江苏南京市2026届高三年级第二次模拟考试数学试题（解析版）

南京市2026届高三年级第二次模拟考试数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确

的.

1.己知(2—i)z=3+i,则|z|=

A.让B.2C.小D.5

【答案】A

【解析】法I：2=言=(3+生+3=]十j,所以以=也.

法2：因为z=言，所以旧=要!=曙=也.

2.抛物线尸=》的焦点为F,准线为/,则尸到/的距离为

A.；B.；C.1D.2

【答案】B

【解析】焦点/到/的距离为〃=今

3.。一：)6的展开式中，常数项为

A.-20B.-15C.15D.20

【答案】A

【解析】展开式中的常数项为。=点(-1)3=-20.

4.已知M,N均为R的子集，且加0(%根=0,贝lJMUN=

A.0B.MC.ND.R

【答案】C

【解析】因为M，N均为R的子集，且A/n([RN)=0,所以MqM故MUN=N.

5.已知圆C：(X—3)2+V=9,直线/过点P(l,1),当/被C截得的弦长最短时，直线/的方程为

A.2x-y—\=0B.2r+y-3=0

C.A—2y+l=0D.x+2y—3=0

【答案】A

【解析】当/被C截得的弦长最短时，点。到/的距离最大，即为C,此时CP_L/,所/的法向量为尸C

=(2,-1).

6.已知sina+2cosa=小，则tana=

A.-2B.一；C.；D.2

【答案】C

【解折】法1：因为./tv)=siiivI2COSA-在x=a时取得最大值小>所以八a)=cosa2sina=0»此时

1

tana=^.

、工.,csin2a4-4cos2«+4sin«cosatan2a4-4+4tana1

法2：由(sina+2cosa)2=5,所以r------siMa+cos2a--------=1即---匕)-+]---=5，解得iana=5.

7.曲线)，=/在尸〃(〃£N*)处的切线为/〃，分别记/”在-)轴上的截距为.0,刖则£户)a+

%+「y»=

3/Z-1c3〃+2_24+〃-12层+3〃

-

A.----n---B.-〃+lC.------n-------D.---〃-+-nl

【答案】D

【解析】由，'=一』，所以切线斜率攵=一白，又切点为（〃，£），

故切线h），一/=一白。一〃），即旷=一房科+/，所以1>'〃=/，xn=2n.

.___i,Z+l1]

因力Xr〉'i+1*为+19yi•।j'•-2i•।।>

.-i12〃2+3〃

所以告（为f+i+斯+i》）=2〃+1-^pj-=--y-.

8.在平面直角坐标系g中，椭圆C：宗+后=1（心匕>0）,若。上存在两点A,B,使得。4_LO8,且

OA=W>OB,则。的离心率的取值范围是

A.（0,坐]B.[乎,1）C.（0»*]D.[*,1）

【答案】B

【解析】不妨设08=x（b<vWa）,则OA\=y{3xfAB=2x,

则原点。到直线A8的距离1=半一又因为/=%/，以"2ab

即xEg,a]

y[3yla2+b2f

解得§£（0，监,所以e=yj1一5£[孝,1）.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知a>0,h>0,且aWl,/Ml,log/Vl,则下列不等式可能成立的是

A.\<a<bB.\<b<aC.a<l<bD.b<a<\

【答案】BC

【解析】若。>1,函数y=log心单调递增，因为log“bVl=logM，所以8V〃，所以B正确:

若OVaVl,函数y=k）&x单调递减，因为log“〃V1=log“/,所以〃>小所以C正确.

"已知函数段）={_屋》沙则

A.-2)=1B.Vx>0,危+2)=。%)

C.7U)在(7,8)上单调递减D.ZU)有且仅有1个零点

【答案】BCD

【解析】对于A,人2)=一41)=-1,所以A错误；

对于B,若x>0,则x+l>l,x+2>2,所以危+2)=-Ax+l)=y(x),所以B正确；

对于C,若x£(7,8),由8,直加=/(%—6)=-/^—7)=7—.1,单调递减，所以C正确；

对于D,当xWl时，«K)=X,大力只有一个零点x=0,当x>l时，因为y(x+2)=/U),所以只需考虑IV

x<2,x-lG(O,1),此时收)一一次x—l)—1一.¥<0,因此外甫且仅有1个零点”—0,所以D正确.

II.在三棱锥尸一ABC中，AB=2,ZAPB=ZACB=^,PC_L平面ABC,则

A.zMBC外接圆直径为呼

B.C产+。2+a=与

C.当PC=1时，三棱锥P—A8C的体积取得最大值

D.三棱锥P—A8C的外接球半径的取值范围是尊，华)

【答案】ABD

【解析】对于A,由正弦定理2-=高嗫区=华，所以A正确；

对于B,在△48C中，由余弦定理A82=CA2+CB2—2C4C8COSNAC8=C42+CB2—C4CB,

在AABP中，由余弦定理A82=PA2+PB2—2P4P8cosNAPB=PA2+PB2—p4.p8,

所以2c尸='C4‘IFZTCN=PAPBCACB=\CP\IGVCACB,

所以2cp2+C4+8=dcp2+C¥Nc产+。屋,平方整理得4cAe8=C42+C82—3CP2,

44

又因为。2+c#—C4CB=4,所以。VCB=g—C产，故4()一。产)=。人2+。82—3。产，

即。炉+82+次=冬所以B正确；

对于C,三棱锥P-A8C的体积为4cB=*.CP4-CP2),

JIZ14J

令Kr)=*T,八为=(一3口令八x)=o,得x=|,故当CP=/时，三棱锥P—ABC的体积达到最

大,所以C错误；

14144

-----I，即R£(2^,当5)，所以D正确.

D,43433

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12,将函数)，=2sin(x+与的图象向左平移以0<夕<，个单位，得到的图象关于)，轴对称，则夕=

，一

【答案】I

【解析】因为平移后得到的函数为y=2sina+e+3关于），轴对称，所以9+T=T+E，解得0=点+^，

jrjr

A£Z,又因为0<8<5所以9=e

13,已知平行六面体ABCO-A/IGOI的底面是边长为2的正方形，动点M满足前=启+》第+

yAD,x,yG[0,I],且CM〃平面48。.则M的轨迹长度为▲.

【答案】2<2

【解析】由藐=r+入蕊+），而，知M在底面486。内，又因为CM〃平面A山。，且平面力出。〃

平面csd,平面csnri平面A/icn=s。，所以M的轨迹为线段丛由，其长度为2吸.

14.已知函数凡0=/+3小/+松（〃?£R）有两个极值点X）,X2，且L/U1）—Xi|=|/（X2）—r，则m=

【答案】7

【解析】/'（1）=3.0+6/5%+〃7,因为函数./（X）有两个极值点汨，X2，不妨设Xl〈X2，

则xi+x2=—2小，x）X2=y,,AAI）>J（X2）»且A=108—12机>0,解得机V9,

若AAI）—Al=J（X2）—X2，则/XI）—fi,X2）=X\—X2<0,舍去；

若儿⑴一为=X2一八0），则«X|）+«X2）=X|+M，由三次函数的对称性，yU0+«X2）=?A—S）=2（6/5一小

m）=—2\[3,解得/〃=7.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知数列｛诙）的各项均为正数,工为m”）的前〃项和，且出2,s”。〃成等差数列.

（1）求｛“,｝的通项公式；

（2）设为=6・8产，求数列的｝的前〃项和

【答案】（1）%=1+（〃一1）=〃；（2）7；=2—（T）"f—〃•（：）”.

【解析】（I）因为〃“2,£”〃”成等差数列，所以2s〃="+〃”,所以当“2时，2s-=凡，+〃一,

两式相减得，2（S”一S"一i）=a/+a,—4_],即2为=斯2+Q1—012一凡_1,

即4.+%_|=3“+。._]）3”一见_]）.

因为｛如｝为正项数列，所以Gn+a“_|W0,则4”一凡_I=1,

当〃=1时，，2si=4j+〃],解得m=1,

所以｛小｝是首项为1公差为1的等差数列，则。“=1+（〃-1）=九.

（2）儿=所朋’=〃击，

则7；=lX（：）iI2X（T）2I…I

所以X（1）24-2X（1）3d------!■〃.（；）”"，

乙乙乙乙

1।।।）

两式相减得：扣=（步+$+…+（»—〃.右严—己―*）”+』一分一〃《户,

1一｝

所以T„=2—（^）n~l—n^n.

/~ax~\-a—1

16.已知函数人工)=-3—,aER.

（1）讨论yu）的单调性：

（2）当。＞o时;证明：yu）v52.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）/（》）=

①当a=o时，因为/a）=』＞o,所以/U）在（-8,+8）上为增函数;

②当〃＞0时，由/（x）＞0,得XV5由人工）＜°，得X*'

所以人工）在（一8,%上为增函数，在（5,+8）上为减函数;

③当。＜0时，由八#＞0,得X*,由/U）V0，得xV《

所以火x）在（一8,，上为减函数，在（%+8）上为增函数;

综上，当4=0时，凡¥）在（-8,+8）上为增函数；当4＞0时，儿1）在（一8,：）上为增函数，在弓，4-00）

上为减函数；当。＜0时，氏I）在（一8,：）上为减函数，在（1,+8）上为增函数.

（2）由（1）知，当〃＞0时，1工）在（一8,%上为增函数，在弓，+8）上为减函数,

所以九l）max=©）=（要证：於）＜/，只要证：如即证：毋＞2.

ea胸

Illjll1a—1

法一：记且3）=小5，。＞0,则g'3）=e«+〃•胸•（一/）=&（1-Rue。--,

由gS)=O,得。=1,由gS)>(),得由gS)VO,得OVaVl,

所以g（a）在（0,1）上为减函数,在（1,+8）上为增函数,则g（〃）min=g（i）=e,

因为e＞2,所以g（a）＞2,即a』＞2.

法二：只要证：画一（＞0,令：=[＞（）,即要证：el—2t＞0.

记鼠。=c，-2f,/>0,则g'(f)=d-2,

由g")=0,得r=ln2,由g")>0,得〉ln2,由gQ)VO,得0VYln2,

所以g⑺在(0,ln2)上为减函数,在(1112,+8)上为增函数,所以g(r)min=g(ln2)=2—21n2.

因为2—2ln2=2(l—ln2)>0,所以g(f)>0,即e-.

法三:只要证：ln(ai)>ln2,即证：lna+}>ln2.

记g(a)=lna+5，a>0,/(。)=：一*=5?-，

由gS)=O得a=l,由gS)>0,得a>l,由gS)V0,得OVaVl,

所以g(4)在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数,则g(a)min=g(l)=l,

因为l>ln2,所以g(a)>ln2,即Ina+>>ln2.

17.如图I,在平面四边形ABCZ)中，AB=小,BC=3,CD=6,DA=4®N8CO岩.

(1)求NCOA；

(2)点、E,尸满足：Z)E=15C,而=；函.如图2,将△/)即沿所折至△?£：”，使得二面角P-

石尸一C为直二面角，连接尸A,PB,PC.求直线尸。与平面所成角的正弦值.

【答案】⑴去⑵书

【解析】(1)连接80,因为NBCO=5，4c=3,CD=6,所以BDKBC2+。。2=)9+36=3小.

在△A3。中，AB=&。/1=4啦,

2

Z.,.AcDA^BI^-AB32+45-5Wlo

由余弦定理,得cos/A。"2DA-BD=2X4gX3^=10

yl\-cos2ZADBI

则tan/AO8=

cosZADB3

+

Be।32

因为lan/BOC=^^=],则tanZy4DC=tan(Z4DB+-r=L

1-3X2

因为NAOC£(0,兀)，所以N4OC=g.

(2)因为C£>=6,DA=4巾,DE=^DC,~DF=\DA,所以Z)E=2,DF=2p.

J4

在△£)£/中，由余弦定理，得E产=。后+。尸-2OEOFcosNE。尸=4+8—2X2X245X乎=4,

则。g+七尸=。尸，则DEA.EF,

所以PELEF,CELEF,则/PEC是二面角2一石尸一。的平面角，

乂因为二面角尸一工尸一。是直二面角，所以/P£C=90。，即尸EJ_EC.

以［碎，衣,凝｝为正交基底建立空间直角坐标系七一4%

则4(4,2,0),8(3,4,0),C(0,4,0),P(0,0,2),

所以;^=(一1,2,0),Q=(-4,-2,2),P?=(0,4,-2).

设平面以8的法向量〃=(弟j,Z),»了?1°，则

'—4x—2〉十2z=0,z=5y

令尸1,则〃=(2,1,5)是平面以4的一个法向量.

|京•川_6

设直线PC与平面PAB所成角为仇贝ijsinJ=|cos<京，〃>|=

而丁薪邛-10

所以PC与平面PAB所成角正弦直为呼.

is.在平面直角坐标系g中，双曲线c：4-^=1(^>0,心0)的右顶点为(1,0),渐近线互相垂直.

(1)求C的方程；

(2)直线/］依次交。的左支、x轴、右支于P,T,。三点，经过点r且垂直于/］的直线，2与c有

且仅有一个公共点M，点N与M关于原点O对称，直线NP,NQ分别交x轴于A,B两点.

证明：①M,T两点的横坐标之积为定值；

②四边形AMBN是平行四边形.

【答案】(1)炉一炉=1；(2)①证明见解析：②证明见解析.

【解析】(1)因为双曲线C的右顶点为(I,0),所以。=1,

乂因为C的渐近线互相垂直，所以£=1,则力=1,

所以C的方程为f-y=l.

（2）0由题意可知6不与x轴垂直，且不与C的渐近线平行，设自y=kx+m,

由＜；上+：得（/—l）x2+2k〃a+〃P+1=o,

因为，2与C有且只有一个公共点M,所以△=46/-4（炉一|）（"P+］）=0,所以左2—〃於―1=0

则“点横坐标.满足：2旧=•工所以"”="号=干=-5.

由，2：y=心：+〃?，令y=0,得7点横坐标仃=一£.

所以Mxr=（一§•（一令=1.

②由①知7点坐标为（一半，0），

A

ke—R-j-i

把M=一百代入y=lcx+m,得M点纵坐标yM=一示+m=-------=一面,

kI

所以M点坐标为（一而，

由于点N与M关于原点O对称，所以N点坐标为。，《），

因为八_1_/2，所以/i：x=-@一£,

K

/_y=l'4K।

由八_胆得伏2_l)y2+2m.y+—=0,即〃6,2+2〃"一巨=0,

A-Kyi9八A

"=-今

设夕（用，y\）,。。2，”），则

）'》=一诉，

由N（A,5），P（x「）'》得NP直线方程为：（汨一5）（＞—5）=。1-5）。一5），

令产。，得4点横坐标以二号,同理可得3点横坐标x尸部.

所以"+弗=1+1=

1~my\I-my21~my\1~my21~niyi1—myi

42,2k,in1,14«T2«Tm〃i()，i+y2)-2

2

=—机+(-m+Tk)(-m-y-\--—71+-m--y-z-—-1r)m(用0my}y2—，"()"+>'z)+1

2、

软23+小______'〃(机)2________4k2炉+〃产4/

nimkX1、2-〃？+inkX1-3k2f

”(一W)fL常+1

注意到公一〃/一i=o,所以2k2十〃?2=3公一］,所以用+x8=0,所以QA=OB,

又因为0M=OM所以四边形AMBN是平行四边形.

19.盒中有4个黑球2个红球，每个球除颜色外均相同.甲、乙进行摸球游戏，两人轮流从盒中摸球，每

次由其中一人随机摸出2个球，若有黑球，则黑球放回盒中；若有红球，则红球不再放回盒中.直至盒中

红球已被全部取出，游戏结束.第一次摸球从甲开始，记P”为第〃次摸球后游戏结束的概率.

⑴求P2；

(2)求P”；

(3)若摸球2〃次，游戏恰好结束，将此情况下乙摸到的红球个数记为随机变最Xw

证明：E(X2n)<1.

【答案】⑴Pi=77,P2黑(2)P,尸笔乂弓尸一弓尸；(3)证明见解析.

【解析】(1)(1)P尸C冷?台1

dCkCi,ClCi61.8

pvvvv_£=_6_

F2=axa+"ETxEl=^x^+T5xf0=25,

(2)若盒中有4个黑球，2个红球，一次性摸出两个球,

摸到o,1,2个红球的概率分别为官=$登Y，§=B

若盒中有4个黑球，1个红球，一次性摸出两个球，

摸到o,1个红球的概率分别陪q等=|，

则摸球〃次，记第i次和第〃次分别各摸到一个红球的概率为％

283?

则p,=qy»记x(0”厂ix§((=1,2,•••〃一1),

摸球〃次，记第〃次摸到两个红球的概率为p”，则〃”=4)1义上,

则*“n，72-|产+〃，尸怎7尸'41+会2卓7、,7/?上(R式\尹.7..+(O犷2义2/17

1、，2