人教A版必修第二册高一下数学：立体图形的直观图

8.2立体图形的直观图

【学习目标】1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.会用斜二测画法面常见

的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图.

知识梳理

知识点一水平放置的平面图形的直观图的画法

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

知识点二空间几何体直观图的画法

立体图形直观图的画法步骤

（1）画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个2轴，直观图中与之对应的是，轴.

（2）画底面：平面『O'F表示水平平面,平面FO'z'和『O'z'表示竖直平面,按

照平面图形的画法，画底面的直观图.

（3）画侧棱：已知图形中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在其直观图中土直性和长度都不变.

（4）成图：去掉辅助线，将坡遮挡的部分改为虚线

判断正误

1.在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变.（X）

2.在几何体的直观图中，原来平行的直线仍然平行.（J）

3.在斜二测画法中平行于｝•轴的线段在直观图中长度保持不变.（X）

题型探究

一、平面图形的直观图的画法

例1画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.

解画法：（1）如图所示，取A8所在直线为％轴，48中点。为原点，建立直角坐标系，画

对应的坐标系『O'y',使O'y'=45。.

(2)以O'为中点在一轴上取A'B'=AB,在)/轴上取O'E'=%E,以E'为中点画

CD'//x'轴，并使C'O'=CD.

(3)连接"C',。'A',所得的四边形A'B'CD'就是水平放置的等腰梯形A8CO的

直观图.

反思感悟在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般

要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可

以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于

平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接印可.

跟踪训练1已知正五边形A5CDE,如图，试画出其直观图.

解画法：

(1)在图①中作AG_Lx轴于点G,作。”_Lx轴于点”.

(2)在图②中画相应的『轴与)，’轴，两轴相交于点。，使O'y1=45°.

(3)在图②中的，轴上取O'B'=0B,O'G'=OG,O'C=OC,O'H'=0H,y'

轴上取OE'=/0E,分别过G'和”'作V轴的平行线，并在相应的平行线上取G，A'

=；GA,H1D'=^HD.

(4)连接A'A'E'»,O'C',并擦去辅助线G'A',H'D',xf轴与y'

轴，便得到水平放置的正五边形ABC。石的直观图A'B'CD'E'(如图③).

二、空间几何体的直观图

例2用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD—A'B'CD'

的直观图.

解⑴画轴.如图，画x轴、)，轴、z轴，三轴相交于点0,使NxO)，=45。，ZAOZ=90°.

(2)画底面.以点。为中点，在工轴上取线段MM使MN=4cm；在)，轴上取线段PQ,使夕。

3

=5cm.分别过点M和N作)，轴的平行线，过点P和。作x轴的平行线，设它们的交点分别

为4,B,C,D,四边形ABCO就是长方体的底面4BC7).

(3)画侧棱.过A,B,C,。各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的

线段AA',BB',CC',Dir.

(4)成图.顺次连接A',夕，C',(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长

方体的直观图.

反思感悟空间几何体的直观图的画法

(I)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较

快较准确地画出.

(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z'轴，表示竖直方向.

(3)zf轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.

跟踪训练2用斜二测画法画出六棱锥尸一4BCDE/的直观图，其中底面A8CDE尸为正六边

形，点尸在底面上的投影是正六边形的中心0.(尺寸自定)

解画法：

⑴画出六棱锥P-A3COEF的底面.①在正六边形干中，取AO所在的直线为x轴，对

称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O,如图(1);画出相应的/轴、y'轴、z'轴，

三轴相交于0',使Nx'O'y'=45°,Nx'O'z'=90°,如图(2)；②在图(2)中，以。

为中点，在/轴上取A'D'=AD,在<轴上取/V=；MN,以点N'为中点，画出

B'C平行于『轴，并且长度等于BC,再以M'为中点，画出E'F'平行于广相，并

且长度等于ER③连接A'8,，C'£>',。'E',F'A'得到正六边形ABCDEF水平放

置的直观图A'B'CDfErF'.

(2)画出正六棱锥P—八BCDE厂的顶点，在z'轴正半轴上截取点P',点P'异于点。.

(3)成图.连接尸A',P'"，P1C',P'。'，P'E',P'尸，并擦去『轴、y'轴

和z'轴，便可得到六棱锥「一ABCQEF的直观图P'—A'B'CD'E'/，如图(3).

三、直观图的还原与计算

例3如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'Bf0,，若

O'B'=1,那么原三角形AB。的面积是（）

A.1B.乎C.也D.26

答案C

解析直观图中等腰直角三角形直角边长为1,因此面积为今又直观图与原平面图形面积比

为也：4,所以原图形的面积为也，故选C.

反思感悟平面多边形与其直观图面积间关系：一个平面多边形的面积为S律，斜二测画法

得到直观图的面积为S&则有SA=乎S原.

跟踪训练3如图，矩形O'A'B'C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中A'

=6cm.O'C1=2cm.CD'=2cm,则原图形是（）

爷/----\B>

A.正方形B.矩形

C.菱形D.一般的平行四边形

答案C

解析如图，在原图形。48C中，

二

应有0D=20'D'=2X26

=4V2（cm）,

CD=C'D'=2cm,

所以0C=，5户

=4（4明y+22=6（cm）,

所以0A=0C=8C=A8,

故四边形0A6C是菱形.

随堂演练

1.关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是（）

A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形

B.正方形的直观图为平行四边形

C.梯形的直观图不是梯形

D..正三角形的直观图-定为等腰三角形

答案B

解析由于直角在直观图中有的成为45。，有的成为135。；当线段与x轴平行时，在直观图

中长度不变且仍与x轴平行，因此答案为B.

2.在用斜二测画法画水平放置的△A8C时，若NA的两边分别平行于x轴、），轴，则在直观图

中NA'等于（）

A.45°B.I35°C.90°D,45°或135°

答案D

解析因为NA的两边分别平行于x轴、），轴，所以NH=90。，在直观图中，按斜二测画法

规则知//。'），'=45°或135。，即=45。或135°.

3.下面每个选项的2个边长为1的正AABC的直观图不是全等三角形的一组是（）

答案C

解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论.

4.利用斜二测画法得到：

①三角形的直观图是三角形；

②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；

④菱形的直观图是菱形.

以上结论中，正确的是.（填序号）

答案①②

解析斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形

的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形.

5.水平放置的AA5c的斜二测直观图如图所示，已知4'C=3,B'C=2,则边上的

中线的实际长度为.

答案2.5

解析由直观图知，原平面图形为直角三角形，且4c=A'C=3,BC=2"C'=4,计

算得AB=5,所求中线长为2.5.

小结

1.知识清单：

（1）水平放置的平面图形的直观图的画法.

（2）空间几何体直观图的画去.

（3）直观图的还原与计算.

2.方法归纳：转化思想.

3.常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.

基础巩固

1.（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是（）

A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直

C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点

答案ACD

2.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（）

答案c

解析根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C.

3.已知等边三角形A8C的边长为小那么等边三角形ABC的直观图B'C'的面积为

()

A奉2B字2c%D盖2

答案D

解析建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.

如图②所示，建立坐标系/O'），'，使Nx'。=45。，由直观图画法，知/VB1=AB

.A

=a,O'C=^OC=^ra.

乙I

过点U作C'O'ro'x'于点》,则C'»=^OfC邛a

所以△4'B'C'的面积是S=^A'B'CDf=Ja觌屋£

4.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是（）

A.水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形

B.平行四边形的直观图仍是平行四边形

C.两条相交直线的直观图可能是平行直线

D.两条垂直的直线的直观图仍互相垂直

答案B

5.水平放置的△A8C的直观图如图所示，其中8'0'=CO'=1,A'O'=坐，那么原

△ABC是一个（）

A.等边三角形

B.直角三角形

C.三边中只有两边相等的等腰三角形

D.三边互不相等的三角形

答案A

解析由AABC的直观图，知在原△A8C中，AO_L8c

,•WO'=坐，・・・AO=、G.

♦：B'O'=CO'=1,.\BC=2,AB=AC=2t

・•・△ABC为等边三角形.

6.在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M（4,4）在直观图中的对应点是M',则点M'

的坐标为.

答案（4,2）

解析由直观图画法“横不变，纵折半"可得点M'的坐标为（4,2）.

7.如图，是用斜二测画法画出的△A0/3的直观图，则△408的面积是.

答案16

解析由图可知O'B'=4,则对应△人08中，0B=4.

又和），'轴平行的线段的长度为4,则对应AAOB边。8上的高为8.

所以的面积为:X4X8=16.

8.如图，平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图，若O'P'=3,O1R'=1,

则原四边形OPQR的周长为.

答案10

解析由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且0P=3,0R=2,所以原四边形

OPQR的周长为2X（3+2）=10.

9.用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的止三角形（如图）的直观图.

解（1）如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以8C边上的高线A。所在的直线为），轴.

(D

（2）画对应的一轴、），'轴，使N/0'），'=45°.

在P轴上截取O'B'=0rC'=2cm,在）/轴上截取O'A'=^OA.

连接A'8‘，A'C',则AA'B'C即为正△ABC的直观图，如图②所示.

10.一个儿何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重

合，圆柱的底面直径为3cm,高（两底面圆心连线的长度）为4cm,圆锥的高（顶点与底面圆心

连线的长度）为3cm,画出此几何体的直观图.

解（1）画轴.如图①所示，画x轴、z轴，使NxOz=90。.

（2）画圆柱的下底面.在x轴上取A,8两点，使AB=3cm,且OA=OB,选择椭圆模板中适当

的椭圆且过A,4两点，使它为圆柱的下底面.

（3）在Oz上截取00'=4cm,过点0'作平行于Or轴的O'/轴，类似圆柱下底面的画法

画出圆柱的上底面.

（4）画圆锥的顶点.在Oz上截取点尸，使尸。'=3cm.

（5）成图.连接A'A,B'B,PA',PB',整理（去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线）得到此

几何体的直观图，如图②所示.

综合运用

11.如图所示，O'夕表示水平放置的△AO8的直观图，B'在『轴上，4'O'与『

轴垂直，且A'0'=2,则△AOB的边0B上的高为（）

A.2B.4C.2A/2D.4也

答案D

解析设AAOB的边0B上的高为h,因为5尊由彩=26S&如，所以;X0BX〃=26

X2X。’B'.又0B=0'B',所以h=4巾.

12.如图所示，一个水平放置的正方形ABCO,它在直角坐标系x0y中，点8的坐标为Q,2）,

则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点炉到广轴的距离为.

答案坐

解析画出直观图，PO'到上轴的距离为坐为4=半。4=喙

13.如图，正方形O'A'BfC'的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则

原图形的周长是.

答案8cm

解析由题意知正方形O'A'B'C'的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观

图，所以O'B'=6cm,对应原图形平行四边形0A8C的高0B=2。'夕=2^2cm,如

图所示.

所以原图形中，OA=BC=\cm,AB=0C=N(2柩2+尸=3cm,

故原图形的周长为2X(14-3)=8(cm).

14.如图所示，四边形A8CD是一平面图形的水平放置的斜二测