七年级上册数学人教版 角讲练（解析版）（人教版）

专题4.3角典例体系（39页）一、知识点1.角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。2.角的表示：①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。3.用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°4.角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。1°=60’，1’=60”5.角的性质（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。（2）角的大小可以度量，可以比较（3）角可以参与运算。6.角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。7.余角和补角①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180°③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。二、考点点拨与训练考点1：钟面上的角度计算典例：（2020·福建宁化·初一期末）上午时，钟表的时针与分针的夹角为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵钟表中一圈有12个大格∴1个大格的对应的角度为360°÷12=30°∵时，时针与分针间有2个大格∴此时钟表的时针与分针的夹角为30°×2=60°故选B．方法或规律点拨此题考察的是求钟表的分针与时针的夹角问题，掌握钟表的特征和周角的定义是解决此题的关键．巩固练习1．（2020·全国单元测试）设时钟的时针与分针所成角是，则正确的说法是（）A．八点一刻时，是平角 B．十点五分时，是锐角C．十一点十分时，是钝角 D．十二点一刻时，是直角【答案】B【解析】解：A．分针一分钟走6度,时针是0.5度，8:15时,时针离"12点"的角度是:30×8+15×0.5=247.5度.分针行了15×6=90度.故二针的夹角是:247.5-90=157.5度，所以八点一刻时，是钝角；B．同理，十点五分时，是锐角；C．十一点十分时，是锐角；D．十二点一刻时，是锐角；故选B．2．（2020·内蒙古额尔古纳·期末）在上午八点半钟的时候，时针和分针所夹的角度是（）A．85° B．75° C．65° D．55°【答案】B【解析】解：如图，上午八点半钟时，时针和分针中间相差2.5个大格．

∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴上午八点半钟的时候，时钟的时针和分针所夹的角度是2.5×30°=75°．故选：B．3．（2021·湖南长沙·明达中学月考）若钟表分针走30分钟，则钟表的时针转（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为整个钟面12小时，时针每小时转，且30分钟等于小时，所以若钟表分针走30分钟，钟表的时针转的角度是，故选：B．4．（2020·浙江青田·初一期末）上午，时钟上分针与时针之间的夹角为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：9：30时针与分针相距3.5份，每份的度数是30°，

在时刻9：30，时钟上时针和分针之间的夹角（小于平角的角）为3.5×30°=105°．

故选：B．5．（2020·福建宁化·期中）某校七年级在下午5：00开展“阳光体育”活动，下午5：00时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于_______度．【答案】150【解析】因为分钟一分钟走6°，所以下午5：00时刻，时钟上分针与时针所夹的角为；故答案为150．6．（2020·浙江松阳·期末）上午8：25时，时钟的时针和分针的夹角(小于平角的角)度数是_______．【答案】102.5°【解析】∵分钟每分钟转动360°÷60=6°，时针每分钟转动360°÷12÷60=0.5°，

∴8：25时针和分针的夹角（小于平角的角）度数为：(8×30°+25×0.5°)-25×6°=102.5°．

故答案为：102.5°．7．（2020·全国单元测试）由2点30分到2点55分，时钟的时针旋转了________度，分针旋转了________度，此刻时针与分针的夹角是_________度【答案】12.5150117.5【解析】解：∵时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，又从2点30分到2点55分经过了25分钟，∴时钟的时针旋转了，时钟的分针旋转了．∵2点55分时时针距离3还有，分针指向11，中间相差3个数字，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，此时分针与时针的夹角是．故答案为12.5；150；117.5．8．（2020·全国单元测试）时钟的分针从4点整的位置起，顺时针方向转_______度时，分针才能第一次与时针重合．【答案】【解析】解：由题意得：分针每分钟走，时针每分钟走，则，解得，即经过分钟后，分针与时针重合，∴分针转了度．故答案为．10．（2020·湖北黄石·初一期末）如图，上午6：30时，时针和分针所夹锐角的度数是_____．【答案】15°【解析】∵时针12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°，

∴时针1小时转动30°，

∴6：30时，分针指向刻度6，时针和分针所夹锐角的度数是30°×=15°．

故答案是：15°．11．（2020·全国单元测试）钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成的角？分别是几点几分？【答案】钟面上从2点到4点有4次时针与分针夹成角，分别是2点整，2点分，3点分，3点分．【解析】解：共有4次时针与分针所夹的角为．根据时针与分针的速度可知分针比时针每分钟转动快．第1次正好为2点整；第2次设为2点分时，时针与分针的夹角为，则，解得；第3次设为3点分时，时针与分针的夹角为，则，解得；第4次设为3点分时，时针与分针的夹角为，则，解得．综上，钟面上从2点到4点有4次时针与分针夹成角，分别是2点整，2点分，3点分，3点分．考点2：方位角及其应用典例：（2020·全国单元测试）如图所示，点表示城，点表示城．（1）如果城在城的南偏西方向，请画出从城到城方向的射线；（2）如果城在城的北偏东方向，在城的南偏东方向，请确定城的位置．（用点表示）要求：不写画法，保留画图痕迹，写出结论．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）以城为观测中心，画出南偏西方向，就是从城到城方向的射线，如图所示，射线AB即为所求；（2）以城为中心，画出北偏东方向，以城为中心，画出南偏东方向，两个方向的交点处，就是城，如图所示，城即为所求．方法或规律点拨此题考查的是根据方位角画图，掌握方位角的定义是解决此题的关键．巩固练习1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）如图所示，射线OP表示的方向是（）A．东偏北65° B．北偏东25° C．北偏西65° D．北偏东65°【答案】D【解析】解：90°-25°=65°，则射线OP表示的方向是北偏东65°．故选：D．2．（2019·河北涿鹿·期末）如图，点A位于点O的A．南偏东35°方向上 B．北偏西65°方向上C．南偏东65°方向上 D．南偏西65°方向上【答案】B【解析】解：由图可得，点A位于点O的北偏西65°的方向上．故选B．3．（2020·全国单元测试）射线位于北偏东方向，射线位于南偏东方向，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】．故选A．4．（2020·哈尔滨工业大学附属中学校初一开学考试）某人在点处看点在北偏东的方向上，看点在北偏西的方向上，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由题意可作如图所示：．故选B．5．（2020·全国课时练习）如图所示，由点A测点B的方向是（）A．南偏东38° B．南偏东52°C．北偏西38° D．北偏西52°【答案】A【解析】根据图上的信息以及方位角的定义，B点在A点南偏东．故选：A．6．（2020·全国课时练习）若点B在点A北偏东30°处，点C在点A南偏东40°处，那么的度数是（）A．70° B．80°C．100° D．110°【答案】D【解析】．故答案选D．7．（2020·山东单县·初一期末）如图，是表示北偏东方向的一条射线，则的反向延长线表示的是（）A．北偏西方向上的一条射线 B．北偏西方向上的一条射线C．南偏西方向上的一条射线 D．南偏西方向上的一条射线【答案】D【解析】如图，根据对顶角相等可知∠2=55°，再根据余角的性质可得∠1=35°，∴的反向延长线表示的是：南偏西55°方向上的一条射线或西偏南35°方向上的一条射线．故选：D．8．（2020·全国单元测试）若从点看点的方向是南偏东，那么从点看点的方向是_______．【答案】北偏西【解析】因为从点看点的方向是南偏东，所以从点看点的方向是北偏西；故答案为北偏西．9．（2020·全国单元测试）、两个城市的位置如图所示，那么城在城的_______方向．【答案】北偏东【解析】解：由图可知：城在城的北偏东90°－60°=故答案为：北偏东．10．（2020·全国单元测试）根据图填空：点A在点O的______________方向，点C在点O的______________方向．【答案】东偏北50°西南【解析】在图中找到A点和C点位置，然后根据方向和偏角可得：点A在点O的东偏北50°方向，点C在点O的西南方向．故答案为：东偏北50°；西南．11．（2020·辽宁北镇·期末）如图，直线与相交于点，，且平分，若，则的度数为_____．【答案】20º．【解析】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，又∵∠AOE＝40°，∴∠AOF＝180°−40°＝140°，又∵OC平分∠AOF，∴∠AOC＝12×140°＝70°，∴∠BOD＝180°−90°−70°＝20°．故答案为：20°．考点3：角的运算典例：（2020·巨野县育才实验学校初一月考）计算：（1）（2）180º-（34º55′+21º33′）【答案】（1）；（2）123°32′【解析】解：（1）；（2）原式=180°-55°88′

=179°60′-56°28′

=123°32′；方法或规律点拨本题考查了度分秒的换算：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．巩固练习1．（2020·全国初一课时练习）计算：的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】．故选：B．2．（2020·全国单元测试）（1）已知，，则_______；（2）已知，，则_______．【答案】【解析】解：（1）（2）故答案为：，．3．（2020·全国单元测试）计算：________________；________________．【答案】【解析】解：故答案为：；．4．（2020·湖南雨花·初一期末）计算：48°37'+53°35'＝_____．【答案】【解析】48°37'+53°35'=101°72'=.5．（2020·全国初一课时练习）计算：90°﹣18°35'＝__．【答案】【解析】解：90°-18°35'=71°25′．故答案是：71°25′．6．（2020·内蒙古杭锦后旗·初一期末）计算30°52′+43°50′=______【答案】74°42′【解析】解：30°52′+43°50′=73°102′=74°42′故答案为：74°42′．7．（2020·全国单元测试）（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）原式．（2）原式．（3）原式．（4）原式．考点4：与三角板有关的角度计算典例：（2020·湖南天心·长郡中学初一期末）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠D＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OE在射线OA上，另一边OD与OC都在直线AB的上方．（1）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OD恰好平分∠BOC．①此时t的值为；（直接填空）②此时OE是否平分∠AOC？请说明理由；（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠DOE？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠DOB？请画图并说明理由．【答案】（1）①3，②是，理由见解析；（2）t＝5秒或69秒时，OC平分∠DOE；理由见解析；（3）经秒时，OC平分∠DOB．画图说明理由见解析．【解析】（1）①∵∠AOC＝30°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝150°，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD＝BOC＝75°，∴t＝；故答案为3；②是，理由如下：∵转动3秒，∴∠AOE＝15°，∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝15°，∴∠COE＝∠AOE，即OE平分∠AOC．（2）三角板旋转一周所需的时间为＝＝72（秒），射线OC绕O点旋转一周所需的时间为＝45（秒），设经过x秒时，OC平分∠DOE，由题意：①8x﹣5x＝45﹣30，解得：x＝5，②8x﹣5x＝360﹣30+45，解得：x＝125＞45，不合题意，③∵射线OC绕O点旋转一周所需的时间为＝45（秒），45秒后停止运动，∴OE旋转345°时，OC平分∠DOE，∴t＝＝69（秒），综上所述，t＝5秒或69秒时，OC平分∠DOE．（3）如图3中，由题意可知，OD旋转到与OB重合时，需要90÷5＝18（秒），OC旋转到与OB重合时，需要（180﹣30）÷8＝（秒），所以OD比OC早与OB重合，设经过x秒时，OC平分∠DOB，由题意：8x﹣（180﹣30）＝（5x﹣90），解得：x＝，所以经秒时，OC平分∠DOB．方法或规律点拨本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，关键是根据线的运动得到角的等量关系，然后根据题意列出式子计算即可．巩固练习1．（2020·全国单元测试）用两个三角板（一个是，一个是）不可能画出的角度是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：因为三角板的度数：30°，60°，90°，45°，45°，90°．可以画出的角度是：15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，180°．∴不可能画出的角度是115°；故选：B．2．（2020·山东莘县·期末）如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合与点O，若∠DOC＝28°，则∠AOB的度数为（）A．62° B．152° C．118° D．无法确定【答案】B【解析】解：∵∠COB＝∠DOB﹣∠DOC＝90°﹣28°＝62°，∴∠AOB＝∠AOC+∠COB＝90°+62°＝152°．故选：B．3．（2020·湖北荆州·月考）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A．30° B．25°C．20° D．15°【答案】B【解析】根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，4．（2020·山西浑源·初一期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1=27°40′，∠2的大小是()A．27°40′ B．57°40′C．58°20′ D．62°20′【答案】B【解析】∵∠1=27°40′，∴∠CAE=60°-27°40′=32°20′，∴∠2=90°-32°20′=57°40′.故选B.5．（2020·全国初一课时练习）如图，将两块三角尺AOB与COD的直角顶点O重合在一起，若∠AOD=4∠BOC，OE为∠BOC的平分线，则∠DOE的度数为（）A．36° B．45° C．60° D．72°【答案】D【解析】∵∠AOB=90°,∠COD=90°，∴∠AOB+∠COD=180°，∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠BOC+∠BOD

，∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD=180°

，∴∠AOD+∠BOC=180°，∵∠AOD=4∠BOC，∴4∠BOC+∠BOC=180°，∴∠BOC=36°，∵OE

为

∠BOC

的平分线，∴∠COE=∠BOC=18°，∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−18°=72°，故选D.6．（2020·广西平桂·期末）如图，将一副三角板叠放一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOD+∠COB的度数为___________度．【答案】180【解析】∠AOD+∠COB=∠COD+∠AOC+∠COB=∠COD+∠AOB=90°+90°=180°．

故答案是：180．7．（2020·广东省汕头市潮阳区铜盂中学初三月考）如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，且∠AOB＝155°，则∠COD＝_____．【答案】25【解析】∵△AOD与△BOC是一副直角三角板，∴∠AOD+∠COB＝180°，∴∠AOC+2∠COD+∠BOD=∠AOB+∠COD=180°．∵∠AOB＝155°，∴∠COD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣155°＝25°．故答案为25．8．（2020·全国单元测试）将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的形状，若∠AOD=127°，则∠BOC=_______．【答案】53°【解析】∵∠AOB=∠COD=90°∴∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=180°即∠AOD+∠BOC=180°∵∠AOD=127°∴∠BOC=53°，故答案为：53°．9．（2020·全国单元测试）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB＝_____．【答案】180°【解析】∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，∴∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠BOC+∠BOD，又∵∠BOC+∠BOD=∠COD，且∠AOB=∠COD=90°，∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°．10．（2019·广东郁南·初一期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；（2）若∠DCE=30°，求∠ACB的度数；（3）猜想：∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系，并说明理由．【答案】（1）∠ACE=∠BCD；（2）150°；（3）∠ACB+∠DCE=180°，见解析【解析】解：（1）∠ACE=∠BCD，理由如下：∵∠ACE+∠DCE=90°，∠BCD+∠DCE=90°，∴∠ACE=∠BCD；（2）由余角的定义，得∠ACE=90°﹣∠DCE=90°﹣30°=60°，由角的和差，得∠ACB=∠ACE+∠BCE=60°+90°=150°；（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：由角的和差，得∠ACB=∠BCE+∠ACE，∠ACB+∠DCE=∠BCE+（∠ACE+DCE）=∠BCE+∠ACE=180°．11．（2020·全国初二课时练习）将一副三角尺叠放在一起：（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数；（2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数．【答案】（1）∠CAE＝18°；（2）∠ACD＝120°．【解析】解：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝4∠2，∴4∠2+∠2＝90°，∴∠2＝18°，又∵∠DAE＝90°，∴∠1+∠CAE＝∠2+∠1＝90°，∴∠CAE＝∠2＝18°；（2）∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠BCD+∠BCE＝60°，∴∠ACE﹣∠BCD＝30°，又∠ACE＝2∠BCD，∴2∠BCD﹣∠BCD＝30°，∠BCD＝30°，∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°．12．（2019·河北涿鹿·期末）把一副三角板的直角顶点O重叠在一起．（1）问题发现：如图①，当OB平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是；（2）拓展探究：如图②，当OB不平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是多少？（3）问题解决：当∠BOC的余角的4倍等于∠AOD时，求∠BOC的度数．【答案】（1）180°；（2）180°；（3）60°．【解析】解：（1）∵OB平分∠COD，∴∠BOC=∠BOD=45°．∵∠AOC+∠BOC=45°，∴∠AOC=45°，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=45°+90°+45°=180°．故答案为180°；（2）∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=90°+90°=180°；（3）∵由（1）、（2）得，∠AOD+∠BOC=180°，∴∠AOD=180°﹣∠BOC．∵∠AOD=4（90°﹣∠BOC），∴180°﹣∠BOC=4（90°﹣∠BOC），∴∠BOC=60°．13．（2020·广东东莞·初一期末）直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD．（1）在图1中，若∠BCE＝40°，∠ACF＝；（2）在图1中，若∠BCE＝α，∠ACF＝（用含α的式子表示）；（3）将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，若∠BCE＝150°，试求∠ACF与∠ACE的度数．【答案】（1）20°；（2）；（3）∠ACF＝75°，∠ACE＝120°【解析】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠BCE＝40°，∴∠ACD＝180°-90°-40°＝50°，∠BCD＝180°-40°＝140°，又CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠BCF＝∠BCD＝70°，∴∠ACF＝∠DCF-∠ACD＝70°-50°＝20°；故答案为：20°；（2）如图1，∵∠ACB＝90°，∠BCE＝°，∴∠ACD＝180°-90°-°＝90°-，∠BCD＝180°-，又CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠BCF＝∠BCD＝90°-，∴∠ACF＝90°-﹣90°＋＝；故答案为：；（3）∠ACF＝∠BCE．理由如下：如图2，∵点C在DE上，∴∠BCD＝180°-∠BCE＝180°-150°＝30°．∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠BCD＝×30°＝15°．∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠ACB-∠BCF＝90°-15°＝75°．∴∠ACE＝360°-∠ACB﹣∠BCE＝360°-90°-150°＝120°．考点5：与角平分线有关的证明与计算典例：（2020·福建泉州五中月考）（问题提出）已知∠AOB＝80.5°，∠AOD＝∠AOC，∠BOD＝3∠BOC（∠BOC＜50°），求∠BOC的度数．（问题思考）聪明的小明用分类讨论的方法解决．（1）当射线OC在∠AOB的内部时，①若射线OD在∠AOC内部，如图1，可求∠BOC＝16.1°；问：当射线OC在∠AOB的内部时，②若射线OD在∠AOB外部，如图2，请你求出∠BOC的度数（问题延伸）（2）当射线OC在∠AOB的外部时，请你画出图形，并求∠BOC的度数【答案】（1）②34.5°；（2）画图见解析；11.5°或48.3°．【解析】（1）②如图所示，设，则，，，，即；（2）当射线OC在∠AOB的外部时，根据题意此时射线OC靠近射线OB，∠BOC＜50°，，射线OD的位置也只有两种可能；设，①若射线OD在∠AOB的内部，如图1所示：则，，，，即；②若射线OD在∠AOB外部，如图2所示：则，，，，即．方法或规律点拨本题主要考查角的和差倍分关系，关键是根据题意得到角之间的等量关系，然后列出算式进行求解即可．巩固练习1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）如图所示，，，平分，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵∠AOC=90°，∠COB=，∴∠AOB=∠AOC+∠COB=90°+．∵OD平分∠AOB，∴∠BOD=（90°+）=45°+，∴∠COD=∠BOD-∠COB=45°-，故选：C.2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）在同一平面内，若∠AOB＝90º，∠BOC＝40º，则∠AOB的平分线与∠BOC的平分线的夹角等于()．A．65º B．25º C．65º或25º D．60º或20º【答案】C【解析】（1）当OC在∠AOB内部时；∵∠AOB=90°，∠BOC=40°，OD，OE是∠AOB的与∠BOC的平分线，

∴∠AOD=∠DOB=∠AOB=×90°=45°，∠BOE=∠EOC=∠BOC=×40°=20°，

∴∠DOE=∠DOB-∠EOB=45°-20°=25°；当OC在∠AOB外时，∵∠AOB=90°，∠BOC=40°，OD，OE是∠AOB的与∠BOC的平分线，

∴∠AOD=∠DOB=∠AOB=×90°=45°，∠BOE=∠EOC=∠BOC=×40°=20°，

∴∠DOE=∠DOB+∠EOB=45°+20°=65°；故选：C3．（2020·福建宁化·期中）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于().A．35° B．70°C．110° D．145°【答案】C【解析】∵OC平分∠DOB，∠COB=35°，∴∠BOD=2∠COB=2×35°=70°,∴∠AOD=180°-70°=110°.故选C.4．（2020·湖南天心·长郡中学初一期末）如图，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∠MON等于（）A．90° B．135° C．150° D．120°【答案】B【解析】∵∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，∴∠COD＝90°（互为补角）∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，∴∠MOC+∠NOD＝（30°+60°）＝45°（角平分线定义）∴∠MON＝90°+45°＝135°．故选：B．5．（2020·山东莘县·期末）如图，OA⊥OB，∠BOC＝30°，OD平分∠AOC，则∠BOD＝_____度．【答案】30【解析】∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，即∠AOD+BOD＝90°；∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠DOC，即∠BOD+∠BOC+BOD＝90°，即2∠BOD+∠BOC＝90°∵∠BOC＝30°，∴∠BOD＝30°．故答案为：30．6．（2020·全国单元测试）如图所示，已知，，成一直线，，且，，则_______．【答案】108【解析】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故答案为：1087．（2020·全国单元测试）如图所示，是的平分线，是的平分线，是的平分线，那么_______．【答案】【解析】∵是的平分线，∴∠AOC=∠EOC=∠AOE，∵是的平分线，是的平分线，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=∠AOE，∠COD=∠DOE=∠EOC=∠AOE，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∴∠AOD=∠AOE，∠BOE=∠AOE，∴∠AOD=∠BOE，故答案为：BOE．8．（2020·陕西神木·初一期末）如图，已知OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线．（1）若∠AOC=120°，∠BOC=30°，求∠DOE的度数；（2）若∠AOB=90°，∠BOC=α，求∠DOE的度数．【答案】(1)45°;(2)45°.【解析】解：（1）∵OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线．∴∠AOE=∠AOC,∠COD=∠BOC,∵∠AOC=120°,∠BOC=30°∴∠AOE=×120°=60°∠COD=×30°=15°∠DOE=∠AOC-∠AOE-∠COD=120°-60°-15°=45°.（2）∵∠AOB=90°，∠BOC=α∴∠AOC=90°+α∵OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线．∴∠AOE=∠AOC,∠COD=∠BOC∠AOE=（90°+α），∠COD=α∠DOE=∠AOC-∠AOE-∠COD=（90°+α）-（90°+α）-α=45°9．（2020·全国单元测试）如图所示，平分，、是的三等分线．（1）如果，求的度数；（2）如果，，求的度数．【答案】（1）；（2）．【解析】解：（1）∵平分，、是的三等分线，∴，，∵，∴即，∴，∴；（2）∵、是的三等分线，∴，∵，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．考点6：与余角（补角）有关的证明与计算典例：（2020·内蒙古海勃湾·初一期末）点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处．射线OC平分∠MOB．(1)如图1，若∠AOM=30°，求∠CON的度数；(2)在图1中，若∠AOM=a，直接写出∠CON的度数（用含a的代数式表示）；(3)将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在射线OB上方，另一边ON在直线AB的下方．①探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②当∠AOC=3∠BON时，求∠AOM的度数．【答案】(1)15°;(2)∠CON=a;(3)①见解析；②144°.【解析】解：(1)由已知得∠BOM=180°－∠AOM=150°，又∠MON是直角，OC平分∠BOM，所以∠CON=∠MON－∠BOM=90°－×150°=15°.(2)∠CON=a.(3)设∠AOM=a，则∠BOM=180°－a，①∠AOM=2∠CON.理由如下：∵OC平分∠BOM，∴∵∴∴②由①知∴解得∴.方法或规律点拨本题主要考查角度间的计算、余角补角的性质及角平分线的性质与一元一次方程的应用，综合性大，需综合运用所学知识求解.巩固练习1．（2020·湖北曾都·期末）如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD．如果∠1=35°，那么∠2的度数是（）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【解析】∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°．∴∠2＝180°−∠COD−∠1＝180°−90°−35°＝55°，故选C．2．（2020·山东莘县·期末）如图，直线BC与MN相交于点O，AO丄OC，OE平分∠BON，若∠EON=20°，求∠AOM的度数．【答案】50o【解析】解：∵OE平分∠BON，

∴∠BON=2∠EON=40°，

∴∠COM=∠BON=40°，

∵AO⊥BC，

∴∠AOC=90°，

∴∠AOM=90°-∠COM=90°-40°=50°．3．（2020·福建宁化·期中）已知为直线上的一点，是直角，平分．（1）如图1，若=°，则=°，与的数量关系为．（2）当射线绕点逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中与的关系是否仍然成立？如成立，请说明理由．（3）在图3中，若=°，在的内部是否存在一条射线，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．【答案】（1）56°；∠BOE＝2∠COF；(2)∠BOE＝2∠COF仍然成立，理由见解析；（3）存在，∠BOD＝16°.【解析】解：（1）∵∠COE是直角，∠COF＝28°，

∴∠EOF＝90°−∠COF＝62°，

∵OF平分∠AOE，

∴∠AOE＝2∠EOF＝124°，

∴∠BOE＝180°−∠AOE＝56°，

若∠COF＝n°，则∠EOF＝90°−n°，∴∠AOE＝2∠EOF＝180°−2n°，

∴∠BOE＝180°−∠AOE＝2n°，

∴∠BOE＝2∠COF；

（2）∠BOE＝2∠COF仍然成立，理由：设∠COF＝n°，

∴∠EOF＝90°−∠COF＝90°−n°，

∵OF平分∠AOE，

∴∠AOE＝2∠EOF＝180°−2n°，

∴∠BOE＝180°−∠AOE＝2n°＝2∠COF，

故∠BOE与∠COF的关系是仍然成立；

（3）由（2）可知：∠BOE＝2∠COF＝130°，

∴∠AOE＝180°−∠BOE＝50°，

∵OF平分∠AOE，

∴∠AOF＝∠AOE＝25°，

∵2∠BOD＋∠AOF＝（∠BOE−∠BOD），

∴2∠BOD＋25°＝（130°−∠BOD）

解得：∠BOD＝16°.4．（2020·广西陆川·期末）如图，OD、OC、OB、OA分别表示东西南北四个方向，OM的方向是西偏北50°，OE的方向是北偏东15°，OE是∠MOG的平分线，∠MOH=∠NOH=90°.(1)OH的方向是_______，ON的方向是________；(2)通过计算，判断出OG的方向；(3)求∠HOG的度数.【答案】（1）南偏西50°，南偏东40°；（2）北偏东70°；（3）160°.【解析】（1）∵OM的方向是西偏北50°，∴∠COM=50°,∵∠MOH=90°，∴∠COH=90°-50°=40°,∴∠BOH=90°-40°=50°,∴OH的方向是南偏西50°.∵∠NOH=90°，∠BOH=50°,∴∠BON=90°-50°=40°,∴ON的方向是南偏东40°.（2）∵∠COM=50°,∴∠AOM=90°-50°=40°,∴∠MOE=40°+15°=55°,∵OE是∠MOG的平分线，∴∠GOE=∠MOE=55°,∴∠AOG=15°+55°=70°,∴OG的方向是北偏东70°；（3）∠HOG=360°-∠HOM-∠MOE-∠GOE=360°-90°-55°-55°=160°.5．（2020·广西陆川·期末）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，求这个角的余角和补角的度数．【答案】这个角的余角是50°，补角是140°．【解析】解：设这个角为x°，则180﹣x+10＝3（90﹣x），解得：x＝40即这个角的余角是50°，补角是140°．答：这个角的余角是50°，补角是140°．6．（2020·全国单元测试）如果一个角的余角是这个角的，求这个角的度数．【答案】【解析】解：设这个角为，得，．答：这个角的度数为．7．（2020·全国单元测试）如图所示，已知、、在一直线上，、分别是和的角平分线．（1）求的度数；（2）分别写出的余角和补角．【答案】（1）；（2）的余角为、，补角为．【解析】解：（1）∵、分别是和的角平分线，∴，，∵，∴；（2）由（1）得；∵，∴的余角为、，补角为．8．（2020·全国单元测试）如图所示，已知点A、O、E在同一直线上，，，．（1）写出图中的一对互余的角____________，一对互补的角______________．（2）画出的角平分线．（3）______________．【答案】（1）和；和；（2）作图见解析；（3）．【解析】（1）因为，所以+=，故和互余；因为点A、O、E在同一直线上，所以=所以+=，故和互补；故答案为：和；和．（2）因为，，所以，，在内用量角器取，即OF为的角平分线，如下图：（3）由（1）知+=，所以，所以，故答案为：．9．（2020·云南镇康·初一期末）一个角的余角比这个角的补角的还小10°，求这个角．【答案】60°【解析】解：设这个角为xº，列方程：90-x=（180-x）-10，解得x=60，故这个角是60度．10．（2019·贵州花溪·初一学业考试）互补的两个角之差是，求其中较小角的余角度数．【答案】14°【解析】解：设较小的角为x，则其补角为180°－x，根据题意得：180°－x－x＝28°，解得x＝76°，则90°－x＝90°－76°＝14°，答：其中较小角的余角的度数为14°．11．（2020·苏州高新区实验初级中学初一期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC=48°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．(1)图中有个小于平角的角；(2)求出∠BOD的度数；(3)试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．【答案】（1）9；（2）156°；（3）OE平分，理由见解析．【解析】（1）小于平角的角有：，共有9个故答案是：9；（2）∵OD平分，∴∴；（3）OE平分，理由如下：∵，∴∴∴OE平分．12．（2020·江西育华学校初一期末）如图，已知，是的平分线．（1）如图1，当与互补时，求的度数；（2）如图2，当与互余时，求的度数．【答案】(1)65°；(2)20°13.（2020·广东郁南·初一期末）如图，以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA、OB、OC、OD.（1）若∠AOC、∠BOD都是直角，∠BOC＝60°，求∠AOB和∠DOC的度数.（2）若∠BOD＝100°，∠AOC＝110°，且∠AOD＝∠BOC+70°，求∠COD的度数.（3）若∠AOC＝∠BOD＝α，当α为多少度时，∠AOD和∠BOC互余？并说明理由.【答案】（1）∠AOB=30°，∠DOC=30°；（2）∠COD=30°；（3）当α=45°时，∠AOD与∠BOC互余．【解析】（1）∵∠AOC=90°，∠BOD=90°，∠BOC=60°，∴∠AOB=∠AOC﹣∠BOC=90°﹣60°=30°，∠DOC=∠BOD﹣∠BOC=90°﹣