小升初复习：追及问题专题复习教学设计（人教版六年级数学下册）

小升初复习：追及问题专题复习教学设计（人教版六年级数学下册）一、指导思想与理论依据本次专题复习课设计，深植于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，致力于实现从“知识传授”到“素养生成”的转变。课程设计遵循“学为中心”的理念，强调“结构化教学”与“模型意识”的培养。我们认为，复习课不应是简单的基础知识重现和机械训练，而应是帮助学生实现知识体系“再建构”、思维能力“再提升”的关键环节。因此，本课以“追及问题”为载体，旨在通过创设真实问题情境，引导学生经历“回顾与梳理—探究与建模—迁移与应用—反思与升华”的完整学习闭环。教学中，我们注重渗透“数形结合”思想，强化“几何直观”，让学生在画图、列表、推理中自主发现数量关系，深刻理解“速度差×追及时间=追及路程”这一核心模型的本质内涵与外延，最终实现“做一题，会一类，通一片”的教学效果，为学生的初中学段理科学习奠定坚实的思维基础。二、教学背景分析（一）教材分析“追及问题”是小学数学“行程问题”这一经典模块中的重要组成部分，也是小升初考试中的高频考点和难点。在人教版教材的编排体系中，追及问题并非作为一个独立的单元出现，而是分散在“整数应用题”、“小数应用题”以及“列方程解应用题”等章节中逐步渗透。本次复习课旨在打破单元界限，将小学阶段涉及的追及问题进行系统整合。该内容不仅是对速度、时间、路程三者基本数量关系的深化应用，更是从“相向运动（相遇）”到“同向运动（追及）”的思维拓展。它承载着培养学生多角度思考问题、构建数学模型、发展逻辑推理能力的重要功能，是连接小学算术思维与初中代数思维的重要桥梁【非常重要】。（二）学情分析六年级学生即将面临小升初，他们已经掌握了基本的整数、小数四则运算，具备了初步的阅读理解能力和分析能力。对行程问题中的基本数量关系（速度×时间=路程）有了一定认识，部分学生能够解决简单的追及问题。然而，由于追及问题涉及的运动过程相对抽象，变量较多，学生往往存在以下学习障碍：1.模型混淆：容易将追及问题与相遇问题的数量关系混淆，面对具体问题时，判断不准题型，盲目套用公式【难点】。2.数形脱节：虽然知道画线段图的重要性，但实际解题时懒于画图，或者画图不规范，无法通过图形直观地揭示出“路程差”这一核心要素，导致解题思路不清【基础】。3.思维定式：对于稍复杂的变式问题（如不同时出发、中途停留、环形跑道等），缺乏灵活分析的能力，难以将新情境转化为标准的追及模型【高频考点】【热点】。4.策略单一：习惯于用算术法“硬算”，对于较复杂的题目，不能自觉运用方程思想，通过设未知数找等量关系来简化思维难度。三、教学目标基于核心素养导向，设定本课教学目标如下：1.知识与技能：理解并熟练掌握追及问题中的基本数量关系：追及路程（路程差）=速度差×追及时间。能准确识别追及问题的结构特征，并能运用公式或列方程解决生活中简单的实际问题及常见的变式问题。2.过程与方法：通过画线段图、列表、演示等方式，经历追及问题模型的建构过程，感悟“数形结合”思想在解决实际问题中的作用，提高分析问题和解决问题的能力，特别是将复杂问题转化为基本模型的能力。3.情感态度与价值观：在解决实际问题的过程中，体会数学与生活的紧密联系，增强应用意识。通过挑战稍有难度的问题，培养克服困难的意志品质，建立学习自信心，形成严谨求实的科学态度。四、教学重难点【教学重点】掌握追及问题的基本结构及核心公式（追及路程=速度差×追及时间），并能运用该模型解决基本的同向追及问题。【教学难点】1.正确理解“追及路程（路程差）”的含义，能在线段图上准确标示并找出这一关键量。2.灵活运用公式解决不同出发时间、不同起点以及环形跑道等复杂情境下的追及问题，实现模型的迁移与应用。五、教学准备教师准备：多媒体课件（包含动态追及过程演示动画）、微课视频、精心设计的导学案。学生准备：直尺、铅笔、橡皮、草稿纸。六、教学实施过程（一）创设情境，唤醒经验——引入“追及”（课堂伊始，教师利用多媒体播放一段短视频：校运会上，进行中的长跑比赛，跑在最前面的两名同学之间距离逐渐缩小，最终并排，然后其中一人实现反超。）师：同学们，看完这段视频，你有什么感受？在体育竞技中，我们经常看到这样激动人心的反超场面。在数学的世界里，我们把这种运动现象叫做什么？生：（预设）追及问题。师：非常好！追及问题不仅是赛场上的精彩瞬间，也是我们小升初复习中必须攻克的一个重要堡垒【高频考点】。今天，我们就来系统梳理和专项突破——追及问题。（板书课题：小升初复习之追及问题专项训练）设计意图：通过学生熟悉的真实生活场景引入，迅速拉近数学与生活的距离，激发学生的学习兴趣和共鸣，唤醒学生对“追及”这一运动形式的已有认知，为后续的系统复习营造良好的心理氛围。（二）回顾梳理，直击核心——建构“模型”1.基本要素回顾师：要解决追及问题，我们首先要明确，描述一个追及运动需要哪些关键要素？（师生互动，引导学生说出：快者速度、慢者速度、初始距离、追及时间，并板书）2.核心公式推导【核心公式】【基础】师：请大家看大屏幕（出示基础例题）。假设我（快者）和你（慢者）在一起赛跑，但由于某种原因，你先出发或者我让你先跑一段。请同学们闭上眼睛，想象一下，我怎样才能追上你？生：我比你跑得快。师：对，关键就是“快”。但光快还不够，还要看“快多少”。这个“快多少”就是我们说的？生：速度差。师：非常准确。现在，请看这个简单的场景（PPT动态演示）：兔子以每秒5米的速度在后面追，乌龟以每秒3米的速度在前面爬，它们一开始相距10米。请大家思考，兔子每秒能追上几米？生：每秒追上2米。（因为53=2米）师：这2米就是它们的速度差。也就是每秒可以缩短的距离。那么，要缩短这最初的10米距离，需要几秒？生：10÷2=5秒。师：非常好！现在我们一起来提炼一下公式。初始相距的路程，我们称之为“路程差”，也叫“追及路程”。它等于速度差乘以追及的时间。由此，我们得到追及问题的三大核心公式：（1）追及路程（路程差）=速度差×追及时间（2）追及时间=追及路程÷速度差（3）速度差=追及路程÷追及时间教师强调：这是整个追及问题的“基石”，无论题目如何变化，万变不离其宗。大家不仅要记住公式，更要理解公式背后的含义：速度差是单位时间内“追”的效率，追及时间是完成“追”这个动作所花的总时长，而追及路程则是我们需要“消灭”的初始差距。设计意图：通过师生互动和简单的动态演示，引导学生从具体情境中抽象出数量关系，亲历公式的推导过程，从而加深对核心概念（尤其是“速度差”和“路程差”）的理解，避免死记硬背。这是后续解决一切复杂问题的“根”。（三）专项训练，分层推进——深化“模型”本环节采用“一例一练，变式跟进”的方式，精选典型例题，层层深入，帮助学生内化知识。1.基础层：标准型追及——同地不同时【例题1】甲、乙两人从学校出发去图书馆。甲先出发，每分钟走60米，走了10分钟后，乙才骑自行车出发，每分钟骑150米。乙出发后经过多少分钟可以追上甲？【基础】【高频考点】【思维引导】：（1）请同学们用线段图表示出题目中的信息和问题。（学生独立画图，教师巡视指导，选取典型作品投影展示）（2）观察线段图，你能指出“追及路程”是哪一段吗？生：追及路程就是甲先走10分钟的路程，即60×10=600米。（3）为什么这是追及路程？因为当乙出发时，甲已经在乙前面600米了，乙要追上甲，就必须在相同的时间里比甲多走这600米。（4）现在问题变成了：乙每分钟比甲多走多少米？需要多少分钟才能多走这600米？【学生板演】：解：追及路程：60×10=600（米）速度差：15060=90（米/分）追及时间：600÷90=20/3（分钟）或6分40秒答：乙出发后经过20/3分钟可以追上甲。【归纳小结】：同地不同时的追及问题，追及路程等于先行者先走的路程。解题关键在于画图找出这个隐藏的路程差【重要】。2.提升层：不同地同时型【例题2】A、B两地相距60千米，甲车从A地出发，乙车从B地出发，两车同时同向而行（乙车在前，甲车在后）。甲车每小时行80千米，乙车每小时行65千米，几小时后甲车能追上乙车？【重要】【思维引导】：（1）这道题和上一题最大的不同是什么？生：出发地点不同，但出发时间相同。（2）请画图分析，此时“追及路程”又是哪一段？（学生画图，发现由于同时出发，一开始甲和乙之间就有距离，这个初始距离就是A、B两地的距离。）（3）对！初始距离就是60千米。甲要追上乙，就必须在相同的时间里，比乙多走整整这60千米。【小组合作完成】：追及时间=路程差÷速度差=60÷(8065)=60÷15=4（小时）答：4小时后甲车能追上乙车。【归纳小结】：两地同时同向追及，追及路程就是两地的初始距离。这与“同地不同时”虽然情境不同，但本质都是求“用速度差去弥补初始路程差所需的时间”【核心思想】。3.综合层：变形与辨析【例题3】（变式题）一辆客车和一辆货车同时从甲城开往乙城。客车每小时行80千米，货车每小时行60千米。4小时后，客车到达乙城，立即沿原路返回。客车从乙城返回后再经过几小时与货车相遇？【热点】【难点】【思维引导】：（1）这道题是单纯的追及问题吗？最后问的是“相遇”，是不是变成相遇问题了？（2）让我们一步步分析。先画图（PPT动态分步展示）。第一阶段：客车从甲到乙，用了4小时。此时货车走了多少？生：60×4=240千米。师：客车到达乙城时，货车距离乙城还有多远？生：80×460×4==80千米。或者(8060)×4=80千米。（3）第二阶段：客车到达乙城后返回，此时客车和货车是相对而行还是同向而行？生：客车从乙城往甲城走，货车从甲城往乙城走，它们是相对而行（相向而行）！师：没错！问题一下子从“追及”变成了“相遇”。此时的相遇路程是多少？生：就是客车刚到乙城时，它与货车的距离，也就是刚才算出的80千米。（4）那么，速度和是多少？生：80+60=140千米/小时。【学生独立完成第二阶段计算】：相遇时间=80÷(80+60)=80÷140=4/7（小时）答：客车从乙城返回后再经过4/7小时与货车相遇。【归纳小结】：复杂行程问题往往是“你中有我，我中有你”，不能死套公式。我们要学会分段思考，抓住关键节点（如“客车到达乙城”），分析该节点下两车的位置关系，从而判断下一刻的运动类型是“追及”还是“相遇”。这种“分段分析，动态转化”的能力是解决难题的关键【难点突破】【非常重要】。（四）拓展提升，挑战思维——超越“模型”【例题4】（环形跑道问题）一条环形跑道长400米，小明每分钟跑300米，小红每分钟跑250米。两人同时从同地同向出发，经过多少分钟小明第一次追上小红？【高频考点】【思维引导】：（1）请大家想象一下，在环形跑道上同向跑步，快的和慢的之间会发生什么现象？生：快的会追上慢的，而且会一圈一圈地套圈。（2）第一次追上时，小明比小红多跑了多少米？（小组讨论，结合动画演示理解）生：多跑了一圈，也就是400米。师：太棒了！这就是环形跑道（同向）追及问题的核心：从第一次追上到下一次追上，快者总是比慢者多跑一圈。因此，“多跑一圈”就是我们要找的“路程差”。【学生独立解答】：追及时间=路程差÷速度差=400÷()=400÷50=8（分钟）答：经过8分钟小明第一次追上小红。【变式拓展】：如果问“第二次追上需要多少分钟”？生答：16分钟。如果两人从同一地点反向出发，第一次相遇需要多少分钟？这又变成了什么问题？（相遇问题，路程和=一圈的长度）【归纳小结】：对于环形问题，首先要判断运动方向。同向追及时，路程差就是跑道周长（或周长的整数倍）；反向相遇时，路程和就是跑道周长。模型虽变，但追及和相遇的本质数量关系不变【核心思想】。（五）课堂小结，构建体系师：同学们，通过今天这节专项训练课，你对追及问题有了哪些新的认识？（学生畅所欲言，教师引导总结）（1）知识层面：我们再次强化了追及问题的核心公式：路程差=速度差×时间。（2）方法层面：我们体会到了“数形结合”的威力——线段图能帮我们清晰地找到路程差；我们还学会了“分段分析”，把复杂问题拆解成简单的基本模型。（3）思想层面：无论是“同时不同地”、“同地不同时”，还是“环形跑道”，其本质都是寻找那个需要被追上的“路程差”。只要抓住这个牛鼻子，一切问题迎刃而解。七、板书设计小升初复习：追及问题专项训练一、核心公式：路程差（追及路程）=速度差×追及时间└───────┘速度差=路程差÷追及时间追及时间=路程差÷速度差二、基本类型与“路程差”分析：1.同地不同时：路程差=先行路程2.两地同时：路程差=初始距离3.环形同向：路程差=跑道周长（第一次追上）4.复杂问题：分段分析→转化模型三、重要思想：数形结合（线段图）动态转化八、作业设计1.基础巩固题：甲、乙两人同时从相距5千米的两地背向而行（咦？这不是追及？请判断后再做），甲每小时行5千米，乙每小时行4千米，2小时后两人相距多少千米？（设计意图：逆向思维，辨析运动方向）2.综合应用题：一辆摩托车从甲地开往乙地，每小时行40千米，开出1小时后，一辆汽车也从甲地开往乙地，每小时行50千米，结果汽车比摩托车早到半小时到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？（设计意图：融入“早到”条件，需要转化思路，寻找隐藏的追及路程）3.拓展思考题：在一条笔直的公路上，小明骑自行车以300米/分的速度前进，小红以150米/分的速度迎面走来。在小明出发的同时，一只小狗以500米/分的速度在他们之间来回奔跑。当小明和小红相遇时，小狗一共跑了多少米？（设计意图：经典的“来回跑”问题，让学生思考“狗跑的时间”与“两人相遇时间”的关系，不纠缠于来回