函数的应用（一）【七大题型】-人教A版高中数学必修第一册（原卷版）

专题3.4函数的应用(一)【七大题型】

【人教A版(2019)]

>题型梳理

【题型1一次函数模型的应用】.................................................................1

【题型2二次函数模型的应用】.................................................................2

【题型3鼎函数模型的应用】...................................................................4

【题型4分段函数模型的应用】..................................................................5

【题型5分式型函数模型的应用】...............................................................6

【题型6“对勾”函数模型的应用】...............................................................8

【题型7函数模型的选择问题】.................................................................10

A举一反三

【知识点1一次函数、二次函数模型的应用】

1.实际问题中函数建模的基本步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.

(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.

(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果

要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.

2.一次函数模型的应用

一次函数模型：./U)二乙+汉攵,。为常数，原0).

一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.

3.二次函数模型的应用

二次函数模型：fix)=ax2+bx^c(a,b,c为常数，存0).

二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值

问题常用到二次函数模型.

【题型1一次函数模型的应用】

[例I](23-24高一上.北京•期中)果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克2.5元,

小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为％千克，小王付款后剩

余现金为y元，则》与y之间的函数关系为()

A.y=3000-100%(100<x<1200)

B.y=3000-lOOx(100<x<1200)

C.y-3000-2.5x(100<A<1200)

D.y=3000-2.5x（100V%V1200）

【变式皿】⑵-24高•・浙江杭州•期末）网上购鞋常常看到下面这样•张表，第•行可以理解为脚的长度,

第二行是我们习惯称呼的“鞋号”

中国鞋码实际标准（mm）220225230235240245250255260265

中国鞋码习惯叫法（号）34353637383940414243

习惯称为“30号”的童鞋，对应的脚实际尺寸为多少亳米（）

A.150B.200C.180D.210

【变式1-2］（23-24高一・全国•课后作业）一等腰三角形的周长是20,底边长），是关于腰长x的函数，则它

的解析式为（）

A.y=20-2xB.y=20-2x（0<x<10）

C.y=20-2x（5<x<10）D.y=20-2x（5<x<10）

【变式1-3］（2024高一•全国•专题练习）南通至通州的某条公共汽车线路收支差额），与乘客量入的函数关

系如图所示（收支差额=车票收入一支出费用）.由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议:

建议（I）不改变车票价格，减少支出费用；建议（H）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四

C.①反映了建议（I）,③反映了建议（II）

D.④反映了建议（I）,②反映了建议（II）

【题型2二次函数模型的应用】

【例2】（23-24高一上.北京东城.期末）把长为8cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个

正方形面积之和的最小值是（）

A.4cm2B.3cm2C.2>/2cm2D.2cm2

【变式2”】（23-24高•全国•课后作业）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业个月生

产某种商品上万件时的生产成本（单位：万元）为.已知1万件售价是2（）万元，为获取更大

利润，该企业一个月应生产该商品数量为（）

A.36万件B.22万件

C.18万件D.9万件

【变式2-2］（23-24高一上•河北石家庄•期末）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫

暑期，某制冷杯成了畅销商品.某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成才

（与生产产品的数量无关）：20万元；②生产所需材料成本：（10%+葛）万元，x（单位：万套）为每月生

产产品的套数.

（1）该企业每月产量％为何值时，平均每万套的成本最低?一万套的最低成本为多少？

（2）若每月生产工万套产品，每万套售价为：（30+2）万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定

计划，才能确保该制冷杯每月的利涧不低于625万元？

【变式2-3］（23-24高一上.广东佛山.期末）交通运输部数据显示，2023年中秋国庆假期（9月29日至1（）

月6口）期间，营业性旅客运输人数累计4.58亿人次.游客旅游热情高涨，全国各类景区景点非常火爆.据统

计，某景区平时日均接纳旅客1万人次，门票是120元/人，中秋国庆期间日均接客量是平时的4倍.为进一

步提升中秋国庆期间的旅游门票营业额，该景区作「深度的市场调查，发现当门票每便宜10元时，旅游日

均人数可增加加万人（便宜幅度是10元一档，但优惠后的最终门票价格不低于80元）.

（1）当m=0.5时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元，则该景区可以如何确定门票价格？

（2）当〃?在区间［0.6,0.8］上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，则该景区应如何确定门票价格？

【知识点2寨函数模型的应用】

1.幕函数模型及其应用

暴函数模型应用的求解策略

（1）给出含参数的困数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.

（2）根据题意，直接列出相应的函数关系式.

【题型3募函数模型的应用】

【例3】（2024•四川泸州•模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得

重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活

动.该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元.若要实现

2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：VL82*1.22,VL73«1.2）（）

A.10%B.20%C.22%D.32%

【变式3-1］（2024.广西•模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系

通常以累函数形式表示.比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重工满足y=其中k和a为正常数，该类

动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16者时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8

倍,则a为（）

A.iB.iC,-D.-

4234

【变式3-2］（2024•全国•模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾•宾浩斯（H.

Ebbinghaus）研窕发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描

述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力.该曲线对人类记忆认知研

究产生了重大影响.陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间

%（小时）的大致关系：y=1-O.6%006,若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有更习背诵记忆的42%,

则他复习背诵时间需大约在（）

\0.060.06

（参考数据：«0.9593,（0«1.025,2006«1.0425）

A.14：30B.14：00C.13：30D.13：00

【变式3-3］（23-24高一上•青海西宁・期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需

要对文件加密，有一种加密密钥密码系统（PrivateKeyCryptosystem）,其加密、解密原理为：发送方由明文

一密文（加密），接收方由密文-＞明文.现在加密密钥为、二上/，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受

方接到密文“三”，则解密后得到的明文是（）

A玛B.iC,2D一

【知识点3分段函数模型的应用】

1.分段函数模型的应用

由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有

广步的应用.

【题型4分段函数模型的应用】

【例4】（23-24高一下•江西景德镇•期中）杭州亚运会以“绿色，智能，节俭，文明”为办赛理念，展示杭州

生态之美，文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵弓作用，从而促进经济快速发展，筹备期间,

某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场已知该种设备年固定研发成本为

50万元,每生产一台需要另投入80元，设该公司一年内生产该设备为万台且全部售完,每万台的销售收入G（x）

180-2%,(0<x<20)

（万元）与年产量工（万台）满足如下关系式:”.20009000/、力.

GQ)=[7。+丫一而7?(%>20)

（1）写出年利润卬（外（万元）关于年产量工（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）

（2）当年产后为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求出最大利润.

【变式4-1］（23-24高二下•上海,期末）某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的

成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出％万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本义切（单位:

万元），已知当0<xW5时，V（x）=125；当5VxW20时，V{x}=x2+40x-100；当％>20时，V（x）=

81x+--600,已知生产的该型芯片都能以每枚8（）元的价格售出.

X

⑴已知2024年该型芯片生产线的利润为尸（x）（单位：万元），试求出P（x）的函数解析式.

（2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大

利润.

【变式4-2］（23-24高一上.山西晋中•期末）某工厂生产某种产品，受生产能力、技术水平以及机器设备老

化等问题的影响，每天都会生产出一些次品，根据对以往产品中次品的分析，得出每日次品数P（万件）与

——,1<x<c,

日产量工（万件）之间满足关系式。=6r之（其中C为小于6的正常数）.对以往的销售和利润情

况进行分析，知道每生产1万件合格品可以盈利4万元，但每土产1万件次品将亏损2万元，该工厂需要

作决策定出合适的口产量.

（1）求每天的利润y（万元）与X的函数关系式；

（2）分别在c=2和c=4的条件下计算当日产量为多少万件时可获得最大利润.

【变式4-3]（23-24高一上.贵州毕节.期末）已知某种设备年固定研发成本为40万元，每生产一台需另投

入60元.设某公司一年内生产该设备工万台且全部售完，每万台的销售收入为gG）（万元）.已知当年产策小

于或等于10万台时，gM=200-2x；当年产量超过10万台时，g（x）=50+之。；黑J）.

（1）写出年利润/•（%）（万元）关于年产量》（万台）的函数解析式；

（2）试分析该公司年利润是否能达到2000万元？若能，求出年产量为多少；若不能，说明理由.（注：利润:

销售收入-成本）

【题型5分式型函数模型的应用】

【例5】（23-24高一下•贵州毕节期末）如图，居民社区要建一个休闲场所，它的主体造型平面图是由两个

相同的矩形A8CD和ErGH构成的面积为lOOm?的成轴对称的“1”形地域.计划在正方形MNG”上建一座花

坛，造价为2100元/in?；在两个相同的矩形和NC8G上铺花岗岩地坪，造价为210元/n?；在两个三

角形DEM和CFN上铺草坪，造价为40元/n?.设总造价为S（单位：元），4D长为4（单位：m）.

（1）设AH长为y（单位：m）,写出y关于％的函数解析式;

（2）当“为何值时，S最小？并求出这个最小值.

【变式5-1](23-24高二下•北京房山•期中)某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为

750m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间4B,C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、

月季(其中B,C区域的形状、大小完全相同).设矩形花园的一条边长为无m,鲜花种植的总面积为Sm2.

(1)用含有"的代数式表示a：

(2)当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？

【变式5-2](23-24高二下•全国•期中)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需

要建造隔热层.某幢建筑物要建迨可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物

每年的能源消耗费用。(单位：万元)与隔热层厚度x(单位；cm)满足关系：C(x)=^(l<x<10),

设/(%)为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和.

(1)求/(%)的表达式；

⑵隔热层修建多厚时.，总费用外幻达到最小，并求最小值.

【变式5・3】(23-24高•上.安徽马鞍山.期末)某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提

升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌，其中y>%,

其面积为3(%-y+15)平方米.

(1)求y关于X的函数解析式，并求出”的取值范围；

(2)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小?并求出周长的最小值.

【知识点4”对勾”函数模型的应用】

1.“对勾”函数模型的应用

对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+-(a>0,b>0),当x>0时，

X

在。栏]上递减，在(J],+8)上递增.另外，还要注意换元法的运用.

【题型6“对勾”函数模型的应用】

【例6】(23-24高一下•湖北•开学考试)某甜品店今年年初花费21万元购得一台新设备，经估算该设备每

年可为甜品店提供12万元的总收入，已知使用x年(xeN“)所需的总维护费用为产+2%万元.

(I)该甜品店第几年开始盈利？

(2)若干年后，该甜品店计划以2万的价格卖出设备，有以卜.两种方案：

①当年平均盈利最大时卖出：

②当盈利总额达到最大时卖出：

试问哪一方案较为划算？说明理由.

【变式6-1](23-24高一上•四川眉山・期末)汉服文化是反映儒家礼典服制的文化总和，通过祭服、朝服、

公服、常服以及配饰体现出来.汉服文化从三皇五帝延续(清代被迫中断)，通过连绵不断的继承完善着

自己，是一个非常成熟并自成体系的千年文化.在当代，汉服文化正在通过汉服运动这一民间文化运动形

式逐渐复兴.近年来，盛行汉服沉浸式体验，人们喜欢身着汉服在充满传统文化特色的古镇游览拍照.近

30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量”(件)与日租赁价格S(元/件)都是时间，(天)的

38-t,0<t<15

函数，其中H（t）=£+4（0<£W30）,5。）=［典+15,15£亡三3（）.每件汉服的综合成本为1。元.

（1）写出该店FI租赁利润W与时间,之间的函数关系：

⑵求该店日租赁利润W的最大值.（注：租赁利润=租赁收入一租赁成本）

【变式6-2］（23-24高一上.上海期末）某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段交通拥堵情况，经

实地调查、数学建模，得该路段上平均行车速度-（单位：km/h）与该路段上的行车数量〃（单位：辆）的

〜小

-6-0-0,n<9

关系为：u=t；o（Jo，其中常数&eR.该路段上每日，时的行车数量n=一2（|£-12|-5）2+100,tG

段，2°

［0,24）,tez.已知某日17时测得的平均行车速度为3km/h.

（1）求实数攵的值;

（2）定义q=求一天内9的最大值（结果四舍五入到整数）.

【变式6-3］（23-24高一上•广东肇庆•期末）2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大

学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时，他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银

III.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山绿水青山就是金山银山”这一科学论断,

成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.新能源汽车环保、节能，以电代油，减少

排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.某新能源公司投资280万元用于新能源汽

车充电桩项目，〃（九三16且71€疗）年内的总维修保养费用为«n）二血2+40以上€/?）万元，该项目每年

可给公司带来200万元的收入.设到第〃（九工16且zi€N*）年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收入

一累计维修保养费一投资成本）为以九）万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元.

（1）求实数上的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元；

（2）到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润=纯利润：年数）最大？并求出最大值.

【题型7函数模型的选择问题】

【例7】（23-24高一上•河南洛阳•阶段练习）某果园占地约600亩，拟选用果树A进行种植，在相同种植条

件下，果树4每亩最多可种植50棵，种植成本.v（万元）与果树数量工（百棵）之间的关系如下表所示.

X14916

y14.47.811.2

（1）根据上面表格中的数据判断y=ax+b与y=cVx+d哪一个更适合作为y与x的函数模型；

（2）己知该果园的年利润z（万元）与x,），的关系为z=2y-02-利用（1）中适合的模型估计果树数量x

为多少时年利润最大？

【变式7I]（2324高一上.湖北.期末）随着仝球对环保和可持续发展的日益重视，电动汽车逐步成为人们

购车的热门选择.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电最P（单

位：kwh）与速度〃（单位：km/h）的数据如卜,表所示：

V60708()90100

P8.81113.616.620

为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量P与速度。的关系,现有以下两种函数模型供选择：

①Pi（v）=av2+bv+c（a,b,ceR）,②P2GO=kv+m（k,mER）.

（1）请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式；

（2）现有一辆同型号电动汽车从4地出发经高速公路（最低限速6Qkm/h,最高限速120km/h）匀速行驶到距

离为500km的8地，出发前汽车电池存量为65kwh,汽车到达B地后至少要保留5kwh的保障电量（假设该

电动汽车从静止加速到速度为〃的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率

为16kw的充电桩（充电量二充电功率x充电M间）.若不充电，该电动汽车能否到这8地？并说明理由；若需

要充电，求该电动汽车从4地到达B地所用时间(即行驶时间与充电时间之和)的最小值.

【变式7-2](23-24高一上•福建漳州•期末)北京时间2023年10月26日11时14分,搭载神舟十七号载

人匕船的长征二号尸遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心精准发射，约10分钟后，神舟十七号载人飞船与

火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功，这是我国载人航天工程立项实

施以来的第30次发射任务，也是空间站阶段的第2次载人飞行任务.航天工程对人们的生活产生方方面面的

影响，有关部门对某航模专卖店的航模销售情况进行调查发现：该专卖店每天销售一款特价航模，在过去

的一个月内(以30天计)的特价航模日销售价格P(x)(元/个)与时间”(一个月内的第％天，下同)的函

数关系近似表示为P(x)=20+忌(常数k>0).该专卖店特价航模日销售量Q(x)(白个)与时间才部分数

据如下表所示：

X(天)271423

QG)(百个)4567

已知一个月