小学五年级数学《小数除法：算理探究与算法建构》教案

小学五年级数学《小数除法：算理探究与算法建构》教案

一、教学内容分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域强调，数的运算教学应让学生“理解算理、掌握算法”，并“探索算理与算法的关系”。本课《小数除以整数》是小数除法单元的起始课，在知识图谱中占据承上启下的枢纽地位：它上承整数除法、小数的意义和性质，下启一个数除以小数、商的近似值及小数四则混合运算，是完整建构小数运算体系的关键一环。其核心概念在于理解“商的小数点要与被除数的小数点对齐”这一算法的算理依据——即“将计数单位相同的部分进行相除”。过程方法上，本课是发展学生“运算能力”与“推理意识”的绝佳载体。教学应引导学生经历从具体情境抽象出数学问题、利用已有知识（如元角分模型、长度单位换算、整数除法）进行多元表征和转化、通过逻辑推理归纳出一般算法的完整探究过程，而非直接灌输规则。素养价值的渗透点在于，通过探究算理，培养学生思维的严谨性与逻辑性，体会数学知识之间的内在联系，感受转化与化归的数学思想魅力，从而提升数学学习的信心与兴趣。

基于“以学定教”原则，学情研判如下：学生已熟练掌握整数除法的笔算方法，理解了小数的意义和计数单位，并具备初步的转化思想（如将小数乘法转化为整数乘法）。然而，从整数除法到小数除法存在认知跨度，学生极易出现“商的小数点定位错误”这一典型难点，其根源在于对“算理”的模糊不清，可能机械记忆规则而不明所以。此外，学生在探究过程中，其思维水平存在差异：部分学生能主动联系旧知进行迁移，部分则需要直观模型（如人民币、方格图）的支撑，另有少数学生可能停留于机械计算层面。因此，教学将通过前测问题（如：22.4元平均分给4人，每人分几元？）动态诊断起点，并在新授环节设计多层次、多表征的探究任务，为不同思维类型的学生提供“脚手架”。例如，为需要直观支撑的学生提供操作学具的机会，为思维敏捷的学生设置“为什么可以这样算”的深度追问，确保所有学生都能在各自最近发展区获得发展。

二、教学目标

知识目标：学生通过解决实际问题，理解小数除以整数的算理，即“按照整数除法的方法计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐”是基于相同计数单位相除的原理，并能正确进行笔算，初步形成对小数除法计算法则的理性认识。

能力目标：在探究算理的过程中，学生能够运用元角分换算、单位转换、数的组成分析等多种策略，将新问题转化为已解决的整数除法问题，发展迁移类推和解决问题的能力；能清晰、有条理地表达自己的思考过程。

情感态度与价值观目标：在小组合作探究中，学生乐于分享自己的算法与想法，能认真倾听并借鉴他人的思路，体验算法多样化以及从具体到抽象的数学思维乐趣，增强探究数学奥秘的信心。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的运算推理能力和模型意识。通过具体实例抽象出数学问题，建立“小数除以整数”的运算模型，并运用演绎推理，从算理层面论证算法的合理性，实现从“怎么做”到“为什么可以这样做”的思维进阶。

评价与元认知目标：引导学生学会使用“说理”来检验计算结果的合理性（如估算、用乘法验算），并能在学习过程中及小结阶段，反思自己是如何通过联系旧知来解决新问题的，初步形成“转化”策略的元认知体验。

三、教学重点与难点

教学重点是理解并掌握小数除以整数的笔算方法，特别是商的小数点的定位规则。确立依据在于，这是小数除法运算的基石，贯穿整个单元。从课标看，它隶属于“数的运算”这一核心内容，其算理的理解直接关系到学生运算能力的实质发展。从学业评价看，无论是基础计算还是解决实际问题，正确进行小数除以整数的计算都是高频且必备的技能，是后续学习复杂小数运算的逻辑起点。

教学难点是深入理解“商的小数点要与被除数的小数点对齐”的算理本质。预设的成因在于：第一，相较于整数除法结果的直观性，小数除法结果（商是小数）对学生而言更为抽象；第二，学生容易受小数加减法“小数点对齐”的负迁移影响，知其然但不知其所以然；第三，从“整数除法”到“小数除法”的认知跳跃，需要学生深刻理解“被除数是小数的除法，本质上依然是相同计数单位上的数相除”。突破方向在于，设计多角度、可视化的探究活动，让学生亲历算理的发生过程，在多元表征的相互印证中自主建构算法。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（含情境动画、可拖动的小数点演示、分层练习题）；实物投影仪。

1.2学习材料：设计分层学习任务单（含基础探究与挑战性问题）；准备人民币模型图（元、角、分）学具卡片若干套。

2.学生准备

2.1知识准备：复习整数除法笔算及小数的意义。

2.2学具准备：常规文具。

3.环境布置

3.1座位安排：四人小组合作式就座，便于交流讨论。

3.2板书记划：左侧预留核心问题与算理推导区，中部为算法流程区，右侧为学生作品展示与要点总结区。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境创设，提出问题：

1.2.课件呈现生活场景：王老师晨跑，计划4周跑22.4千米。

2.3.教师引导：“同学们，看到这个信息，你们能提出什么数学问题？”（预计学生提出：他平均每周应跑多少千米？）

3.4.列出算式：22.4÷4。师问：“这个算式和我们以前学的除法有什么不同？”（被除数是小数）“没错，这就是我们今天要研究的新问题——小数除以整数。”

5.唤醒旧知，明确路径：

1.6.“遇到新问题不要慌，想想咱们的老朋友能不能帮忙。以前我们学过的哪些知识，可能对解决这个问题有启发？”（引导学生回忆整数除法、小数的意义、元角分知识）。

2.7.“好，大家的工具箱很丰富。这节课，我们就一起当一回‘数学侦探’，利用这些旧工具，来破解‘小数除以整数’这个新案子，重点是搞清楚：商的小数点应该点在哪？为什么？”

第二、新授环节

本环节通过搭建认知阶梯，引导学生在多元表征和算法多样化的探究中，自主建构算理与算法。

###任务一：多元表征，初探算法

1.教师活动：首先，将核心问题“22.4÷4”具体化为“22.4元平均分给4人，每人分得几元？”，激活学生生活经验。随后，提供多元探究支架：1.实物模型：提供印有22.4元（2张10元、2张1元、4张1角）的学具卡片；2.单位换算：引导思考“22.4千米就是多少米？”；3.竖式雏形：在黑板上写出22.4÷4的竖式框架，暂不点小数点。布置小组合作：“请选择一种或几种你喜欢的方式，试着找出答案，并思考你是怎么分的。”

2.学生活动：小组协作探究。选择学具的学生可能先将20元平均分，再将2.4元转化为24角后继续分；选择单位换算的学生将22.4千米转化为22400米再计算；也有学生尝试直接列竖式模仿整数除法计算，但对小数点处理存疑。学生记录过程，准备分享。

3.即时评价标准：1.能否将问题成功转化为已学知识解决（转化意识）。2.操作或表述过程是否清晰、有逻辑（逻辑性）。3.小组内是否进行了有效交流与合作（参与度）。

4.形成知识、思维、方法清单：

1.5.★核心思路：转化。将小数除以整数的新问题，通过“元角分模型”或“单位换算”，转化为熟悉的整数除法问题来解决。这是解决数学问题的通用法宝。

2.6.▲关键发现：无论用哪种方法，最终都要处理“余下的‘小数点部分’如何继续除”的问题。例如，分完22元后，剩下的0.4元（即4角）需要继续平均分。

3.7.教学提示：教师巡视时，应有意识地点拨不同层次的学生：“能不能把你手里的‘钱’分一分，让大家看清楚每一步？”“如果不用钱，用长度单位，你怎么想？”

###任务二：聚焦算理，沟通联系

1.教师活动：邀请不同策略的小组上台展示。首先展示“元角分”操作过程的小组，教师用课件同步动态演示：22.4元→先分22元，每人5元余2元→2元+0.4元=2.4元→2.4元=24角→分24角，每人6角→合起来每人5.6元。关键追问：“在分的过程中，‘角’这个单位是从哪里来的？为什么要把2.4元看成24角？”引导学生说出“因为元和角之间的进率是10，2.4元就是24个1角”。接着，请用“单位换算”方法的小组展示，引导比较异同。

2.学生活动：展示小组清晰解说过程。台下学生倾听、质疑、补充。在教师引导下，学生发现两种方法的本质相通：都是把不够“整元”或“整千米”的小数部分，转化成更小的、整数的计数单位（角、米）再去分。

3.即时评价标准：1.展示时能否紧扣“计数单位”解释转化过程（思维深度）。2.倾听者能否发现不同方法之间的本质联系（洞察力）。

4.形成知识、思维、方法清单：

1.5.★算理本质：小数除以整数，当被除数的小数部分不够除时，需要将其转化为更小的计数单位，与整数部分合起来继续除。商的每一位数字，都表示相应计数单位上的个数。

2.6.▲思维进阶：从具体操作（分钱）到抽象理解（计数单位转化），是数学思维的一次飞跃。教师可以说：“看来，不管是‘元角分’还是‘千米米’，背后躲着的数学道理是一样的。”

3.7.教学提示：此环节是突破难点的关键，务必让学生“说透”，教师辅助以课件直观演示，将生活语言（分钱）与数学语言（计数单位）建立强关联。

###任务三：对接竖式，明晰算法

1.教师活动：将学生的思维引向竖式。“刚才的思考过程，怎样用我们最熟悉的竖式简洁地表示出来呢？”结合课件，将“元角分”操作与竖式计算每一步对齐演示：先用22除以4商5（表示5元）余2；重点来了，教师用红色笔将小数点落下，并提问：“把小数点落下来，在竖式中实际是做了什么？”引导学生联系任务二，理解“落下小数点”意味着准备处理小数部分，即把余下的2个“一”和后面的4个“十分之一”合起来，看作24个“十分之一”。接着用24除以4商6（表示6个十分之一，即0.6）。“这个6应该写在哪一位？为什么？”从而自然得出“商的小数点要和被除数的小数点对齐”。

2.学生活动：学生观看演示，跟随思考，回答关键提问。尝试用自己的话解释竖式中每一步对应的实际意义。部分学生可能豁然开朗：“哦！原来竖式里的每一步，就是我们刚才分钱的过程！”

3.即时评价标准：1.能否将竖式计算的步骤与具体的分物过程或计数单位变化对应起来（算理贯通）。2.能否准确说出“商的小数点为什么要和被除数的小数点对齐”（语言概括）。

4.形成知识、思维、方法清单：

1.5.★算法规则：小数除以整数的笔算方法：按整数除法的方法去除；商的小数点要和被除数的小数点对齐。

2.6.★算理阐释：“对齐小数点”是为了保证商和被除数的相同数位对齐，本质是保证相同计数单位上的数相除。教师可强调：“这个小数点不是随便点的，它是我们计算的路标，告诉我们现在正在处理的是哪个计数单位上的数。”

3.7.▲易错警示：整数部分除完后，要先点上小数点，再继续除小数部分。这是初学时的常见操作遗漏点。

###任务四：变式探究，完善认知（被除数整数部分不够除）

1.教师活动：出示新例：5.6÷7。提问：“这道题还能直接用刚才的方法算吗？有什么新情况？”引导学生发现被除数整数部分“5”比除数7小，不够商1。引发认知冲突：“整数部分不够商1，怎么办？商的小数点又该点在哪里？”组织学生先独立尝试，再小组讨论。

2.学生活动：独立尝试列竖式计算。在讨论中，学生可能类比之前思路：5个一不够分，就把5.6看成56个十分之一来分。在竖式上表现为：整数部分5除以7，商0，在个位写0；点上小数点后，将十分位上的6落下来，用56个十分之一除以7。

3.即时评价标准：1.能否主动将新情况（整数部分不够除）转化为已理解的情况（看成更低计数单位的整数）处理（迁移能力）。2.竖式中处理“0”和小数点的位置是否准确、规范（操作技能）。

4.形成知识、思维、方法清单：

1.5.★算法补充：如果被除数的整数部分不够除，要在商的个位上写0，然后点上小数点继续除。

2.6.★认知完善：小数除以整数的算理具有一致性，无论整数部分是否够除，核心都是将被除数看成若干个更小的、整数的计数单位之和再进行除法运算。

3.7.▲规范书写：强调“商0”和“点小数点”的顺序，这是竖式书写规范性的重要体现，能有效避免错误。

###任务五：对比归纳，形成结构

1.教师活动：引导学生将22.4÷4和5.6÷7两个竖式并排展示。发起讨论：“仔细观察这两个竖式计算过程，它们有什么相同点和不同点？小数除以整数的计算方法，你能完整地总结出来了吗？”教师根据学生回答，在黑板上形成结构化板书。

2.学生活动：观察、对比、讨论。总结相同点：都按整数除法算；商的小数点都与被除数小数点对齐。不同点：整数部分够除和不够除时，商整数部分的处理不同。尝试用完整的语言概括计算方法。

3.即时评价标准：1.能否通过对比，抽象概括出完整、准确的计算法则（归纳能力）。2.概括的语言是否简练、条理清晰（表达能力）。

4.形成知识、思维、方法清单：

1.5.★方法结构化：系统梳理小数除以整数的笔算步骤：①按整数除法法则去除；②商的小数点与被除数的小数点对齐；③如果整数部分不够除，商0，点上小数点再除；④如果有余数，添0继续除（为下节课埋下伏笔）。

2.6.▲思想升华：再次强调“转化”思想的核心地位，以及从具体到抽象、从特殊到一般的数学学习路径。教师小结：“同学们，我们今天通过分一分、换一换、比一比，自己‘发明’了小数除法的算法，还弄懂了背后的道理，这就是数学创造的快乐！”

第三、当堂巩固训练

设计分层、变式的练习体系，提供即时反馈。

1.基础层（全体必做，巩固算法）：

1.2.笔算：9.6÷4=14.7÷7=8.4÷6=

2.3.设计意图：直接应用算法，熟悉基本步骤。教师巡视，重点关注学困生书写规范与小数点处理。

3.4.反馈：利用实物投影展示1-2份典型作业（含正确与有小瑕疵的），组织学生互评：“他算对了吗？小数点点得规范吗？”教师点评：“看，这位同学整数部分不够除时，先写0再点小数点，步骤非常清晰！”

5.综合层（大多数学生完成，理解算理）：

1.6.解决问题：一根彩带长12.3米，平均剪成3段做蝴蝶结，每段长多少米？

2.7.判断说理：下面的计算对吗？如果不对，错在哪里？

(竖式略：24.8÷4=622.7÷5=0.44)

3.8.设计意图：在简单情境中应用，并通过辨析错误深化算理理解。

4.9.反馈：解决问题后追问：“12.3米平均分，竖式里的每一步分别对应分的是什么？”错误辨析让学生扮演“小医生”，指出错误并说出正确算法和依据。

10.挑战层（学有余力选做，拓展思维）：

1.11.思维拓展：计算0.3÷5。思考：商的十分位上为什么是0？必须写吗？

2.12.设计意图：触及“哪一位不够商1就商0”的更深层规则，为后续学习铺垫，激发深度思考。

3.13.反馈：请完成的学生分享思路，教师予以肯定并引导全班思考其必要性。

第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结与元认知反思。

1.知识整合：教师提问：“通过这节课的探索，你对‘小数除以整数’有了哪些新的认识？可以用关键词或简单的流程图表示出来吗？”鼓励学生分享，教师最后用思维导图形式总结：中心——小数除以整数；分支——算法（步骤1、2、3）、算理（计数单位相除、转化思想）、注意点。

2.方法提炼：引导学生回顾学习过程：“我们是怎样一步步揭开小数除法的奥秘的？”（从生活问题出发→用旧知识转化→多方法验证→聚焦算理→抽象算法→应用拓展）强化“转化”和“探究”的学习方法。

3.作业布置与延伸：

1.4.必做作业（基础+综合）：完成练习册相关基础题及一道实际问题。

2.5.选做作业（探究）：（1）研究：如果除到被除数末尾还有余数，怎么办？试着举例探索。（2）数学日记：以“小数点对齐的奥秘”为题，写一篇简短的学习心得。

3.6.预告：“今天解决了小数除以整数的问题，如果除数也是小数，又该怎么算呢？下节课我们将继续探险。”

六、作业设计

基础性作业：

1.笔算：26.4÷8=3.9÷3=10.5÷5=0.8÷4=

2.改正竖式中的错误（提供2道典型错例）。

设计意图：巩固算法形成，强化规范书写，通过辨错加深理解。

拓展性作业：

3.解决问题：一瓶1.5升的果汁，正好倒满6个相同的杯子。每个杯子装多少升果汁？

4.探究题：观察一组算式（如12÷5=2.4，1.2÷5=0.24，0.12÷5=0.024），你能发现被除数缩小到原来的十分之一、百分之一，商有什么变化规律吗？这与我们学过的什么知识有关联？

设计意图：在真实情境中应用计算，并引导观察、发现规律，建立知识之间的联系，培养数感。

探究性/创造性作业：

5.数学小讲师：请你当小老师，录制一个不超过3分钟的微视频，向一位“请假没来”的同学讲解“22.4÷4”这道题，重点讲清算理。

6.项目式学习预热：调查家中一种物品的单价（如每千克大米的价格、每度电的价格），根据一个月的使用量，计算平均每天的花费。准备在下周的“家庭数学”分享会上交流。

设计意图：通过“教”深化理解，并引入长周期的实践探究，将数学学习延伸至生活，培养综合应用与表达交流能力。

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.小数除以整数的基本算理：核心是将被除数看作若干个更小的、整数的计数单位（如十分之一、百分之一）之和，再按照整数除法的法则进行计算。这是理解所有小数除法运算的基石。

★2.算法规则（三步法）：①按整数除法的方法去除；②商的小数点要和被除数的小数点对齐；③如果整数部分不够除，商的整数部分写0，然后点上小数点继续除。务必按顺序规范操作。

★3.“商的小数点对齐”的本质：并非简单记忆的规则，而是为了保证商和被除数相同的数位对齐，体现“相同计数单位上的数才能直接相除”的数学原理。教学时务必让学生经历从具体模型理解这一点的过程。

★4.被除数整数部分不够除的处理（易错点）：这是对基本算法的补充。关键在于理解“不够商1就商0”，这个0起到了占位作用，明确了商的整数部分是0，从而正确引出小数部分。

▲5.与整数除法的联系与区别：联系在于基本计算法则一致；区别在于小数除法需要特别处理小数点和对齐问题，并且商可能是小数。引导学生进行对比学习，有助于知识结构化。

▲6.“转化”思想的应用：本节是“转化”（化归）数学思想的典型课例。将未知的小数除法转化为已知的整数除法，是解决问题的关键策略。应引导学生反思这一过程。

★7.估算与验算习惯：计算前可先估算（如22.4÷4，商应在5到6之间），计算后可用乘法验算（商×除数=被除数）。这是检验结果合理性、培养数感的重要方法。

★8.竖式书写规范：清晰工整地书写竖式，特别是小数点的位置要醒目。规范书写是减少计算错误的有效保障。

八、教学反思

假设本课教学已实施完毕，基于课堂观察与学生反馈，进行如下反思：

（一）目标达成度分析

从后测练习（分层训练题）完成情况看，约85%的学生能正确进行小数除以整数的笔算，知识目标基本达成。在“判断说理”环节，超过70%的学生能准确指出错误并说明“小数点没对齐”或“整数部分不够除未商0”的算理依据，这表明能力目标与思维目标中的“算理理解”在多数学生身上得到落实。小组合作探究环节，学生参与积极，能分享不同算法，情感态度目标得以体现。然而，在“挑战层”练习及“探究性作业”的初步反馈中，仅有约30%的学生能主动、清晰地阐述规律或进行深度讲解，说明高阶思维目标与元认知目标的达成范围仍有待扩大。

（二）核心环节有效性评估

导入环节的生活情境能快速引发学生兴趣，提出的核心问题清晰。任务一（多元表征）设计有效，为不同思维偏好（具象操作型、抽象推理型）的学生提供了入口，课堂呈现了“百花齐放”的初步解法。任务二（聚焦算理）与任务三（对接竖式）的衔接是关键成功点。通过将“元角分”操作与竖式步骤动态、逐一对齐演示，并辅以关键提问，成功地将多数学生的思维从具体操作引向抽象算理，实现了认知的跨越。巡视时听到学生自语“原来是这样对齐的”，便是有效证明。任务四（变式探究）及时巩固并完善了认知结构，学生通过类比迁移自主解决新情况，获得感较强。

（三）学生表现与差异化支持剖析

在小组探究中，观察到明显的层次差异：A层学生（约20%）能迅速完成多种方法探究并尝试总结；B层学生（约60%）能在学具或同伴启发下完成一种主要方法的探究；C层学生（约20%）则主要依赖直观学具操作和教师个别指导。本课设计的“任务单”包含引导性问题，以及教师巡视时的分层提问（如对C层学生问“你分完了多少钱？”，对A层学生问“为什么可以这样转化？”），基本满足了差异化需求。但反思发现，在“任务五（对比归纳）”环节，主要由A、B层学生主导发言，C层学生更多是倾听者。如何设计更有效的支架（如提供关键词卡片、句式模板），让所