北师版八年级数学下册期末专项训练-等腰（等边）三角形

专题01等腰（等边）三角形

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题型1利用等腰（等边）三角形的性质求解（常考点）题型5利用直角三角形的性质求解（常考点）

题型2等腰（等边）三角形的性质与判定多结论问题（难点）题型6直角三角形全等的性质和HL综合（重点）

题型3等腰（等边）三角形的性质和判定综合问题（重点）题型7利用垂直平分线、角平分线的性质求解（常考点）

题型4等腰（边）三角形中的新定义型问题（难点）题型8垂直平分线与角平分线的综合问题（重点）

I题型通关•靶向提分

题型一利用等腰（等边）三角形的性质求解（共5小题）

1.（25-26八年级上•浙江杭州•期末）如图，等腰RtZ\ABC,ZABC=90°,AD=BD=AB,则NCO8=

【答案】15。八5度

【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质.证明△A3。为等边三角形，可得

乙记£>=60。，可得NC3D的度数，再由等腰三角形的性质解答即“J.

【详解】解：•・・4Q=BD=AB,

・•・△48。为等边三角形，

工ZABD=60°,

•••等腰RtZXAAC,ZABC=90°,

.•・/CBD=ZABD+ZABC=150°,AB=BCf

:.BD=BC,

・•・42DB=/BCD=18。。-"80=15。

2

故答案为：15。

2.（24-25八年级上•安徽马鞍山•期末）在V48c中，48=A。，点。为8c中点，如果44）=40。,

AD=AE,则/£DC=0

1

【答案】20

【分析】先推导出NC4O=N84Q=40。，ZADC=90°,进而求出/AQ£=；(180。一/。4。)=70。，则

ZEDC=ZADC-ZADE=9()°-70°=20°,即可解答.

【详解】解：在VA4c中，D为BC中点、,AB=AC,44)=40°,BD=DC,

:./.CAD=ZI3AD=4O°,ADJ.BC,

AZ4DC=90°,

又“。二3

/.ZADE=i(180°-ZD4C)=70°,

:.Z.EDC=ZADC-ZADE=90°-70°=20°.

3.(25-26八年级上•陕西西安・期末)如图，在VABC中，ZABC,NACB的平分线交于点D过点。作

EF〃BC交AB于点E,交AC于点F.若AB=6,AC=4,BC=8,则△AE/的周长是_____.

【答案】10

【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证明NE8Z）=NEO8/FDC=/FCD,则

ED=EB,FD=FC,据此根据三角形的周长公式和线段的和差关系求解即可.

【详解】解：•・•在V4BC中，ZABC,NAC8的平分线交于点D,

.•・ZABD=/CBD,ZACD=/BCD,

•・•EF//I3C,

:./EDB=NCBD,AFDC=NBCD,

：・/EBD=NEDB,ZFDC=ZFCD,

:・ED=EB,FD=FC,

VAB=6,AC=4,

・•・^AEF的周长=AE+EF+AF=AE+ED+FD+AF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=10.

4.（25-26八年级上•四川成都・期末）如图，在V/WC中，AB=AC=S,以AC为边向右侧作等边

△ACD,连接8。，将△加心沿8D翻折得到△%>€',过点4作交的延长线于点E,连接

2

CE,若4E=2,则的面积是

【答案】156

【分析】设NCD4=NCO4=a,求出NEB。=NOAC=30。，ZE4C=120°,进而解“13后求得应:，再解

MCE、求CE,可得8c=8C最后解△E8C求出高即可得解.

【详解】解：设NCZ)3=NC7)3=a,

:△AOC为等边三角形，

・••ZADC=60°,

，Z4DC=60°-2a,

*/AB=AC=ADt

/.ZABO=ZAP8=60°-a,

/胡。=60。+勿，

,//D4C=60°,

:.ABAC=ABAD-ACAD=2a,

•・•AB=AC,

・•・ZABC=ZACB=90°-a,

.•・/DBC=ZABC-ZABD=90°-a-(600-a)=30°,

由折叠可知/EBD=ZDBC=30°,

AE//BD,

：.ZAE4=NEBO=30。，

如简略图，在△ABE中，过A作AH上BE于点H,

则A"=gAE=l,EH=dAE2-AH?=百，

在RtZX/W"中，BH=JAB2-AH2=3出,

，BE=BH+EH=3口+6

连接47，

3

E

A

D

B

则DA=DC=DC,

ZA£X7=60°-2a,

/.ZDAC=NDCA=600+a,

*/ZEAD=ZADB=60°,

・•・ZEAC=ZE4D+ZDAC=120°,

・•・ZACE=180°-120°-30°=30°,

，4CE=ZAEB,

••・AE=AC,

如图，

则CE=2E”=2G，

,BC=BC=BE-CE=3出

在△EBC中，如图，过E作EG_L8C于点G,

贝|J/BG£=9O。，

ZCBE=2x30°=60°,

/.Z5EG=90°-60°=30°,

・"1or38+丛

・・BG=-BE=------------,

22

4

・•・EG=gBG=岛地+等，

2

:.S"=3/七6=9（3"一瓜卜瓜"；逐=|5石.

故答案为：156.

5.（25-26八年级上•福建漳州•期末）如图，在VA8C中，?B90?,A8=8,8c=6,点P在AC上,

当点P与VAAC中的两个顶点构成等腰三角形时，CQ的长为.

【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的定义和性质等知识，分情况讨论是解题关键.

首先根据勾股定理确定AC的长度，然后结合等腰三角形的定义和性质，分情况讨论，即可获得答案.

【详解】解：V?B90?,=BC=6,

AC=yjAB2+BC2=A/82+62=10»

根据题意，点夕与VA8C中的两人顶点构成等腰三角形，可分情况讨论，

①当AAB尸为等腰三角形，且A4=AP=8时，如下图，

则CP=AC-AQ=10-8=2；

②当AA5P为等腰三角形，旦夕/3=%时，如下图,

•/ZA5C=90°,

・••ZA+ZC=/PBA+4PBC=90°,

，/C=/PBC,

5

・••PB=PC=PA,

：.CP=-AC=-x\0=5-

22

③当△CBP为等腰三角形，且C8=CP时，如下图,

④当ziCBP为等腰三角形，且8c=40时，如下图，过点R作BH工AC卜点H,

-ACBH,

2

1124

A-x8x6=-xlOBH,解得8”二—

225

，CH=ylBC2-BH2=J62-18

T

•:BC=BP,BHLAC,

1Q

/.PH=CH

5

々A

：,CP=PH+CH=—.

5

综上所述，CP的长为2或5或6或竽.

故答案为：2或5或6或学.

题型二等腰（等边）三角形的性质与判定多结论问题（共5小题）

6.（25-26七年级下♦上海金山・期木）如图，NB,/C的平分线相交于点。，过点。作斯〃8C,交

AB于点E,交AC于点尸，下列结论中：①BE=DE;②DF=ED；③/8。。=90。+3乙4；④周长

=AB+AC,正确的有（）

6

A

A.®@B.®®®C.①®④D.①②③④

【答案】C

【分析】由VA/3C中，N8与，C的平分线交于点。，EF//I3C,易证得和△。尸。都是等腰三角

形，继而可得所=BE+C/，乂由4A屏'的周长为：AE+EF^-AF=AE+BE+CE+AF=AB+ACi即

可得的周长等于AB与AC的和.

【详解】解：•.•痔〃3C,

Z.EDB=ZDBC,ZFDC=ZDCB,

•.•△ABC中，与NC的平分线交于点。，

;.NEBD=/DBC,NFCD=/DCB,

:.ZEBD=^EDB,4FCD=4FDC、

;.BE=DE,CF=DF,故①正确；

。广与£。不一定相等，故②错误；

•・•在VA8C中，N8和/C的平分线相交「点O,

"DBcJ/ABC,NBCD=>^ACB,

22

NO8C+NDC8=；/A8C+gzAC8=；(NABC+ZAC8)=；(180°-ZA)=90o-g/A,

/.NBDC=180°-(ZDBC+NDCB)=90。+』NA,故③正确；

2

.•.△A£F的周长为：

AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE-t-EB+frC+AF=AB+AC,故④正确；

综上，正确的有①③④.

7.(25-26八年级上.安徽六安.期末)如图，VA4c是等边三角形，AO是NZMC的角平分线，点E是射

线AO上一动点，连接CE,以CE为边在下方构造等边△CM,连接M,DF；有以下结论：①

AE=BF；②当AE=2OE时，ZACE=30°；③当AB=12时，则。尸的最小值为3；④当4,E,F三点、

共线时，AE=4DE；其中正确结论个数是()

7

A

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】利用等边三角形的性质证进而证明线段相等，再结合角平分线的性质和垂线段

最短的性质来判断各个结论的正确性即可解答.

【详解】解：•••△ABC、都是等边三角形，

/.AC=BC,CE=CF,ZACB=/ECF=3,

/.ZACB-NECB=AECF-ZECB,

即ZACE=ZBCF,

在"CE和VBC尸中，

AC=BC

NACE=/BCF,

CE=CF

;.&ACE均BCF(SAS),

:.AE=BF,故①正确；

♦.•AABC是等边三角形，A。是NBAC的角平分线，

..ZCAD=^BAD=30°,ADJ.BC,BD=CD,

当AE=2O£时，设=则4E=2A,AD=AE+DE=3X,

在Rtz\AC”中，ZC4£>=30°,

：.CD=^AC,A。=JAC?-CD?=辰D，

CD=\/3x»

22

在RtACDE中，CE=>]CD+DE={(瓜j+x2=2xf

:.CE=AE.

:.ZACE=ZCAD=300,故②正确；

♦.FACE'BCF,

.•.ZC£?F=ZC4E=30°,

•・•点”在与8c夹角为30。的巨线上运动,

8

根据垂线段最短，当_L8/时，。尸的值最小,

/.BD=-BC=-AB=6

22t

在R【△及小中，ZCBF=30°,

DF=|fiD=3,故③正确；

当8,E,尸三点共线时，如图,

：.AC=BC,CE=CF,ZAC8=/EC户=60。，

/.ZACT+/ECB=NECF+NECB，

即NAC£=N4C〃，

在zMCE和V3b中，

AC=BC

NACE=NBCF,

CE=CF

「.△ACE均BCF(SAS),

:.AE=BF,

vZCBF=30°,AD1BC,

/.ZfiCE=30°,BE=CE=EF,

设DE=y,则CE=2y,

BF=BE+EF=4y,

/.AE=BF=4yt

；.AE=4DE,故④正确：

8.(25-26八年级上•广东东莞•期末)如图，NABC+,N8AC=90。,A4=AC/M是AC边的中线，有

AD±HM,垂足为点七交AC于点。，且八〃平分/84C交8W于N,交BC于H,连接DW,则下列结

论：

Q)〃\MB=4JMD；②HN=HD：

9

③BN=AD；④)4BNH=/MDC；

A.0B.IC.2D.3

【答案】A

【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质与全等三角形的判定与性质，灵活构造辅助线并运用全等三

角形的判定定理是解题的关键.通过证明多组三角形全等，分别对四个结论进行逐一验证，进而判断结论

的正确性.

【详解】解：如图，作KC_LC4交4。延长线于K,

A

ZBAC=90°,AH平分/8AC,

B~~HZC

\/

'、■/

K

：.AHVBC,BH=CH,

：.AH=BH=CH,

'：AD_LBM，

:2BHN=ZAEN=ZAHD=90°,

NBNH=ZANE,

:.£HBN=4DAH,

在△4MV和△A/7O中，

AHBN=ADAH

AH=BH

ZBHN=NAHD

:ABHN'AHDgZ,

：.HN=DH,BN=AD,/BNH=ZADH=:/CDK,故②③正确；

/BAM=NACK=90。，

...N8A£+NC4K=90。，

10

又N8AE+ZAHW=90。，

：.ZABM=ACAK,

在vABM和△C4K中，

ZABM=ZCAK

AB=AC,

NBAM=NACK

.•.△A8M*C4K（ASA）,

;.ZAMB=/K,AM=CK=CM,

在VC£）M和ACQK中，

CM=CK

ZOCM=NOCK=45。，

CD=CD

:.^CDM^CDK（SAS）,

:2CDK=4CDM,/K=NCMD,

:.ZAMB=NCMD,NBNH=NMDC,故①④正确.

故选：A.

9.（25-26八年级上.山东德州.期末）如图，。是/3AC内部一点，尸关于A3、AC的对称点分别是点

4、点6,连接4丹分别与A8,4c交于点M,点N,连接尸M,PN,下列结论：①若N8AC=30。,

则△片6A是等边三角形；②△PMV的周长等于线段片鸟的长；③以平分NMPN；④

；NMPN+NBAC=90。.正确的有（）

A.®®®B.®®@C.②③④D.①②③④

【答案】D

【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等边三角形的判定与性质，熟知轴对称的性质是解题的关键.

根据轴对称的性质，依次对所给结论进行判断即可.

【详解】解：•・•点尸关于AB、AC的对称点分别是点［、点鸟，

11

ZPAB=ZP.AB,ZPAC=ZP2AC,AP=AP]tAP=AP2.

.•.力q=A〃，=2NZMC=60。.

・•.△B6A是等边三角形，故①正确.

由轴对称可知，PM=《M,PN=P2N,

•••c△尸"N=PM+MN+PN=P\M+MN+P&N=PR,故②正确.

由轴对称可知，△/jAM四△AAM(SAS),△^/W^AAWV(SAS),

:.NAPM=NAFJM,4APN=ZAP?N.

•・•AP、=AP”

ZAP}M=ZAP2N.

:.ZAPM=ZAPN.

:.PA平■分NMPN,故③正确.

ZAPM=/A《M,乙APN=ZAP2N,

NMPN=NAPM+ZAPN=ZAP.N+ZAP[M.

QN[A6++NA%N=180°,

/.2NBAC+NMPN=180°.

:.-ZMPN+ZBAC=90°,故④正确.

2

10.(25-26八年级上•黑龙江佳木斯•期末)如图，点A在直线8C上，AABD、△4EC都是等边三角形,

BE和AD交于点M,QC和4E交于点N.有如下结论：(1)AABE^AADC：(2)AB=DN；(3)

AP+PD=BP；(4)CP平分4PE；(5)△人MN是等边三角形.其中正确结论有()个

【答案】C

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线定义，恰当运用全等

三角形的判定和性质是解题的关键.根据等边三角形的性质可得三角形三边相等，三个角都是60。，易证

△ABE2丛DC,VAMB^VDNA,^AME^ANC，△AMN为等边三角形，由三角形内角和定理证得

/DPB=/EPC=6O0,在中，ZAND>/DAN；在2夕上取一点产，使PF=PD,可证得△£）自产是

等边三角形及△DBFWGAP、据此可进一步来判断各个结论的正确性.

12

【详解】解：•「△AB。、△4EC都是等边三角形，

:.AB=ADtAE=AC,NQA8=NE4C=60。,

ADAB+ZDAE=ZEAC+ZDAE,即NBAE=ZDAC,

在AABE和A4QC中，

AB=AD

NBAE=ZDAC,

AE=AC

「.△AB比△4X?（SAS）,故（1）正确；

VAABD>△4EC都是等边三角形，

ND4/?=NE4C=6O°,

.­.ZA^W=180o-60o-60o=60°,

：.ZBAM=ZDAN=G）°,

•.•AABE刍△AZJC,

/.ZABM=ZADN.

在AAAM和△4W中，

NABM=NADN

AB=AD,

/BAM=/DAN

.•.△A8M%ADV（AS4）,

.\AM=AN,

.•.△4WN是等边三角形，故（5）正确；

.­.ZA^4=60°,

/./AND=60。+/DNM>60°,

:.ZAND>ZDAN,

：.AD>DN,

\-AB=AD，

：.AB>DN,故（2）错误：

•/△ABE^AADC,如图，

：.ZCDA=ZABEt

•.•力MP=ZAMB、

.■J80°-（ZCDA+NOM尸）=180。一（ZABE+ZAMB）,即4DPM=ZBAM=60°,

13

在8P上取一点产，使PF=PD，则△。尸尸是等边三角形,

DF=DP,/PDF=NDFP=60°=ZAD8,

:2BDF=/PDA,

:.ADBF出ADAP(SAS),

;.BF=AP,

;.AP+PD=BF+PF=BP,故(3)正确；

"BFD=ZAPD，

.J80°-/BFD=180°-ZAPD，即ZAPC=/DFP=60°,

♦;NEPC=/DPF=&T.

:.ZAPC=/EPC=60。,

「.CP平分/APE,故(4)正确.

综上所述，(1)(3)(4)(5)正确，

故选：C.

题型三等腰（等边）三角形的性质和判定综合问题（共5小题）

11.（2526八年级上陕西安康期末）如图，在四边形人BCD中，人。〃8C,点石为边。。上一点,

AE,鸵分别平分/DAB,/CBA,延长AE交8C的延长线于点尸.

⑴求证：是等腰三角形；

（2）若AO=2,3C=4,求A8的长.

【答案】（1）见解析

（2）6

【分析】（1）由4£>〃8C,得/ZM8+ZA8c=180。，因为,

14

ZABE=NCBE=；/ABC,所以/五+N4BC）=90。，则ZAEB=/FEB=90。，而BE=BE，

22

可根据“ASA”证明比△阳E,得即可解答；

（2）由全等三角形的性质得AE=在，由AO〃8C,得/。=/比户，而ZAED=NFEC,可根据

“AAS”证明A4皮以△FEC,得AO=R7=2,即可解答.

【详解】（1）证明：•.•AO||BC,

ND48+NABC=180。，

•/AE,的分别平分ND48,NCBA,

ZDAE--ZDAD,ZABE-^CDE--Z.ABC,

22

NFEB=NBAE+/ABE=g(/DAB+ZABC)=90°,

:.ZAEB=ZFEB=90°,

在石和△FAE中,

NABE=NFBE

BE=BE

ZAEB=/FEB

zXABE^AFBE(ASA),

：.AB=FB，

「•△AB尸是等腰三角形；

(2)解：由(1)得"5~△阳E,

.\AE=FE,

•••AD\\BC,

：2D=4ECF,

在△4瓦)和△EEC中，

/AED=NFEC

/D=/ECF,

、AE=FE

.•.zMED^AFEC(AAS),

/.AD=FC=2♦

BC=4,

.\AB=FB=FC+BC=2+4=6,

的长是6.

15

12.(25-26八年级上•贵州遵义•期末)如图，在RtZXABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点。是边8c上

的一个动点(不与8、C重合).连接A。，以点A为直角顶点，以AO为一边作使AD=AE,

边DE交AC于EF.

⑴求证：AABI汪AACE；

(2)若加=2,求CE的长：

(3)若点。是3C的中点，试判断。尸与4c是否垂直？请说明理由.

【答案】(1)见解析；

(2)CE=2；

(3)D尸」AC,理由见解析.

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应

用是解题的关键.

(I)先证明N8AD=NC4E,然后通过“SAS”证明AA皿江△人CE即可；

(2)通过全等三角形的性质即可求解；

(3)由点。是3C的中点，AB=AC,N8AC=90。，则有AO工6C,ZABC=ZACB=45°,再求出

ZADE=45°,则有NC£＞尸=45。，最后通过三角形内角和定理即可求解.

【详解】(1)证明：•・•N84C=/D4E=90。，

工ABAD+ZCAD=ZC4E+ZCAD=90°,

，Z/?AD=ZC4E,

在△48。和/MCE中，

AB=AC

/BAD=NCAE,

AD=AE

・••AAAD^ACE(SAS)；

(2)解：由(l)得：4瓯94ACE、

：.CE=BD=2；

(3)解：DFJ.AC,理由：

如图，

16

A

E

C

D

•••点。是8c的中点，AB=AC,N84C=90。，

/.ADIBC,ZABC=ZACB=45°,

・•・zS4DC=90°,

VAD=AE,^DAE=90°,

・•・ZA£>£=45°,

・•・/CDF=ZADC-ZADE=90°-45°=45°,

・•・ACFD=1800-ZCDF-CD=180°-45°-45°=9()°,

・•・DF1AC.

13.(25-26八年级上•湖北荆门•期末)NABC.△/用E都是等边三角形.

(1)如图1,当C、B、E在一条直线上时，求证：AE=CD；

(2)如图2,将△O8E绕着点8旋转，CO延长线与AE交于点尸，则乙4尸C的度数是多少？为什么？

(3)如图3,当△/)班;的边长为4,且NAEC=I2O。时，若G为AC边的中点，求EG的长.

【答案】(1)见解析

(2)60°

(3)2

【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用.

(I)证明V/W比VCAD(SAS),即可得证；

(2)同理可得VA3E0VC3£>(SAS),根据三角形的内角和定理，即可求解；

(3)延长4EC。交于点延长EG至H,使得G〃=EG,同理可得VA8E史CBD(SAS)得出

AE=CD,ZBAE=/BCD,进而证明△EWC是等边三角形，得出NECM=60。，证明

△47庄屋的”(SAS)得出NA£G=NGHC,即可证明4E〃C〃，得出NEC"=NEC。=60。，进而证明

17

△ECD^AECH(SAS),得出硝=ED=4,即可求解.

【详解】(1)证明：・・・VA8C、AOBE都是等边三角形，

AB=BC,EB=DB、NABC=NEBD=60°,

・•・ZABE=4CBD,

・•・VABE^VCBD(SAS),

/.AE=CDx

(2)解：ZAFC=60°,理由如下，

YVABC、△O8E都是等边三角形，

...AB=BC,EB=DB,NABC=NEBD=60°,ZCAB=ZACI3=6CQ，

・•・ZABE=ZCBD=60°-ZABD,

.•・VABE^VCBD(SAS),

：,±EAB=/DCB，

设/E4B=N£)CE=a,

ZCAF=ZCAB+ZBAF=6()0+a,NACF=NACB-NDCB=60。-a,

ooo

・•・ZAFC=l80°-ZC4F-ZACF=180-(604-a)-(60-a)=60°;

(3)解：如图所示，延长4£a)交于点“，延长EG至〃，使得G〃=EG,

图3

同理可得VABEACBO(SAS),

AAE=CD,NBAE=/BCD,

AZAMC=600-ZZME.ZACM=60°+ZBCD,

AZA/=I8O°-ZA^4C-ZMC4=6O°,

又；ZAEC=120°,

・•・ZCEM=60°,

・•・ZA/=ZCEM=60°,

・•・NEMC是等边三角形,

，Z.ECM=60°,

18

•・・G为4c边的中点,

・•・AG=GC,

又；ZAGE=ZCGH,

.•・AAG£^ACG/7(SAS),

:・AE=CH,ZAEG=NGHC,

:,CD=CH,AE//CH,

・•・ZECH=I8O°-ZAEC=6O°,

/./FCH=/ECD=60。，

又：EC=EC,

：.A£CD^AECH(SAS),

,EH=ED=4,

EG=-EH=2.

2

14.(24-25七年级下.山东济南•期末)如图，在VA8C中，AB=AC,N8AC=a(0。vav6(F),射线

CM交线段A3于点。，作点A关于射线CM的对称点P.直线AP与直线AC交于点Q,与射线CM交于

点H,连接CP交A8于点E.

(1)如图1,当点P位于直线8C上时，ZAPC=。(用含。的代数式表示)：

(2)如图2,当4QC=a时，判断PQ与Q8的数量关系，并说明理由：

(3)如图3,当CP_LA4时，连接肝，若47=2,BP=y/5,贝1AC=.

【答案】(1)45。+2。

4

(2)PQ=QB,理由见解析

(3)729

【分析】(1)设=根据轴对称的性质得出NPAC=4PC=x,从而得出

ZPAB=ZPAC-ZBAC=x-a,根据等边对等角得乙仍。=⑦=90。一，a,由

2

ZAPC+ZPAB=ZABC列出方程x+x-a=90。—：a,求解可得答案；

19

(2)证明△CPQ0AA5Q(ASA),根据全等三角形的性质可得结论；

(3)在C〃上截取b=连斐AF,证明△AC/0A84P(SAS),得AF=BP=6根据勾股定理得出

W的值，进而再根据勾股定理得出结果.

【详解】(1)解：设NA0C=x,

•・•点A与点。关于射线CM对称，ZBAC=a(0°<a<60°),

・•・AC=CP,

・••ZPAC=ZAPC=x,

・•・ZPAB=ZPAC-ZBAC=x-a,

VAB=AC,ZBAC=a,

・•・NABC=N4CB=g(180O-a)=900-ga,

*/ZAPC+ZPAB=ZABC,

/.x+x-a=90°-a，

2

x=45°+—tz,

4

：.ZAPC=45°+-a；

4

(2)解：PQ=QB.

理由：由(I)知：ZA5C=90°

2

IAAQC=a,

|3

・•.Z.PAB=N4BC-NAQC=90°--a-a=90°,

，ZAPC=ZPAC=ZBAC+ZPAB=a+90°--a=90°--a,

22

/.ZAPC=ZABC,

・•・180。一ZAPC=180。一ZA3C,

・•・^CPQ=ZABQ,

'：ABEC=ZAEP,

：.180o-ZABC-ZBEC=180°-Z4PC-Z4EP,

即NPCQ=NBAQ,

VAB=AC,AC=CP,

：,CP=AB,

在©。和AABQ中，

20

/PCQ=ZBAQ

CP=AB,

/CQP=NAQ8

.•・Q跳△ABQ(ASA),

工PQ=QB；

在C”上截取CF=AP,连接A尸，

•・•点A与点产关于射线CM对称，47=2,BP=5

AZA//D=90°,AC=CP,CF=AP=2AH=4,

・••ZACF=ZPCH,

CPIAB,

・•・ZDEC=90°=ZA//D,

*/ZADH=ZCDE,

・•・乙BAP="CH,

・•・ZACF=ZBAP.

在△ACF和△B/1P中，

AC=BA

,ZACF=ZBAP,

CF=AP

A4AS),

KF=BP=&

:.FH=SIAF2-AH2=/用-2?=1,

：.CH=CF+FH=4+1=5,

：・AC7cH2+AH?=V52+22=V29•

15.(25-26八年级上•福建泉州•期末)如图，VA8C和VA/花都是等腰三角形，A8=AC,AO=AE,且

ZBAC=ZDAE,连接40、CE.

21

A

⑴如图I,求证：BD=CE；

(2)如图2,已知点。在BC边上，ZBAC=ZmE=IO8°,BC=\2.若/为上的一点，旦

ZMD+ZE4C=54°,求△EAC的周长；

(3)如图3,已知/胡。=/04石=120。，点。为4。的中点，过点。作。。的垂线Q”(点，在BC上

方)，连接。〃、AH.当ND8C=NAC〃时，试求的度数.

【答案】(1)见解析

⑵12

(3)60°

【分析】(I)先证明〃48=NE4C,证明哙“EQSAS)即可得到结论；

(2)由(1)可知，^ADB^^AEC,得到8O=CE,NB4£>=NC4E,证明ND4〃=N£4尸，得到"垂

直平分OE,证明。尸=所，4FC=EF+Cr+Cf=OF+b+8D=BC即可得到答案；

(3)延长。。至点G,使得QQ=GQ,连接GC,DH,GH,EH,证明ABO绘ACGQ(SAS),求出

1QAO—/RAC

ZABC=ZACB=-=30°,证明△GCH纥AS),证明A"垂直平分Of,即可求出

2

功4〃的度数为60。.

【详解】(1)解：•.•NH4C=ND4E,

」.ZBAC-ZBAE=ZDAE-/BAE,

即ZDAB=ZEAC,

在△AZ)B和△A£C中，

AD=AE

NDAB=NEAC

AB=AC

.2。的"C(SAS),

/.BD=CE:

(2)解：同(1)可得，AADB注AAEC,

BD=CE,ABAD=ZCAE.

•//B4D+NE4c=54。，

...ZCAE+ZFAC=AEAF=54°,

22

ADAF=ZDAE-ZEAF=108°-54°=54°,

即ADAF=/EAF.

又VADE是等腰三角形

・•・4•垂直平分OE，

:.CSEFC=EF+CF+CE=DF+CF+BD=BC=\2

即AEFC的周长是12；

(3)解：如图，延长。Q至点G,使得OQ=GQ,连接GC,DH,GH,EH,

为中点,

BQ=CQ.

•.•在△4。。和ACG。中,

DQ=GQ

</BOD=ZCQG,

BQ=CQ

.•.△B£)2=ACGe(SAS),

NDBC=NGCB,BD=CG.

ZDBC=ZACH,

;.NGCB=ZACH,

•,zfiAC=I20°MB=AC,

NA8C=ZACB==3()O,

2

...ZABD+ZDBC=30°,

同(1)可得，△ADBgAAEC,

NABD=ZACE,BD=CE,

又/DBC=ZACH,

...ZECH=ZACE+ZACH=ZABD+NDBC=30°,

/.ZACB=NECH,

/.ZACB-ZACH=ZECH-ZACH,即N"CQ=NEC4,

ZHCQ+NGCB=ZEC4+ZACH,

即/ECH=NGCH,

23

BD=CG,BD=CE,

;.CG=CE,

•••在△GCH和△EC”中，

CG=CE

<GCH=ZECH,

CH=CH

:AGCHAECH(SAS),

:.HG=HE,

•••DQ=GQ,NDQH=90。,

：.HD=HG,

:.HD=HE,

y.-：AD=AE,

4/垂直平分DE,

/.ZDAH=ZEAH=-/DAE=60.

2

即少4”的度数为60。.

题型四等腰（边）三角形中的新定义型问题（共5小题）

16.（24-25八年级下.广东中山.期末）定义：在VA3C中，BC=a,AC=b,AI3=c,若则

称VA8C为“类直角三角形”.请根据以上定义解决卜列问题：

⑴如1图，VABC为等边三角形，请判断该三角形是否为“类直角三角形”，并说明理由；

（2）如2图，等腰三角形VA3C为“类直角三角形"，其中AC=8C,AB>AC,请求出N8的大小.

【答案】（1）等边三角形小是“类直角三角形”，理由见解析；

⑵N8的度数为45。.

【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、等边三角形的性质、勾股定理、”类勾股三角形”

的定义等知识.

（1）设等边三角形的三边长分别为a,b,c,则a=6=c,根据题意得到/+而=C2+C2=2C：HC2,即可

判断；

24

(2)根据题意得到艰据“类勾股三角形，，的定义得到一二0,得到VA8C是等腰直角三角形,

根据等腰直角三角形的定义求出NB.

【详解】(1)等边三角形不是“类直角三角形”，理由如下：

设等边三角形的三边长分别为a,b,c,则a=b=c,

a1+ab=c2+c2=2c~*(?,

，等边三角形不是“类直角三角形”；

⑵丁等腰三角形V/WC是“类直角三角形"，AC=BC,A13>AC,

:.a2+ab=c2，且方=。.

a2+b2=c2•

・・・VA8C是直角三角形，且NC=90。.

又'：b=a,

・•・V48c是等腰直角三角形.

:.的度数为45。.

17.(24-25八年级上•江苏扬州•期末)定义：在VA4C中，若改?=a,AC=b,AB=c,a、Ac满足

ac^-a2=b2,则称这个三角形为“类勾股三角形请根据以上定义解决下列问题：

(1)如图1所示，若等腰三角形八5。是“类勾股三角形“，AB=BC,AC>AB.求/A的度数.

(2)如图2所示，在VA8C中，N8=2NA,且NC>NA.求证：V48c为“类勾股三角形”.小明同学想到

可以在A8上找一点。使得AP=C。，再作C£_LQ.

①探索△C"的形状并说明理由.

②请你帮助小明完成证明过程.

【答案】(1)NA=45。；

(2)①等腰三角形，理由见解析；②见解析

【分析】(1)根据等腰三角形的性质，结合”类勾股三角形''的定义得到VA8C是等腰直角三角形，由此即

可求解：

(2)①根据等边对等角得到NA=NACD,由三角形外角的性质得到NCO8=NACD+NA=2ZA,结合题

意得到NCZ)B=N8,根据三角形的定义即可求解：

②根据等腰三角形的性质得到OE=8E=g(c-a),AE=AD+DE=^(c+a)t在Rt~4CE中，

25

CE?=4C2-八/2=叫*+。)［，在RlBCE中，。心心-*_快一川，由此得到

结合“类勾股三角形”的定义即可求解.

L2V］L2.

［详解］(I)解：TABUBC,AC>AB,

，a=c,b>c,

•.•△ABC是类勾股三角形，

/.ac+a2=从，

:.c'+n2=b2.

.•.△ABC是等腰直角三角形，

/.ZA=45°；

(2)解：①等腰三角形，理由如下：

•/AD=CD,

：.ZA=ZACD，

Z.CDB=ZACD+NA=2ZA,

•.•NB=2ZA，

“CDB=NB,

.•.△CD8是等腰三角形

②由①得CO=C8=a,

AD=CD-a，

：.DB=AB-AD=c-a,

•JCEIAB,

..DE=BE=^(c-a),

...AE=AO+OE=；(c+a)

->2

在RIAACE中，CE2=AC?_AE2=/_；(c+")，

—2

在Rt.BCE中，CE2=3C2_8E2=/_；(c_a)，

tr-g(c+a)="-，

=ac+a~»

「.△ABC是“类勾股三角形”♦

18,(25-26八年级L河南南阳•期末)定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成

26

的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割

线已知在VA8C中，=AC,点。在边AC上.

⑴如图1,如果3£)=3C,求证：是VA8C的“等角分割线”；

(2)皿图2,如果8O_L4C,且瓦)是VA3C的“等角分割线”，求NC的度数.

【答案】(1)见解析

(2)ZC=67.5°

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理等知识点.

(1)由等边对等角得到NABC=/C,4BDC=/C,则NABC=N8OC,再由三角形的外角性质即可求

证；

(2)先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到NA=180c-2NC,再由外角性质得到

Z^BD=2ZC-90°,ZDBC=90c-ZC,然后再分类讨论即可.

【详解】(1)证明：•・•A8=AC,

・•・ZABC=ZC,

•/BD=BC,

，ABDC=/C,

・••公BC=/BDC,

•••ZABC=Z.ABD+ZDBC/BDC=ZA+ZABD,

ZABD+NDBC=ZA+ZABD,

/.ZA=NDBC,

・•・B。是VA8C的”等角分割线”；

(2)解：,：AB=ACf

JZABC=ZC,

■:ZA+ZABC4-ZC=180°,

:.ZA=180°-2ZC,

*/BDLAC,

27

/.ZBDC=90°,ZBDA=90°,

•・•ABDC=ZA+ZABD,ZBDA=ZDBC+ZC，

JZABD=ZBDC-ZA=90°-（180°-2ZC）=2ZC-90°.NDBC=900—/C，

*/6。是V48C的“等角分割线”,

，①=18O0-2ZC=2ZC-9O°,

解得：ZC=67.5°；

②Z4=NO4C,180°-2ZC=90°-ZC,

解得：/C=90。（舍去），

综上：ZC=67.5°.

19.（25-26八年级上•黑龙江牡