直线与双曲线的位置关系【九大题型】-人教A版高中数学选择性必修第一册（原卷版）

专题3.5直线与双曲线的位置关系【九大题型】

【人教A版(2019)]

>题型梳理

【题型I判断直线与双曲线的位置关系】.........................................................2

【题型2根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】.............................................2

【题型3双曲线的弦长问题】....................................................................3

【题型4双曲线的“中点弦”问题】................................................................4

【题型5双曲线中的三角形(匹边形)面积问题】.................................................4

【题型6双曲线中的最值问题】.................................................................6

【题型7双曲线中的定点、定值问题】............................................................7

【题型8双曲线中的定直线问题】...............................................................8

【题型9双曲线中的向量问题】.................................................................10

A举一反三

【知识点1直线与双曲线的位置关系】

1.直线与双曲线的位置关系

(1)研究直线与双曲线的位置关系：

y=履+〃?,①

•般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组r=1②的解的个数进行判断.

①代入②得（〃一一la2mkx-a2m2_/〃=Q

当〃一。242=0,即"=±5时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.

当〃一/%2¥0,即原土1时，A=G2a?加寸一Mb?—标G必而_D

A>0一直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交：

△=0一直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切；

△<0一直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离.

(2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论：

A>0

-0;

X!x>0

)2

(A>0

②若一条宜线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件<0；

1%1%2>0

③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件

【题型1判断直线与双曲线的位置关系】

【例1】（23-24高二上•四川成都期中）已知直线上y=2%-8,双曲线C:?-y2=i,则（）

A.直线，与双曲线C有且只有一个公共点

B.直线I与双曲线C的左支有两个公共点

C.直线，与双曲线C的右支有两个公共点

D.直线，与双曲线C的左右两支各有一个公共点

【变式1-1J（23-24高二上•黑龙江哈尔滨•期中）双曲线三一1=1与直线y=-"+7九（血WR）的公共点的

个数为（）

A.0B.IC.0或ID.0或1或2

【变式1-2]（23-24高二下,四川绵阳•阶段练习）过双曲线C：/一?=1左焦点为厂和点力（0,2万）直线[与

双曲线C的交点个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【变式1-3]（23-24高二上•江苏盐城•期中）若直线Lx+my—m-2=0与曲线?—y2=i有且只有一个

交点，则满足条件的直线I有（）

A.4条B.3条C.2条D.1条

【题型2根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】

【例2】（23-24高二上.黑龙江鸡西.期末）如果直线、=—一2与双曲线无2一>2=4没有公共点，则々的取

值范围是（）

A.（-V2,V2）B.[-V2,V2]

C.（-8,一甸U（&,+8）D.（-8,-匈U[、Z+8）

【变式2-1]（23-24高二上•江苏南•京・期末）已知直线，：Q无一2y+2。+4=0与双曲线C：1一]二1有且

44

只有一个交点，则实数Q的值是（）

A.2B.4C.±2D.±4

【变式2-2]（23-24高二下.上海.价段练习）如果直线[经过双曲线9/一4y2=36的中心，且与该双曲线不

相交，则/的斜率的取值范围是（）

A•[-羽B.（-oo,-|]u[1,+co）C.[0,1]D.[-|，0）

【变式2-3］（23-24高二・江苏•假期作业）己知直线，:x=ty+2和双曲线C:y2一/=8,若，与C的上支交

于不同的两点，则t的取值范围是（）

A.（-头）B.（-勒

C.（0弓）D.（_*1）

【知识点2弦长与“中点弦问题”】

1.弦长问题

①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d=—x2|=J1+3”—・

②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.

③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直

线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.

④双曲线的通径：

过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还

是在），轴上，双曲线的通径总等于等.

2.“中点弦问题”

“设而不求”法解决中点弦问题：

①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的

这类问题中，则不能确定.要注意检验.

②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将

M力转化为能用韦达定理直接代换的M+垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.

3.双曲线的第二定义

平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线（点不在直线上）的距离之比是常数c=?（e>l）时,

这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.

【题型3双曲线的弦长问题】

【例3】（23-24高二上.天津河西.期末）过双曲线《一1的右焦点4，倾斜角为30。的直线交双曲线于4

36

8两点，则|力创的值为（）

A.B.1V3C.D.yV3

【变式3-1］（24-25高三上•河南•开学考试）已知?是双曲线C:%2—?=1的左焦点，过点尸的直线与C交于

4B两点（点48在C的同一支上）,且|BF|=2点用，则|4B|=（）

A.6B.8C.-D.-

24

【变式3-2］（2024•山东•模拟预测）过双曲线/一好=2的左焦点作直线人与双曲线交于4,8两点，若历8|=

4,则这样的直线2有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【变式3-3］（2024.陕西西安.模拟预测）已知双曲线。:冬一，=1（。＞0,b＞0）的左焦点为F＞圆0:/+川=

.若过F1的直线分别交C的左、右两支于A,B两点,且圆。与相切，C的离心率为3,F】到C的渐近线的

距离为2&，则|/18|=（）

A.竺B.巴C.史D.上

7777

【题型4双曲线的“中点弦”问题】

【例4】（23-24高二上•天津和平・期末）直线/与双曲线/一3=1交于4,8两点，线段AB的中点为点

则直线/的斜率为（）

44一99

A.--B.-C.--D.-

9944

【变式4-1］（23-24高二上・江苏南通•阶段练习）直线，与双曲线％2一：=1交于B两点，线段的中点

4

为M（3,2）,则直线，的斜率为（）

A.3B.6C.8D.12

【变式4-2］（23-24高三上•内蒙古呼和浩特•开学考试）设A,B为双曲线1一三=1上的两点，若线段AB

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的中点为M（l,2）,则直线4B的方程是（）

A.x+y—3=0B.2x4-y-3=0C.x—y+1=0D.x—2y+3=0

【变式4-3］（23-24高二下•四川南充•阶段练习）已知双曲线/一?=1,过点P（2,l）作直线与双曲线交于

4B两点，且点P恰好是线段48的中点，则直线48的方程是（）

A.4x-y-7=0B.4%+y-9=0

C.x-4y+2=0D.x+4y-6=0

【题型5双曲线中的三角形（四边形）面积问题】

【例5】（23-24高二上.浙江丽水.期末）已知双曲线C:/一V=1,点直线上y=/cr+W0）与

双曲线C交于不同的两点48.

（1）若AM/IB的重心在直线％-2y=0上，求人的值；

（2）若直线，过双曲线C的右焦点居且直线M4MB的斜率之积是-3求△AL48的面积.

【变式5-1](23-24高二下.甘肃天水.开学考试)已知双曲线E的两条渐近线互相垂直，且经过点P(L闯.

(1)求双曲线E的标准方程；

(2)若过点M(—2,0)的直线交双曲线同一支于两点4从设4B中点为N,求△OMN面积的取值范围.

【变式5-2](23-24高二上•江苏宿迁•期末)已知双曲线C：4-71=1(。＞0，＞0)的左、右顶点分别

azbz

为P,Q,右焦点尸到渐近线的距离为1,且离心率为竽.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过点尸的直线！(直线，的斜率不为0)与双曲线。交于4,B两点,若M,N分别为直线AP,BQ与y轴的交

点，记AOPM,△。(2/7的面积分别记为543必，SXQQN，求受叫勺值.

【变式5-3](23-24高二上.湖南长沙•期中)已知双曲线E的左、右焦点分别为尸式一2,0),F2(2,0)，点Qf)

在双曲线E上.

(1)求E的方程；

(2)过F2作两条相互垂直的直线。和/2,与E的右支分别交人C两点和8,0两点，求四边形力BCD面积的最小

值.

【题型6双曲线中的最值问题】

【例6】(23-24高三上•安徽•阶段冻习)平面直角坐标系xOy中，P为动点,PA与直线x=垂直，垂足加立

于第一象限，PB与直线x=垂直，垂足8位于第四象限，ZAPBA90。且|AP||8P|=£记动点P的轨

迹为C.

(1)求C的方程；

(2)已知点M(-2,U),N(2,。)，设点7.与点〃关于原点。对称，NM77V的角平分线为直线h过点，昨!的垂线，

垂足为H，交C于另一点Q,求黑的最大值.

【变式6-1](2024.安徽.模拟预测)己知双曲线£：捺一\=1(Q>0,b>0)的左、右焦点分别为F2,

离心率为2,P是E的右支上一点，且P&LPE，APFiFz的面积为3.

⑴求E的方程；

(2)若石的左、右顶点分别为人，B,过点Fz的直线/与石的右支交于M,N两点，宜线八M和BN的斜率分

别即为kAM和随川，求^AM+：^8N的最小值•

【变式6-2](2024.山东济南.一模)已知双曲线C：9-y2=1的左右顶点分别为41，过点P(4,0)的直

A2,

线2与双曲线C•的右支交于M,N两点.

(1)若直线I的斜率&存在，求L的取值范围；

(2)记直线&M,QN的斜率分别为非,k2,求号的值;

(3)设G为直线与直线&N的交点，△GMN,△GA4的面积分别为工，S?，求金的最小值.

*

【变式6-3](23-24高三上.安徽.阶段练习)已知双曲线《—3=l(Q>b>0)左、右焦点为用.，其中焦

距为2近，双曲线经过点0(4,3).

(1)求双曲线的方程；

(2)过右焦点/作直线交双曲线于M，N两点(M,N均在双曲线的右文上),过原点。作射线。乙其中。，1MN,

垂足为E,0为射线0P与双曲线右支的交点，求4|MN|-I。。』的最大值.

【题型7双曲线中的定点、定值问题】

【例7】(23-24高二下•陕西延安•期末)已知双曲线。:租/一砂2=1经过点力(8,夕),见4,一1).

⑴求。的离心率；

(2)设直线1:y=kx+b(kH0)经过。的右焦点，且与。交于不同的两点M,N,点N关于x轴的对称点为点P,

证明：直线PM过定点.

【变式7-1](23-24高二下•河南南阳・期末)已知双曲线C:冷-咨=1(Q>0方>0)的实轴比虚轴长2,

且焦点到渐近线的距离为2.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若动直线Z与双曲线。恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点尸，Q两点，。为坐标原点,

证明：△OPQ的面积为定值.

【变式7-2](2024.青海海南.二模)已知双曲线。嗫一色=1(。>04>0)的虚轴长为2鱼，点2(3,-2)在。

上.设直线2与C交于A,8两点(异于点P),直线AP与8P的斜率之积为:

(1)求C的方程；

(2)证明：直线I的斜率存在，且直线1过定点.

【变式(.浙江绍兴•三模)设双曲线：1(a>0,b>0)的一条渐近线为

7-3]2024Ca2b2x-3,y=0,

焦点到渐近线的距离为1.4，4分别为双曲线C的左、右顶点，史线，过点7(2,0)交双曲线于点M,N,记

直线M4，N&的斜率为心，k2.

(1)求双曲线C的方程；

(2)求证?为定值.

K2

【题型8双曲线中的定直线问题】

【例8】(23-24高二下•黑龙江大庆•期中)己知A,4分别是双曲线。:捺一3=19>0而：>0)的左、右顶

点，P是C上异于A,B的一点，直线小，的斜率分别为自次2,且七七二|AB|=4.

(I)求双曲线C的方程；

(2)已知过点(4,0)的直线Z:x=my+4,交。的左，右两支于拉，E两点(异于A,B).

(i)求〃?的取值范围；

(ii)设直线AQ与直线4E交于点Q,求证：点。在定直线上.

【变式8-1](23-24高二下•山西运城・期中)已知A,B分别是双曲线C嗫一番=1(。>0/>0)的左、右

顶点，P是C上异于A,8的一点，直线以，P8的斜率分别为的,忆2，且向七=|48|=4.

(1)求双曲线C的方程；

(2)已知过点(4,。)的直线，父(;于〃,E两点(异于A,8),直线与直线交于点Q.求证:点Q在定直线上.

【变式8-2](2024.贵州遵义.一模)已知双曲线C:捺一3=1(Q>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F?,

直线y=3与C的左、右两支分别交于M,N两点，四边形MF1F2N为矩形，且面积为12.

(1)求四边形M&F2N的外接圆方程；

(2)设4B为C的左、右顶点，直线/过点(—3,0)与C交于P,Q两点(异于4,B),直线4P与BQ交于点R,

证明：点R在定直线上.

【变式8-3](23-24高二上・云南,期末)已知双曲线C:2一\=l(a>0,b>0)实轴端点分别为2(一a,0)、

①3,0)，右焦点为F,离心率为2,过4点的直线2与双曲线C交于另一点B(x,3),已知的面积为(

(1)求双曲线的方程；

(2)若过点F的直线〃与双曲线C交于M、N两点，试探究直线与直线&N的交点Q是否在某条定直线上？