2025-2026学年江西省九江市武宁县武宁尚美中学高二下学期5月月考数学试卷-含解析

/数学（考试时间120分钟，试卷满分150分）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知数列：1，2，3，5，8，…，则89是该数列的第（）项.A.9 B.10 C.11 D.122.有一机器人的运动方程为，(是时间，是位移)，则该机器人在时刻时的瞬时速度为（）A. B. C. D.3.在明朝程大位《算术统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的倍，共有盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从下往上数第四层有盏灯.A. B. C. D.4.已知等差数列的前n项和为，，，则最大时（）A.6 B.5 C.4 D.35.已知等差数列{}的前n项和为，满足，且，则当取得最小值时，n的值为（）A.4 B.5 C.6 D.76.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.7.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则（）A. B. C. D.8.已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分.9.已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（）．A. B. C. D.10.已知函数（）是奇函数，是的导函数（），且有满足，则下列说法正确的是（

）A. B.函数为偶函数C. D.函数的周期为411.下列说法错误的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.命题“，”的否定是“，”C.若的前项和公式为，则数列的通项公式为.D.若数列满足，，则的值为.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12.请写出一个首项是1，且单调递减的等差数列的通项公式_____.13.若定义在上的函数的导函数为，则函数的单调递减区间是__________．14.已知函数，函数．若过点的直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则的值为__________；当、两点不重合时，线段的长为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知等差数列，，，…．（1）求该等差数列的第20项．（2）试问是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．16.（1）已知为等差数列的图象上的两点，求数列的通项公式（2）已知在等比数列中，，求.17.已知函数.(1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上为单调增函数，求的取值范围.18.已知函数：．（1）若当时，恒成立；求实数a的取值范围；（2）若关于x的方程有两个不同实数根；且，（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：．19.若是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，．（1）求数的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求证：．

数学（考试时间120分钟，试卷满分150分）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知数列：1，2，3，5，8，…，则89是该数列的第（）项.A.9 B.10 C.11 D.12答案：B解析：思路：根据数列的规律求得正确答案.解答过程：由题意可得数列从第3项起，每一项等于前两项的和，所以这个数列为：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，所以89是该数列的第10项.故选：B2.有一机器人的运动方程为，(是时间，是位移)，则该机器人在时刻时的瞬时速度为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：对运动方程求导，根据导数意义即速度求得在时的导数值即可.解答过程：由题知，，当时，，即速度为7.故选：B3.在明朝程大位《算术统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的倍，共有盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从下往上数第四层有盏灯.A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设从最上层开始灯数依次设为，，则此数列为等比数列，公比为且，故，第四层为，选D．4.已知等差数列的前n项和为，，，则最大时（）A.6 B.5 C.4 D.3答案：C解析：思路：根据题意计算得数列的通项公式，列不等式找到大于等于0的最后一项即可得解.解答过程：设等差数列的公差为d，由，，得，解得，则，由得，又，所以当时最大.故选：C.5.已知等差数列{}的前n项和为，满足，且，则当取得最小值时，n的值为（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：D解析：思路：根据等差数列的通项公式与前n项和公式可得，根据前n项和的性质确定取最值情况即可.解答过程：设等差数列{}的公差为，因为，即，所以，因为，解得，所以，则，这是关于的二次函数，开口向上，在处取得最小值，由于，最靠近的正整数为，所以当时，取得最小值.故选：D．6.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：A、B使用对应的基本初等函数的导数公式即可，对C需要结合导数乘法运算法则，对D需要结合复合函数求导法则解答过程：对A，，A正确；对B，，B错；对C，，C错；对D，，D错，故选：A7.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意可得数字黑洞为123，然后利用诱导公式即得.解答过程：根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即，∴.故选：D.8.已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：将题意转换为，再求导分析函数的最小值，根据二次函数的性质求得最大值即可解答过程：，使得成立，等价于，，当时，，递减，当时，，递增，所以当x＝－1时，取得最小值；当x＝－1时取得最大值为，所以，即实数a的取值范围是故选：B．二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分.9.已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（）．A. B. C. D.答案：ABC解析：思路：由等比数列的性质结合已知条件计算，即可判断各个选项.解答过程：由已知，，C正确；则，B正确；又，则，A正确；则，D错误.10.已知函数（）是奇函数，是的导函数（），且有满足，则下列说法正确的是（

）A. B.函数为偶函数C. D.函数的周期为4答案：ABD解析：思路：根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，以及复合函数求导即可判断.解答过程：由，则，又函数（）是奇函数，则，，因此可得，，即函数的周期为4，由，则，，因此A正确；由函数（）是奇函数，则，故，又是的导函数，则，故函数为偶函数，因此B正确；由，则为的对称轴，因此在左右附近的单调性发生改变，即为的极值点，故，因此C不正确；由，则，即，因此函数的周期为4，因此D正确.故选：ABD.方法提示：关键点点睛：解答本题的关键是正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件；(2)或是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．11.下列说法错误的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.命题“，”的否定是“，”C.若的前项和公式为，则数列的通项公式为.D.若数列满足，，则的值为.答案：BC解析：思路：对于A先判断命题充分性再判断必要性即可；对于B根据全称命题否定可以直接判断；对于C根据的前项和公式可写出其通项公式；对于D先根据题意判断数列周期性再求解即可.解答过程：对于A，①当时，成立，故充分性成立；②若，则或，故必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确.对于B，命题“，”的否定是“，”，故B错误；对于C，因为的前项和公式为，所以当时，；当时，.由于不满足，所以，故C错误；对于D，因为数列满足，，所以可得，即数列周期为，所以，故D正确.故选:BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12.请写出一个首项是1，且单调递减的等差数列的通项公式_____.答案：（答案不唯一）解析：思路：只要满足首项是1，公差小于0即可.解答过程：由题意，只要满足首项是1，公差小于0即可，可取公差为，则可得.故答案为：（答案不唯一）13.若定义在上的函数的导函数为，则函数的单调递减区间是__________．答案：解析：思路：根据导函数解析式得到原函数解析式，即可得到的解析式，再根据二次函数的性质计算可得.解答过程：解：因为函数的导函数为，所以原函数可以是，∴，∴函数的单调递减区间是.故答案为：14.已知函数，函数．若过点的直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则的值为__________；当、两点不重合时，线段的长为__________．答案：①.或1②.解析：思路：设点，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可得到切点坐标，从而得到切线方程，再由切线与也相切，利用判别式即可求出；根据确定点，即可求；解答过程：，设点，所以，解得，切点，，方程，即，联立，由，可得或1；当时，，此时，重合，舍去.当时，，此时，此时.故答案为：或1；四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知等差数列，，，…．（1）求该等差数列的第20项．（2）试问是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．答案：（1）；（2）是这个等差数列的第100项.解析：思路：（1）根据给定条件，求出该等差数列的通项公式即可求解作答.（2）利用（1）中通项公式，确定方程的解作答.（1）设该等差数列为，由，，得该等差数列的公差，因此这个等差数列的通项公式为，所以该等差数列的第20项．（2）假设是这个等差数列中的第项，由（1）得，解得，所以是这个等差数列的第100项.16.（1）已知为等差数列的图象上的两点，求数列的通项公式（2）已知在等比数列中，，求.答案：（1）；（2）解析：思路：（1）根据题意求出数列的首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解；（2）根据等比数列的通项公式求解即可.解答过程：（1）设公差为，由题意可得，则，解得，所以；（2）由题意，解得.17.已知函数.(1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上为单调增函数，求的取值范围.答案：（1）；（2）．解析：解答过程：试题分析：解题思路：（1）求导函数，利用求；利用导数的几何意义求切线方程；（2）利用“若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立”求解．规律总结：（1）导数的几何意义求切线方程：；（2）若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立；“若函数在某区间上单调递减，则在该区间恒成立．试题解析：（1）由题意知，代入得，经检验，符合题意．从而切线斜率，切点为，切线方程为．（2）因为上为单调增函数，所以上恒成立．即在上恒成立；当时，由，得；设，．．所以当且仅当，即时，有最大值2．所以所以．所以的取值范围是考点：1．导数的几何意义；2．根据函数的单调性求参数．18.已知函数：．（1）若当时，恒成立；求实数a的取值范围；（2）若关于x的方程有两个不同实数根；且，（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：．答案：（1）（2）（i）；（ii）证明见解析解析：思路：（1）利用不等式分离参变量，再构造函数求导判断单调性来求最大值，即可得参数范围；（2）（i）利用等式分离参变量，再构造函数求导判断单调性来求作出函数图象，从而可得参数范围；（ii）利用（1）来证明，从而把二元不等式化为一元不等式，再利用函数求