初中数学七年级上册第15讲 角的和差倍分运算与推理

初中数学七年级上册第15讲角的和差倍分运算与推理

一、教学目标

（一）【核心素养】达成目标

1、【数学抽象】通过生活实例（如时钟指针、折扇开合、三角尺拼摆）与动态几何画板的演示，引导学生从具体情境中抽象出角的和差关系模型，理解角的运算不仅仅是度数的加减，更是图形之间位置关系与数量关系的统一。

2、【逻辑推理】经历“观察—类比—猜想—验证—表达”的探究过程，能够从已知条件出发，依据角平分线定义、余角补角性质等，有条理地分析图形中角与角之间的内在联系，并逐步学会用“因为……所以……”的几何推理语言书写简单证明过程，初步建立演绎推理的框架。

3、【几何直观】借助折叠、拼图等操作活动，以及复杂的组合图形变式训练，培养学生分解复杂图形、提取基本模型（如邻补角模型、双角平分线模型）的能力，能够在脑海中构建图形变化与数量关系之间的动态联系。

4、【数学运算】熟练掌握度、分、秒的进制转换（六十进制）与加减乘除运算规则，能够准确、迅速地进行复杂角度的计算，并能通过估算检验运算结果的合理性。

5、【模型观念】理解并掌握“双角平分线夹角”这一基本几何模型，并能将其迁移应用到不同图形背景（如两条线从同一点出发、一条线在角内旋转）中解决问题。

（二）【知识与技能】学习目标

1、【基础】理解两个角的和、差、倍、分的意义，能用符号语言表示角的和差关系。

2、【重要】掌握角平分线的概念，并能运用角平分线的性质进行角度的计算与推理。

3、【重要】掌握度、分、秒的换算方法，能够进行简单的角的加、减、乘、除运算（重点在于加、减）。

4、【高频考点】能结合图形进行角的和、差、倍、分计算，并能解决一些与实际生活（如方位角、钟面角）相关的简单问题。

5、【难点】在较为复杂的图形中，能通过观察和分析，找出所求角与已知角之间的数量关系，并规范地书写出推理过程。

（三）【情感态度与价值观】育人目标

1、在小组合作拼三角板、折纸活动中，培养合作交流意识与动手实践能力，体验数学活动的探索性与创造性。

2、通过对我国古代角度测量单位（如“度”起源于《周髀算经》）的简要介绍，增强民族自豪感与文化自信。

3、在解决环环相扣的几何问题时，培养严谨求实的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重难点

1、【教学重点】（1）角的和、差、倍、分的意义及表示方法。（2）角平分线的概念及其应用。（3）度、分、秒的简单换算与加减运算。

2、【教学难点】（1）识图，即从复杂图形中分解出基本图形，找到角之间的数量关系。（2）进行度、分、秒的借位与进位运算（如180°-53°17′的计算）。（3）用规范的语言书写几何推理过程。

三、教材分析与学情研判

1、【教材分析】本课选自人教版七年级上册第四章《几何图形初步》第15讲。它是在学生已经学习了角的基本概念、角的度量以及线段的比较与运算的基础上进行的，是几何入门阶段从“认识图形”向“研究图形关系”迈进的关键一步。本节课不仅是对线段学习的类比迁移，更是后续学习余角、补角、对顶角以及三角形内角和等知识的基础，在初中几何体系中起着承上启下的重要作用。

2、【学情研判】知识储备上，学生已能识别角、使用量角器，并对线段的和差倍分及中点有较深理解，具备类比学习的基础。能力基础上，七年级学生的形象思维仍占主导，逻辑推理能力刚刚起步，对于纯文字和符号的推理存在畏难情绪，尤其面对复杂图形时，容易眼花缭乱，找不到解题突破口。心理特征上，该阶段学生好奇心强，喜欢动手操作，对直观、动态的教学方式接受度高。因此，本课设计需注重从动手操作（拼、折）过渡到动脑推理（说、写），并借助多媒体技术化解难点。

四、教学准备

1、【教具】多媒体课件（PPT）、几何画板动态演示素材、实物投影仪、一副大型三角板（教师用）、纸质活动角模型。

2、【学具】每位学生一副三角板、一张半透明的纸（用于折纸实验）、量角器。

五、教学实施过程

（一）【导入新课】以“形”唤“数”，类比引入（约3分钟）

1、情境创设：教师手持一大一小两把折扇，分别打开至不同角度。提问：“同学们，你们能用数学语言来描述这两把扇子张开的不同程度吗？”

2、类比唤醒：引导学生回顾比较两条线段长短的方法（度量法和叠合法）。追问：“类比线段，我们该如何比较这两个角的大小呢？如果我们想知道这两个角的度数之和或之差，又该如何操作？”

3、揭示课题：学生思考回答后，教师点明主题——今天我们就来学习“角的和差倍分运算与推理”，并板书课题。设计意图：从生活实物出发，利用“形”的直观，激活学生对“数”（度量）和“关系”（和差）的思考，自然过渡到新课学习。

（二）【新知探究一】角的比较与和差（约12分钟）

1、比较大小，温故知新

（1）度量法：学生在练习本上任意画两个角，并用量角器度量，比较大小。教师巡视，指导量角器的正确摆放与读数。【基础】

（2）叠合法：教师利用几何画板动态演示将两个角（∠ABC和∠DEF）叠合的过程。演示过程中，引导学生观察并描述三种情况：①边EF落在∠ABC内部（∠DEF<∠ABC）；②边EF与BC重合（∠DEF=∠ABC）；③边EF落在∠ABC外部（∠DEF>∠ABC）。【重要】强调叠合法的关键：顶点重合，一边重合，另一边落在重合边的同侧。

2、和差关系，形数结合

（1）图形生成：教师在黑板上画出基本图形：从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，其中OB在∠AOC的内部。

（2）问题链引导：①图中有几个角？分别是什么？（∠AOB、∠BOC、∠AOC）②观察这三个角，它们之间有怎样的数量关系？引导学生得出：∠AOC=∠AOB+∠BOC；∠AOB=∠AOC—∠BOC；∠BOC=∠AOC—∠AOB。

（3）符号化表达：教师规范板书，强调“∠”的使用和等量关系的表达。指出：两个角的和或差，其结果仍然是一个角。

（4）动手操作，深化理解：利用一副三角板拼角。【热点】①师生活动：教师提问：“用一副三角板（含30°、60°、45°、90°角），你能拼出哪些度数的角？请同学们两人一组，动手试一试，并把拼出的角度记录在练习本上。”②成果展示：请学生代表利用实物投影展示拼图结果，并说明是哪些角的和或差。预计学生会拼出75°（30°+45°）、105°（60°+45°）、120°（90°+30°或60°+60°）、135°（90°+45°）、150°（90°+60°）、15°（45°-30°）等。③追问思考：是不是任意度数的角都能用三角板拼出来？引导学生发现规律：凡是15°的整数倍数的角，都可以用一副三角板拼出。设计意图：通过拼图活动，将抽象的角的和差概念转化为直观的图形组合，极大地激发了学生的兴趣，并在操作中深化了对“和”“差”几何意义的理解，同时渗透了数论中的一些简单思想。

（三）【新知探究二】角平分线与倍分运算（约10分钟）

1、类比迁移，定义建构

（1）折纸实验：请同学们拿出准备好的半透明纸，在上面任意画一个角，并剪下来。然后对折，使角的两边完全重合，压平后展开。

（2）观察思考：观察折痕，这条折痕与角的两边有什么关系？（折痕把角分成了两个相等的部分；折痕经过角的顶点）。

（3）抽象定义：教师根据学生的描述，规范给出角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。【非常重要】

2、符号语言，三重表达

（1）结合图形，教师引导学生用符号语言表示角平分线的性质：若OC是∠AOB的平分线，则：①∠AOC=∠BOC；②∠AOB=2∠AOC=2∠BOC；③∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB。

（2）教师强调：这是几何中第一次出现用符号“∵”“∴”表达的推理雏形，是今后书写规范证明的基础。如：∵OC平分∠AOB（已知），∴∠AOC=∠BOC（角平分线的定义）。

3、典例精析，规范格式

例1：【教材变式】如图，O是直线AB上一点，∠AOC=53°17′，求∠BOC的度数。【高频考点】

（1）引导学生分析：由图形可知，∠AOB是平角，等于180°。∠AOB=∠AOC+∠BOC，所以∠BOC=∠AOB—∠AOC。

（2）板书示范，强调运算规则：解：由题意可知，∠AOB是平角，∠AOB=∠AOC+∠BOC。

∴∠BOC=∠AOB—∠AOC

=180°—53°17′

=179°60′—53°17′（借位，将180°写成179°60′）【难点】

=(179-53)°(60-17)′

=126°43′。

答：∠BOC的度数是126°43′。

（3）总结归纳：度、分、秒是六十进制，进行减法运算时，若不够减，要向高一级单位借1当60。加法运算中，逢60要进1。

（四）【巩固提升】分层训练，突破难点（约12分钟）

1、基础巩固，形成技能

（1）计算：①48°39′+67°31′；②90°—78°19′40″。

（2）如图，已知OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∠AOC=80°，∠COE=50°，求∠BOD的度数。设计意图：本题是角平分线与和差运算的直接应用，引导学生发现∠BOD=∠BOC+∠COD=1/2∠AOC+1/2∠COE，初步感知整体思想。

2、变式拓展，模型提炼

【难点突破】如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数。

（1）独立探究：学生尝试在图上标注已知条件和所求。

（2）小组合作：四人一组，讨论解题思路。教师巡视，关注学生是否能在图中识别出角平分线。

（3）全班交流：请小组代表展示两种不同的解法。

解法一：先求∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°，再由OM平分∠AOC得∠MOC=60°，由ON平分∠BOC得∠NOC=15°，所以∠MON=∠MOC—∠NOC=60°—15°=45°。

解法二：设∠BON=∠NOC=x，则x=15°。∠AOM=∠MOC，通过设未知数列方程求解。

（4）追问思考：如果去掉∠BOC=30°这个条件，你还能求出∠MON的度数吗？你能发现∠MON与∠AOB有什么数量关系吗？引导学生猜想∠MON=1/2∠AOB=45°。设计意图：通过此题，引导学生从特殊到一般，提炼出经典的“双角平分线夹角”模型：在同一平面内，从一个角的顶点出发，在角的内部有一条射线，这条射线与角的两边分别构成两个角，这两个角的平分线所夹的角等于原角的一半。此环节是本节课的高潮，有效训练了学生的逻辑推理和模型建构能力。

（五）【课堂小结】画龙点睛，内化提升（约3分钟）

1、知识回顾：请学生用思维导图或关键词的形式，总结本节课所学的主要内容：一个概念（角平分线），两种方法（比较角的大小的方法：度量法、叠合法），三种关系（和、差、倍、分），一个模型（双角平分线模型），一个进制（六十进制）。

2、思想提炼：师生共同总结本节课涉及的数学思想：类比思想（类比线段学习角）、转化思想（将未知角转化为已知角的和差）、数形结合思想（图形与数量关系的对应）、分类讨论思想（在叠合法比较大小及某些未指定射线位置的题目中）。

（六）【布置作业】分层设计，拓展延伸

1、基础性作业（必做）：完成课后练习题第2、3题。

2、拓展性作业（选做）：

（1）用一副三角板，你能画出165°的角吗？若能，请画出示意图，并用算式表示你的画法。

（2）钟表问题：在3点到4点之间，何时时针与分针重合？何时时针与分针成90°角？

六、板书设计

初中数学七年级上册第15讲角的和差倍分运算与推理

左侧：核心知识区

一、角的比较

1、度量法

2、叠合法（顶点重合，一边重合，另一边同侧）

二、角的和差

∠AOC=∠AOB+∠BOC

∠AOB=∠AOC-∠BOC

∠BOC=∠AOC-∠AOB

三、角平分线

1、定义：一条射线

2、符号：

∵OC平分∠AOB

∴∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB

或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC

中间：典型例题区

例1（角的运算）：

180°—53°17′

=179°60′—53°17′

=126°43′

★六十进制：借1当60，逢60进1

例2（双角平分线模型）：

∵OM平分∠AOC

∴∠MOC=1/2∠AOC

∵ON平分∠BOC

∴∠NOC=1/2∠BOC

∴∠MON=∠MOC—∠NOC

=1/2∠AOC—1/2∠BOC

=1/2（∠AOC—∠BOC）

=1/2∠AOB

右侧：学生展示与图形区

（用于粘贴学生拼三角板的结果、画图分析等）

七、教学评价与反思

1、【评价设计】本节课采用过程性评价与结果性评价相结合的方式。过程性评价重点关注学生在拼图、折纸等活动中的参与度、合作交流能力，以及在小组讨论中能否清晰表达自己的思路。结果性评价则通过课堂练习的即时反馈和课后作业的