2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷02【全国测试范围：人教A版选择性必修第二册+选择性必修第三册】（全解全析）

高二数学下学期期末模拟卷02（全国通用）

全解全析

全解全析

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（）

6o

6060605o

50

50504o

404040

303o

3020302o

2010201o

1010

--

O102030405060~^102030405060O102030405060o102030405060^

图①（相关系数〃）图②（相关系数㈤图③（相关系数均图④（相关系数小）

A.B.4C.r2D.f\

【答案】B

【详解】对于AC,散点图分布总体是斜向上，故AC中对应的两个变量之间是正相关;

对于BD,散点图分布总体是斜向下，但B中散点分布较为集中，

而D中散点分布较为分散，故B中对应的两个变量相关性较强且为负相关.

2.已知随机事件48满足〃（彳）=9=i则尸（48）=（）

A.gB.1C.jD.1

【答案】A

【详解】由P（B＞）=俳苧,得尸（"）=P（⑷P（8M）=gx"

3.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且生+%=7,%+3%=U,贝iJSg=（）

A.-18B.18C.-22D.22

【答案】B

【详解】解：在等差数列中，叼+氏=4+。4=7,

1/15

a>+3a5=7+2a5=11,解得af=2,

4.定义在R上的函数/（x）j'⑴=：,则］im（）

2A3A.r

A.—1B.—C.2D.4

2

【答案】A

【详解】lim/（1-2,丫）-八1）=-2.）。。1丁-/⑴川）im/（J2&丫）-/⑴=1/，⑴=_2x4=T

AIOArAi。—2Ax-2Ar-*o—2SX2

5.（热点）已知下列四个命题：①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越

高;②甲、乙两个模型的决定系数R2分别约为0.88和0.80,则模型乙的拟合效果更好；③回归直线分=意+&

恒过点（只力，且至少过一-个样本点；④在线性回归分析中，样本相关系数厂的绝对值越接近I时，成对样

本数据的线性相关程度越强.其中真命题的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【详解】对于①，残差图中，残差点所在水平带状区域越窄，说明残差波动越小，

即回归方程的预报精确度越高，残差点所在水平带状区域越宽，说明残差波动越大，

即回归方程的预报精确度越低，错误；

对于②，决定系数&2越接近1,说明模型对数据的拟合效果越好，故模型甲的拟合效果更好，错误；

对于③，回归直线f=八+&过样本数据（再,乂）,（x2iy2）t…，3,几）的中心点区力，

并不一定过样本数据中的某一个点，错误；

对于④，在线性回归分析中，样本相关系数，•的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，正

确.

21

6.甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结

JJ

果相互独立,记“甲以2:1获胜”为事件4“乙获胜”为事件&则P（8|7）=（）

7「8厂9门1°

A.—B.—C.—D.—

19191919

【答案】A

【详解】甲以2:1获胜意味着前两局比赛甲胜一局，第三局甲胜，前两局甲胜一局的情况有C；=2种，根据

2/15

712R

独立事件概率乘法公式，所以甲以2:1获胜的概率为2（4）=2*^^鼻=石.

—R19

由对立事件概率公式可得P（A）=\-P（A）=l--=—.

事件7g表示甲没有以2:1获胜且乙获胜，乙获胜有两种情况：

情况一：乙以2:0获胜，其概率为=

1214

情况二：乙以2:1获胜，则前两局乙胜一局，第二局乙胜，其概率为C；x§x,x]=亓.

—147

根据互斥事件概率加法公式可得尸（力田=,+万=五.

7

-

-7

R)m一27

1-919,

27

7.市图书馆古籍修复志愿队有15名男志愿者和12名女志愿者（均已完成基础培训），现要从男、女志愿

者中各选1人，组成见习搭档协助修复师完成线装古籍的辅助工作，则不同的搭档组合种数为（）

A.27B.66C.105D.180

【答案】D

【详解】根据分步乘法计数原理可得不同的搭档组合种数为15x12=180.

8.已知函数/（x）=x2-ax+21nx有两个不同的极值点X1和W，且存在满足条件的x2使得

/（』）+/（工2）>〃玉+工2）成立，则实数,的取值范围是（）

A.（-<»,-3）B.（-oo,-3]

C.（-oo,-4V2）D.（-QO,-4>/2]

【答案】A

【详解】函数/a）=—-x+21n]定义域为{x|x>0},

_p.PZH....22x2-ax+2

求导得：fXx）=2x-a+-=----------,

XX

由/（X）有两个不同极值点玉62,则二次方程2--ox+2=0有两个不同正根，

△=/-16>0

则有，X1+X2=£>°，解得">4,

X|X2=1>0

3/15

因为如々＞0,则不等式/（芯）+“电）＞，（凡+占）可化为

X\~X2

（£?_2-ax—4-2xlnl

贝lj/（西）+/（工2）_x；一%+2In再+x；-ar2+2In/_（2J"、乂n__他+3]

玉+WX+X2£Ua）

2

设函数g（a）=＞7，”4,求导得g，3d

所以g（4）=]+]在（4,”）上单调递增，则g（q）＞g（4）=g+：=3,

所以巫心=_舟斗一3,

X）+x212a）

由存在满足条件的X、々使得/（再）+/（工2）＞，a+占）成立，

f（x.}+/（X,）

即满足八"八成立,则/＜-3.

$+看

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知在24的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下.列结论错误的是（）

4x)

A.n=7B.展开式中含'的项的系数是60

x

C.展开式的各二项式系数和为128D.展开式的各项系数和为729

【答案】ACD

【详解】对A：根据二项式系数的性质：展开式中只有•项二项式系数最大，说明〃为偶数,

且最大二项式系数W应中间项，则]+1=4,即〃=6,故A错误;

有“黑«2五厂,白）=2j

令3_r=_1,解.得「=4,贝iJ7；=22（-l）'y-=6°,

X

即展开式中含L的项的系数是60.故B正确；

x

对C：二项式系数和为2"=26=64,故C错误；

令x=l,有(2-1)6=16=1,

故展开式的各项系数和为1，故D错误.

4/15

10.（新情境）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个,

放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在

箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概

率，现在已知甲选择了1号箱，用4表示i号箱有奖品1=1,2,3,4）,用鸟表示主持人打开/号箱子（./=2,3,4）,

下列结论正确的是（）.

A.〃（名⑷1

B.主持人打开3号箱的概率人员）=:

C.若J=3,且甲更改选择，则他获奖的概率为］

O

D.若J=3,甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大

【答案】BC

【详解】对于A,奖品在1号箱里，主持人可打开2,3,4号箱，故P（&|4）=（,故A错误;

对于B,奖品在1号箱里，主持人可打开2,3,4号箱，故P（名|4）=；,

奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故。（星|4）=：,

奖品在3号箱里，主持人打开3号箱的概率为0,故P（8j4）=。，

奖品在4号箱里，主持人只能打开2,3号箱，故尸（鸟14）=（

由全概率公式可得：外层）=£孔4）尸（与⑷=：（；+g+o+；）=；，故B正确；

对于C、D,

（1）若甲不更改选择时，由贝叶斯公式计算

p（4房）。（闵4）0（4）

P（4区）=

尸（居）分⑷.尸（息⑷・

J=i

_*4⑷.p(4)

从而p(4l4)=

7

尸㈤£P(4)P(鸟⑷厂一

J=l3

（2）当甲更改选择时

5/15

11

P（AB.）P（^|J）P（J）2X4_3

①若甲改选2号箱，甲中奖的概率为尸（4忸3）二222

P⑶£尸⑷P（灰⑷|

r-lJ

11

/.\P（A’B）尸（&|4）.尸（4）7X73

②若甲改选4号箱，甲中奖的概率为2（，忸J=-----------------=\=1^

P闯ZP（4）.P（员⑷18

r=l"

因此甲更改选择，获奖的概率为"（阂用）+"（4忸J=］故C.正确；

z2o

而P（4|为）=：=P（4忸3），即甲改选2号箱与改选4号箱的中奖概率一样，故D错误.

O

11.设等比数列｛q｝的各项均为正数，前〃项和为，，若。必+的L162,$=13,数列也｝满足:

，=4凡-/+6〃，则下列说法正确的是（）

A.4=8

2・3°T1

B.数列7~H7——E的前“项和

C.若2=1,则数列也｝为递增数列

D.若数列也｝为递增数列，则义〉上

1O

【答案】BCD

【详解】因为｛%｝为等比数列，所以。2%+6。5=%2+%2=162,则生2=81,

因为%>0,所以生=9,故A错误；

由£=9+〃2+。3=13,得。+〃2=4,设公比为g,

a,+a,q=4,3

则；c，整理得4夕2-2-9=（4夕+3）（夕-3）=0,解得"3或9二一;（舍），

/1=94

则4=1,所以%二31，

2・31=2.3"T=_J_______1__

则（4+1）1+1）一（3"+1）（3〃+1）-（3"-申）-（3"+1）'

__111111111

所以4=171—币+币—3力+…+尸旬_不用=5_百<3,故B正确;

6/15

若2=1,贝|J“=4”一〃2+6〃=3"T+6〃，

所以bybn=3"_(〃+1)2+6(/7+1)_(3"'_〃2+6〃)=2X3"7_2〃+5,

当"21时，2x3〃T-2〃+5>0恒成立，所以数列也｝为递增数列，故C正确;

选项D:若数列｛4｝为递增数列，则%-々>0,对于〃cN*恒成立，

又&]一6“=2•3”-(〃+1『+6(〃+1)-(2-3"T-/+6〃)=24x3"T_2〃+5,

2/i—5

所以22x31—2〃+5>0，则义对于〃wN•恒成立,

,XJ

2n-5rhl3111

寸,则‘q=”‘”后q=G

w,,c2(〃+1)-52x3fl-'2〃-312

当〃>4时，fl+1=—-------x------=--------=-+--------

一c„2x3"2/1-53⑵-5)33(2/7-5)

所以当%>4时,c.>0,且c.单调递减,

所以c”的最大值为)则人士，故D正确.

1O1O

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2n

12.(x-=6f0+a｛x+a2x+•••+anx,二项式系数和为128,则旬+%+%+…+。”=(结果用数

字表不).

【答案】0

【详解】二项式的所有二项式系数之和为2%由题意得2"=128,解得〃=7,

对展开式(x-l)"二4+牛+生/+•••+〃/",

令1=1代入，左边为(1-1)'=0，右边为&+/+/+…+。”，

因此4+4+七+…+4=0.

13.如图，是由48,。,。,瓦RG七个正六边形区域组成的平面图形，现给这七个区域涂色，有四种不同的

颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方

案有种.

C

7/15

【答案】576

【详解】我们按区域顺序分步计算涂色方案，根据相邻区域不同色的要求，每•步的选择数如下:

涂区域4共4种颜色可选，有4种方案。

涂区域以8与彳相邻，颜色不同，有4-1=3种方案。

涂区域C：。与力、8都相邻，颜色都不同，有4-2=2种方案。

涂M域。：。与8、。都相邻,颜色都不同，B、O异色，因此有4-2=2种方案.

涂区域E：E仅与。相邻，颜色不同，有4-1=3种方案。

涂区域RF与D、E都相邻，D、E异色,因此有4-2=2种方案。

涂区域G：G仅与£、尸都相邻，E、尸异色,因此有4-2=2种方案。

根据分步乘法计数原理，总方案数为：4x3x2x2x3x2x2=576.

14.已知函数，(x)=lna/nx-bx+2//一1在x=l处取得极大值0,贝1」2=.

a

【答案】-/e-]

e

【详解】八功=(-。由题意得/'(1)=0,即lna-b=O,故6=lna,

且小。)=-6+2/一1=0,解得6=1或一g,

11—Y

当6=1时，a=e,则/'(x)=__1=——,

XX

令r(x)>0得O<X<1,令/'⑺<。得故X-1为极大值点，满足要求，

所以2=」，

ae

当人=一;时,〃=屋，则八")=一5+；=^7^'

令f'(x)>0得X>1,令/(x)<0得0<xvl,故X=1为极小值点,不满足要求,

综上，2=L

ae

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)某青年志愿者协会共有4名男生和3名女生.现要从中选出5人组成一个服务小队，分配到社

区服务中心的5个不同岗位上(岗位分别为：接待、宣传、保洁、维修、后勤).

(1)若女生丽丽必须进入小队并担任宣传・，求符合条件的安排方法数；

(2)若已知后勤必须由男生担任，接待必须由女生担任，且男生大勇不会维修，求符合条件的安排方法数.

【答案】(1)360(2)612

8/15

【详解】（1）丽丽固定在宣传岗，

剩余4个岗位（接待、保洁、维修、后勤）从剩下的6人（4男+2女）中选4人进行排列.

方法数为：A：=6x5x4x3=360种.

（2）①若男生大勇担任后勤，则先安排接待岗位有3种安排方法，

再从剩下的5人中选择3人排列到剩余岗位上，

根据分步乘法计数原理，方法数为3XA；=3x5x4x3=180种；

②若后勤不由大勇担任，则先安排后勤岗位有3种安排方法，

再安排接待岗位有3种安排方法，

第三步安排维修岗位，因大勇不能担任，所以有4种安排方法，

最后从剩下的4人中任选2人排列到宣传和保洁两个岗位上.

根据分步乘法计数原理，方法数为？x?x4xA：=4?2种，

综上，根据分类加法计数原理，息安排方法数为180+432=612种.

16.（15分）已知数列｛%｝是等差数列，其首项q=-6,且为+6,%+4,4+2成等比数列.

（1）求数列｛《,｝的通项公式;

（2）设”,=2"+4,求数列也｝的前〃项和。.

【答案】⑴>=2〃-8（2）7；=2e+〃2-7〃一2

【详解】（1）设等差数列｛%｝的公差为〃，则％

可得见=1_6,4=2d-6,a4=3[-6.

由的+6,%+4,%+2成等比数列，

可得（%+好=（-+6）（%+2）,

代人得（2d-2f=d（3d-4）,

展开整理得/_4d+4=0,解得d=2.

因此，。”=一6+2（〃-1）=2〃-8.

（2）由⑴得“=2"+2〃-8,数列｛，｝为等比数列，其前〃项和为2（；-；"）=2人2,

9/15

数列｛2〃-8｝为等差数列，其前"项和为"-6+2〃-8）=“2_7〃,

因此7；=(2.-2)+(/-7«)=2e+〃2-7〃一2.

17.（15分）某研究团队为探讨体育锻炼对青少年身心健康的影响，抽取960名有体育锻炼习惯的在校中

学生进行问卷调查，统计表格数据如下:

初中高中合计

男270230

女230230

合计

（I）完成表格数据，并根据小概率值a=0.050的独立性检验，分析参与问卷调查的中学生性别分布是否存在

年级差异？

（2）每口锻炼对身心健康有显著影响.己知每日锻炼时间超过1小时的学生身心健康达标率为87%,现随机抽

取2名每日锻炼时间超过1小时的学生进行健康评估，求至少有1名学生身心健康达标的概率.

n(ad-he)"

其中〃=“+6+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（X』）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）

初中高中合计

男270230500

女230230460

合计500460960

不存在年级差异，理由见解析

（2）0,9831

【详解】（1）填表如图:

初中高中合计

男270230500

女230230460

10/15

合计500460960

零假设“0：参与问卷调查的中学生性别分布不存在年级差异.

根据列联表中的数据，经计算得到,

960x(270x230-230x230/=1536<384|

500x460x500x460

根据小概率值a=0.050的独立性检验，没有充分证据认为从不成立，因此可以认为从成立，即认为参与

问卷调查的中学生性别分布不存在年级差异；

(2)记事件N为“2名每日锻炼时间超过1小时的学生中至少有1名学生达标”，则事件7为“2名每日锻炼

时间超过1小时的学生中没有学生达标

由题意得尸(1)=(1-0.87)2=0.069,

故产(4)=1-00169=0.9831.

故至少有1名学生身心健康达标的概率为0.9831.

18.(17分)已知函数/(x)=e'-ar-1.

⑴讨论f(x)的单调性;

⑵对任意的x>0,e"lnxW/(x)+xe'恒成立，求实数a的取值范围：

⑶讦明：/(x)+.rinx>-ax-l.

【答案】(1)。60时，/(x)在(YO,E)上是增函数;。>0时，/(x)在(Yo,lna)上是减函数,在(hw,+8)上

是增函数.(2)«<1：(3)证明见解析.

【详解】(1)f\x)=e-a,

当040时,r(x)>0,/(X)在(70,+8)上是增函数;

当a>0时，x<lna时，/'(x)<0,x>lna时，/'(x)>。，

所以/(x)在(-g/n〃)上是减函数，在(ln〃,+00)上是增函数.

综上，时，/(X)在(YO,+8)上是增函数；

。>0时，/(》)在(-8,比幻上是减函数，在(In4,«o)上是增函数.

(2)彳;等式cv+lnxW/*)+xe'即为aY«xe、一lnx-l，

x

2x

M,、Inx+1...，/、1-(lnx+1)xe+Inx

设g(x)=e，v-------,则g，(x)=e'x——i―；~-=-----；——，

XX，X

11/15

设p(.r)=x2ev+lnx,则(p\x)=(2x+x2贮+2>0在(0,+8)上恒成立，

x

所以例》)在(0,+8)上单调递增，

伊(1)=士••薪-1,因为—

ee~©

ill11

所以与e。<；e=L<l,所以0(一)vO,

e-e"ec

Y^(l)=e>0.

所以存在唯一的与€(1,1),使得以x<))=0,EPxje'°+Inx0=0,

e

,Ii]1In—

x

x；e'°=Tn%,xoc"=---Inx0=—In—=In—c”,

X。兀)X。/

在i〉0时，G(x)=xe'是单调增函数，所以与=ln,，即从而c"=,

X£(0,X°)时，次外<0,即g'(x)<0.g(x)单调递减，

XX。时,即)>0,即g'(x)>0,g(x)单调递增,

所以g(x)而n=g(x°)=e0----2—,

xo

代入/=-In.%,e'°=—,得g(\)min=-!----^±1=1,

X。X。X。

所以awl;

(3)要证不等式/*)+xlnx>-GX-1成立，

即证e'一ax-1+xInx>-ax-1»

也印证不等式e'+xlnx>0,

设A(x)=eA+x\nx,则〃'(x)=e'+Inx+1,

易知l(x)=e'+Inx+1是增函数，

Zh'(L)=e®+In—+1=>0>//7—r)-ec，—3+1=—2,

eec

因为《<:，所以所以〃d)<°，

c

e2<c<ze

所以存在唯一的/£(士■」)，使得以%)=0,O<x<xo0.j,h\x)<0,、>/时・，h\x)>0,

ee

所以h(x)在(0,.rfl)上单调递减，在(小,内)上单调递增，

所以心)皿=h(x0)=e"+x0Inx0,

12/15

Xuv

由N(XQ)=e+Inx0+1=0,得Inx0=-e0-1，

vt

AC%)=c"+x0(-c°-l)=(l-x0)e°-x0,

因为所以eIn>1.I一/>0,

ee

所以〃(.％)=(1—/)蟆-x0>1-.¥O-XO=l-2x0,

而所以"2x0>0,

e2

所以力(X)mm=〃(/)>0，

所以e'+xInx>0成立.

19.（17分）某校足球队有高一队员6人，高二队员7人，高三队员5人，足球队进行射门和守门训练，

已知高一队员甲、高二队员乙和高三队员丙参加守门训练，其他队员参加射门训练.

（1）先从三个年级中任选一个年级，再从所选年级的队员中随机抽取2名队员.求所抽取出的2名队员都参加

射门训练的概率.

（2）训练前所有队员排成3行6列进行热身，求甲、乙、丙恰有两人在同一行，两人在同一列的概率.

（3）参加射门训练的队员轮流射门，每轮射门训练中每位队员各有1（）次射门机会，一旦进球，则换下一名队

员进行射门训练：若未进球，则继续射门训练，设参加射门训练的队员丁每次射门进球的概率为:，在一

轮射门训练中射门的次数为X,证明：E（x）<5.

0Q21<

【答案】（1）黑（2）弓（3）证明见解析

315Do

【详解】（1）三个年级被选中的可能性相同，每个年级被选中的概率都是:.

而一共有6人，其中甲参加守门训练，所以高一参加射门训练的有5人.

C2102

若选中高一，则抽取出的2名队员都参加射门训练的概率为途===不

C：153

高二共有7人，其中乙参加守门训练，所以高二参加射门训练的有6人.