2025-2026学年山东青岛海尔学校高二下学期六月阶段性检测数学试卷-含解析

/数学第Ⅰ卷（选择题58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则＝（）A. B. C. D.2.已知随机变量X服从正态分布，若，则的最大值为（）A. B. C.1 D.23.甲、乙等5名志愿者参加2026年城市马拉松赛事的“物资补给、赛道引导、医疗保障、终点服务”四项志愿工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加“赛道引导”工作，乙必须参加“终点服务”工作，则不同的安排方法数有（）A.18种 B.36种 C.42种 D.72种4.的展开式中含项的系数为（）A. B. C. D.5.已知，且，则（）A. B. C. D.6.设且，函数的值域为的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.7.已知函数则不等式的解集为（）A.B.C.(1，0)D.8.甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球，甲乙两人每次交换1个球，经过5次交换后，黑球仍然在甲手中的概率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且．则下列选项中说法正确的有（）A.为偶函数 B.周期为2C. D.是奇函数10.甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（）A. B.C. D.11.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中，除每行（不含第0行）两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（）A.第6行从左到右第4个数是15 B.第2026行的第1014个数最大C. D.记第行的第个数为，则第Ⅱ卷（非选择题92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某兴趣小组的同学想初步探究某微生物的成活率与温度的关系，微生物数量（个）与温度（℃）的部分数据如下表：温度（℃）481018微生物数量（个）30221814由表中数据算得回归方程为，预测当温度为22℃时，微生物数量为______个．13.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入_________号格子的概率最大.14.已知函数为定义在R上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2026个不同的交点，，…，，则下列叙述中正确的有________①的图象关于点对称②的图象关于点对称③④四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某工厂借助AI智能质检系统对生产零件进行分级检测，零件质量分为一等品、二等品、次品三个等级.根据生产统计，该厂生产的零件为一等品、二等品、次品的概率依次为0.7、0.2、0.1.该AI智能检测规则如下：系统可百分百准确识别一等品；对于二等品，有5%的概率被误判为次品，15%的概率被误判为一等品；对于次品，有10%的概率被误判为二等品.结合以上信息，解答下列概率问题.（1）求AI智能检测判断零件为次品的概率；（2）在AI智能检测下，若AI智能检测判定该零件为次品，求这个零件实际就是次品的概率；（3）假设零件先经过AI智能检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰.求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率.16.已知函数，．（1）若，（ⅰ）求的极值点；（ⅱ）当时，比较与大小；（2）若，，求a的取值范围．17.羽毛球广受大众喜爱，某厂商推出碳纤维材质的碳音人造羽毛球，相比传统天然羽毛球性价比更高，使用者看法各不相同.现调查男性、女性羽毛球爱好者各100名，统计结果如下：样本中偏好碳音羽毛球的人数占总人数的45%，其中偏好碳音羽毛球的女性爱好者有50人.偏好碳音羽毛球偏好天然羽毛球合计男性女性50合计200（1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，能否认为两种羽毛球的偏好与性别有关联？（2）现从男性羽毛球爱好者中按对碳音羽毛球和天然羽毛球的偏好采用分层抽样的方法抽取10人，然后从这10人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中偏好碳音羽毛球的人数为X，求X的分布列和数学期望．（3）若某羽毛球俱乐部的男女比例为．将样本的频率视为概率，现从该俱乐部中随机抽取一人，已知此人偏好碳音球，求其为男性的概率．附：，其中α0.10.050.012.7063.8416.63518.已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若恰有两个零点，求实数a的取值范围；（3）证明：当时，．19.海尔学校组织“数学史”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分．已知小王同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为p（），第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响．（1）求小王同学成功晋级复赛的概率；（2）已知小王同学已晋级复赛．（ⅰ）若，求小王同学复赛总得分为10分的概率；（ⅱ）设小王同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，问p取何值时，取得最大值？并求出．

数学第Ⅰ卷（选择题58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则＝（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：∵，且函数在上单调递增，∴，又，∴.∵，且函数的定义域为，在上单调递增，∴，∴.∴，故选D.2.已知随机变量X服从正态分布，若，则的最大值为（）A. B. C.1 D.2答案：A解析：思路：由正态分布以及二次函数的性质求解即可.解答过程：由随机变量X服从正态分布，所以，又因为，所以，由对称性可知，即，所以，当时，可得，等号成立时.3.甲、乙等5名志愿者参加2026年城市马拉松赛事的“物资补给、赛道引导、医疗保障、终点服务”四项志愿工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加“赛道引导”工作，乙必须参加“终点服务”工作，则不同的安排方法数有（）A.18种 B.36种 C.42种 D.72种答案：C解析：思路：按照“赛道引导”工作安排的人数分为两类，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解即可.解答过程：安排“赛道引导”工作的人数分为两类，第一类，“赛道引导”工作仅安排1人，因为甲不参加“赛道引导”工作，乙必须参加“终点服务”工作，从甲、乙以外的3人中选一人参加“赛道引导”项工作有种方法，再安排“物资补给、医疗保障、终点服务”项工作，若“终点服务”工作安排两人，则有种方法，若“终点服务”工作安排一人，则有种方法，所以“赛道引导”工作仅安排1人共种方法，第二类，“赛道引导”工作安排2人，有种方法，由分类加法计数原理，得共有种方法.4.的展开式中含项的系数为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用二项展开式的通项公式求解.解答过程：由，令，解得：，所以展开式中含项的系数为：.5.已知，且，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设，通过对数和幂函数将用表示，再比较大小.解答过程：设，因为，所以.所以，，.因为，所以，，故；而，所以，，因为函数在时单调递减，且，所以，即.综上，.6.设且，函数的值域为的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：分别分析函数在不同区间上的单调性和值域，再根据函数的值域为确定的取值范围，最后根据充分不必要条件的定义判断选项.解答过程：当时，，因为函数在上单调递增，则在上单调递增，所以，即在上的值域为；当时，，且.①当时，在上单调递减，所以，即在上值域为，值域存在上界，整个函数值域无法延伸到正无穷，不满足值域为，不合题意；②当时，在上单调递增，所以，即在上值域为，因为整个函数值域为，所以，解得或，又因为，所以，即.所以函数的值域为的一个充分不必要条件对应的的取值范围应为的真子集，所以B正确.7.已知函数则不等式的解集为（）A.B.C.(1，0)D.答案：B解析：思路：首先化简函数，再判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质解不等式.解答过程：，设，，所以为偶函数，所以，是偶函数，当时，，所以在单调递增，根据复合函数单调性可知，在单调递增，所以不等式，即，两边平方，整理为，解得：或所以不等式的解集为.8.甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球，甲乙两人每次交换1个球，经过5次交换后，黑球仍然在甲手中的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：记次交换后黑球仍在甲手中的概率为，根据全概率公式写出与的递推关系，然后利用构造法求出数列的通项公式，将代入通项公式即可求解.解答过程：记次交换后黑球仍在甲手中的概率为，则.①若次交换后黑球已经在甲手中：交换时甲不拿出黑球，才能让黑球留在甲手中，概率为(甲共3个球，拿白球不换出黑球的概率为)；②次交换后黑球在乙手中：交换时乙拿出黑球，才能把黑球换回到甲手中，概率为(次交换后黑球在乙手中,此时拿出黑球的概率为)；所以.故数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且．则下列选项中说法正确的有（）A.为偶函数 B.周期为2C. D.是奇函数答案：CD解析：思路：根据题意得到关于原点对称，且函数为奇函数，结合周期的定义和函数奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解.解答过程：由题意，函数关于中心对称，可得关于原点对称，即，所以函数为奇函数，所以A错误；又由是偶函数，可得关于对称，即，因为，可得，即，所以函数是周期为4的函数，所以B错误；由，令，可得，所以C正确；因为函数是周期为4的函数，可得，所以函数为奇函数，所以D正确.故选：CD.10.甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（）A. B.C. D.答案：AB解析：思路：本题结合摸球场景考查古典概型、条件概率、全概率公式及贝叶斯公式的应用，需分别计算各选项对应概率判断正误解答过程：对于A项，甲箱共有个球，其中3个为红球，因此从甲箱取到红球的概率，故A正确，对于B项，若发生，乙箱新增1个红球，变为3红2白共5个球，此时取2个红球的概率；若发生，乙箱新增1个白球，变为2红3白共5个球，此时取2个红球的概率，由全概率公式得，故B正确；对于C项，由上述计算可知，故C错误；对于D项，由贝叶斯公式得，故D错误.11.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中，除每行（不含第0行）两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（）A.第6行从左到右第4个数是15 B.第2026行的第1014个数最大C. D.记第行的第个数为，则答案：BCD解析：思路：利用二项式定理，结合组合数运算性质逐一判断即可解答过程：对A：第6行从左到右的第4个数为，故A错误；对B：第2026行一共有2027个数，即，由二项式系数的性质可知：中间的第个数最大，故B正确；对C：因为，故C正确；对D：因为，所以，故D正确．第Ⅱ卷（非选择题92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某兴趣小组的同学想初步探究某微生物的成活率与温度的关系，微生物数量（个）与温度（℃）的部分数据如下表：温度（℃）481018微生物数量（个）30221814由表中数据算得回归方程为，预测当温度为22℃时，微生物数量为______个．答案：9解析：思路：求出样本点中心，代入回归方程得到，得回归方程，可进行预测.解答过程：由表格数据可知，，，因为点在直线上，所以，即，故当时，，即预测当温度为22℃时，微生物数量为9个．故答案为：9.13.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入_________号格子的概率最大.答案：解析：思路：利用次独立重复试验中，小球掉入号格子的概率为，设小球掉入号格子的概率最大，则，再利用组合数公式，结合题目已知条件即可求解.解答过程：小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为，小球掉入0号格子，需要向左10次，则概率为；小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，则概率为；小球掉入2号格子，需要向左8次，向右2次，则概率为；小球掉入3号格子，需要向左7次，向右3次，则概率为；依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，设小球掉入号格子的概率最大，显然，则，即，即解得，又为整数，，则小球落入8号格子的概率最大.故答案为：.14.已知函数为定义在R上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2026个不同的交点，，…，，则下列叙述中正确的有________①的图象关于点对称②的图象关于点对称③④答案：②③解析：思路：根据题意，先判断函数与函数的图象有相同的对称中心，再依次判断各个选项即可.解答过程：选项①:函数为定义在R上的奇函数，则有，即，又，所以函数的图象关于点中心对称，无法判断是否关于点对称，所以选项①错误；方法二：函数为定义在R上的奇函数，则函数的图象关于坐标原点对称.函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，因此函数的图象关于点对称.无法判断是否关于点对称，所以选项①错误；选项②:函数，因此函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到.因为反比例函数的图象关于坐标原点对称，所以函数的图象关于点对称，所以选项②正确；选项③④:函数与函数的图象都关于点对称，且函数的图象不过点，所以它们的所有交点关于点对称，不妨设，则有，，所以，，所以选项③正确；④选项错误．故答案为：②③.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某工厂借助AI智能质检系统对生产零件进行分级检测，零件质量分为一等品、二等品、次品三个等级.根据生产统计，该厂生产的零件为一等品、二等品、次品的概率依次为0.7、0.2、0.1.该AI智能检测规则如下：系统可百分百准确识别一等品；对于二等品，有5%的概率被误判为次品，15%的概率被误判为一等品；对于次品，有10%的概率被误判为二等品.结合以上信息，解答下列概率问题.（1）求AI智能检测判断零件为次品的概率；（2）在AI智能检测下，若AI智能检测判定该零件为次品，求这个零件实际就是次品的概率；（3）假设零件先经过AI智能检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰.求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率.答案：（1）0.1（2）0.9（3）解析：思路：（1）由互斥事件和的概率公式与条件概率公式计算；（2）由条件概率公式计算；（3）由条件概率公式计算.（1）设事件表示“零件是次品”，表示“智能检测判断零件为次品”，事件分别表示零件是一等品、二等品，则，所以AI智能检测判断零件为次品的概率为；（2）.所以在智能检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率为.（3）设事件表示“零件需要进行人工抽检”，表示“人工抽检的零件为一等品”，，，所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为.16.已知函数，．（1）若，（ⅰ）求的极值点；（ⅱ）当时，比较与大小；（2）若，，求a的取值范围．答案：（1）（ⅰ）的极小值点是2，无极大值点；（ⅱ）；（2）.解析：思路：（1）（ⅰ）求出导函数，然后根据极值点的定义判断；（ⅱ）构造函数，利用导数求出最大值后可得；（2）构造函数，利用导数求出其最小值，然后由最小值大于0求得结论.（1）时，，，定义域是，（ⅰ）由得，列表如下：20+递减极小值递增所以的极小值点是2，无极大值点.（ⅱ）设，则，当时，，所以是减函数，所以，所以当时，，即；（2），，令，则，因为，所以，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以的最小值为，因为，所以恒成立，所以，即，从而，所以的范围是.17.羽毛球广受大众喜爱，某厂商推出碳纤维材质的碳音人造羽毛球，相比传统天然羽毛球性价比更高，使用者看法各不相同.现调查男性、女性羽毛球爱好者各100名，统计结果如下：样本中偏好碳音羽毛球的人数占总人数的45%，其中偏好碳音羽毛球的女性爱好者有50人.偏好碳音羽毛球偏好天然羽毛球合计男性女性50合计200（1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，能否认为两种羽毛球的偏好与性别有关联？（2）现从男性羽毛球爱好者中按对碳音羽毛球和天然羽毛球的偏好采用分层抽样的方法抽取10人，然后从这10人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中偏好碳音羽毛球的人数为X，求X的分布列和数学期望．（3）若某羽毛球俱乐部的男女比例为．将样本的频率视为概率，现从该俱乐部中随机抽取一人，已知此人偏好碳音球，求其为男性的概率．附：，其中α0.10.050.012.7063.8416.635答案：（1）补充列联表如下：偏好碳音羽毛球偏好天然羽毛球合计男性4060100女性5050100合计90110200在的独立性检验下，不能认为两种羽毛球的偏好与性别有关联.（2）X的分布列为：0123数学期望（或）（3）解析：思路：（1）根据已知数据可计算得到补全列表列联表所需的数据，进而补全列联表，并计算，由此可得结论；（2）根据男性两类偏好人数的比例，确定分层抽样抽取的10人中偏好碳音和天然羽毛球的人数，再确定服从超几何分布，计算取各可能值的概率得到分布列，再计算期望；（3）将样本频率视为概率，分别计算随机抽取一人是男性且偏好碳音的概率、随机抽取一人偏好碳音的总概率，再根据条件概率公式计算所求概率.（1）由题意可知，样本总人数为200人，偏好碳音羽毛球的人数为(人)；由表可得偏好碳音羽毛球的女性有50人，则偏好碳音羽毛球的男性有(人)；男性总人数为100人，则偏好天然羽毛球的男性有(人)；女性总人数为100人，则偏好天然羽毛球的女性有(人).则列联表补充如下：偏好碳音羽毛球偏好天然羽毛球合计男性4060100女性5050100合计90110200根据列表中的数据，计算；在的独立性检验下，不能认为两种羽毛球的偏好与性别有关联.（2）男性羽毛球爱好者中，偏好碳音羽毛球40人，偏好天然羽毛球60人.按分层抽样抽取10人，则抽取的10人中，偏好碳音羽毛球的人数为(人)，偏好天然羽毛球的人数为(人).从这10人中随机抽取3人，的可能取值为0，1，2，3.；；；.的分布列为：0123.（3）设事件为“抽取一人是男性”，事件为“抽取一人偏好碳音球”.由羽毛球俱乐部的男女比例为，则，.由样本频率估计概率可知，，.由全概率公式得..其为男性的概率为.18