2025-2026学年江苏省无锡市高一下学期调研考试数学试卷-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个绿球，每次从中随机摸出1个球，有放回地连续摸球两次．下列事件中，与事件“至多一次摸到红球”互为对立事件的是（）A.至少一次摸到红球 B.两次都摸到红球C.只有一次摸到红球 D.两次都没有摸到红球2.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（）A. B. C. D.3.某高中高一、高二、高三年级学生人数分别为550，550，500，为了解各年级学生每天体育活动的时间，通过分层随机抽样的方法抽取容量为64的样本，其中高二学生比高三学生多（）A.2人 B.4人 C.6人 D.8人4.已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.5.已知事件与相互独立，，，则（）A.0.9 B.0.88 C.0.76 D.0.66.已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的侧面积为（）A. B. C. D.7.如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和，其中，．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角，则塔高为（）A. B. C. D.8.已知正三棱柱的底面边长为，点到直线的距离为5，则该正三棱柱外接球的体积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则的虚部为C.若，则或D.若，则复平面内表示的点位于第一象限10.已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则()A.若，，则B.若，，，则C.若，，，，则D.若，，，，，则11.（多选题）某人抛掷骰子5次，分别记录了骰子出现的点数，根据下列统计结果，可能出现点数6的有（）A.平均数为4，中位数为4 B.中位数为4，极差为3C.平均数为3，方差为1.6 D.中位数为3，方差为3.6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张，则抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为______．13.为推进智慧城市建设，某市举办AI应用解决方案大赛，现统计所有参赛选手的成绩并绘制频率分布直方图（如图所示），已知这组的频数是这组频数的2倍．若选取成绩前25%的选手为一等奖获得者，估计一等奖的分数线为______分．14.在平面内，直线，在两直线之间且到的距离分别为1，2，过作两条相互垂直的射线与分别交于两点，为的重心．若设，，则可用，表示为______；的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量与的夹角为，，．（1）求的值；（2）设向量与的夹角为，求的值．16.在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点．（1）点，，，是否共面？请说明理由；（2）证明：平面．17.甲、乙两人参加射击比赛，规定两人各射击目标一次为一轮，击中目标者得1分，未击中者得0分．甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，假设每人每次射击的结果互不影响．（1）第一轮比赛结束，求两人得分和不为0分的概率；（2）在前20轮的比赛中，恰好两人得分相同．现决定进行加赛，规则如下：加赛中某一轮结束后，有人得分高于另一人，则得分高的人获胜，加赛结束，否则继续下一轮．加赛不超过三轮，若三轮结束后得分相同，则为平局．（ⅰ）求加赛满三轮的概率；（ⅱ）求甲获胜的概率．18.记的内角，，的对边分别为，，，，，且满足．（1）求；（2）设在上且平分．（ⅰ）若，，求的面积；（ⅱ）若，，为线段的中点，与交于点，求的长．19.如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，．（1）若平面与平面的交线为，证明：；（2）证明：平面平面；（3）若与平面所成的角为60°，求平面与平面所成二面角的正切值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个绿球，每次从中随机摸出1个球，有放回地连续摸球两次．下列事件中，与事件“至多一次摸到红球”互为对立事件的是（）A.至少一次摸到红球 B.两次都摸到红球C.只有一次摸到红球 D.两次都没有摸到红球答案：B解析：解答过程：设两次有放回摸球中摸到红球的次数为随机变量，则的所有可能取值为.事件“至多一次摸到红球”即，包含“两次均未摸到红球（）”和“仅一次摸到红球（）”两类基本事件.根据对立事件的定义，的对立事件为，即，对应事件为“两次都摸到红球”.2.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由正弦定理可得.3.某高中高一、高二、高三年级学生人数分别为550，550，500，为了解各年级学生每天体育活动的时间，通过分层随机抽样的方法抽取容量为64的样本，其中高二学生比高三学生多（）A.2人 B.4人 C.6人 D.8人答案：A解析：解答过程：三个年级的总人数.根据分层随机抽样的定义，抽样比，则高二年级抽取人数为；高三年级抽取人数为.因此高二抽取的学生比高三多的人数为人.

4.已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：向量在向量上的投影向量为5.已知事件与相互独立，，，则（）A.0.9 B.0.88 C.0.76 D.0.6答案：C解析：思路：首先利用独立事件的乘法公式求出，再根据加法公式求出.解答过程：因为与相互独立，所以，所以.6.已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的侧面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先求得圆台的高，进而求得圆台的母线长，从而求得侧面积.解答过程：设圆台的高为，依题意，，设圆台的母线长为，则，所以圆台的侧面积为.7.如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和，其中，．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角，则塔高为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，由条件可得，由正弦定理可得，然后在中，由，即可得到结果.解答过程：在中，，由正弦定理可得，，则m，在中，m.8.已知正三棱柱的底面边长为，点到直线的距离为5，则该正三棱柱外接球的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先计算底面正三角形的外接圆半径，再结合点到直线的距离求出正三棱柱的高，进而得到外接球半径，最终计算外接球体积.解答过程：设底面的外接圆圆心为，正三棱柱的外接球球心为，为的中点，连接，过点作的垂线,因为底面边长为，点到直线的距离为5，则,,，所以，所以,故正三棱柱外接球的体积为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则的虚部为C.若，则或D.若，则复平面内表示的点位于第一象限答案：ABD解析：解答过程：设，则，故，则，故A正确；，则，解得，故B正确；取，满足，故C错误；若，，则，对应点，位于第一象限，故D正确．10.已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则()A.若，，则B.若，，，则C.若，，，，则D.若，，，，，则答案：BD解析：思路：举特例可判断A；根据面面垂直的判定定理可判断B；根据线面垂直的判定定理可判断C；根据面面平行的性质可判断D.解答过程：选项A，当直线同时平行于平面与时，与可能相交，例如：当直线平行于两平面的交线时，满足条件，但此次不能得出，故A错误；选项B，由、，根据线面垂直的性质得；又，根据面面垂直的判定定理，可得，故B正确；选项C，线面垂直需直线垂直于平面内两条相交直线，但题中未明确直线相交，所以不能推出，故C错误.选项D，由且，得直线是平面与的交线；由且，得直线是平面与的交线.已知，根据面面平行的性质定理：两平行平面被第三个平面所截，所得交线互相平行，故，故D正确.11.（多选题）某人抛掷骰子5次，分别记录了骰子出现的点数，根据下列统计结果，可能出现点数6的有（）A.平均数为4，中位数为4 B.中位数为4，极差为3C.平均数为3，方差为1.6 D.中位数为3，方差为3.6答案：ABD解析：思路：通过特例可判断ABD的正误，根据出现点数6时，方差可判定C的正误.解答过程：对于选项A，当骰子的点数为2，3，4，5，6时，满足平均数为4，中位数为4，可以出现6点，故选项A正确；对于选项B，当骰子的点数为3，3，4，5，6时，满足中位数为4，极差为3，可以出现6点，故选项B正确；对于选项C，若平均数为3，且出现点数6，则，所以当平均数为3，方差为1.6时，一定不会出现点数6，故选项C错误；对于选项D，当骰子的点数为1，1，3，4，6时，，，满足中位数为3，方差为3.6，故选项D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张，则抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为______．答案：解析：思路：利用古典概型的概率求解.解答过程：从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张的基本事件有：共6种抽法；抽到的两张卡片上数字之和大于3的基本事件有共2种抽法，所以抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为.13.为推进智慧城市建设，某市举办AI应用解决方案大赛，现统计所有参赛选手的成绩并绘制频率分布直方图（如图所示），已知这组的频数是这组频数的2倍．若选取成绩前25%的选手为一等奖获得者，估计一等奖的分数线为______分．答案：解析：思路：根据频率分布直方图中频数与频率的关系求出的值，利用频率之和为求出的值，确定前选手所在的分数区间，利用面积法计算分数线．解答过程：由频率分布直方图可知，组距为．

组的频率为．因为这组的频数是这组频数的倍，且样本容量相同，所以这组的频率是这组频率的倍，即，解得．由频率分布直方图所有小矩形面积之和为，可得：

，解得．各组的频率依次为：

：；

：；

：；

：；

：．因为选取成绩前的选手为一等奖获得者，即求第百分位数．前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，所以一等奖的分数线位于内．设一等奖的分数线为，则，即，解得，即．故估计一等奖的分数线为分．14.在平面内，直线，在两直线之间且到的距离分别为1，2，过作两条相互垂直的射线与分别交于两点，为的重心．若设，，则可用，表示为______；的最小值为______．答案：①.②.1解析：思路：根据重心的几何性质，以及平面向量的线性运算，用基底表示出向量即可，根据题干条件，建立平面直角坐标系，设出点的坐标，根据垂直的向量关系，求出参数关系，进而求出向量模长的最小值.解答过程：可知，即；如图所示，以直线为轴，点为原点，建立平面直角坐标系，则直线方程为，直线的方程为，可知点在直线上，设，所以点，则，因为，所以，即，可知，因为，当且仅当时取等号，所以，所以的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量与的夹角为，，．（1）求的值；（2）设向量与的夹角为，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：根据向量的模长公式计算即可；根据向量的数量积公式及向量夹角公式计算即可.（1）因为，所以，所以.（2）因为，所以，又因为，所以.16.在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点．（1）点，，，是否共面？请说明理由；（2）证明：平面．答案：（1）点，，，共面，理由如下：连接因为分别为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为分别为的中点，所以，所以，则四点共面（2）连接因为底面为正方形，所以，因为平面，平面，则，，平面，所以平面，因为平面，所以，又因，所以因为底面为正方形，所以，易得，，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以，因为，平面，所以平面.解析：思路：（1）证明即可说明点，，，共面；（2）分别证明平面，平面，利用线面垂直的性质可得，，结合线面垂直的性质即可证明结论.（1）点，，，共面理由略（2）略17.甲、乙两人参加射击比赛，规定两人各射击目标一次为一轮，击中目标者得1分，未击中者得0分．甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，假设每人每次射击的结果互不影响．（1）第一轮比赛结束，求两人得分和不为0分的概率；（2）在前20轮的比赛中，恰好两人得分相同．现决定进行加赛，规则如下：加赛中某一轮结束后，有人得分高于另一人，则得分高的人获胜，加赛结束，否则继续下一轮．加赛不超过三轮，若三轮结束后得分相同，则为平局．（ⅰ）求加赛满三轮的概率；（ⅱ）求甲获胜的概率．答案：（1）（2）（ⅰ）（ⅱ）解析：思路：（1）通过分析事件“两人得分和不为0”的对立事件“两人得分和为0”，得出答案；（2）（ⅰ）通过加赛规则可知，要想加赛满三轮，则前两轮两人的得分应该相同，则第三轮一定会进行；（ⅱ）分别求出甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率，按照分类加法原理求和即可得甲获胜的概率.（1）设“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B，所以，，，，第一轮比赛结束后，两人得分为0分的概率为，所以第一轮比赛结束后，两人得分不为0分的概率为.（2）（ⅰ）设表示事件“加赛中第轮平局”，所以，要使加赛满三场，则前两场必须平局，所以加赛满三场的概率为.（ⅱ）若甲第一轮加赛胜出，则甲中乙不中概率为：，若甲第二轮加赛胜出，则第一轮平局，第二轮甲中乙不中概率为：，若甲第三轮加赛胜出，则前两轮平局，第三轮甲中乙不中概率为：，所以甲获胜的概率为：.18.记的内角，，的对边分别为，，，，，且满足．（1）求；（2）设在上且平分．（ⅰ）若，，求的面积；（ⅱ）若，，为线段的中点，与交于点，求的长．答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：（1）利用向量平行可得，结合正弦定理化简即可求解；（2）（ⅰ）利用等面积化简可得，结合余弦定理求得，利用三角形的面积公式即可求解；（ⅱ）利用角平分线的性质可得，设，，