2025-2026学年江苏省盐城市五校联盟高二下学期5月月考数学试卷-含解析

/数学（总分150分考试时间120分钟）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若，则（）A.5 B.6 C.7 D.82.（）A.36 B.48 C.63 D.723.的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则（）A.4 B.5 C.6 D.74.已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（）X123PnmA. B. C. D.5.已知随机变量，则（）A. B. C. D.6.设，则（）A.242 B.243 C.32 D.317.已知事件，若，，则（）A. B. C. D.8.设随机变量的分布列为，，则（）A.3 B. C.2 D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知的展开式共有8项，则（）A. B.无常数项C.含项的系数为92 D.所有项的二项式系数之和为12810.若随机变量的分布列为1230.20.5则下列结论错误的是（）A. B.C. D.11.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（）A.在棱上不存在点M，使平面B.异面直线与所成的角为C.二面角的大小为D.与平面不垂直.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量，且，则__________．13.某学校为高三学生安排语文、数学、外语、物理四场讲座，其中数学不能安排在第一场和最后一场，则不同的安排方法有____________种.14.已知多项式，则=______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知在二项式的展开式中，第项的二项式系数为，且展开式中含的项的系数为.（1）求和的值；（2）求该二项式展开式中所有的有理项.16.从包含甲、乙2人的6人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答）（1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；（2）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；（3）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒.17.如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，分别是，的中点．（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．18.某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品．（1）现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率；（2）用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望．19.如图，在直三棱柱中，，.（1）证明：三棱柱是正三棱柱；（2）证明：；（3）设平面，平面，若直线与平面的距离为，求三棱柱外接球的表面积.

数学（总分150分考试时间120分钟）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若，则（）A.5 B.6 C.7 D.8答案：C解析：解答过程：由题意得.2.（）A.36 B.48 C.63 D.72答案：A解析：解答过程：.3.的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：C解析：解答过程：根据题意可知只有最大，根据二项式系数的性质，故.4.已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（）X123PnmA. B. C. D.答案：B解析：思路：利用分布列的性质以及期望公式列方程组即可求解．解答过程：由分布列的性质可得，，所以，又因为，所以，即；联立方程，解得，所以故选：B5.已知随机变量，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用二项分布的概率公式计算即可.解答过程：由题意可知：.故选：C.6.设，则（）A.242 B.243 C.32 D.31答案：A解析：解答过程：因为，令，可得，即，令，可得，即，因此.7.已知事件，若，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用条件概率公式求解即可．解答过程：由题可知，，故选：A．8.设随机变量的分布列为，，则（）A.3 B. C.2 D.答案：D解析：思路：先利用离散型随机变量的分布列的性质求出，再根据公式求得均值，进而求得方差．解答过程：因为随机变量的分布列为，，所以，由分布列的性质可得，，解得，所以，所以，所以，故选：D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知的展开式共有8项，则（）A. B.无常数项C.含项的系数为92 D.所有项的二项式系数之和为128答案：ABD解析：思路：根据题意，结合二项展开式的通项公式和展开式的性质，逐项判定即可求解.解答过程：对于A，因为的展开式共有8项，所以，故A正确；对于B，展开式通项为，设，此时无解，所以不存在常数项，故B正确；对于C，令，解得，所以项的系数为，故C错误；对于D，展开式二项式系数和为，故D正确.故选：ABD10.若随机变量的分布列为1230.20.5则下列结论错误的是（）A. B.C. D.答案：CD解析：思路：先根据分布列的性质求出，再根据期望和方差公式及性质分别判断即可.解答过程：由题意，，解得，对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：CD.11.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（）A.在棱上不存在点M，使平面B.异面直线与所成的角为C.二面角的大小为D.与平面不垂直.答案：BCD解析：思路：取中点E，连接，，由题意证明线面垂直，即平面，建立空间直角坐标系，对于A选项，假设平面，设，由，求解即可；对于B选项，求，，由即可求解；对于C选项，分别求解平面与平面法向量，由此求解即可；对于D选项，由即可求解.解答过程：取中点E，连接，，因为为等边三角形，则，因为平面平面，平面平面，平面，平面，则平面，因为平面，所以，因为底面为菱形，，所以，所以以为原点，为轴，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，则令，则有，，则有，，，，，，对于A选项，令，若平面，则有，，则，，，则有，即点为AD中点时，有平面，故A错误；对于B选项，，，因为，则，则异面直线与所成的角为，故B正确；对于C选项，平面的法向量为，则平面的法向量为，则，，则有，即，令，则有，，故，故，故二面角的大小为，故C正确；对于D选项，，，因为，所以与不垂直，故与平面不垂直，故D正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量，且，则__________．答案：解析：解答过程：依题意得，所以.13.某学校为高三学生安排语文、数学、外语、物理四场讲座，其中数学不能安排在第一场和最后一场，则不同的安排方法有____________种.答案：12解析：解答过程：先排数学，其余全排列可得种.14.已知多项式，则=______．答案：25解析：思路：将展开为，确定各因式中的系数，相加得到.解答过程：，展开式的通项为令得，则的展开式中项的系数是；令得，则的展开式中项的系数是；令得，则的展开式中项的系数是；所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知在二项式的展开式中，第项的二项式系数为，且展开式中含的项的系数为.（1）求和的值；（2）求该二项式展开式中所有的有理项.答案：（1），（2），，解析：思路：（1）利用的展开式的通项公式，结合条件，即可求解；（2）根据条件，利用二项展开式的通项公式，得，即可求解.（1）因为的展开式的通项公式为，由第项的二项式系数为，得，解得，所以，又展开式中含的项的系数为，令，解得，所以，解得，故和的值分别为.（2）由（1）知，要求二项式展开式中的有理项，则为整数，所以，当时，，当时，，当时，，所以该二项式展开式中所有的有理项为，，.16.从包含甲、乙2人的6人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答）（1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；（2）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；（3）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒.答案：（1）24（2）72（3）72解析：思路：（1）先安排甲、乙的位置，再从剩余的4人中选2人并安排在剩余位置；（2）采用捆绑法，先选后排；（3）插空法，先从其余4人中选2人进行排列，再将甲乙两人插入空位.（1）甲乙两人在中间两棒，则有种排法，从剩下4人选出2人排列到两边，有种排法，所以共有种排法；（2）将甲乙绑定到一起，内部有2种排法，从剩下4人选出2人，有种选法，全排列3个元素有种排法，所以共有种排法；（3）先从剩下4人选出2人先排列，有种排法，将甲乙插入到已排列的两个元素邻近的3个空位中，以保证甲乙不相邻，有种排法，所以共有种排法.17.如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，分别是，的中点．（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）先证明出四边形是平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明；（2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式即可求解．（1）设的中点为，连接，，因为，是，的中点，所以在中，，，因为为正方形，为中点，所以，，所以，，即四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．（2）因为平面，，平面，所以，，在正方形中，，所以以为正交基底建立空间直角坐标系，因为，所以，，，所以.设平面的一个法向量为，所以即解得，取，得，所以，又平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．18.某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品．（1）现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率；（2）用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望．答案：（1）（2）分布列见解析，解析：思路：（1）根据超几何分布的概率计算公式，可得答案；（2）根据二项分布的概率计算公式以及均值公式，可得答案.（1）记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件，则．（2）由题意，任取一个，取到一等品的概率为，因为可能的取值为0，1，2，3，且服从二项分布所以，，，，所以随机变量的分布列如下：数学期望．19.如图，在直三棱柱中，，.（1）证明：三棱柱是正三棱柱；（2）证明：；（3）设平面，平面，若直线与平面的距离为，求三棱柱外接球的表面积.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）解析：思路：（1）通过证明三角形全等得到，即可证明三棱柱为正三棱柱；（2）建系，利用空间向量的方法证明线线垂直；（3）根据垂直关系得到可以