2025-2026学年江西省吉安市四所省重点中学高一下学期第三次联考数学试卷-含解析

/数学一、单选题（每小题5分，共40分.）1.平面向量，满足，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.2.在中，为的中点，点E满足，则（）A. B. C. D.3.复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.已知为钝角，向量，若，则（）A. B. C. D.或5.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中错误的命题是（）A.在中，若，则B.若，，，则有唯一解C.若，则是等腰三角形或直角三角形D.若，则角6.已知函数对任意，都有，以下关于的命题，正确的是（）A.函数在区间上单调递增B.直线是函数图像的一条对称轴C.点是函数图像的一个对称中心D.将函数图像向右平移个单位，可得到的图像7.已知中，是上的点，平分，且面积是面积的2倍，，则的长度为（）A. B.2 C. D.38.已知函数的图象关于对称，且，在上单调递增，则的所有取值的个数是（）A.3 B.4 C.1 D.2二、多选题（每小题6分，共18分；每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.）9.已知向量，其中均为正数，且，下列说法正确的是（）A.与的夹角为钝角B.向量在方向上的投影为C.D.的最大值为210.设，为复数，下列说法正确的是（）A. B.C.若，则 D.若，则11.已知函数，则（）A.曲线的对称轴为B.在区间上单调递增C.的最大值为D.在区间上的所有零点之和为三、填空题（每小题5分，共15分．）12.已知，则的值等于_____________.13.写出一个与向量共线的单位向量_____________.14.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是__________.四、解答题（本大题有5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，总共77分.）15.已知函数（1）用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；列表：

作图：（2）直接写出函数的值域和单调递增区间．16.在中，点分别在边和边上，且交于点，设.（1）试用表示;（2）点在边上，且满足三点共线，试确定点的位置.17.在中，内角的对边分别为，且.（1）证明：是钝角三角形；（2）平分，且交于点，若，求的周长.18.如图所示为灌溉工具——筒车的示意图，已知筒车的半径为4米．转轴与水面的距离为2米，水深为3米．筒车其边缘上一点从图示位置开始随筒车逆时针匀速旋转（同时开始计时），设匀速旋转一周的时间为秒，从计时起旋转时间为秒；点与水底的距离为米．（1）当时：①直接写出关于的函数表达式；②求前120秒内，点与水底的距离为7米时的值；（2）若当时，点一直处于水中（含水面上），求的取值范围．19.已知函数.（1）求函数的对称中心和单调减区间；（2）若函数，，，使，（），求的取值范围.

数学一、单选题（每小题5分，共40分.）1.平面向量，满足，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用投影向量的公式即可求解.解答过程：由在上的投影向量为，故选：B.2.在中，为的中点，点E满足，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据平面向量的线性定理和几何图形求出向量.解答过程：因为是的中点，，由题意知.故选：B.3.复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：根据复数的除法进行化简，再利用复数的几何意义找到所在象限；解答过程：在复平面内对应的点在第四象限，故选：D.4.已知为钝角，向量，若，则（）A. B. C. D.或答案：C解析：思路：根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示列式计算即得.解答过程：由，得，则，即，由为钝角，得0，解得，所以.故选：C5.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中错误的命题是（）A.在中，若，则B.若，，，则有唯一解C.若，则是等腰三角形或直角三角形D.若，则角答案：D解析：思路：对于A：利用正弦定理边化角即可得结果；对于B：利用正弦定理可得，结合即可得结果；对于C：由倍角公式可得，即可得结果；对于D：利用余弦定理边化角即可得结果.解答过程：对于A，在中，由正弦定理知，，结合大边对大角可得，故命题正确，A不符合题意；对于B，因为，，，由正弦定理，得，由知，只有一解，所以有一个解，故命题正确，B不符合题意；对于C，因为，由正弦定理得：，则，因为，可知或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故命题正确，C不符合题意；对于D，因为，由余弦定理得：，即，因为，所以或，故命题错误，D符合题意.故选：D.6.已知函数对任意，都有，以下关于的命题，正确的是（）A.函数在区间上单调递增B.直线是函数图像的一条对称轴C.点是函数图像的一个对称中心D.将函数图像向右平移个单位，可得到的图像答案：C解析：思路：先求，然后结合选项逐一验证，对称轴、对称中心也可以代入检验.解答过程：因为可得，对于选项A，令得，令，可得在上单调递增，同理可求在上单调递减，A不正确；对于选项B，当时，，所以直线不是函数图像的对称轴，B不正确；对于选项C，当时，，所以点是函数图像的一个对称中心，C正确；对于选项D，将函数图像向右平移个单位，可得到的图像，D不正确.故选：C.7.已知中，是上的点，平分，且面积是面积的2倍，，则的长度为（）A. B.2 C. D.3答案：A解析：思路：根据角平分线定理，可得，利用面积关系可得，然后结合计算即可.解答过程：设的三个内角对应的边分别为由题可知，平分，所以，即，又面积是面积的2倍，所以，由，所以，，又，则，又，所以，故选：A8.已知函数的图象关于对称，且，在上单调递增，则的所有取值的个数是（）A.3 B.4 C.1 D.2答案：D解析：思路：直接利用正弦型函数的性质对称性和单调性的应用求出结果.解答过程：由于函数的图象关于对称，则：，①，由于，所以②，得：，所以，故为奇数，且在上单调递增，所以，解得．当，故的取值为：1，3，5，7，当时，可以求得，时，，满足条件；当时，因为，所以不满足条件；当时，，时，，满足条件；当时，，，既有增区间，又有减区间，所以不满足条件；所以满足条件的的所有取值的个数是2，故选：D．方法提示：关键点点睛：该题考查的是有关正弦型函数的性质，正确解题的关键是要明确正弦型函数的对称性与单调性.二、多选题（每小题6分，共18分；每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.）9.已知向量，其中均为正数，且，下列说法正确的是（）A.与的夹角为钝角B.向量在方向上的投影为C.D.的最大值为2答案：CD解析：思路：通过求出，向量在方向上的投影，利用平行关系结合基本不等式，即可得出结论.解答过程：由题意，均为正数，，A项，∵，∴与的夹角不为钝角，A错误；B项，∵，∴向量在方向上的投影为，B错误；C项，∵，，∴，即，C正确；D项，∵，即，当且仅当时等号成立，∴的最大值为2，D正确；故选：CD.10.设，为复数，下列说法正确的是（）A. B.C.若，则 D.若，则答案：BC解析：思路：对于选项A、D找反例判断即可，对于选项B、C，根据复数模的计算即可判断.解答过程：设，，，，，，对于选项A，例如，则，，两者不相等，故A错误；对于选项B，因为，，又，，则，即，故B正确；对于选项C，若，则，，所以，故C正确；对于选项D，令，，则，，所以，此时，故D错误．故选：BC.11.已知函数，则（）A.曲线的对称轴为B.在区间上单调递增C.的最大值为D.在区间上的所有零点之和为答案：BC解析：思路：由题意利用三角恒等变换整理可得：，结合余弦函数性质逐项分析判断.解答过程：由题意可得：.对于选项A：令，解得，所以曲线的对称轴为，故A错误；对于选项B：因为，则，且在内单调递增，所以在区间上单调递增，故B正确；对于选项C：当，即时，取到最大值为，故C正确；对于选项D：令，解得，可知的零点为，则在区间上的零点为，共8个，结合A可知，这些零点均关于直线，所以在区间上的所有零点之和为，故D错误；故选：BC.三、填空题（每小题5分，共15分．）12.已知，则的值等于_____________.答案：解析：思路：利用三角函数诱导公式即可求解.解答过程：因为，所以.故答案为：.13.写出一个与向量共线的单位向量_____________.答案：（答案不唯一）解析：思路：先求出，则即为所求.解答过程：所以与向量共线的单位向量为或.故答案为：（答案不唯一）14.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是__________.答案：解析：思路：先根据平移伸缩得到函数的解析式，再根据无零点列出不等式组，解出取值范围即可.解答过程：将函数的图象先向右平移个单位长度，得到函数的图象，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，.由在上没有零点，得，即，解得或.故答案为：.四、解答题（本大题有5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，总共77分.）15.已知函数（1）用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；列表：

作图：（2）直接写出函数的值域和单调递增区间．答案：（1）答案见解析；（2）值域为，递增区间为.解析：思路：（1）完善表格，然后描点连线可得；（2）根据正弦函数的有界性和单调性，利用整体代入法可得.（1）列表:0图象如图所示：（2）因为，则，即值域为.由解得，所以函数的递增区间为出16.在中，点分别在边和边上，且交于点，设.（1）试用表示;（2）点在边上，且满足三点共线，试确定点的位置.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先利用进行线性运算，再利用三点共线的性质即可求得参数；（2）利用平面向量基本定理，由对应系数相等可解出参数.（1）在中，由，可得，且，设，则，又因为三点共线，可得，解得.可得.（2）设，所以，因为，又因为，三点共线，所以，即，又因为，由平面向量基本定理得，所以，解得，所以满足.17.在中，内角的对边分别为，且.（1）证明：是钝角三角形；（2）平分，且交于点，若，求的周长.答案：（1）在中，，由正弦定理得，即，由余弦定理得.因为，所以，所以是钝角三角形.（2）解析：思路：（1）先利用正弦定理化角为边得，再利用余弦定理求得，即可证明；（2）利用面积分割法得，根据余弦定理化简求解，从而求解周长.（1）略（2）因为，且，所以，由余弦定理得：，解得或（舍去），所以，所以的周长为.18.如图所示为灌溉工具——筒车的示意图，已知筒车的半径为4米．转轴与水面的距离为2米，水深为3米．筒车其边缘上一点从图示位置开始随筒车逆时针匀速旋转（同时开始计时），设匀速旋转一周的时间为秒，从计时起旋转时间为秒；点与水底的距离为米．（1）当时：①直接写出关于的函数表达式；②求前120秒内，点与水底的距离为7米时的值；（2）若当时，点一直处于水中（含水面上），求的取值范围．答案：（1）①，；②或.（2）.解析：思路：（1）①由题意可得，；②根据题意，得，解方程即可.（2）由题意得，当时，恒成立，解不等式即可求解.（1）①由题意得，②由题意，，即，化简得，则或，解得或又由于，所以或.（2）由（1）得，，由题意得，当时，恒成立，