2026届湖南省长沙市一中广雅中学高三下学期模拟适应性考试数学试卷-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一组数据：12，15，11，18，15，20，这组数据的中位数是（）A.15 B.14.5 C.16 D.182.已知分别为的边上的中线，设，,则＝（）A.＋ B.＋C. D.＋3.已知全集，则=（）A. B. C. D.4.函数的图象在点处的切线方程为（）A. B. C. D.5.已知双曲线，过点作直线，使与C有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条6.如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.7.正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当n很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过x的最大整数，用上式计算的值为（）（参考数据：，，）A.10 B.9 C.8 D.78.小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a，a，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为14，则他三道题都答错的概率为（）A. B. C.14 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列选项正确的有（）A.若是方程的一个根，则B.复数与分别表示向量与，则向量表示的复数为C.若复数满足，则的最大值为D.若复数，满足，则10.在正三棱柱中，，的重心为，以为球心的球与平面相切.若点P在该球面上，则下列说法正确的有（）A.存在点P和实数，，使得B.三棱锥体积的最大值为C.若直线与平面所成的角为θ，则的最大值为D.若，则所有满足条件的点P形成的轨迹的长度为11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是C的渐近线上一点（P在x轴上方），直线与圆相切，且与C的左、右两支分别交于两点，若，则（）A.以为直径的圆与圆O相切 B.C的离心率C.线段的中点在直线上 D.的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知F是椭圆和抛物线的公共焦点，F1是的另一个焦点，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为____________.13.函数在区间上有50个最大值，则的范围__________．14.已知函数.①当时，，记bn前n项积为Tn，若恒成立，整数m的最小值是______________;②对所有n都有成立，则a的最小值是_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱台中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足，．（1）证明：平面；（2）若直线EF和平面所成角的正弦值为33，求该三棱台的高．16.在锐角中，，，（1）求角A；（2）求的周长l的范围.17.组合数学研究的内容之一是计数，母函数是重要的计数工具之一．其定义如下：对于序列，定义为序列的母函数．母函数的计数方法与二项式定理的原理相似：假设有红、黄、蓝各一个小球，计算由它们组成的所有组合的个数，可考虑三步完成，即每个小球是否参与组合我们用即1代表小球不参与，x代表小球参与，根据分类加法计数原理，代表一个小球是否参与组合的两种情况，根据分步乘法计数原理，用代数式表示三个小球是否参与组合的情况，所以母函数为，例如其中中的系数3就是由两个小球构成的所有组合个数，而总的组合个数就是．（1）假设有四个不同的小球，令为由它们组成的含有n个小球的所有组合个数，试写出的一个与问题对应的母函数；（2）已知，其中．现有一序列的母函数，其中，证明：；（3）在某班中的8位男同学和5位女同学中，组一个由偶数个男生和不少于两个女生的小组，令为从8位男同学中选取n位的所有组合个数，令为从5位女同学中选取n位的所有组合个数，分别写出和的与问题对应的母函数和，并求总的组合个数．18.在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．（1）求“椭圆”的方程；（2）根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；（3）设，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为A，过作直线交C于M,N两点，的外心为Q，求证：直线与的斜率之积为定值．19.对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数，若对在定义域内的给定常数a，存在数列an满足在的定义域内且，且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线，则称数列an为函数的“a关联切线伴随数列”.（1）若函数，证明：都存在“a关联切线伴随数列”；（2）若函数，数列an为函数的“1关联切线伴随数列”，且，求an的通项公式；（3）若函数，数列bn为函数的“b关联切线伴随数列”，记数列bn的前n项和为Sn，证明：当时，.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一组数据：12，15，11，18，15，20，这组数据的中位数是（）A.15 B.14.5 C.16 D.18答案：A解析：解答过程：先把数据从小到大排序：11，12，15，15，18，20，由于数据共6个（偶数个），故中位数取中间两个数的平均数：．2.已知分别为△ABC的边上的中线，设，,则＝（）A.＋23 B.23＋C.23 D.＋答案：B解析：思路：根据向量的线性运算即可联立方程求解.解答过程：分别为△ABC的边上的中线,则,,由于，，所以,故解得故选：B3.已知全集，则=（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由并集和补集的定义求解即可.解答过程：因为，故，所以.故选：D.4.函数的图象在点处的切线方程为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据导数的几何意义，即可求解.解答过程：由，可得，则，又，则所求切线方程为，即．故选：B．5.已知双曲线，过点作直线，使与C有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案：D解析：思路：结合双曲线的性质与点P位置，画出对应图形即可得.解答过程：易知双曲线的焦点，顶点，渐近线为，由可得该点在双曲线右顶点上方，易得过P点与双曲线有且只有一个公共点的直线中，有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1），有两条双曲线右支的切线（图2），共4条.故选：D.6.如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用函数的单调性与导数的关系及符号法则解不等式即可.解答过程：由题可得函数的单调增区间为，，单调减区间为，所以时，，时，，由，可得或，所以.故选：D.7.正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过x的最大整数，用上式计算的值为（）（参考数据：，，）A.10 B.9 C.8 D.7答案：C解析：思路：设，分析可知数列an为递增数列，结合题中数据估算可知，即可得结果.解答过程：设，则，因为，可知数列an且，，可知，所以.故选：C.8.小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a，a，12，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为1A.12 B.13 C.14答案：C解析：思路：根据条件，先求a的有关值，再求对应事件的概率.解答过程：记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，且.恰好能答对两道题为事件，且两两互斥，所以，整理得，他三道题都答错为事件，故.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列选项正确的有（）A.若是方程的一个根，则B.复数与分别表示向量与，则向量表示的复数为C.若复数满足，则的最大值为D.若复数，满足，则答案：BCD解析：思路：通过复数范围内方程的根判断A；通过复数的几何意义与平面向量的坐标运算判断B；由复数模的几何意义及点到圆上点的最值的求法判断C；根据复数的乘除运算及模的求法判断D．解答过程：对于A：若是方程的一个根，则方程的两个根分别，所以，所以，故A错误；对于B：由题意可知，所以，所以向量表示的复数为，故B正确；对于C：设，若复数满足，则在复平面内点在圆上，圆C的圆心，半径，则的几何意义为原点到圆C上点的距离，又，则的最大值为，C正确；对于D：因为，所以，，所以，D正确．故选：BCD.10.在正三棱柱中，，的重心为G，以G为球心的球与平面相切.若点P在该球面上，则下列说法正确的有（）A.存在点P和实数，，使得B.三棱锥体积的最大值为C.若直线BP与平面所成的角为θ，则的最大值为D.若，则所有满足条件的点P形成的轨迹的长度为答案：BC解析：思路：对于A，由球G与平面的位置关系，判断结论；对于B，△ABC面积为定值，由P到平面的最大距离求三棱锥体积的最大值；对于C，求出当θ最大时P的位置，由两角和的正弦公式求的最大值；对于D，根据所给的点P轨迹长度与球G的大圆周长比较即可判断.解答过程：对于A，取BC中点F，中点E，连接，，正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，平面，，而G为的重心，，到平面的距离为33，而G到平面的距离为，∴球G与平面相离，则不存在这样的P和实数，使，A错误．对于B，G到平面的距离为23，球G半径，则P到平面的最大距离为，，B正确．对于C，设N为球的上顶点，平面于点H，BM与球G相切且BM与平面共面，，，设，则有，得，，C正确．对于D，由选项B可知G到平面的距离为，即球G半径，所以球G大圆的周长为，由题意点P的轨迹为过B且垂直于的平面与球的交线圆，而，截面圆的周长大于球的大圆的周长，所以是不可能的，D错误.故选：BC．方法提示：方法点睛：利用正三棱柱的结构特征和三角形重心的位置特征，求出重心G到相关平面的距离，可解决向量共面，棱锥高度最大，轨迹及位置关系等问题.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是C的渐近线上一点（P在x轴上方），直线与圆相切，且与C的左、右两支分别交于两点，若，则（）A.以为直径的圆与圆O相切 B.C的离心率C.线段的中点在直线上 D.的面积为答案：ABD解析：思路：设的中点为G，则，即可判断A；设直线与圆O的切点为，直线O为双曲线的另一条渐近线，根据双曲线的对称性可得，结合离心率的概念计算即可判断B；根据点差法计算可得，求出直线OQ的斜率即可判断C；设，则，根据双曲线的定义可得，结合计算即可判断D.解答过程：设的中点为G，则，以为直径的圆与圆O的圆心距为两圆的半径之和，故以为直径的圆与圆O相切，故A正确；因为点P是双曲线的渐近线上的一点，，所以，设直线与圆O的切点为，则，故直线的斜率为，即直线O为双曲线的另一条渐近线，由双曲线的对称性知，，即，所以双曲线的离心率为，故B正确；设M,N的中点为Q，设则，直线的斜率为，且，两式相减得，整理得，即，又因为直线的斜率为，所以直线OQ的斜率为，所以M,N的中点在直线D：设，因为，所以，由双曲线的定义得，，因为，代入得，化简整理得，即，即，解得，又，所以的面积为，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知F是椭圆和抛物线的公共焦点，F1是的另一个焦点，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为____________.答案：2−1##解析：思路：利用椭圆与抛物线的定义及几何性质，结合等腰直角三角形的边角关系推导椭圆参数的数量关系，进而求解离心率.解答过程：如图，因为F是，的公共焦点，F1是的另一个焦点，所以的准线经过点F1.根据对称性，不妨令M在第一象限，因为是等腰直角三角形，所以.过M作准线的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，则.又，所以.设，则，则的离心率为.13.函数在区间上有50个最大值，则的范围__________．答案：解析：思路：根据函数在区间上有50个最大值，由第50个和第51个最大值满足求解.解答过程：因为函数在区间上有50个最大值，第一个最大值为：，第二个最大值为：，第三个最大值为：，…第50个最大值为：，第51个最大值为：，所以，解得，综上：的范围是.故答案为：方法提示：易错点点睛：本题容易忽视第50个和第51个最大值要满足.14.已知函数.①当时，，记bn前项积为Tn，若恒成立，整数m的最小值是______________;②对所有n都有成立，则a的最小值是_____________.答案：①.3②.解析：思路：①先得到，，故，构造，x>0，求导得到其单调性，从而确定当x>0时，，利用放缩和等比数列求和公式得到，求出，确定，整数m的最小值为3；变形得到，令，求导得到函数单调性和最值，得到，故，得到答案.解答过程：，，，故，设，x>0，则，故在上单调递减，则，故当x>0时，，则，所以，综上，，若恒成立，整数m的最小值为3，，化简得，即，令，，当时，，所以在上单调递减，又，所以，故，解得，所以a的最小值为.故答案为：3，方法提示：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱台中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足，．（1）证明：平面；（2）若直线和平面所成角的正弦值为33，求该三棱台的高．答案：（1）证明：由三棱台知，平面，因为平面，且平面平面，所以，又，所以，因为，所以，又，，且平面，平面，所以平面．（2）解析：思路：（1）根据面面平行的性质定理及线面平行的性质定理可得，根据线面垂直的判定定理可得结果；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用线面角的向量求法可得结果.（1）略.（2）以A为原点建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为，则，，，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量，易得平面的一个法向量，设与平面夹角为θ，由（1）知，所以由已知得，解得，所以三棱台的高为．16.在锐角△ABC中，，，（1）求角A；（2）求△ABC的周长l答案：（1）A=（2）解析：思路：（1）根据正弦定理把边转化为角，结合诱导公式，即可求出，即可求解;（2）利用正弦定理把边转化为角，结合角的范围，即可求解.（1）∵，，所以，所以，因为，所以，，所以A=π（2），所以,所以，，所以,因为△ABC是锐角三角形，且A所以，解得，所以，所以，所以.17.组合数学研究的内容之一是计数，母函数是重要的计数工具之一．其定义如下：对于序列，定义为序列的母函数．母函数的计数方法与二项式定理的原理相似：假设有红、黄、蓝各一个小球，计算由它们组成的所有组合的个数，可考虑三步完成，即每个小球是否参与组合我们用即1代表小球不参与，x代表小球参与，根据分类加法计数原理，代表一个小球是否参与组合的两种情况，根据分步乘法计数原理，用代数式表示三个小球是否参与组合的情况，所以母函数为，例如其中中的系数3就是由两个小球构成的所有组合个数，而总的组合个数就是．（1）假设有四个不同的小球，令为由它们组成的含有n个小球的所有组合个数，试写出的一个与问题对应的母函数；（2）已知，其中．现有一序列的母函数，其中，证明：；（3）在某班中的8位男同学和5位女同学中，组一个由偶数个男生和不少于两个女生的小组，令为从8位男同学中选取n位的所有组合个数，令为从5位女同学中选取n位的所有组合个数，分别写出和的与问题对应的母函数和，并求总的组合个数．答案：（1）（2）证明见详解（3），，3328.解析：思路：（1）根据题意利用即可求解；（2）根据题意，利用二项式定理和组合数的性质即可求解；（3）求出和，即可求；再令求得中的系数为符合要求的k个人组成的小组的数目，即可得解.（1）由题意得；（2）因为，所以展开式中的系数为，因为，所以的系数为.（3）根据题意，，，，，，，所以，同理，，，，所以，令中的系数为符合要求的k个人组成的小组的数目，所有组合的个数为.另法：所有组合的个数为.方法提示：关键点睛：对于新定义的问题，要能正确阅读理解题干信息，抓住关键信息；第二问解题的关键是得到的系数，利用组合数的性质化简运算得证.18.在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．（1）求“椭圆”的方程；（2）根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；（3）设，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为A，过作直线交C于M,N两点，的外心为Q，求证：直线OQ与的斜率之积为定值．答案：（1）（2）由方程，得，因为，所以，即，所以或或，解得，由方程，得，即，所以，所以，所以“椭圆”的范围为，，将点代入得，，即，方程不变，所以“椭圆”关于y轴对称，将点代入得，，即，方程不变，所以“椭圆”关于x轴对称，将点代入得，，即，方程不变，所以“椭圆”关于原点对称，所以“椭圆”关于x轴，y轴，原点对称；（3）由题意可设椭圆C的方程为，将点代入得，解得，所以椭圆C的方程为，，由题意可设直线的方程为，联立，得，恒成立，则，因为AM的中点为，所以直线AM的中垂线的方程为，同理直线AN的中垂线的方程为，设，则是方程的两根，即是方程的两根，所以，又因，所以，两式相比得，所以，所以，所以直线OQ与的斜率之积为定值．解析：思路：（1）设“椭圆”上任意一点为，则，再根据两点之间的“距离”得新定义即可得解；（2）将点分别代入即可判断其对称性，取绝对值符号，进而可得出范围；（3）先求出椭圆方程，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，分别求出直线的方程，设，再次求出的关系，进而求出，从而可得出结