2026届宁夏回族自治区银川市唐徕中学高三下学期考前自测数学试卷-含解析

/数学本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知集合，，则（）．A. B. C. D.3.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.4.在的展开式中，的系数为（）．A.120 B.80 C.40 D.5.中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（）A. B. C. D.6.已知是定义在上且周期为3的奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.7.一个三口之家和一对夫妇共计5人前往电影院观看电影,核心观影区现在还剩余一排7个相连的座位.要求同一家庭的座位必须相连，且两个家庭中间至少间隔一个座位，则符合要求的排座方式一共有（）A.48种 B.72种 C.144种 D.216种8.已知双曲线，圆与轴交于两点，是圆与双曲线在轴上方的两个交点，点在轴的同侧，且交于点G，且M为线段的中点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在数字化快速发展的今天，安全芯片在移动支付中发挥着至关重要的作用.某厂家生产的安全芯片的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于3.5年的安全芯片为良品，则（）（若随机变量服从正态分布，则）A.B.C.该厂家生产的安全芯片的平均使用寿命为2.25年D.该厂家生产的安全芯片的良品率超过10.已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（）A. B.C. D.11.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（）A.射线所在直线的斜率为，则B.当时，C.当过点时，光线由到再到所经过的路程为13D.若点坐标为，直线与相切，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡相应位置上．12.已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______.13.已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____．14.如图绘制有函数的部分图象，图象与y轴的交点为，其中A，B分别为最高点和最低点，现将此图沿着x轴折叠形成一个钝二面角，夹角为120°，其中此时AB之间的距离为5，则______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角对应边分别是.已知成等差数列，且.（1）求的值；（2）若的外接圆半径为，求的面积.16.某果树种植基地为了调研A品种橘子树的结果情况，随机采摘了100个橘子，称重后得到的数据分成六组，分别为，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图．（1）估算样本的中位数；（2）已知上的平均重量是65克，方差是6，上的平均重量为75克，方差是3，求两组重量的总方差．17.如图1，在中，，D、E两点分别在、上，使．现将沿折起得到四棱锥，在图2中．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值．18.在平面直角坐标系中，已知点，直线AP与BP相交于点P，且两直线的斜率之积为．（1）求动点P的轨迹方程；（2）直线与动点P的轨迹交于C，D两点，求弦长；（3）若动点P的轨迹为闭合曲线，点，动点P的轨迹上存在不关于x轴对称的两点M，N，使得恰好被x轴平分，求面积的取值范围．19.已知函数，．（1）当时，求在区间上的最大值与最小值；（2）讨论的零点个数；（3）若函数有三个不同的极值点，，，且满足，求的取值范围．

数学本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：根据已知等式求出复数，再确定其在复平面内对应点的位置.解答过程：已知，则，分子分母同乘，即，所以复数在复平面内对应的点为，在第四象限.故选：D.2.已知集合，，则（）．A. B. C. D.答案：A解析：思路：先求出集合，再按照交集的定义计算即可.解答过程：由题意，.3.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由题意，根据平面向量数量积和模的坐标表示，结合投影向量的概念求解即可.解答过程：由，，得，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：D4.在的展开式中，的系数为（）．A.120 B.80 C.40 D.答案：D解析：思路：根据二项式定理计算即可.解答过程：根据二项式定理，展开式的通项公式为：.令，可得，此时与相乘可得的系数为-80；令，可得，此时与相乘可得的系数为40；所以的系数为.5.中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：结合轴截面分析可知，，再利用圆柱以及圆台的体积公式运算求解.解答过程：由题意可知：容器中液体分为：下半部分为圆柱，上半部分为圆台，取轴截面，如图所示，分别为的中点，可知：∥∥，且，可得，即，所以该容器中液体的体积为.故选：A.6.已知是定义在上且周期为3的奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据函数的周期和奇函数的性质进行求解即可.解答过程：因为是定义在上且周期为3的奇函数，所以，所以令，得，因为该函数是奇函数，所以，所以，故选：A7.一个三口之家和一对夫妇共计5人前往电影院观看电影,核心观影区现在还剩余一排7个相连的座位.要求同一家庭的座位必须相连，且两个家庭中间至少间隔一个座位，则符合要求的排座方式一共有（）A.48种 B.72种 C.144种 D.216种答案：B解析：解答过程：三口之家三人全排列有种不同的排法，一对夫妇有种不同的排法，若两个家庭之间有1个空位的排法有；若两个家庭之间有2个空位的排法有；所以符合要求的排座方式一共有种.8.已知双曲线，圆与轴交于两点，是圆与双曲线在轴上方的两个交点，点在轴的同侧，且交于点G，且M为线段的中点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先判断的形状，再结合双曲线的定义列式，可求双曲线的离心率.解答过程：如图：因为，所以为双曲线的焦点.因为为上的点，所以，根据双曲线的对称性，可知点在轴上，又为的中点，所以.所以为等边三角形，，所以.又根据双曲线的定义，，所以，所以.故选：D二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在数字化快速发展的今天，安全芯片在移动支付中发挥着至关重要的作用.某厂家生产的安全芯片的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于3.5年的安全芯片为良品，则（）（若随机变量服从正态分布，则）A.B.C.该厂家生产的安全芯片的平均使用寿命为2.25年D.该厂家生产的安全芯片的良品率超过答案：ABD解析：思路：根据正态分布的对称性即可求解ABD，根据正态分布中参数的含义即可求解C.解答过程：选项A：由题知，则，故A正确；选项B：，又，所以，B正确；选项C：由，得，即该厂家生产的安全芯片的平均使用寿命为5年，C错误；选项D：该厂家生产的安全芯片的良品率为，超过，故D正确.故选：ABD10.已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得，代入公式即可一一判断.解答过程：依题，，解得故A错误，B正确；则，，故C错误，D正确.故选：BD.11.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（）A.射线所在直线的斜率为，则B.当时，C.当过点时，光线由到再到所经过的路程为13D.若点坐标为，直线与相切，则答案：ABD解析：思路：A选项，根据直线与双曲线的交点位置可判断；B选项，利用双曲线定义和勾股定理化简可得；C选项，由双曲线定义可判断；D选项，利用角平分线性质，结合双曲线的定义可得.解答过程：解：因为双曲线的方程为，所以，渐近线方程为，选项A，因为直线与双曲线有两个交点，所以，即A正确；选项B，由双曲线的定义知，，若，则，因为，所以，解得，即B正确；选项C：，即C错误；选项D，因为平分，由角分线定理知，，所以，又，所以，解得，即D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡相应位置上．12.已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______.答案：解析：思路：由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.解答过程：由题意可得：，则，抛物线的方程为，准线方程为，点到的准线的距离为.故答案为：.13.已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____．答案：2解析：思路：根据导数的几何意义以及极值点的性质求，并结合单调性检验即可.解答过程：因为，则，由题意可得，解得，则函数，，令，解得或；令，解得，可知函数在上单调递增，在上单调递减，则函数在处取到极大值，即，符合题意，所以.14.如图绘制有函数的部分图象，图象与y轴的交点为，其中A，B分别为最高点和最低点，现将此图沿着x轴折叠形成一个钝二面角，夹角为120°，其中此时AB之间的距离为5，则______．答案：解析：思路：过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴，轴的垂线相交于点，结合条件和余弦定理求出，然后将代入函数解析式即可得出答案.解答过程：过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴，轴的垂线相交于点，连接，则，由余弦定理得，由上可知，轴垂直于，又平面，所以轴垂直于平面，又轴，所以平面，因为平面，所以，因为的周期，所以，由勾股定理得，解得，由图知，的图象过点，且在递减区间内，所以即，因为，点在递减区间内，所以，故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角对应边分别是.已知成等差数列，且.（1）求的值；（2）若的外接圆半径为，求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先根据等差数列的性质得到的关系，再根据正弦定理将角化边，最后利用余弦定理求值；（2）先根据正弦定理求出，再结合（1）中的的关系求出，最后根据三角形的面积公式求解.（1）由成等差数列知，又得，于是，设，则，所以；（2）由（1）知，由得，所以，所以的面积.16.某果树种植基地为了调研A品种橘子树的结果情况，随机采摘了100个橘子，称重后得到的数据分成六组，分别为，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图．（1）估算样本的中位数；（2）已知上的平均重量是65克，方差是6，上的平均重量为75克，方差是3，求两组重量的总方差．答案：（1）75（2）28.2解析：思路：（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再估算出样本的中位数.（2）利用分层抽样的方差公式计算即得．（1）由频率分布直方图，得，解得，数据在的频率为，在的频率为，所以样本的中位数约为.（2）由（1）知数据在上与上的频率之比为，因此样本数据的总平均重量（克），所以总方差.17.如图1，在中，，D、E两点分别在、上，使．现将沿折起得到四棱锥，在图2中．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值．答案：（1）在图1的中，，所以，且，因为，所以，则，在中，，，则，在图2的中，，满足，所以，因为平面，所以平面．（2）解析：思路：（1）证明出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量夹角公式求解即可．（1）略（2）因为平面，，以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，设平面的一个法向量为，则，令，则，可得为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，，则，所以，因此，直线与平面所成角的余弦值为．18.在平面直角坐标系中，已知点，直线AP与BP相交于点P，且两直线的斜率之积为．（1）求动点P的轨迹方程；（2）直线与动点P的轨迹交于C，D两点，求弦长；（3）若动点P的轨迹为闭合曲线，点，动点P的轨迹上存在不关于x轴对称的两点M，N，使得恰好被x轴平分，求面积的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）结合斜率公式计算即得动点的轨迹方程；（2）联立直线与椭圆得出韦达定理，再由弦长公式计算即得；（3）先设直线方程再联立，写出韦达定理，应用题设条件得出斜率关系，计算得出定点，再列出三角形的面积及基本不等式计算范围．（1）设交点P的坐标为，因为直线AP与BP的斜率之积为，所以，所以，则，故动点P的轨迹方程为．（2）由与椭圆联立，可得，设，则，所以弦长．（3）设直线的方程为，由得，所以，，因为恰好被x轴平分，所以，所以直线的斜率与直线的斜率存在且，即，整理得，即，因，解得，即直线经过