2025-2026学年江西省抚州市金溪县部分校高一下学期6月阶段性测试数学试卷-含解析

/数学第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.）1.已知复数，其中i是虚数单位，则z的虚部为（）A. B.3 C. D.2.下列说法正确的是（）A.第一象限角都比第二象限角小B.小于的角是锐角C.终边相同的角一定相等D.终边在轴非负半轴上的角的集合是3.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开一把折扇，测得其周长为，面积为，则其圆心角弧度数为（）A.1 B.2 C.4 D.1或44.已知，，且，则（）A.4 B.1 C. D.5.函数的部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.6.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（）A. B. C. D.7.已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量a与的夹角为，则的最大值为（）.A. B.63 C. D.8.在四边形ABCD中，设的面积为，的面积为，，，，∠BCD=120°，则S1:S2的值为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最大值是3，最小值是B.两个相邻的对称轴之间的距离为C.的图象关于点对称D.将的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数10.已知向量，，则下列说法正确的是（）A. B.在方向上的投影向量为C. D.与垂直的单位向量为11.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（）A.若，则的外接圆的面积为3πB.若，且有两解，则b的取值范围为C.若，且为锐角三角形，则c的取值范围为D.若，且，O为的内心，则的面积为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.）12.计算：________．13.已知向量，，，若a和的夹角为60°，则______.14.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成大正方形）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，则___________．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知复数，，其中为虚数单位．（1）若是纯虚数，求实数的值；（2）若，设，，求的值．16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的面积为S且满足.（1）求角B的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC面积的取值范围.17.已知函数，fx图象的相邻对称轴之间的距离为.（1）求fx的解析式和函数f（2）将函数fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得gx的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围.18.如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点．（1）若，求实数x，y的值；（2）若，求实数的值；（3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值．19.在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c（1）求角；（2）若，是钝角三角形．（ⅰ）求的范围；（ⅱ）若点在BC上，且为的角平分线，求的取值范围．

数学第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.）1.已知复数，其中i是虚数单位，则z的虚部为（）A. B.3 C. D.答案：A解析：思路：利用复数的乘法运算化简，可得的虚部.解答过程：解：，则的虚部为.故选：A.方法提示：关键点点睛：本题计算的关键是复数的运算法则.本题考查了复数的计算，属于简单题.2.下列说法正确的是（）A.第一象限角都比第二象限角小B.小于的角是锐角C.终边相同的角一定相等D.终边在轴非负半轴上的角的集合是答案：D解析：解答过程：选项A.是第一象限角，是第二象限角，但是，错误.选项B.，但它不是锐角，错误.选项C.终边相同的角相差的整数倍，不一定相等，错误.选项D.终边在y轴非负半轴上的角，就是加上的整数倍，集合表示为，正确.3.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开一把折扇，测得其周长为，面积为，则其圆心角弧度数为（）A.1 B.2 C.4 D.1或4答案：D解析：解答过程：设扇形的圆心角为，半径为，弧长为.由题意得，，解得，或，由得，或.4.已知，，且，则（）A.4 B.1 C. D.答案：C解析：解答过程：由题意得，解得，，.5.函数的部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据给定的函数图象，利用周期及最大值点求出即可.解答过程：观察函数图象，得这个函数的最小正周期，则，又当时，，则，而，则，所以.故选：A6.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为，在地面上点处（，，N三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题可得、、，再利用正弦定理计算即可得解.解答过程：，，，则，由正弦定理可得，即，则m.7.已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量a与的夹角为，则的最大值为（）.A. B.63 C. D.答案：D解析：思路：利用平面向量数量积的运算可得出，求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求得的最大值．解答过程：因为单位向量，的夹角为，则，所以，又，所以，当取最大值时，必有，则，又，，则，所以，所以，故的最大值为.故选：D．方法提示：方法点睛：求平面向量夹角的方法：（1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；（2）坐标法：若非零向量，，则．8.在四边形ABCD中，设的面积为，的面积为，，，，∠BCD=120°，则S1:S2的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由条件结合三角形面积公式和余弦定理可求，设，在，中利用正弦定理列方程可求，再结合面积公式表示，，由此可求结论.解答过程：在中，由余弦定理，，因为，所以，即，又因为，所以．设，因为，∠CAD=π则，，，在中，由正弦定理，，即，在中，由正弦定理，，即，又，所以，所以，所以，即，因为，所以，所以，所以，，因为，所以．故选：B.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最大值是3，最小值是B.两个相邻的对称轴之间的距离为πC.的图象关于点对称D.将的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数答案：AC解析：思路：对A和B，利用余弦函数的性质，即可判断正误；对C，将代入检验，即可判断正误；对D，利用图象的变换，求出平移后的函数，再把代入检验，即可求解.解答过程：对于A，因为，由余弦函数的性质知的最大值是3，最小值是，所以A正确，对于B，因为的最小正周期为，所以两个相邻的对称轴之间的距离为，故B错误，对于C，当时，，所以点是的一个对称中心，故C正确，对于D，将的图象向右平移个单位长度后得到的函数是，当时，，所以不是奇函数，故D错误.10.已知向量，，则下列说法正确的是（）A. B.在方向上的投影向量为C. D.与垂直的单位向量为答案：AC解析：思路：根据给定条件，利用向量运算的坐标表示逐项求解判断.解答过程：向量，对于A，，A正确；对于B，，在方向上的投影向量，B错误；对于C，，因此，C正确；对于D，与向量垂直的一个向量为，因此与垂直的单位向量为，D错误.11.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（）A.若，则的外接圆的面积为3πB.若，且有两解，则b的取值范围为C.若，且为锐角三角形，则c的取值范围为D.若，且，O为的内心，则的面积为答案：ACD解析：思路：先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积.解答过程：因为，所以由正弦定理，得，即，因为，所以，且，所以.选项A：若，则，所以的外接圆的直径，所以，所以的外接圆的面积为，选项A正确；选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解，故，解得b，所以选项B错误；选项C：由正弦定理，得，即，因为，所以，因为为锐角三角形，所以，即，所以，所以，故选项C正确；选项D：因为，由正弦定理得，因为，所以，所以由正弦定理，得，即，所以，即，所以，所以，又因为，所以，故，，解得，因为，所以，即是直角三角形，所以内切圆的半径为，所以的面积为，选项D正确.故选：ACD.方法提示：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.）12.计算：________．答案：解析：解答过程：因为

，

，所以

.13.已知向量，，，若a和的夹角为60°，则______.答案：解析：思路：由数量积运算律结合题设可得答案.解答过程：因为，所以，又因为，若a和的夹角为60°，所以；因为，，所以，所以，则.14.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成大正方形）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，则___________．答案：解析：思路：先根据比例关系设，用含x的式子表示出各边长度，再将大等边三角形拆分为3个全等三角形和1个中间小等边三角形，分别计算各部分面积，利用含角的三角形面积公式与等边三角形面积公式求出面积表达式，最后通过面积比约去参数x，即可得到结果.解答过程：设，由，得，因此，，∵△DEF是等边三角形，∴，又∵3个三角形全等，∴，，∴，∴，∴，∴.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知复数，，其中为虚数单位．（1）若是纯虚数，求实数的值；（2）若，设，，求的值．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据纯虚数的定义列出关于方程，求解即可；（2）根据题意得出复数及共轭复数z，利用复数的乘除法计算即可.（1）由题意，因为z是纯虚数，所以有，解得.（2）因为，所以，，则，所以，b=4则.16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的面积为S且满足.（1）求角B的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC面积的取值范围.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用三角形面积公式以及余弦定理求解出的值，由此可求的值；（2）先根据三角形面积公式表示出，然后利用正弦定理表示出，结合三角函数的化简运算以及正切函数的单调性求解出三角形面积的取值范围，注意角度关系.解答过程：（1）因为，所以，所以且，所以；（2）因为且，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以面积的取值范围是.17.已知函数，fx图象的相邻对称轴之间的距离为.（1）求fx的解析式和函数f（2）将函数fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得gx的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数的取值范围.答案：（1）；的单调递增区间为（2）解析：思路：（1）利用正余弦的二倍角公式、两角和的正弦公式化简fx；根据fx的最小正周期为π求出可得f（2）利用图象平移可得gx，令，转化为在上只有一个解，结合图象可得答案.（1），，因为fx图象的相邻对称轴之间的距离为，所以fx的最小正周期为π所以，得，所以，令，则，所以fx的单调递增区间为；（2）由（1）知，将fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，再向左平移个单位得的图象.令，，则，所以，因为在上只有一个解，由的图象（如图）可得，或，所以的取值范围是.18.如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点O．（1）若，求实数x，y的值；（2）若，求实数的值；（3）如图2，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值．答案：（1）（2）（3）解