-，

当且仅当5/=2//且必=]时等号成立，此时所求最小值为2而-6.

15.(1)A8・AC=4，|AO|="

⑵亨

【详解】(1)由平面向量数量积定义:ABAC^AB\\AC\cos^BAC.

代入|人3|=2,|AC\=4,Z.BAC=60»得A4Ae=2x4xcos60=4.

因为点。在4c边上，且8O=OC,所以。是3c中点，所以AD=g(AA+AC).

22

贝IJ|AO|2=」(|48|2+2AB.AC+|AC|2)=-(2+2x4+4)=^(4+8+16)=7.

444

故|4。|="

(2)BC=AC-AB^AO=g(A3+AC)

所以AZX8C」(AB+4C)(AC-A8)=-(MC|2-|>4B|2)=-(16-4)=6.

222

BC\=y]\AC-AB|2=AC|2+1AB『-2AB-AC=,4+16-8=2M.

ADBC=____6____=叵

设向量AD与8/的夹角为夕，贝I」cos6=

\AD\-\BC\-77x26一7,

16.⑴崇争

(2)ae(-2,-l]

【详解】(1)/(x)=2\/3sin69Xcos69X-2sin269X+1=^3sinIcox-(1-cos2ry.r)+1

=、与sin2MX+cos2(t)x=2sin(2cox+7

由相邻对称轴间距为？得周期T=2后”.

2%

由T=：7；;=兀，且。＞0得口=1,即/(x)=2sin(2x+Z).

2|。|6

令土+2k乃工2%+生4网+2*乃(〃eZ),解得X++GZ).

26263

结合定义域xw［O"］，对整数&分类讨论:

取2=()时，得区间［J,寻］,该区间完全包含在10,河内，符合要求;

O3

取七=1时,得区间停,为,与［0,同无交集，舍去;

O3

取上=-1时，得区间与io,可无交集，舍去。

63

同理易得及取非零整数时，单调区间均与。用无交集.

综上所述，/*)在［0，网上的单调递减区间为U，竺］.

63

(2)方程/*)+叱()可化为/*)=--即函数y=/*)与直线y=-”的图象有2个不同交点，xw。中时,

2呜喔*

令z=2x+g.N=sinf在有最大值sing=l•最小值sin?=一:

666262

jr1

故sin(2x+w)c[-不1].

62

如图所示：y=2sin/

当f（x）€"2）时,一个函数值对应2个不同X;

当f（*）=2或/"）引-1,1）时，一个函数值对应1个x.

要便/（幻=一。有2个不等实根，需满足解得

17.(1)«=1；

(2)证明见解析•：

(3)闭.

【详解】(1)由定义在R上的奇函数-一，得/•(())=!一丁！一=0,解得a—I,

2e+6721+67

此时/(x)=1----7~7，f(-x)=--------——=----------=-----------=-f(x),

2ex+l」2e-x+l2er+le'+l2

因此函数/(x)是奇函数，所以。=1.

I।I峭—

,x>€R,芭<,f(x)-f(x>)----------------(-------------)---------------------,

・J।29+12eX2+l(eJl+l)(eX2+1)

由函数y=e，是R上的增函数,得0<炉<12,e^-eX2<0,ex'+l>0,e^+l>0,

则即/⑺cfQ所以/3）在R上是增函数.

11e-1

(3)由(1)W/(D=----=――,由(2)知函数/Ci)在R上是增函数

2e+12(e+1)

2122

M/U-2tx+t+1)><^>/(/-2/x+r+1)>/(I)<=>,r-2/x4-/+l>l<=>x-2rx+/>0,

2e+2

.

依题意，对任意不等式工2-2a+dO=Y」•恒成立，

2x-l

r1[(2x-l)+l]24侬每5^^2,(21).白+2B

2x-l~42x-l

当且仅当2x-l==即x=l时取等号，则/K1,

2x-l

所以实数，的取值范围是，W1.

18.⑴？

⑵地

2

⑶且

3

【详解】（1）由m=（。,回），〃=（cosA,sin8）,且而〃>,

则dsinB-y/3bcosA=0>

则由正弦定理得sinAsin4-GsinAcosA=0,

又在锐角VA6c中，ABc（）（,

\乙）

则sinA=\/5cosA,即tanA=G，解得A=g.

J

(2)由a=J7,VA8C的周长为5+J7,则〃+c=5,

又由余弦定理有a2=b2+c2-2/JCCOSA=(b+c)2-2bc-be=(b+c)2-3bc,

即7=25—3Z?c,得力c=6,

3G

所以V4BC的面积为=-Z?csin/\=-x6x

22

（3）在△ABO中，NAO8=与，不妨设ZABO=6,则N8AO=。-。，8w（（）,n

ADBDAB2AB

由正弦定理有sin。.2元.G,

sin--0sm—'

(3J3

?2

得4。=耳4屈皿BD=.4Bsin(1一0,

在锐角VABC中，由则乙48。==一夕,

2

ABBC4

sin传+0sinl-+,

由正弦定理有喏飞,得AB$16)

所以A。+8。=2A8sin0+sinABsin〃+且cos。一！sin。/Afisinf-^+6>

6L22

24sin但71+6xsin但+6=¥\ose+cosO+Lin。

——sin

二百耳6133222

]△使+*26迫+为2出

cos20+sin^cos0+—sin20

434233

Z0、4(4

又姓呜,则26e0一,则sin26e(0,1]，所以可sin20w0,可,

\5)