北师大版高中数学必修第二册-三角函数的叠加及其应用

2.3三角函数的叠加及其应用

W”出川川川川出川川川“川川川川川川川Ml出川川川川I川川,图囱囱图,I课前I预习J/川川/"川“川川“川川川川川出川川出川川川川出，出川乩

［教材要点］

要点一C0+0,Ca-0,S«+/?,Sa-〃的逆用

cos«cos/7+sinasinp=

cosacos/?—sinasinfi=

sinwcos/?+cosasinp=

sinacos0-cosasin0=

要点二辅助公式

asina4-/?cosa=(a,b不同时为0),其中角(/)所在象限由a,b的符号

确定，角(P的值由sin0=和cos8=r_^_^的的确定,也就是由tan8='来确定.

丁丁va2+b2丁vaz+b2丁a

［教材答疑］

［教材P］49思考交流］

(1)j［x)=sinx+cosx=V2sin(x+：),最大值是企，最小值是一鱼，周期是2TL

(2次r)="sinx+bcosx(a,/?不同时为0)=Va2+b2sin(x+p),其中tan(p=-,最大值

a

是匕2+b2,最小值是一1a?+b2,周期是27r.

［基础自测］

1.判断正误(正确的画“J”，错误的画“义”)

(l)V3sinx+cosx=2sin(x+］.()

(2)cosA-sinx=cos(x+：).()

(3)函数＞,=sin2r—cos2x的最小正周期为兀.()

(4)函数y=sinx—V5cosx的最大值为1.()

2.函数y=3sin%+4cosx的最大值为()

A.3B.4

C.5D.6

3.函数y=|sinx+V5cosx|的最小正周期为()

A.?B.E

42

C.nD.2冗

4.函数7U)=sin,x—弓)一cos(2x—］的单调递增区间为.

题型一利用两角和与差的正、余弦公式、辅助公式化简——自主完成

化简下列各式：

1.sin(x—^cos,+cos(x—£)sin

2.3sin2x-V5cos2x.

3.2sin：+V5cos*

方&归附

对化简的式子提系数，利用两角和与差公式的逆用或辅助公式化为形Asin(GX+婢或A

cos(sx+s)的形式.

题型二两角和与差的正、余弦公式与三角函数的综合运用——师生共研

例1已知函数ZU)=V5sin(2x+》+sin2x+。的最大值为1.

(1)求实数。的值；

(2)若将段)的图象向左平移计单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间［0,外上

的最大值和最小值.

跟踪训练1［多选题］己知函数/(x)=cos2xcos(p—s\n2xsin<(p<的图象的一

个对称中心为《，0),则下列说法正确的是()

A.直线x=*r是函数7U)的图象的一条对称轴

B.函数在［。，"上单调递减

C.函数段)的图象向右平移三个单位可得到>=cos2x的图象

6

D.函数於闺0,外上的最小值为一1

例2已知函数J(x)=:sincos2x+〃(/〃>0)

(1)求函数凡6的单调递减区间；

⑵设xs［o,凡r)的最小值是I一V5,最大值是3,求实数〃?，〃的值.

跟踪训练2已知定义在R上的函数於)=〃sincox-\~bcos©r(co>0).若小)的最小正周

期为五，且对一切％£R,都有7U)勺(")=4,求函数/x)的表达式.

2.3三角函数的叠加及其应用

新知初探•课前预习

［教材要点］

要点一

cos(a-p)cos(a+/)sin(ct+万)sin9一4)

要点二

va24-b2sin(a+p)

［基础自测］

1.⑴J(2)X(3)V(4)X

2.解析：由辅助公式得｝=3$m工+4以)54='\/^"不^81|1(3+0)=5$苗*+9),其中lanR

=g,所以最大值为5.

答案：C

3.解析：y=|sinA+\/3cosx\=2|sin(x4-|,所以它的最小正周期为兀.故选C.

答案：C

4.解析：y(x)=V2sin(2x—^)=V2sin(2x-§

由2E—/2L居W2E+今代Z

得：&兀-R，k®Z.

2424

所以函数的单调增区间为：

上”2kn+詈］,(正Z).

答案：［kn-,kir+詈卜伏£Z)

题型探究•课堂解透

题型一

1.解析：原式=sin(x—'+,)=sinx.

2.解析：原式=2]3(手5访2*-；852*)=27^]|1(2*-3).

3.解析：原式=J22+sin(：+(p)=3sinQ+5)，其中tan8=2

题型二

例I解析：(l&)=V5sin卜x+；)+sin2x+。

=x/3cos2x+sin2x+a

=2sin伽+2)+”，

2+a=l,.*.<7=—1.

（2）将_/u）的图象向左平移2个单位，得到函数以幻的图象,

6

••.g(x)=/(x+g=2sin[2(x+]+曰_1

=2sin(2x+y)-I.

Vxe[o.J

.・z+n詈，.

.•.当2x++式，sin(2x+引哼

g(x)取最大值\尺一1.

当2x+g=q时,sin(2x+y)=-l,

g(x)取最小值-3.

跟踪训练1解析：：/(x)=cos2xcos9—sin2xsinp=cos(2x+°)的图象的一个对称中

心为(〜。)，

/.cos(2x3+(p)=0,则

••・8=?+履，kRZ.

6

•••（X吟

・—TT

,,中一%・

则yu）=cos（2x+J.

•••/偌）=cos（2X雪+.=8SkT,

・•・直线工=5兀是函数人幻的图象的一条对称轴，故A正确;

当回0,弓时，2H步曲.

・•・函数«r）在[0,弓上单调递减，故B正确；

函数危）的图象向右口移打单位，得到尸COS[2（X-9+^=COS⑵一,）的图象，故

C项错误：

当回0,引时,鹏嗤，胃

，函数/U）在[o,]上的最小值为cos7t=-1,故D正确.

故选A、B,D.

答案：ABD

例2解析：（1）J（x）=—sincos2x+〃

22

=//jQsin2x+亨cos2x）+〃

=msin（2x+§+〃.

•・•，心0,

:,由2E+衿2x+衿2E+5,k£Z,

得履+EWXWE+N，kez,

1212

故函数_/U）的单调递减区间为M+jkir+用，（fcez）.

（2）当x£[0,9时，〃+衿£抖

则sin（2x+#[-g,1],

m+n=3,

由题意知73L解得机=2,〃=1.

m+n=1-V3

2

跟踪训练2解析：利用辅助角公式，可得於）=V^msin®x+e）（其中tan^=-）.又

a

最小