第2课时 正弦定理（基础练）解析版

第六章平面向量及其应用

6.4.3第二课时正弦定理（基础练）

一、单选题(共5小题，满分25分，每小题5分)

1.在△ABC中，A:3:C=1:2:3,则a:〃：c等于()

A.1:2:3B.3:2:1C.1：百：2D.2:百：1

【答案】C

【解析】因为A:3:C=1:2:3,A+B+C=TT

llItA兀门TC

所以A=—,3=—,C=—,

632

a:b=c=sinA:sin3:sinC

==故选：C.

22

2.在A48C中，若〃=2/=26,4=30。,则“等于•)

A.30°B.30。或150。C.60°D.60。或120。

【答案】1)

【解析】由题意，在中，由正弦定理可得‘一="一,

sinAsinB

即sin3=2sinA=^^sin300=且，

a22

乂由且Bw(0',180°),所以3=60。或3=120。，故选：D.

3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,若A=45。，8=60。，a=2,则

b=()

A.V6B.V2C.73D.2>/6

【答案】A

【解析】因为A=45。，5=60。，。=2,所以由正弦定理可得一“一二’一

sinAsinB

2百

tzsinB_2sin60

则〃=二—卢J=\/6,故选：A.

sinAsin45V2

~T

4.设在△A6C中，若加in3=csinC,且sin?A=sin?3+sin?C，则△ABC的形状为

()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不确定

【答案】C

【解析】/?sin13=csinC,sin2A=sin2B+sin2C

b

根据“角化边”

sinAsinBsinC

22222

可得：从=(2,a=+c,即：b=c,a=b+c

•••aABC是等腰直角三角形,故选：C.

5.在AABC中，角A,B,C的对边分别为〃，b,c,A=2B,角。的平分线交对边演

于。，且C。将三角形的面积分成3:4两部分，则8sB=()

|1?3

A.-B.-C.-D.-

3234

【答案】C

【解析】因为CO为NAC8的平分线，由角平分线的性质定理可得生=丝，

BDBC

而^.=丝=3,可得生=3,

S^BCDBD4BC4

在A48C中，由正弦定理可得"=旦

sinBsinA

,.“一rsinAsin282sinBcosB、八

乂A4=28,可得----=------=-----------=2cosB

sinBsinBsinB

47

所以2cos8=—,可得cos3=—,故选：C.

33

B

二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）

6.锐角△月比'中，三个内角分别是力，B,C,且冷8,则下列说法正确的是（）

A.sin冷sinBB.cos水cosB

C.sin/f>cosBD.sin&cosA

【答案】ABCD

【解析】J>i9c=>a>Zx=>sinJ>sinB,故A成立.

函数y=cosx在区间［0,兀］上是减函数，

•:A〉B,AcosJ<cosB,故B成立.

在锐角三角形中，

函数y=sin*在区间0,一■上是增函数，

则有sinJ>sin^——即sinJ>cosB,C成立，

同理sin&cosA,故D成立.故选：ABCD

7.在△入3c中，已知（a+b）:（c+〃）：S+c）=6:5:4,给出下列结论中正确结论是（）

A.由已知条件，这个三角形被唯一确定

B.△八8c一定是钝三角形

C.sinA:sinZ?:sinC=7:5:3

D.若力+c=8,则aA5c的面积是生8

2

【答案】BC

【解析】可设△ABC的周长为/,则由（“十人）：（c•十a）:（沙十c）=6:5;4,

可得"以色2=坦，。+。=12/=国，“c=土2/=其

151515151515

又a+b+c=l,则〃=乂，b=­3/

c=一

151515

»222

故三角形不确定，A错；山cosA=——---—--<0,A为钝向，故B正确;

2bc2

由正弦定理sinA:sin3:sinC=q：〃：c=7:5:3,故C正确;

Q/

由力+c=8,则一=8,得/=15,故。=7,。=5,<?=3,由cos4=--

152

得sinA=^~,△A8C的面积是1/7csinA=LX5X3XX3="Y^,故D错.故选：BC

22224

8.对于△A5C,有如下命题，其中正确的有（)

A.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形

B.若sinA=cos3,则3c为直角三角形

C.若sin?A+sin?B+cos?Cv1,则aA8c为钝角三角形

若AB=C，AC=\,笈=30。，则△A5C的面积为正或正

D.

42

【答案】CD

【解析】对于A：•.•sin24=sin2B,.,.2A=23或2A+24=万,

.•.A=8或A+6二:，所以AA6c为等腰三角形或直角三角形，故A错误;

2

7171

对于B:・.・sinA=cos3....A=3+—或4=一一3,所以AAbC不一定是直角三角形,

22

故B错误;

对于C：-.-sin2A+sin2B+cos2C<1».'.sin2A+sin2B<1-cos2C=sin2C»

由正弦定理得力+6<。2,又cosCJf"——<0,所以角。为钝角，所以△ARC为

2ab

钝角三角形，故C正确；

对于D：・.・AB=6，AC=\,8=30。，/.sinC=SinB=—>又A3>4C,

AC2

:.C=60°或120,，「.A=90,或30,，/.S”,8c='人8.AC•sinA=立或走，故D正确.

AA8C224

故选：CD

三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

9.在△48。中,若力=60',a=4小,b=4小,则6等于.

【答案】450

abAsinA4位X当r-

【解析】由正弦定理知一^=—^，则sin8=~~-=——尸二=牛.又a乂，则冷8,

sinAsinBa4-J32

所以4为锐角，故8=45°.故答案为:45°

10.在八48。中，ZABC=90°，AB=4,8C=3,点O在线段AC上，若N5DC=45。,

则3£>=，cosZABD=

【答案】应2,述

510

ABBD

【解析】如图，在/xABD中，由正弦定理有：

sin/ADB-sinNBAC

AB=4ZADB=—

y4

________3AR417

AC=dAB?+BC?=5，sin/RAC=——=-,cos/RAC=——=-,所以〃£)=——

A>J

7V2

cosNABD=cos(ZBDC-Z.BAC)=coscosZ.BAC+sin；sinNBAC=

10

,,..小、L12^27^2

故答案为：匕匕，

510

A

D

B

li.在△/&'中，内角4B,的对边分别为a,b,c,a=x,b=2,4=45°.若△/.纥有

两解，则x的取值范围是______.

【答案】（2,2班）

【解析】因为△/1比有两解，所以asin乐伙a,

即xsin45°<2<甩所以2CK2镜，故答案为：（2,2⑫

四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

12.在△力8C中，已知a=10,8=75°,。=60。，试求c及△力旗的外接圆半径R

【答案】5^2.

【解析】V/1+^+6^1800,.・・力=180°-75°-60°=45°.

由正弦定理，得京7=7177=2"'

.iox当

a,sinCN不

sinA=^-=5^6,

2

噪=1岖：25取

2

13.在锐角小他。中，G,b.，,分别是角4，B,C所对的边，且&=2csin8.

（1）求角。的大小；

（2）若c=瓜,且。+人=3,求aABC的面积.

6

【答案】（1）60°；（2）~T

【解析】(1)因为J?/?=2csin8，

所以由正弦定理得、QsinB=2sinCsinB，

因为sinBwO,则sinC二立

2

又因为。是锐角，故。=60。；

(2)由余弦定理，得。2=/+/一24/？(：0$60。,

所以6=(。+0)2-3ab=9-3ab

又因为a+〃=3，

所以他二1

则力sinC=*.

14.设AA3C的内角A、B、C所对的边分别为。、b、c,且a-cos4=3,〃-sinA=3、Q。

(D求角3；

(2)若SgBc=66，求a+c。

7T

【答案】(1)B=-；(2)10.

3

【解析】(1)在AA8C中，a-cos8=3,6sinA=3回，则两式相除得?”“"二百.

a-cosB

乂由正死定理得'二8•sm"=退，即-笈=6，乂“£。兀)，则8=2；

sinAcosB3

(2)由(1)知8=二，贝iJcos/=L,又q.cos笈=3,贝ija=6,

32

11A

又丁S小8c=]ac,sin8=6百，—x6xc=6^3,解得c=4,

a+c=\0°

A级必备知识基础练

1」探究点一］在5c中，角4乃,。的对边分别为。力,c,且

8=45。,。=60。/=近，则c等于（）

A.-B7号C.2D.V6

2

2」探究点二］在△A8C中，角A,8,C的对边分别为a,b,c.若

。二企力二8,A=3则B=（）

4

A.-B.-

63

C二或空D二或巴

6633

3.M家究点四］在△ABC中,A3=2,3C=5,Z\A8C的面积为4,则

cosNABC等于（）

A.-B+-

55

C.--D+-

55

4」探究点二］在5c中，若BasinB=c-bcos4则B=（）

A.-B.-

63

C二或巴D二或空

3366

5」探究点二］在△ABC中,a=4百乃=12,A=］则此三角形（）

6

A.无解

B.有两解

C.有一解

D.解的个数不确定

6.［探究点三］在△ABC中,a=OsinA,则△ABC一定是()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

7」探究点一］在中,8=45。,。=60。,-1,则最短边的长等

于.

8」探究点一」人钻。的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos

A=-,cosC=工〃=1,则b=.

513-----------------------------

9.［探究点二、四］在△ABC中，内角A,8,C所对的边分别为〃力c

已知A=60°,c=-a.

7

⑴求sinC的值；

⑵当a=7时，求△A8C的面积.

B级关键能力提升练

10.如图，在△A8C中，角C的平分线CD交边AB于点

D.A=-.AC=2V3,CD=3V2,BC=()

3

c

A。B

A.3V3B.4

C.4V2D.6

IL在△ABC中,A=6(r,Q=Vn,则呼3•等于()

sin/l+sinfi+sinC

A吧B.亚

33

C.—D.2V3

3

12.在△A8C中，若sinC=2sinBcos&且Be匕支则二的取值范

64b

围是()

A.(V2,V3)B.(V3,2)

C.(0,2)D.(V2,2)

13.(多选题)△ABC内角A,B,C的对边分别为。力,c,已知

。=3乃=2,sinB=sm24s真.是的面积，则()

A.sinB=—B.cosA=--

93

C.c=3D.S/,ABC=2V2

14.在△ABC中,8=gBC边上的高AD等于％C,且AD=1,则

43

AC=,sinABAC=.

15.在△43C中，内角A,B,C所对的边分别是〃力c已知

b-c=-cz,2sinB=3sinC,△ABC的面积为—,则cos

44

A=,a=.

16.在△ABC中，已知tz2tanB=Z?2tan4,试判断△ABC的形状.

17.已知△ABC的外接圆半径为R,内角ARC所对的边分别为

。力,。,且满足2/?(sin2A-sin2C)=(V26f-/?)-sin3,求△A3C面积的

最大值.

18.△ABC的内角A,B,C所对的边分别是〃力c已知(2sin

A-V3sinB)2=4sin2C-sin2B.

(1)求角C的大小；

⑵若b=l,c=V7,求cos(3-C)的值.

C级学科素养创新练

19.（多选题）锐角△ABC中，三个内角分别是4,3,C,且法则

下列说法正确的是（）

A.sinA>sinBB.cosA<cosB

C.sinA>cosBD.sinB>cosA

20.在△ABC中,Q是边BC上的点,AQ平分NBAC,△ABO的

面积是△AQC的面积的2倍.

⑴求则；

sinC

⑵若AD=\,DC=-^BD和AC的长.

2

参考答案

1.B在/XABC中，・・・8=45°,C=60°,Z?=VX

**.由正弦定理三；=告,得.：八。,解得。二百.故选B.

sinBsinCsin45°sin600

2.D在△ABC中，由正弦定理崂=得sin£?=—=胃复=率

s\nAs\nBav22

因为被&力所以加inA<a<h,

又0<8〈兀，所以8二,或8丹.故选D.

3.B由S=y88CsinNA8C得4=Jx2x5sin/4BC,解得sin/A8C=3从而cosZABC=±^.

4.A因为百asin8=c-加os4,由正弦定理得^/SsinAsin8=sinC-sinBcosA.

因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以厉sinAsinB=sinAcosB.

因为A£(0,兀)，所以sinA和，所以tanB=?而8为三角器的内角，故8鸟故选A.

36

5.B在448。中,。=4百力=12/=3则戾访A=12x[=6、可得Z>sinA<av〃,可得此三角形有

62

两解.故选B.

6.B由已知，得益=力二熹，所以sinB=1,所以8=90。,故△ABC一定是直角三角形.

7.当由三角形内角和定理，得A=75。.由三角形的边角关系，得B所对的边b为最短边.由

.rbc.csinBiA-2~v6

正弦定理一^=—7,得/?=—=v

sinFsmCsinCv33

T

在△ABC中，由cosA=icosC二点可得sinA=1,sin

1ooxoo10

sinI3=s'\n(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=^

65

又。二I,故由正弦定理得方屋半=得

s\nA13

9.解(1)在△A8C中，因为A=60。,"),所以由正弦定理，得sinC=—=。x乌=等

7a7214

(2)因为a=7,所以c=37=3.

由余弦定理O2=/?2+C2-2/?CCOS4,得72=02+32.2/»3x去解得/尸8或人=-5(舍).

所以△A8C的面积S=1/?c,sinA=1X8X3X^=6A/3.

10.D在△AC。中，根据正弦定理得sin/ADC二笔吧==日，

因为NAQC",所以

所以/人。。二兀-4一3=5,

3412

所以乙4cBm，则所以48=4C=2jI

66

在△ABC中,由余弦定理得8。2=(2百＞+(2^^2x20x2百xl9=36,所以8c=6.故选

D.

H.B由〃=2RsinA力=2Rsin8,c=2RsinC得就*=2个就=需=亭

12.A由正弦定理及已知得：=*=2sin^sg=2cos8.又吟余弦函数在此范围内是

bs\nBs\nB64

减函数，故［＜cosB去,;，三烂陋,如).

LLb

13.ACD因为sin8=sin2A,所以sin£?=2sinAcosA,即b=2acosA.

又。二3/=2,所以cosA=;,sinA二竽,sin8二片.

OO7

又b<a,所以cosB=:.

9

]

cosC=-cos(/l+B)=-cosAcos8+sinAsinB=-=cosA,所以c=a=3.

S.-.ABC=bcsinA二:x2x3x*2式.故选ACD.

乙乙》

14.V5嘿如图，由4D=1,B=：,知8。=1,

又AD=IBC=BD,BC=3,DC=2AC=>J12+22=花.

由正弦定理知,sinN8AC=写"=茎=嚼.

ACV510

15.44在△45C中，T2sin8=3sinC,

4

:・2b=3c,叉b-c=^a..\a-2c.b=^.

42

29c222

2

/.由余弦定理可得cosA丁2---==，又A£(0,7i),/.sinA=Vl-cosi4=芈,

J:L:bc“=5Cc44

又△ABC的面积为空，

4

.1..3715.l3^7153房板坦r.1

..-/?csinAx=——JVfr1-xK-cxcx——=^―,解付c=2...«=4.

242244

16.解由已知，得〃•吗=//•吗.又由正弦定理，得sin2A•吗二Sil?8•吗，即吗=吗,

COSKCOST!COSHcos/1cosFcos/l

所以sinAcosA=sinBcos仇即sin24二sin2B.所以24=28或24+28=18