高中数学：总体百分位数的估计

9.2.2总体百分位数的估计

【学习目标】I.理解百分位数的概念及统计含义.2.掌握求百分位数的基本步骤.（重点）3.结合实例，能用样本

百分位数估计总体百分位数.（难点）

【导语】

前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均月水量的样本数据，通过对图表的观察与分

析，得出了一些样本数据的频率分布规律，并由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，得出

了“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”等推断.接下来的问题是，如何利用这些信息为

政府决策服务呢？

一、百分位数的定义

问题1请阅读课本第202页到第203页，思考问题2中居民月均用水量标准转化为数学问题具体指什

么？

提示寻找一个数使全市居民用户月均用水量不超过。的占80%,大于。的占20%.

问题2你能制定一卜具体方案吗？

提示把得到的100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和81个数据分别为13.6和13.8.可以发现，

区间［13.6,13.8）内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平

均数坐詈吼137

知识梳理

1.一组数据的第〃百分位数的定义：一般地，一组数据的第〃百分位数是这样一个值，它使得这组数

据中至少有〃％的数据小于或等于这个值,且至少有30%的数据大于或等于这个值.

2.计算一组〃个数据的第p百分位数的步骤：

第1步，按从小到大排列原始数据.

第2步，计算i=nXp%.

第3步，若,•不是整数,而大于i的比邻整数为则第〃百分位数为第/项数据；若i是整数，则第〃

百分位数为第i项与第G+1）项数据的平均数.

3.四分位数

第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等

份，因此称为四父位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为

第三四分位数或上四分位数.我们在初中学过的中位数，相当于是第50百分位数.

例1下列表述不正确的是（）

A.50%分位数就相当于总体的中位数

B.第p百分位数可以有单位

C.一个总体的四分位数有4个

D.样本容量越大，第〃百分位数估计总体就越准确

答案c

解析一个总体的25%分位数，50%分位数，75%分位数是总体的四分位数，有3个，所以C错误.

反思感悟分位数是用于衡量数据的位置的度量，但它所衡量的不一定是中心位置.百分位数提供了有关数

据项如何在最小值与最大值之间分布的信息.

跟踪训练115%分位数的含义是（）

A.总体中任取一个数小于它的可能性是15%

B.总体中任取一个数小于或等于它的可能性至少是15%

C.总体中任取一个数大于它的可能性是15%

D.总体中任取一个数大于或等于它的可能性是15%

答案B

解析根据第〃百分位数的定义可知B正确.

二、由样本数据求百分位数

例2（课本例2）已知树人中学高一年级女生的身高的样本数据（单位：cm）如下：

163.0164.0161.0157.0162.0165.0

158.0155.0164.0162.5154.0154.0

164.0149.0159.0161.0170.0171.0

155.0148.0172.0162.5158.0155.5

157.0163.0172.0

根据上述的女生的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数.

解把27名女生的样本数据按从外到大排序，可得

148.0149.0154.0154.0155.0155.0

155.5157.0157.0158.0158.0159.0

161.0161.0162.0162.5162.5163.0

163.0164.0164.0164.0165.0170.0

171.0172.0172.0

由25%X27=6.75,50%X27=13.5,75%X27=20.25,可知样本数据的第25,50,75百分位数为第7,14,

21项数据，分别为155.5,161,164.据此可以估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数分别约

为155.5,161和164.

例2从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量（单位：kg）如下：

7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0,

分别求出这组数据的25%,75%,95%分位数.

解将所有数据从小到大排列，得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,

因为共有12个数据，

所以I2X25%=3,12X75%=9,

12X95%=11.4,

则25%分位数是型詈=8.15,

75%分位数是七吆=8.75,

95%分位数是第12个数据为9.9.

反思感悟总体百分位数估计需要注意的两个问题

（1）总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键.

（2）由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对芯体百分位数的估计一般是估计值而非精

确值.

跟踪训练2已知甲、乙两组数据（按从小到大的顺序排列）如下：

甲组：27.28,39,40,，叫50：

乙组：24,〃，34,43,48,52.

若这两组数据的第3（）百分位数、第8（）百分位数分别相等，则巴等于（）

n

A.-B.-

77

C.-D.-

34

答案A

解析因为30%X6=1.8,80%X6=4.8,所以这两组数据的第30百分位数为〃=28,第80百分位数为

片48,所以需器

三、统计图表中的百分位数

例3（课本例3）根据下表，估计月均用水量的样本数据（单位：I）的80%和95%分位数.

分细嫩散*什顿数

11.2.4.2)正正正正下230.23

14.2.7.2)正IEIEIEIE正「320.32

17.2.10.2)正正了130.13

(10,2.13.2)正F9U.UV

!!3.2.16.2)iEiF90.09

(16.2.19.2)正50.05

119.2.22.2)T30.03

[22.2.25.2)if4(1.04

(25.2.2R.2)T20.02

合计1001.00

解由表可知，月均用水量13.21乂下的居民用户所占比例为23%+32%+13%+9%=77%.

在16.21以下的居民用户所占的比例为77%+9%;86%.

因此，80%分位数一定位于［13.2,16.2）内.由13.2+3X黑二：：；二14.2,

可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2.

类似地，由22.2+3X鬻黑二22.95,

可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95.

例3为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了10（）名同学进行调查，结果显示这些同学的支

出（单位：元）都在［10,50］内，其频率分布直方图如图所示，估计学生课外读物支出的样本数据的第65

百分位数.（结果保留两位小数）

解方法一由频率分布直方图可得，

(0.01+0.023)X10=0.33,

(0.01+0.023+0.037)X10=0.7,

所以第65百分位数应位于［30,40)内，

所以样本数据的第65百分位数为30+10X需管3=8.65(元)，

所以估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数为38.65元.

方法二由方法一知第65百分位数应位于［30,40)内，设为占

贝I」0.01X10+0.023X10+U-30)X0.037=0.65,

解得口38.65元，

所以估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数为38.65元.

反思感悟由频率分布直方图求百分位数的方法

方法一：模仿中位数的求解思路

(I)确定第〃百分位数所在的区间|凡b).

⑵确定小于。和小于〃的数据所占的百分比分别为人％,A％,则第〃百分位数为。+%嘤XS/).

九%一为％

方法二：采用方程的思想，设出第〃百分位数，根据其意义列出方程并求解即可.

跟踪训练3为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm),所

得数据均在区间［80,130］内，其频率分布直方图如图所示，你能估计一下这60株树木底部周长的第

50百分位数和第75百分位数吗？

解由频率分布直方图可得，

(0.015+0.025)X10=0.4,

(0.015+O.O25+O,O3O)X10=0.7,

(0.015+0.025+0.030+0.020)X10=0.9,

所以第50百分位数一定落在区间［100,110)内，

第75百分位数一定落在区间［110,120)内，

所以这60株树木底部周长的第50百分位数为100+10X誓当=l(K)+¥=103.3(cm)；

0.7-0.43

这60株树木底部周长的第75百分位数为110+10X等各=1104=112.5(cm).

0.9-0.72

综上可知，第50百分位数和第75百分位数分别估计为103.3cm,112.5cm.

■课堂小结-------------------------------------------------------------------------------------

1.知识清单：

(1)第〃百分位数.

(2)四分位数.

(3)由数据、表格、直方图求百分位数.

2.方法归纳：数据分析法、数形结合法.

3.常见误区：求第〃百分位数时未将数据从小到大排列.

L__随___堂__演___练___二____________

1.(多选)已知100个数据的75%分位数是9.3,则下列说法正确的是()

A.这100个数据中至少有75个数小于或等于9.3

B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据

C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数

D.把这10()个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数

答案AC

解析根据第〃百分位数的定义知A正确；因为100X75%=75为整数，所以第75个数据和第76个数据的

平均数为75%分位数，是9.3,则C正确.

2.一组数据6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36,且这组数的一个四分位数是15,则它是

()

A.第15百分位数

B.第25百分位数

C.第50百分位数

D.第75白分位数

答案B

解析将数据由小到大排列为6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49,共11个，

i11X25%=2.75,故第25百分位数是15.

3.数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是()

A.14B.17

C.19D.23

答案D

解析这组数据是按照从小到大排列的，因为8X70%=5.6,所以第70百分位数是第六项数据23.

4.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为

答案号

解析样本数据小于10的频率为（0.08+0.02）X4=0.40,样本数据小于14的频率为0.40+0.09X4=0.76,所

以此样本数据的第50百分位数在［10,14）内，估计此样本数据的第50百分位数为10+怒X4=¥.

课时对点练

［分值：100分］

单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分

基础巩固

1.关于百分位数，下列选项错误的是（）

A.一组数按照从小到大排列后为其及，…，心,计算得小80%=17.6,则这组数的80%分位数是即8

B.一幻.数据的百分位数可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数

C.一纤数据的某些百分位数可能是同一个数

D.一组样本数据的75%分位数•定大于25%分位数

答案D

解析由百分位数的定义可知，若〃・80%=17.6,则这组数的8（）%分位数是即8,故A正确；

由百分位数的定义可知，对〃％分位数，若〃•〃％不为整数，则〃％分位数是这组数据中的数，若〃•〃％为整

数，则“％分位数是相邻两个数据的平均值，故可能不是这组数据中的数，故B正确；

当一纽数据的〃％分位数，g%分位数，满足〃•〃％,〃切％是整数部分相同的非整数时，它们发应百分位数是

同一个数，故C正确；

由百分位数的意义可知，若数据均相等，则其75%分位数等于25%分位数，故D错误.

2.高二⑴班7人宿舍中每个同学的身高（单位：cm）分别为170,168,172,172,175,176,180,则这7

个数据的第60百分位数为（）

A.168B.175

C.172D.176

答案B

解析将7人的身高从低到高排列：168,170,172,172,175,176,180,因为7X0.6=42,所以这7个

数据的第60百分位数为第5项数据，即175.

3.如图所示是某景区某年“五一”期间口接待游客人数的折线统计图，则该景区该年“五一”期间口接待

游客人数的第50百分位数是（）

日接得游客人数/万

2.5

2.0

1.5

0.5

05月5月5月5月5月日期

IH2日3H4H5N

A.2.1B.0.8

C.l.lD.1.5

答案C

解析将“五一”期间该景区日接待游客人数按从小到大的顺序排列为0.6,0.8,1.1,1.5,2.1.因为

5X50%=2.5,故该景区“五一”期间日接待游客人数的第50百分位数是第3项数据，即1.1.

4.已知按从小到大的顺序排列的一组数据：3,6,小b,12,若其60%分位数为8,则下列情况可能的是

（）

A.«=7»b=9B.〃=7,b=\0

C.a=8,b=9D.Q=8,b=10

答案A

解析・・・5X60%=3,.・・60%分位数为第3项和第4项数据的平均数，，等=8,・•・〃+/尸16.只有A选项满足

此条件.

5.将某班一次数学考试的成绩（都是正整数，满分150分）统计整理后得到如卜•的表格.

成绩范围0~89分90-99分100~109分分120〜129分130T50分

人数71010267

则该班这次数学考试成绩的第75百分位数可能是（）

A.93B.108

C.U7D.128

答案D

解析由题设，该班总人数有42人，则42X75%=弓＞31,

结合袤格数据知，这次数学考试成绩的第75百分位数在120~129分内.

6.（多选）已知一组数据按从小到大排列为0,4,5,x,8,10,12,15,且这组数据的中位数是7,则下列

结论正确的是（）

A一『6

B.该组数据的平均数为7.5

C.该纽数据的25%分位数是4.5

D.该组数据的25%分位数是6

答案ABC

解析因为中位数为7,所以即m6,所以该组数据的平均数为：X(0+4+5+6+8+10+12+15)=7.5,故

No

A,B正确；因为该组数据有8个数，所以8X25%=2,所以该组数据的25%分位数是与=4.5,故C正

确，D错误.

7.(多选)某校开展了“爱祖国、跟党走”的知识答题竞赛，若参赛学生的成绩都在50分至100分之间，现

随机抽取了400名学生的成绩，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的有

()

A.在被抽取的学生中，成绩在区间［8(),90)内的学生有12()人

B.图口x的值为0.050

C.估计全校学生成绩的50%分位数为86.7

D.估计全校学生成绩的70%分位数为92.5

答案ACD

解析由题意，成绩在区间［80,90)内的学生人数为400X0.030X10=120,故A正确；由

(0.005+0.010+0.015+.r+0.030)X10=1,得入=0.040,故B错误；由于前3组的频率和

(0.005IO.O1OIO.O15)X10=0.3<0.5,

前4纽的频率和(0.005+0.010+0.015+0.030)X10=0.6>0,5,所以50%分位数在第4组，设50%分位数为a,

则0.3+0.030(a・80)=0.5,解得g86.7,故C正确;

低于90分的频率为1-04=0.6,设样本数据的70%分位数为〃,

则詈啜，解得〃=92.5,故D正确.

8.(5分)某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为［20,40),［40,

60),[60,80),|80,100),

答案30

解析因为分数位于［20,40),［40,60)的频率之和为(0.005+0.010)X20=0.3,所以60分为成绩的第30百

分位数.

9.(5分)一组数据共有7个数：相，2,2,2,10,5,4,且若这组数据的平均数、中位数、众数中

最人与最小数之和是该三个数中间数字的两倍，则根的值为,这组数据的60%分位数

是.

答案34

解析将数据按照从小到大的顺序重新排列为2,2,2,m,4,5,10,则平均数为

2+2+2+m+4+5+10_m+25中位数为阳，众数为2,又2<〃?〈巴曾，贝!|2+g^=2/〃，解得〃2=3,又

7-7

7X60%=4.2,所以60%分位数是4.

10.(10分)某高校承办了某运动会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五

组：第一组［45,55),第二组［55,65),第三组［65,75),第四组［75,85),第五组［85,95］,绘制成如图所

示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为07第一组和第五组的频率相同.

⑴求m〃的值；(5分)

(2)估汁这100名候选者面试成绩的60%分位数.(精确到0.1)(55))

解(1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7,

所以。045+0.020+。)X10=0.7,解得。=0.005,

所以前两组的频率之和为1-0.7=03,

即(0.005+1)X10=0.3,所以6=0.025.

(2)前两组频率之和为0.3,前三组频率之和为0.75,

所以60%分位数在第三组，

且为654竺必X10M1.7.

0.45

1ST综合运用

11.已知一组数据按从小到大的顺序排列：11,12,15,x,17,622,26,经过计算，该组数据的50%分

位数是16,75%分位数是2(),则x+y等于()

A.48B.38

C.36D.33

答案D

解析因为50%X8=4,所以50%分位数是(x+17)+2=16.解得户15.因为75%X8=6,所以75%分位数为

等二20,解得产18.所以i+y=15+l8=33.

12.(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列结论正确的

是()

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数

C.甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数

D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差

答案BCD

解析由题图可得，元甲=4+5+；+7+8=6,

元乙="5；6+9=6,A项错误，B项正确；

因为5X80%=4,所以甲的成绩的第80百分位数是竽=7.5,乙的成绩的第80百分位数是誓=7.5,所以二

者相等，C项正确；甲的成绩的极差为4,乙的成绩的极差也为4,D项正确.

13.（5分）某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7,6,8,9,8,7,10,若去

掉〃?，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数〃?的值可以是（写出一个满足条件

的值即可）.

答案7（填7,8,9,10中任意一个均可）

解析7,6,8,9,8,7,10,m,若去掉〃?，该组数据从小到大排列为6,7,7,8,8,9,1（）,因为

7X0.25=1.75,故第25百分位数为第二个数，即7,所以7,6,8,9,8,7,10,的第25百分位数为

7,而8X0.25=2,所以7为第二个数与第三个数的平均数，所以机（110）的值可以是7或8或9或10.

14.（12分）某客服部门计划根据员工每个月接通的电话数给予奖金奖励，并且要保证50%的员工能拿到基本

奖励，至多10%的员工能够拿到额外奖励.该部门随机抽取了30名员工，调查了他们上个月与客户的通话

数量，数据如下：

1344142810831239138110991607104111301610

1445921931110