等腰三角形【八大考点】-北师大版八年级数学下册重难点突破（解析版）

专题1.1等腰三角形【八大考点】-【重难突破】北师大版数学八年级下册考点强化

讲与练

（-）等腰三角形

（1）等腰三角形性质：

①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角“）

②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）

（2）等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边“）.

（二）解题方法

（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。

（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线

模块三考点一遍过

等腰三角形的性质——求角度

典例1：

1.如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段48、AC的垂直平分线，若乙84c=110。，则“做的度数是

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A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】D

【解析】【解答】解：在△ABC中，ZBAC=110°,

由三角形内角和定理得：ZB+ZC=180°-ZBAC=180°-110°=70°.

因为PM垂直平分AB,所以PA=PB,从而ZPAB=ZB.

因为QN垂直平分AC,所以QA=QC,从而NQACn/C。

于是/PAB+ZQAC=ZB+ZC=70°.

又因为/BAC=ZPAB+ZPAQ+ZQAC,

所以1100=(ZPAB+ZQAC)+ZPAQ=70°+ZPAQ,

解得NPAQ=110°-70°=40°.

因此ZPAQ的度数为40°,

故答案选：Bo

【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理。由垂直平分线得PA=

PB、QA=QC,从而将NPAB与ZQAC转化为NB与NC,结合内角和定理与角度关系即可求解。

【变式1】

2.如图，将△4BC沿AD所在的直线折叠，使点8落在力。边上的点E处，=48。且EC=80.那4AOE的度

数是()

A.70°B.75°C.78°D.80°

【答案】C

【解析】【解答】解：由折叠性质可知：BD=DE,ZADB=ZADE,NAED=NB=48。。

已知EC=BD,结合BD=DE得DE二EC,

・•・△CDE为等腰三角形，有NCDE=NC。

在ACDE中，ZAED是其外角，

根据三角形外角性质：ZAED=ZCDE+ZC=2ZCDE,

代入NAED=48。得：

2/CDE=48。

ZCDE=24%

•・•折叠后△ABD与aAED重合，故ZADB=ZADE.

第2页

观察点D在BC上，ZBDC为平角，即：ZADB+ZADE-ZCDE=180°,

2ZADE+ZCDE=180%

代入NCDE=24。：

2ZADE+24°=180°

2ZADE=156°

ZADE=78°o

AZADE的度数为78°,

故答案选：Co

【分析】本题考查折叠（轴对称）的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角性质以及平角的应用。解

题关键是由折叠得出BD=DE,结合已知条件EC=BD推出DE=EC,进而利用外角性质求得ZCDE,

最后通过平角关系求出NADE。

【变式2】

3.如图，△ABC是等边三角形，BDLAB,BD=ABt则乙40C的度数为.

【解析】【解答］解：’.•△ABC为等边三角形，

•\RA=RC./LARC=60°.

•180LAB,BD=48，

・•・△ABD为等腰直角三角形，

­\z.ABD=90°,BD=BC/ADB=Z-BAD=45。，

:•乙CBD=乙ABC+乙ABD=150°,

工乙DCB=2BDC='（180。-"80）=15。，

：,LADC=AADB-乙CDB=45°-15°=30°.

故答案为：30。.

【分析】根据等边对等角可得84=8C,LABC=60%根据等腰直角三角形判定定理可得△480为等腰直角

三角形，再根据角之间的关系即可求出答案.

【变式3】

4.如图，在△4BC中，48=30。，点D、E分别在BC、AC上，且4。=B。，DE=EC.若△40E为等腰三

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角形，则48力。的度数为

【答案】130。或110。

【解析】【解答】解：如图所示，••・AD=BD,4B=30。，

：./-BAD=NB=30°,

•••乙ADC=60°,

•••DE=CE,

.•.设NC=4EDC=a,»\AADE=60°-a,^AED=2a,

根据三角形内角和定理可得，LDAE=120°-a,

分三种情况：

①当=时，有60。一戊二20，

解得a=20°；

则484c=180°-30°-20°=130°

②当。力=OE时，有120。-1=2。，

解得a=40。；

则MAC=180°-30°-40°=110°

③当£4=ED时，有120。一。=60。一口，方程无解，

综上所述，乙84c的度数为130。或"0。，

故答案为：130。或110。.

【分析】本题以三角形中的等腰关系为背景，综合考查等腰三角形的性质、三角形外角性质及内角和定理。

由AD=BD得4BAD=乙B=30°,结合外角得ADC=60。。由DE=EC设NC=zEDC=a.用。表示△

ADE的三个内角，再根据△ADE为等腰三角形，分三种情况(AD=AE、AD=DE、AE=DE)讨论，分

别求出a后得到/BAC的度数。

考点21等腰三角形的性质一求线段

典例2：

5.在△力BC中，4B4C,44cB的平分线相交于/,DE过点/且DE||4C,若AD=3cm,CE=5cm,则Of=

()cm

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A

BEC

A.8B.6C.7D.5

【答案】A

【解析】【解答】解：•・・DE||AC,

：./-ACI=乙CIE,

•・・。/平分44。8,

：.Z.ACI=乙ECI,

：.Z.ECl=乙CIE,

El=CE=5cm,

同理可得：DI=AD=3cm,

：.DE=£>/+£7=5+3=8（cm）；

故答案为：A.

【分析】本题以角平分线与平行线为背景，综合考查角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定

（等角对等边）。由DEIIAC得z.ACI;4CIE（内错角相等），结合CI平分乙ACB得z.ACI=zECI,从而4

ECI=zCIE,故EI=CE=5；同理可证DI=AD=3；因此DE=DI+EI=8O

【变式1】

6.如图，在△48C中，AB=AC,LB=/.EDF,若BE=CD=1,BC=3,则CF的长为（）

【答案】B

【解析】【解答】解：・・・AB=AC,

••Z.B-L.C>

*：/.BED=1800-Z-B-Z-BDE,/-CDF=1800-zEDF-ABDE,乙B=LEDF,

:,乙BED=乙CDF,

♦：BE=CD,

・MBEDCDF(ASA),

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：.CF=BD,

,:BC=3,CD=1,

：,BD=2,

：.CF=2,

故选：B.

【分析】本题以等腰三角形为背景，考查全等三角形的判定与性质。由AB=AC得4B=zC,结合已知

ZB=zEDF和三角形内角关系可证/BED=2CDF,再利用BE=CD证明△BED三4CO凡通过全等得到

CF=BD,最后由BC和CD的长度求出CFo

【变式2】

7.如图，E尸是△力的中位线，BD平分4ABe交于点0,若BE=3,OF=1,则边8c的长

为.

【解析】【解答】解：・♦•EF是△ABC的中位线，

：.EFIIBC,BC=2EF,

•••乙EDB=乙CBD,

•••80平分乙48C,

:.Z.EBD=乙CBD,

Z.EBD=Z.EDB,

:.DE-BE-3,

二EF=0E+OF=3+1=4,

:.BC=2EF=8,

故答案为：8.

【分析】本题以三角形中位线为背景，综合考查了中位线定理、角平分线定义、平行线性质及等角对等边的

应用。由中位线可得EF||BC且BC=2EF,利用平行线得内错角相等，结合角平分线可得两个角相等，进

而得到DE=BE,求出EF的长度后即可算出BCo

【变式3】

8.如图，△4BC为等腰直角三角形，4/8。=90。,48=2,点。在CB延长线上，连接4D,以4。为边作等腰

直角△40M40/E=90。，连接CE交4B于点F,DC=44F,则8。=.

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DBC

【答案】I

考点3I等腰三角形的性质一三线合一

典例3：

9.如图，等腰△4BC中，AB=AC,Z/I=60°,BE1AC于点E,延长BC至点F,使CT=CE,连接

(1)求/ABC的度数；

(2)求证：BE=FE.

【答案】(1)解：•・•△A8C是等腰三角形，AB=AC.LA=60°,

••・△48C是等边三角形，

(ABC=60°

(2)证明：；CF=CE,

:.Z-F=Z-CEF,

•••Z-ACB=600=乙/+ZCFF,

•••乙F=30°,

•••△A8C是等边三角形，BE1AC,

乙EBC=30°,

:*Z.F=Z.EBC,

BE=EF.

【变式1】

10.如图，在A/IBC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E,交48于点入。为线段CE的中点，BE=AC.

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A

(1)求证：AD1BC^

(2)若484c=75。，求乙8=

【答案】(1)证明：如图，连接AE,

•・下丹垂直平分4氏

：.AE=BE,

*：BE=AC,

：.AE=AC,

•・・0是EC的中点，

：.AD1BC；

(2)35°

【变式2】

11.如图，在A48C中，40平分AD1BCTD,EC1BCTC,且48=BE,CD=CE.

(1)求证：AB=AC；

⑵求证：RtAABDwRtABEC.

【答案】(1)证明：:力。平分乙/MC,

：.^BAD=ACAD,

'：AD1BC,

・••乙4DB=^ADC=90°,

第8页

在△4B0和△ACO中,

^DAD=^.CAD

AD=AD,

{^ADB=Z-ADC

：・〉ABD三△4COG4S4),

：.AB=AC；

(2)证明：*：AB=AC,AD1BC^EC1BC,

：.CD=BD,

VCD=CE,

:・BD=EC,

在RtLABD^WRt△BEC中，

(AB=BE

SD=EC'

：.RtABD三RtABEC(HL).

【变式3】

12.如图，在AABC中，4。平分NB4C,BD=CD,DE1AB于点E,OF14C于点八

(1)求证：乙B=乙5

(2)求证：AD1BC.

【答案】(1)证明：•••4D平分4B4C,DELAB,DFLAC,

DE=DF,乙BED=乙CFD=90°,

••・0是BC的中点，

:.BD=CD

在Rt△BDE^Rt△CO尸中

vDE=DF,

DB=DC,

•••Rt△BDE三R£△CDF(HL)

:.乙B=zC

(2)证明：由(1)得乙B=

/.AB=AC

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・•・三角形△ABC为等腰三角形

V40平分aZL4C,

：.AD1BC

【解析】【分析】本题以角平分线和中点为背景，综合考查角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相

等）、直角三角形全等的判定（HL）、以及等腰三角形的性质（等角对等边、三线合一）。

（1）由AD平分4BAC、DE1AB>DF1AC得DE=DF,结合BD=CD证△三4C0F,得/B二二

C；

（2）由Z.B=4C得AB=AC,即△ABC为等腰三角形，再根据BD=CD得AD为底边中线，利用等

腰三角形"三线合一''推出ADIBC,

考点4।等腰三角形的性质一规律探究

典例4：

13.如图，在射线04。8上分别截取。41=。当,连接&B1，在上分别截取8送2=832,连接

必比，…按此规律作下去，若乙1/1。=防贝吐400=（

a

D.

18

【答案】B

【变式1】

14.如图，在平面直角坐标系中，三角形4企心，三角形小心人，三角形儿人公，是斜边在工轴

上，斜边长分别为2,4,6……的等腰直角三角形.若三角形4A24的顶点坐标分别为4（2,0），人2（1，-1），

人3（0，。），则依图中所示规律，42。27的坐标为（）

A.(-1012,0)B.(1012,0)C.(1015,0)D.(-1015,0)

【答案】A

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【变式2】

15.如图，已知乙403=a,在射线04、0。上分别取点0%=。％,连接4。1，在。①］、上分别取点

①、员，使%82=当儿，连接庆82……，按此规律下去,记乙42当为……，

^n+l^n^n+l=%,则8沱=•

O8B)&aH

［答案］(2"-1)x1800+>

【解析】【解答】解：＜。&=。%,乙A0B=a,

LaBiC.吗-a

；・。1=180°一44/。=（2T）y+a

VBiB2=U2B1B2=%,

；.^A3B=晨4出。=I'。”,

22y22

'：^A2B2Br+02=180°

­-02=180°-^A2B2BY=180°-I'。”=(2、-l)：1800+a,

24

18Qa

同理可求：443B3B2=^ABBX=I%-",83=180°-Z-A3B3B2=180°-°~=(23-1吆80。+%

222.22

……以此类推，

,ADD_14D_180°-aa.180。-a(2n-l)xl80°+a

^n^n^n-l~7^zn-l^n-l^Dn-2——，%—108A0O—Z-ABD3D^1—1o8n0oZn—73，

,2nnn22

故答案为：(2"-吗80°+a

2n

【分析】本题以等腰三角形和三角形外角性质为背景，综合考查等腰三角形的等边对等角、三角形外角等于

不相邻两内角之和以及角度递推规律的探究。通过分析初始图形，利用外角性质分别表示出名，叫.。3,发

现每个以与前一个角之间存在固定的线性递推关系，进而归纳出％的通项公式。

【变式3】

16.如图1,是我们平时使用的等臂圆规，即CA=C8.若把〃个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同

一条直线上，如图2所示，其张角度数变化如下：44。遇2=160°，^A2C2A3=80°,^A3C3A4=40°,

/4。445=20。，…根据上述规律请你写出乙（+14。=.（用含“的代数式表示）

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80°

【答案】90°-

等腰三角形的性质动点问题

典例5：

17.如图，已知在中，乙4=90。，AC=6,BC=10,有一动点〜在折线段AB-8C上运动，速度

备用图

(1)当t=时，S^ACP=S&BCP；

(2)若CP平分NAC8,求运动时间7；

(3)当/为何值时，AACP为轴对称图形.

【答案】(1)2

(2)解：作『0_LBC,如图所示；

：.PD=PA=23则6P=8-2t,

*：PD=PA,PC=PC,^A=乙PDC=90°,

•••△P4C三△POC,

CD=CA=6,

：.BD=BC-CD=4,

A42+(2t)2=(8-2t)2,

解得：”,

第12页

（3）解：@AC=AP=6H't,如图所示:

②AC=AP=6时，，作AE18C,如图所示:

••CE=PE=V62-4.82=3.6,

:,BP=BC-CE-PE=2.8,

则2£=8+2.8,解得£=5.4；

（3）AC=CP=6W，如图所示：

则2t=8+4,解得t=6；

④4P=CP=6时，如图所示:

贝IJNPAC=4PCA,

V^PAC+乙PAB=乙PCA+乙B=900,

乙PAB=乙B»

第13页

:・PB=PA=PC=^BC=5，

则2£=8+5,解得亡=6.5；

综上所述：当£=3或£=5.4或£=6或£=6.5时，△ACP为轴对称图形

【解析】【解答］解：(1)解：・・【。=6,BC=10，

•'-AB=ylBC2-AC2=8，

当动点P运动到4B的中点时，有Su”=SAHCP，如图所示：

解得：£=2,

故答案为：2

【分析】本题以直角三角形中的动点问题为背景，综合考查三角形面积相等条件、角平分线的性质定理、全

等三角形的判定(HL)以及等腰三角形的分类讨论。

(1)利用“等底同高''或中线平分面积，当P为AB中点时面积相等，由速度与路程关系求t；

(2)过P作PD1BC,由角平分线性质得PD=PA,iiEAPAC=△PDC得CD=AC=6,进而BD=4,

在RtAPBD中由勾股定理列方程解t；

(3)分AC=AP、AC=CP、AP=CP三种情况讨论△ACP为等腰三角形时的t值。

【变式1】

18.如图，在中，乙B=90。,48=8cm,BC=6cm,P,。是△ABC边上的两个动点.其中点尸从点

A出发，沿方向运动，速度为每秒1cm；点。从点8出发，沿B-C-A方向运动，速度为每秒2cm

(1)①R£△A8C斜边4c上的高为cm；

②当£=3时，PQ的长为cm.

(2)当点Q在边AC上运动时，出发几秒钟后，八PQQ是等腰二角形?

【答案】(1)4.8：屈

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(2)解：由题意可知力P=tcm,BQ=2tcm.

:・BP=AB-AP=(8-t)cm

当为等腰三角形时，有BP=BQ,即8-亡=23

解得t=1,

【解析】【解答】解：(1)解：①在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AC=>JAB2+BC2==10

(cm),

・•・/?£△ABC斜边AC上的高为空祟=4.8(cm),

②当t=3时，AP-3cm,BQ=2t=6cm.

：.BP=AB-AP=S-3=5(cm),

在Rt/iBPQ中，由勾股定理可得尸Q=，8尸2+BQ?=,52+62=府(cm),

故答案为：①4.8；@V61

【分析】本题以直角三角形中的动点问题为背景，综合考查勾股定理、等面积法求斜边上的高以及等腰三角

形的分类讨论。

(1)①由勾股定理求斜边AC,再利用等面积法4AB・BC=1AC-h求出斜边上的高；

②当t=3时，分别计算AP、BQ、BP,在RtABPQ中由勾股定理求PQ；

(2)当点Q在BC上时，，△PQB为等腰三角形需分两种情况：BP=BQ或PQ=BQ(或BP=PQ),根

据边长表达式列方程求解t,注意排除不符合运动范围的解。

【变式2】

19.如图，在RsA8c中，Z.ACB=90°,AB=10cm,AC:BC=3:4,动点P从B出发沿射线BC以1cm/s

的速度运动，设运动时间为，(s).

(1)求BC边的长.

(2)当△力BP为等腰三角形时，求/的值.

【答案】(1)解：在RSABC中，LACB=90°,AB=10cm,AC-.BC=3:4,

・•・设i4c为3x,则：BC为4x,

则：AB2=(3x)2+(4%)2_(5%)2-i02,

.*.%=2或%=-2(舍)，

FC=4%=4x2=8c/n；

(2)解：当4P=BP时，如图,

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则力尸=t,PC=BC-BP=8-3

在RtZiAC尸中，AC2-i-CP2=AP2,

.*.62+(8-t)2=t2，

解得£=竿;

当时，如图,

则8P=2BC；

...£=2x8=16,

综上，t的值为空或10或16.

【解析】【分析】本题以直角三角形中的动点与等腰三角形存在性问题为背景，综合考查勾股定理、比例性

质、解一元一次方程以及等腰三角形的分类讨论。

（1）利用勾股定理结合AC：BC=3：4列方程求出x,进而得BC长；

（2）分三种情况：AP二BP、AB=BP、AB=AP,分别用含t的式子表示相关线段，结合勾股定理或线段

相等关系列方程求解，注意点P在射线BC上运动需考虑不同位置。

【变式3】

20.如图，△4BC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中4点的坐标是（-1,0）,B点的坐标是（一3,1）,C点、

的坐标是（一2,3）.

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（1）作△ABC关于y轴对称的图形△OEF,点A、B、C的对应点分别为0、E、F；则点E的坐标为一

点F的坐标为一

（2）在（1）的条件下，点P为x轴正半轴上的动点，当aPDE为等腰三角形时，请直接写出点P的横坐

标.

（3,1）,（2,3）

（2）1一遍或1+V5或5或5

【解析】【解答】解：（1）解：关于y轴对称的点横坐标相反，纵坐标相同;

・•・对应点坐标为0（1,0）,E（3,1）,F（2,3）,

故答案为：（3,1）,（2,3）；

（2）解：设P（£,0）,

DE=V22+I2=收，

当OP=OE时，P点坐标为（1一底0）或（1+遍，0）：

当EP=E0时，P点坐标为（5,0）；

当PD=PE时，1）2=（3_。2+12,

9

-

4此时P点坐标为0）,

综上所述，P点的横坐标为（1一通.0）或（1+遍，0）或（5,0）或0）.

故答案为：1一通或1+遮或5或宗

【分析】本题以平面直角坐标系中的轴对称变换与等腰三角形存在性问题为背景，综合考查关于y轴对称

的点的坐标变化规律、两点间距离公式以及等腰三角形的分类讨论。

（1）根据“关于y轴对称的点横坐标相反、纵坐标相同''直接写出对称点坐标；

（2）设P（t,0）,分别以D、E、P为顶点分三种情况讨论：DP=DE、EP二ED、PD=PE,利用距离公式

列方程求解t,注意P在x轴正半轴上及△PDE顶点顺序对边长的对应关系。

考点6卜等腰三角形的性质一等角对等边

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典例6：

21.RMABC中,乙ACS=90。，△ABC的高CO与角平分线3E交于点

（1）求证/C4D=LBCD；

（2）求证：ACE尸为等腰三角形.

【答案】（1）证明：・・・。0是△ABC的高,

・"0_A8,

：.^ADC=Z-BDC=90°.

•；£ACB=90°,

：-LACD-Fz-A=LACD+LBCD=90%

：.z.CAD=乙BCD.

(2)证明：由(1)得：Z.BDC=90°,

•••BE是乙4BC的角平分线，

:•乙CBE=/-ABE.

,：Z-ACB=/.ADC=90°,

，乙ABE+乙BFD=乙CBE+乙CEB=90%

：.Z.CEF=Z.BFD.

■:乙BFD=^CFE,

：4EF=Z.CFE,

：.CE=CF,

•••△CEF为等腰三角形.

【解析】【分析】本题以直角三角形的高与角平分线交点为背景，综合考查直角三角形的两锐角互余、等角的

余角相等、角平分线的定义以及等腰三角形的判定（等角对等边）。

（1）由CD1AB和4ACB=90°,利用同角的余角相等证得NCAD=zBCD；

（2）结合角平分线得/CRE=ZARE,利用互余关系导出/CFF:NCFF..从而CE=CF.即△CEF为等

腰三角形。

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【变式1】

22.如图，在△ABC中，^BAC=45°,高A。，CE交于点〃.

(1)求证：AH=BC；

(2)若AB=17,CE=12,求CH的长度.

【答案】(1)证明：•••高4。，CE交于点H,

：.AD1BCfCELAB,

•・•ABAC=45°,

•••△4EC是等腰直角三角形，

二CE=AE，

VAD1BC,CELAB,

：.^BCE+Z.CHD=90°,Z.EAH+LAHE=90°,乙AHE=^CHD,

乙BCE=4EAH,

在ABCE和△，四中，

乙BCE=LHAE

CE=AE,

(CEB=AAEH=90°

•MBCE三△H/EG4s力)，

：.AH=BC；

(2)解：由(1)得△BCE三△HAEQ4sA),CE=AE,

：.EH=BE,

'：AB=17,CE=12,

：.EH=BE=AB-AE=AB-CE=5,

：.CH=CE-EH=12-5=7.

【变式2】

23.如图，在△力8c中，A8=C8,点。是边AC上一点，点E为AABC外的任意一点，连接8D,8E,0E,其中

BE=BC,乙ABD=乙EBD.

第19页

CE

(1)求证：AABD=△EBD；

(2)若4CABBE=6,AC=10,求△BOC的局长.

【答案】(1)证明：•:AB=CB,BE=BC,

：.BE=AB,

又♦:乙ABD=LEBD,BD=BD,

J.LABD三△EBD(SAS)；

(2)解：-：£.CAB=^DBA,

：.DA=DB,

*：BE=6,

：.BE=AB=CB=6,

VAC=10,

；・△BDC的周长为CO-i-BD+BC=CDAD+BC=AC+BC=16.

【解析】【分析】本题以等腰三角形中的全等与角度关系为背景，综合考查等腰三角形的性质、全等三角形的

判定(SAS)以及等角对等边的应用。

(1)由AB二CB和BE二BC得AB=BE,结合公共边BD及已知乙ABD=zEBD,直接证△4BD三4

EBDx

(2)由4CAB=zDBA得DA=DB,结合第(1)问全等得AB=BE=6,从而BC=6,利用AC=10

及DA=DB将△BDC的周长转化为AC+BC,代入计算即可。

【变式3】

24.如图，已知在△力中，ZC=90°,40是角平分线，过点8作ZM的垂线与4。的延长线相交于点E,求

证：ABDE是等腰三角形.

第20页

又•・•4BOE=/-ADC,

.,.zZ?DE+zD/4C=90°,

•・•/?t△ABE中，ZF+Z-BAE=90°,

又・・・4D是484c的平分线，即NB4E=40/C,

Z-E=乙BDE,

:・BE=BD,

•••△BDE是等腰三角形

【解析】【分析】本题以直角三角形中的角平分线与垂线为背景，综合考查直角三角形的两锐角互余、角平分

线的定义、对顶角相等以及等腰三角形的判定（等角对等边）。由AD平分乙BAC得4BAE”DAC：在

RtAACD中，zADC+zDAC=90°,结合对顶角4ADC二，BDE得，BDE+，DAC=90。；在RtAABE

中，zE+zBAE=90°,利用等角代换得/E=zBDE,从而BE=BD,即△BDE为等腰三角形。

考点7।等腰三角形的判定的实际应用

典例7：

25.为了测量一池塘两端4,3的距离，三个数学研究小组设计了不同的可行性方案，如池塘示意图，他们

在池塘西岸的点A处测得池塘点B恰好在点A的正东方向，测量方案如卜.表

［北

课池塘示意图：__________|

测量池塘两端4,8的距离

题

AB

工

测量角度的仪器，标杆，皮尺，激光笔

具

小

第一小组第二小组第三小组

狙

①将标杆垂直立在池塘岸边的点A

处，再将激光笔固定在标杆的顶部尸

①从A点出发，向北走到。点浦

处：

上一根标杆；

测①从A点出发，向②调整激光笔与标杆的夹角，使其射

②继续向北走相同的距离到达0

量北走到。点；②测出的光线正好落在池塘对岸的点B；

占•

方得乙4cB=45°,③保持标杆与激光笔的夹角不变，转

③再向西走到E点，使8,O,E

案CA-20m动标杆，使激光笔射出的光线落在同

三点共线；

岸的点G,此时

④测得0E=20m

④测得：数据1：AG=20mi

数据2：AF=2m.

第21页

证证明明：：••.••A4CC__LL/4IB

乙ABC=90°-4ACB=90°-45°=45°:.乙ACB=乙ABC

:./.CAB=90°

：•AB=AC=20m（理由：_______________

乙ACB=45。（转右框）

(2)请用第二小组的方案，求出池塘两端A,B的距离；

(3)其他小组的同学发现，第三小组方案的第④步只用其中一个数据就可以求出池塘两端A,8的距

离，请你在笫④步中选择一个有效数据求出池塘两端A,8的距离.

【答案】(1)等角对等边

(2)解：依题意得：^AOB=^DOE,AO=DO,WAB=/-ODE=90°,

:、〉AOB三△DOEQ4S/1),

••AB=DE=20m：

(3)解：选择数据AG=20mo

由测量方案可知，ZBFA=ZGFA,且AF为公共边，ABIAF,AG1AF(标杆垂直地面，激光笔光线水

平)。

在RIAAFB和RsAFG中，

,:ZBFA=ZGFA

AF=AF

ZBAF=ZGAF=90°

・•・△AFB^AAFG(ASA),

・•・AB=AG=20mo

故池塘两端A,B的距离为20m<

【解析】【解答］解：(1)解：由Z47B=4BC推导=AC=20m使用的定理是等角对等边，

故答案是：等角对等边；

【分析】本题以实际测量池塘距离为背景，综合考查等腰三角形的判定(等角对等边)、全等三角形的判定

与性质以及构造全等解决测量问题。

(1)由ZACB=45°和AC1AB得/ABC=45。，从而NACB:NABC,根据“等角对等边“得AB=AC

第22页

=20米；

（2）根据第二小组的测量步骤，构造AO=OD>DE±OD且B,O,E共线，通过证明△AOD=A

DOE得至AB=DE=20米。

（3）由ZBFA=ZGFA且AF1BG,结合作图过程可知AF既是角平分线又是高，根据等腰三角形“三线

合一”的逆定理可得AF所在直线垂直平分BG,从而AB=AG,因此只需AG的长度即可求出AB。

【变式1】

26.如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达8处，从

A、B望灯塔C,测得NNAC=40°,Z.NBC=80°.求从B处到灯塔C的距离.

【答案】解：根据题意，可得20x（12-10）=40（海里）,

•:Z.NAC=40°,（NBC=80°,

乙ACB=乙NBC-乙NAC=80°-40°=40°,

Z-ACB=乙NAC,

BC=BA=40（海里），

答：从8处到灯塔。的距离为40海里.

【变式2】

27.如图，要在河的一侧测量河对岸48两点的距离.选择点C,使4B,C在一条直线上，作射线C凡则

得乙力。尸二50。，在射线CF上选取点。和点E,使=65。，^AEC=65°.这时测得。E的长就是4,B两点

的距离，为什么？

【答案】解：在△BCD中，^ACF=50°,480c=65。,

・"CBD=180°-50°-65°=65°,

即4BDC=(CBD,

:,BC=CD,

第23页

在^ACE中，/-ACF=50°,AAEC=65°,

W=180°-50°-65°=65°,

=/.AEC,

：.AC=CE,

：.AC-BC=CE-CD^AB=DE,

，OE的长就是4,8两点的距离.

【解析】【分析】本题以河宽间接测量为背景，综合考查三角形内角和定理、等腰三角形的判定（等角对等

边）以及线段和差关系的应用。通过分别计算△BCD和^ACE的内危，证明ZBDC=ZCBD得BC=

CD,ZAEC=ZA得AC=CE；再由AB=AC-BC,DE=CE-CD推出AB=DE,从而说明测得DE

的长即为A,B的距离。

【变式3】

28.耦（音同“讲”）子是一种传统衣用播种的工具，大小款式不一，图（1）是改良后有轮子的一种，图

（2）是其示意图，现测得BC=40cm,4C=30。，Z.BAC=45°.为了使精子更牢固，4B处常用钢筋连接,

【答案】解：作B0_L4C于点D,如图，

在直角三角形BCD中，・.・BC=40cm,zT=30。,

••BD-gBC-20cmt

在直角三角形中，・・"B4C=45。，

・••乙48。=45°=4BAC,

.9.AD=BD=20cm,

•'•AB=y/AD2+BD2=20或cm.

\D

B

C

第24页

【解析】【分析】本题以含特殊角的三角形为背景，综合考查含30。角的直角三角形的边角关系(30。角所

对直角边等于斜边一半)、等腰直角二角形的性质以及勾股定理的应用。过点B作BD±AC,在RtABCD

中由ZC=30\BC=40得BD=20：在RtAABD中由NBAC=45。得AD=BD=20,再根据勾股定

理求ABo

考点8等腰三角形的判定一坐标系

典例8：

29.平面直角坐标系中，点A在第二象限，且到x轴的距离为4,到y轴的距离为2.

⑴在坐标系中描出点A的位置，并写出点A的坐标；

⑵作点4关于>轴的对称点3,并写出点8的坐标；

⑶在x轴上找一点C使△A8C为等腰三角形，写出符合要求的所有点。的坐标.

【答案】解：⑴・・•点A在第二象限,且到x轴的距离为4,到y轴的距离为2,

・••点A的坐标为A(—2,4),

如图，在坐标系中描出点A的位置；

⑵解：如图，点B的坐标为8(2,4)；

⑶解:如图,点。(一2,0)或(0,0)或(2,0).

第25页

【解析】【分析】本题以平面直角坐标系为背景，综合考查点到坐标轴的距离与坐标符号的关系、关于y轴

对称的点的坐标特征以及等腰三角形的分类讨论。

（1）由第二象限及到x轴、y轴距离得A（-2,4）；

（2）关于y轴对称得B（2,4）；

（3）设C（t,0）,分别以AB为底边或腰分三种情况：AC=BC.AB=AC、AB=BC,利用距离公式列方

程求解t,注意C在x轴上及三角形顶点不共线。

【变式1】

30.如图，是规格为8X8的正方形的网格，请你在所给的网格中按下列要求操作：

（1）请在网格中建立直角坐标系，使A点坐标为（4,一2）,8点坐标为（2,-4）；

（2）在第四象限中，当是以48为底的等腰三角形，且腰长为无理数时，△4BC的周长

是，面积是.

【答案】（1）解：如图建立直角坐标系，如图所示：