2026年高考数学一轮复习讲义：函数与方程的综合应用（附答案）

§2.13函数与方程的综合应用

【重点解读】函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容.经常以客观题出现.通过分析函数的性质，结

合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置.

题型一由零点分布求值(范围)

命题点1二次函数的零点分布

例1(多选)已知函数次制=』十(加一3口+/〃的两个零点分别为即/2,且国VX2,则卜列结论正确的是()

A.当XI>0且X2>0时,0<"7<1

B.当山<1且％2>1时,〃7<1

C.当一241<0且0Vx2V4时：

D.当x,<2且X2>4时盟<-g

答案ABD

%I+%2=3-m>0,

=

x1x2m>0,解得正确；

(A=(m—3)2—4in>0,

对于B«l)=2〃?-2Vo.解得/w<l,B正确；

(-2)=10-m>0,

对于Cjf(0)=m<0,解得一(<"?<℃错误；

(f(4)=5m+4>0,

对于D,["2)=3m-2<0,解得正确.

(/(4)=57n+4<0,5

命题点2其他函数的零点分布

例2已知定义在R上的奇函数满足次2—x)+./(x)=0,当4£(01]时於)=-108冰若函数F(x)=y(x)—sin

心;在区间[一1,〃”上有10个零点，则〃，的取值范围是()

A.[3.5,4)B.(3.5,4]

C.(5,5.5]D.[5,5.5)

答案A

解析由火2—x)+/u)=o=ya)=-y(2—x)=/(x—2),得式幻是一个周期为2的奇函数，

当x£(0,l]时段)=一10轲,

因此fG)=-10g2^=1<1)=0,

所以40)=0/=-1)=0,

且gQ)=sin心的周期为T=T=2,

且g(-1)=0g(-3=-1£(0)=0焉)=191)=0,

求F(x)=J(x)-sinTix的零点个数.

即求JU)与g(x)图象的交点个数.

如图为於)与g(x)在区间|一1』|的图象，

因为共幻与g(x)均为周期为2的周期函数，

因此交点也呈周期出现，

若在区间［—1,/〃］上有10个零点，即两函数图象在［—1,〃?］上有10个交点，

则第10个交点坐标为(3.5,-1),第11个交点坐标为(4,0),因此3.5W〃?<4.

思维升华对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手

(I)开口方向；

(2)对称轴.主要讨论对称轴与区间的位置关系；

(3)判别式.决定函数与工轴的交点个数；

(4)区间端点值.

跟踪训练1(1)设方程f—2ov—。=0的两实根满足则实数。的取值范围为()

A(-M

B.(-oo,-0U(O,l)

C.(-oo,-I)U(0,i)

MF)

答案c

解析设九於二八"2-2ax—a,则其图象的对称轴方程为x=a,

(a<1,

由加〃2Vl可得卜⑴=1-3a>0,

G=4a2+4a>0,

解得“<一1或0<〃</

(2)已知函数")=4°，若如)=火用一相恰有3个零点加用用,则X\X2X3的取值范围是()

(J】n矶」>0,

A-("?°)

C.(-°°,0]D.(-°0,0)

答案B

解析不妨设X]<V2<X3,

由图可知.当0v〃W6时，直线y=m与函数段)的图象有三个交点，

且有一|<RW0,0<X2<1<X3,

由人也)=於3),即|lnx2|=|ln刈,

得In工3=-InX2,

所以Inx2+ln.q=ln(x>3)=0,

即卬3=1,故XiX2X3=X\e(-p0]-

题型二复合函数的零点

命题点1复合函数的零点个数判定

例3(多选)已知函数段)=色一依+1/40,下列关于函数尸欢功+1的零点个数的说法中，正确的

(log2r,x>0,

是()

A.当Q1时，有1个零点

B.当Q1时，有3个零点

C.当KO时，有9个零点

D.当攵=-4时,有7个零点

答案AD

解析由欧⑼+］=0,得饮切=一1,

则函数）,=人儿5+1的零点个数即为方程£/5））=-1解的个数，

设/=/田,则4/）=—1.二次函数y=.F—日+1的图象开口向上，过点（0,1）,对称轴为直线x=p

当k>\时,）=/一h十1在（-8Q］上单调递减.且），》］,如图，

由贸。=—1,得10g2/=—1,解得/=：,

由/（人）=/，得1082A=；，解得4=

因此当Q1时，函数尸人/&））+I的零点个数是1,A正确,B错误；

当2-4时府）=卜2+钮+1,%40,

Uog2x,x>0,

作出函数/U）的图象.如图.

由图象知函数./U）的值域为R,

令，=凡丫）,则贡/）=-1有3个根，

当r>0时』og?f=-1.解得r=1;

当W0时.尸+4/+1=—1,解得t=-2±V2,

当尸/即府）=：时，

若x>0厕logzx=；,解得x=&,

若后0,则f+4x+1=：,解得「一2土半，此时共有3个解；

当，=-2+企,即/U)=-2+&时.若x>OJMlog2X=-2+或有1个解,

若xWO.则f+4x+1=-2+&,即a+2）2=1+或有2个解，此时共有3个解；

当，二-2一/，即公）二-2—鱼时.若QO,则嗔亦=一2一直有I个解，

若％W0,则f+4x+1=-2一&，即次+2y=1-VIvO无解.此时共有1个解.

因此当&=-4时.函数J=A/（A-））+1的零点个数是7,D正确.C错误.

命题点2根据复合函数零点求参数

例4（多选）（2025・亳州模拟）已知函数次2，"<0,若函数双幻=3伏刈2一（/+3训>）+帆

有5个不同的零点，则实数m的值可能是（）

A.-5B.-6C.-7D.-8

答案CD

解析令ga）=3［/U）］2—（〃i+3次v）+〃2=0,

即［/WF四一制=0,

解得JW=1或."）=£，

如图.画出函数次X）的图象.

当./U）=I时.直线y=1与y=/（幻的图象有4个交点，

所以直线产?与），=/*）的图象只能有1个交点，

则£<—2,得〃z<—6,

结合选项可知内的值可能是一7或一8.

思维升华对于复合函数y=/U（x））的零点个数问题.求解思路如下：

（1）确定内层函数〃=g（x）和外层函数），=川，）；

（2）确定外层函数产加）的零点〃=函=1,2,3,…⑼；

⑶确定直线〃=%（，=1,2,3,…⑼与内层函数〃=g（x）图象的交点个数分别为〃1处。3=”,则函数yfgCO）的

零点个数为«1+a2+«?+

跟踪训练2（1）若函数=>°,则函数g（x）=X/（x））的零点的个数为（）

U2I4xI3,x<0,

A.4B.5C.6D.7

答案C

解析当.r>0时，由1+Inx=0.得x=-,

e

当％W0时.由f+4x+3=0,得x=—1或x=-3,

所以M）的零点为一3,—1,：

\3\尸灭幻

令E=/a）,则[ER而）=0的根分别为h=-3j2=—1/3=；

结合；U）的图象可知.方程,"）=/就外=12t/W=i3的根的个数分别为1,2,3,故g（x）=/6x））的零点个数为6.

ln（—x—1）x<—1

（2）函数於）=°1['若函数以工）=/如:））一〃有三个零点，则实数。的取值范围是________

ZXr1,X>一L

答案LL+8）

解析设尸危）JMf£R,

令gQ）=A心-））一。=0,则。=1）.

在同一平面直角坐标系内作出直线y=a,），=次。的图象,如图所示.

①当“2—1时，直线）=。与y=y（/）的图象有两个交点,

设交点的横坐标为人/（不妨设h>n）,

则，|V—1/22一1.

当4<一1时内=/U）有一个解;

当友2—1时J2=/U）有两个解，

此时式x）=7（/Cr））一。有三个零点，满足题意；

②当（/<-1时.直线y=a与）="）的图象有一个交点.

设交点的横坐标为贝卜3<一1,

此时：3=/5)有一个解,不满足题意.

综上所述，当心一1时.函数g(x)=,Mx))一。有三个零点.

课时精练

[分值：52分]

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.若方程一/+办+4=0的两实根中一个小于一1,另一个大于2,则a的取值范围是()

A.(0,3)B.[0,3]

C.(-3,0)D.(-81)U(3,+8)

答案A

解析令fix)=-f+ax十4,

则7U)有两个零点，一个大于2,另一个小于一1,

由二次函数的图象可知，

(/(2)>0,即1—22+Q.2+4>0,

1/(-1)>0,t-(-i)2+a.(-1)+4>0,

解得0<a<3.

2.(2025・西安模拟)已知函数段)=F5-12%+12*>L若^^尸/^尸儿口尸应出二匕且工层由之内士加则

(|3X-l|,x<1,

实数i的取值范围是()

A.(0,l)B.(0,2)

C.(0,3)D.(l,3)

答案A

解析由题意.作出用的大致图象.如图所示,

要使得J(X\)—7(X2)—/(X3)=/(^4)=t,

即函数y=於）与y=/的图象有4个不同的交点，则0</<1,

所以实数/的取值范围是（0,1）.

3.（2024•昆明模拟）已知函数段）=管：竟-6函数小）=%）一〃?有三个零点汨卬3,则X,X2-X3的取值范

围是（）

A[M)B・MC.0片D.[0,e]

答案C

解析作出函数/W的图象如图所示,

不妨设X1<12令3,则方程/U）=/〃有三个不同的根厕0<〃?<［,

当％W()时,一x2—x—〃7=0,得/+工+〃?=0,

贝UX\'X2=tn

当x>0时JnX3=m,X3=en\

则x\-xrX3=mem,

设〃(川)=/〃e"'(0Wm<(),

则/?'(团)=(m+1)。>0,

所以h（⑼在［o,?上单调递增,

所以M〃?)仁0,^1

即汨也小的取值范围是0,^1.

,0工”工2,若关于％的方

4.（2025•汕头模拟）已知函数），=/（x）是定义域为R的偶函数，当x20时

log16x,x>2,

程［/U）］2+a；/U）+〃=0m，〃WR）有且只有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）

A.(—2,—.

*1)

呜+8

答案A

解析由题可画出函数yu)的大致图象,

-20

•关于X的方程伏元)]2+。氏丫)+〃=0(4力巳2有且只有7个不同的实数根.

设『”)则结合函数图象，可知方程/+m+〃=0必有两个根力"2,

4

且力=1也£6，1),

**•fi+l2=—。£(：,2),

则一2<a<—・即a的取值范围是(―2,—

5.已知定义在R上的偶函数凡》)和奇函数g(x),对于任意恒成立，若函数)，=37U)+2g(x)+

〃2有且仅有两个零点,则实数〃?的取值范围为()

A.(-°O,-2V5)B.(0,2V3)

C.(2>/3,2V5)D.(2返+“)

答案A

解析由〃幻-g@)="可得/)一如)=2X

所以汽一x)-g(-x)=2X3\

因为JU)为偶函数,g(x)为奇函数.所以./U)+g(x)=2X3\

由①©，可得?)=3%3Mg(x)=3x-3~\

所以y=Mx)+2g(x)+tn=3(3'+3x)+2(3]—3x)+〃?=5X3'+3'+〃?,

令)=0,上式可化为5X32，+〃?X3X+1=0,

令/=3'(/>0),方程可化为5/+向+1=0,

因为函数，=3・,是增函数.若函数)，=3/(x)+2ga)+〃i有且仅有两个零点,

只需要方程5』+〃“+1=0有两个不相等的正实数根，记为r),r2.

A=m2-20＞0,

0+亡2=手＞0,解得机＜一2通,

1也=：＞°，

故所求实数m的取值范围为(一8,—2而).

6.已知函数f[x}=\~r,x-L则函数如)=用5))—2")一抽零点个数是()

(|log2(x-l)|,x>1,

A.4B.5C.6D.7

答案A

解析令则/20,

若“工）=0,则五。一2/一|=0,

作出y=/U）的图象和直线y=2x+j,由图象可得有两个交点，设横坐标分别为人心内

・M=0/2£（1,2）.

当人入）=h时，有大=2,即有一解；当次入）=/2口寸，有二个解，

综上下*）=0共有4个解，

即函数凡幻有4个零点.

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.已知加用是关于x的方程『一2ai+2=0（a£R）的两个不相等的实数根，则下列说法正确的有（）

A.若工+工=2,则a=2

X1x2

B.若用V1<X2,则。>|

C.若0<a<“q,且片=tanaj2=tan£,则a+夕为锐角

D.若X!不均小于2,则a£（-8,—&）U（V2,|）

答案ABD

解析.."1/2是关于A的方程f—2av+2=0（o£R）的两个不相等的实数根，

/.A=4a2—8>0,a>\[2a<—y[2.

由根与系数的关系得Xi+x2=2ajM2=2,

则lx\X2=x\+x2,/.4=2a,

.•・。=2,故A正确；

令凡¥)=/—2ax+2,若%(<1<¥2,

则川)<0,得，W，故B正确；

若0v3/k；,且x\=tanau2=tan6,则xi+&>0,

由心。得e鱼,

・.・匕皿〃+/?)=包吧上吗=%=—2〃v—2&,

''l-tanata叩1-2

又,・％+“£(0,兀)，

••・〃+4为钝角，故C不正确；

袱2)>0,

若汨足均小于2,则21>0,

a<2,

(4-4Q+2>0,

即4a2-8>0,

、a<2,

・・.a£(-8,_&)u(或故D正确.

(el%-2|%>o

8.已知函数./U)=2J：A则下列结论正确的是()

A.函数y=/(x)—x有2个零点

B.若函数y=/U)-r有4个零点，则/的取值范围为(1,2)

C.若关于X的方程,")=「有4个不相等的实根2K3田，则为+龙+心+工产1

D.若关于X的方程[/U)]2—浜x)+a=0有8个不相等的实根，则a的取值范围为(2,3

答案BD

解析函数)，=a-21的图象关于直线x=2对称，函数)，=一/—2、+1的图象开口向下，关于直线X=-1对称,

当G2时次力=尸2单调递胤当()<r<2时危尸e2一•,单调递减，

当x<-1时：⑥)=-x2—2x+1单调递增，当一1WxWO时风丫)=-x2—2x+I单调递减.

函数y=J(x)—x的零点，即函数y=/U)的图象与直线y=x交点的横坐标，

在同一直角坐标系内作出函数y=/*)的图象与直线)，=x，如图1,

图1

观察图象知.函数y=/U)的图象与直线y=x有3个交点•因此函数y=/U)-x有3个零点,A错误；

函数y=J(x)—t的零点，即方程7U)=/的根，亦即函数y=/U)的图象与直线y=t交点的横坐标，

在同一直角坐标系内作出函数y=/U)的图象与直线y=/,如图2,

图2

观察图象知.当1</<2时，函数)，=〃)的图象与直线)，=/有4个