2025-2026学年青海省海南州高级中学高二下学期第二次月考数学试卷-含解析

/数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题共58分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.甲、乙两名同学报名参加4个兴趣小组，每人只报其中一个小组，则不同的报名方法有（）A.6种 B.8种 C.12种 D.16种2.记为等差数列的前项和，已知，，则（）A. B. C. D.3.若，则（）A.45 B.20 C.135 D.1204.要从件不同的礼物中选出件，不同的选法种数为（）A. B. C. D.5.用2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数的个数是（）A.5 B.120 C.625 D.10246.已知递增的等比数列满足，，则的公比（）A.6 B.3 C.2 D.7.已知，则（）A. B. C. D.8.已知函数，其导函数的图象如图所示，则（）A.有2个极值点 B.在处取得极小值C.有极大值，没有极小值 D.在上单调递减二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下面导数运算正确的是（）A. B.C. D.10.公比为的等比数列的前项和为，若，，则（）A. B. C. D.11.下列叙述正确的是（）A.甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法B.用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个C.4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法D.正十二边形的对角线的条数是54三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知数列的前项和满足，则的通项公式为_____13.曲线在点处的切线方程为__________.14.在的展开式中，含有项的系数为_____________．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.）15.已知函数.（1）求；（2）求函数的单调区间；（3）求在区间上的最大值与最小值.16.已知函数，数列满足，且，设．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和．17.7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种?（1）两个女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）老师不站中间，女生甲不站左端.18.某校“反诈宣传志愿服务队”共有7人，其中3名女生，4名男生.现要从中随机选出3人组成一支“反诈先锋小分队”，深入社区开展宣讲活动.（1）共有多少种不同的选择方法？（2）如果至少有1位女生人选，共有多少种不同的选择方法？（3）如果既有男生又有女生人选，共有多少种不同的选择方法？19.某医院从5名男医生和4名女医生中选出4人参加义诊服务．（1）如果男医生中的甲和女医生中的乙至少1人在内，那么有多少种选法？（请用数字作答）（2）如果选出4人中必须既有男医生又有女医生，那么有多少种选法？（请用数字作答）（3）如果男女医生各选2人，再将这4个人安排在4个并排的诊位上，每人1个位置，且男医生相邻，那么有多少种不同的安排方法？（请用数字作答）

数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题共58分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.甲、乙两名同学报名参加4个兴趣小组，每人只报其中一个小组，则不同的报名方法有（）A.6种 B.8种 C.12种 D.16种答案：D解析：思路：甲、乙各有4种报名选择，根据分步计数原理，总方法数为两者选择数的乘积。解答过程：甲有4种报名选择，乙也有4种报名选择，根据分步计数原理(乘法原理)，总方法数为种.故选：D.2.记为等差数列的前项和，已知，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.解答过程：由，则，则等差数列的公差，故.故选：B.3.若，则（）A.45 B.20 C.135 D.120答案：D解析：解答过程：若，则或，当时，（舍去）；当时，.所以.所以.4.要从件不同的礼物中选出件，不同的选法种数为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：根据组合数的定义可知，选法种数为：.5.用2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数的个数是（）A.5 B.120 C.625 D.1024答案：B解析：解答过程：用2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数的个数为.6.已知递增的等比数列满足，，则的公比（）A.6 B.3 C.2 D.答案：B解析：思路：由等比数列的性质可得的值，结合以及为递增数列可得和的值，从而可得公比.解答过程：由，，解得或，因为是递增数列，所以，则，又为递增的等比数列，所以.故选：B.7.已知，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，令，有，可得.8.已知函数，其导函数的图象如图所示，则（）A.有2个极值点 B.在处取得极小值C.有极大值，没有极小值 D.在上单调递减答案：C解析：思路：根据导函数的图象得出导函数的符号分布情况，进而可得出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解.解答过程：由导函数的图象可知，当时，，仅时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数只有一个极值大点，无极小值点，所以有极大值，没有极小值，故ABD错误，C正确.故选：C.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下面导数运算正确的是（）A. B.C. D.答案：BCD解析：解答过程：由导数的运算公式，得，故A错误，BCD正确.10.公比为的等比数列的前项和为，若，，则（）A. B. C. D.答案：ABD解析：思路：利用等比数列的通项公式列方程，解方程可得首项与公比，进而判断个选项.解答过程：由已知等比数列的公比为，且，，则，解得，所以，，故选：ABD.11.下列叙述正确的是（）A.甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法B.用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个C.4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法D.正十二边形的对角线的条数是54答案：BCD解析：思路：应用间接法求不同排法数判断A；先排千位，再排其它三位判断B；应用分步计数原理判断C；根据对角线定义及分步计数原理求对角线条数判断D.解答过程：A：将5人作全排列有种，先求甲丙相邻的情况，将甲和丙捆绑，再和其他三人全排列，有，若甲与丙不相邻，则共有种，错；B：从1、2、3中选一个放在千位有种，再把余下的3个数作全排种，共有种，对；C：由题意，每个人都有3种选择，故共有种，对；D：对于任意一个顶点都有9条对角线，但会重复计算一次，故共有条，对.故选：BCD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知数列的前项和满足，则的通项公式为_____答案：解析：思路：利用数列的前

项和

与通项

的关系计算.解答过程：当

时，；当

时，.,代入通项公式：,验证

时：若直接代入

，得

，与

矛盾，故需分段表示.因此，通项公式为分段形式：.故答案为：.13.曲线在点处的切线方程为__________.答案：解析：思路：先求导函数再求切线的斜率最后写出切线方程即可.解答过程：，所以，根据导数的几何意义可知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程为：，整理得：.14.在的展开式中，含有项的系数为_____________．答案：解析：解答过程：根据二项式展开得，含有项的系数为.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.）15.已知函数.（1）求；（2）求函数的单调区间；（3）求在区间上的最大值与最小值.答案：（1）（2）单调递增区间为，无单调递减区间（3）最大值为，最小值为解析：思路：（1）根据基本初等函数求导法则计算导数；（2）结合定义域分析导数符号得到单调区间；（3）根据单调性求解闭区间上的最值.（1）函数的定义域为，；（2）将导数通分整理得：

，分母，对分子配方得，由可知分子恒大于，因此在上恒成立，故的单调递增区间为，无单调递减区间；（3）由（2）可知在上单调递增，因此在闭区间上也单调递增，最值在区间端点处取得：，，因此在上的最大值为，最小值为.16.已知函数，数列满足，且，设．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和．答案：（1）由题意得，，，是首项为，公差为的等差数列．（2）解析：（1）略（2）由（1）知，即，，．17.7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种?（1）两个女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）老师不站中间，女生甲不站左端.答案：（1）1440种（2）144种（3）3720种解析：思路：（1）采用捆绑法，将两个女生视为一个元素，先对该元素与其余5个元素全排列，再排列女生内部，计算站法数.（2）采用插空法，先排列老师与女生，再将4名男生插入形成的空位中，计算站法数.（3）分类讨论老师站左端与不站左端的情况，结合分步乘法计数原理，利用分类加法计数原理计算站法数.（1）两个女生必须相邻而站，∴把两个女生看作一个元素，则共有6个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列，所以共有（种）站法．（2）∵4名男生互不相邻，∴应用插空法，对老师和女生先排列，形成四个空再排男生，共有（种）站法．（3）当老师站左端时，其余六个位置可以进行全排列，所以共有（种）站法：当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法，余下的5个人在五个位置进行排列，共有（种）站法．根据分类加法计数原理知共有（种）站法．18.某校“反诈宣传志愿服务队”共有7人，其中3名女生，4名男生.现要从中随机选出3人组成一支“反诈先锋小分队”，深入社区开展宣讲活动.（1）共有多少种不同的选择方法？（2）如果至少有1位女生人选，共有多少种不同的选择方法？（3）如果既有男生又有女生人选，共有多少种不同的选择方法？答案：（1）35（2）31（3）30解析：思路：（1）根据组合数的含义求解即得；（2）根据“至少有位女生”的反面情况为“没有女生”，运用间接法即得．（3）根据“既有男生又有女生人选”的反面情况为“都是女生”或“都是男生”，运用间接法即得．（1）从位女生，位男生中选出人参加“反诈先锋小分队”的选择方法数为；（2）“至少有位女生”的反面情况为“没有女生”又没有女生人选的选择方法数为，由（1）可得，至少有1位女生人选的选择方法数为．（3）“既有男生又有女生人选”的反面情况为“都是女生”或“都是男生”又因为都是女生人选的选择方法数为，都是男生人选的选择方法数为，由（1）可得，既有男生又有女生人选的选择方法数为．19.某医院从5名男医生和4名女医生中选出4人参加义诊服务．（1）如果男医生中的甲和女医生中的乙至少1人在内，那么有多少种选法？（请用数字作答）（2）如果选出4人中必须既有男医生又有女医生，那么有多少种选法？（请用数字作答）（3）如果男女医生各选2人，再将这4个人安排在4个并排的诊位上，每人1个位置，且男医生相邻，那么有多少种不同的安排方法？（请用数字作答）答案：（1）91（2）120（3）720解析：思路：（1）先算出总选法数，减去甲乙都不在的选法数即可；（2）先算出总选法数，减