浙教版八年级数学上册-坐标系内的规律题专训（解析版）

坐标系内的规律题专训

1.（2024•杭州三模）如图，弹性小球从点Q（0,1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形O/18C的边时

反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为4（2,0）,第2次碰到正方形的边时

的点为22,…，第〃次碰到正方形的边时的点为尸〃，则点尸2024的坐标是（)

3)C.(2,4)D.(4,1)

【分析】按照反弹角度依次画图，探索反弹规律，即可求出答案.

【解答】解：根据反射角等于入射角画图如下，

°1234x

由图中可知，（4，1），（0，3）,04（2，4）,P5（4，3）,最后再反射到P（0,1）,由此可知，每6次循

环一次，

/.20244-6=337-2,

・••点月2024的坐标与相同，

:.々024（4，I）.

故选：D.

2.（2024秋•宁波期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形48CD的四条边与两条坐标轴平行,已知点力（-1,

2）,点C（l,-1）.点尸从点力出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度；点。从点力出发，

沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度.记P,。在长方形边上第一次相遇时的点为,切,第二次

相遇时的点为财2,…，则加2024的坐标为是（）

C.(1,2)D.(0,-1)

【分析】根据点坐标计算长方形4BCO的周长为（3+2）X2=10,设经过，秒P,。第一次相遇，则尸点走的路

程为23。点走的路程为3/,根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，求出相遇各点坐标，进一步求出

相遇点坐标，直到找出五次相遇一循环，再用2024・5的余数即可求出第2024次相遇点的坐标.

【解答】解：长方形"CO的周长为（3+2）X2=10,

设经过/秒P,。第一次相遇，则P点走的路程为23。点走的路程为3/,

根据题意得2什3/=10,

解得1=2,

・••兰f=2时，尸、。第一次相遇，此时相遇点坐标为（1,0）,

当/=4时，P、。第二次相遇，此时相遇点忖2坐标为（-1，（）），

当1=6时，P、。第三次相遇，此时相遇点河3坐标为（1,2）,

当，=8时，P、。第四次相遇，此时相遇点M4坐标为（0,-1）,

当f=10时，0、0第五次相遇，此时相遇点坐标为（7,2）,

当f=12时，P、0第六次相遇，此时相遇点凡6坐标为（1，0）,

・••五次相遇一循环，

720244-5=404.......4,

•，.此024的坐标为（。，-1）.

故选：D.

3.（2023秋•镇海区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点4的坐标是（0,2）,以为边在y轴右侧作等边

△0441,过点小作x轴的垂线，垂足为Q,以。1小为边在右侧作等边△。小山，再过点4作x轴的垂线，

垂足为。2，以。242为边在右侧作等边△。24243,…，按此规律继续作下去，则点力2024的纵坐标为（）

A.g严方B.（_|严42

C,哼户023D.哼严24

【分析】根据点力的坐标是（0,2）,以。力为边在右侧作等边三角形04小，过点小作x轴的垂线，垂足为点

。1，得点小的纵坐标是2XJL根据以S小为边在右侧作等边三角形6小儿，过点儿作％轴的垂线，垂足为点

2

。2,得点力2的纵坐标是2义（工）2此类推，得点42024的纵坐标是（工）2023,得到问题答案.

22

【解答】解：•・•点力的坐标是（0,2）,以刃为边在右侧作等边三角形。1小，过点小作x轴的垂线，垂足为

点O］，

・•・/小00=90°-60°=30°,OA}=OA=2,

・••小小=2X』，点小纵坐标是2X_lx」，

2222

•••以幼小为边在右侧作等边三角形。//2,过点42作X轴的垂线，垂足为点。2，

-60°=3。°,O\A2=A\O{=2XX,

2

・・・4O2=LM2=2XJLX」，点右的纵坐标是2X_1XJL,即2X（A）2,

222222

■:以O2A2为边在右侧作等边三角形。2色心，

同理，得点力3的纵坐标是2X（-1）3,

2

按此规律继续作下去，得：点生024的纵坐标是2X（1）2024=（1）2023,

22

故选:A.

4.（2023秋♦上城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动

一个单位长度，依次得到点P1（0,1）；P2（1,1）；（I，（））；P4（1，-I）；尸5（2,-1）；。6（2，

0）……，则点尸2023的坐标是（）

【分析】先根据Pi（0,1）;尸2（I，1）；尸3（1，0）;尸4（1，-1）；尸5⑵-1）;26⑵0：……，得至I尸6〃

⑵，0),P6n+l(2;n1),再依据规律得到P2023的坐标即可•

【解答】解：由图形的坐标规律可得：P6n(2〃，0),P6n+1(2〃，I),

：2023+6=337...1,

P2O23的横坐标为337X2=674,纵坐标为1,

・,•点尸2023的坐标是(674,1).

故选：B.

5.(2023秋•邮州区期中)如图，在平面直角坐标系中，有若十个整数点，其顺序按图中“一”方向排列,如(1,

0),(2,0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),(4,0),……，根据这个规律探索可得第2023个点的坐标是

()

匕卜

〃•⑸4)

4

•(4,3).(5,3)

•(3,2)t*(4,2)I.(5,2)

/ItJ

./•(12,!)•0/,1)J«(4,1).r(5,1),

~O(1*0)^*0)(3！0)Vo)(5*0)>

A.;63,5)B.(63,6)C.(64,5)D.(64,6)

【分析】应先判断出第2023个点在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解.

【解答】解：把第一个点(1，0)作为第一列，(2,0)和(2,1)作为第二列，

以此类推，则第一列有1个点，第二列有2个点，…，

第〃列有〃个点，则〃歹)共有个点,并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上，

2

•••1+2+3+……+63=2016,

，第2023个点一定在第64歹IJ,由下到上是第7个点，

因而第2023个点的坐标是(64,6),

故选：

6.(2022春•越城区校级月考)如图，动点尸在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到

(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),按这样的运动规律，经过第2023次运动

后，动点夕的坐标是()

【分析】根据图象可得出：横坐标为运动次数，纵坐标依次为1，0,2,0,每4次一轮，进而即可求出答案.

【解答】解：根据动点尸在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，

第1次从原点运动到点(1,1),

第2次接着运动到点(2,0),

第3次接着运动到点(3,2),

・••第4次运动到点(4,0),第5次接着运动到点(5,1),

•••9

・•・横坐标为运动次数，经过第2023次运动后，动点尸的横坐标是2023,

纵坐标依次为1,0,2,0,每4次一轮，

.*.20234-4=505••…3,

・•・经过第2023次运动后，动点夕的坐标是(2023,2),

故答案为：C.

7.(2023•上城区开学)小明在编程课中，通过程序控制机械狗在一个格方上走动的坐标变化为(1,1)—(2,3)

f(3,7)-(4,15)T,根据以上规律，则尸点的坐标为()

A.-5,30)B.(4,31)C.(5,31)D.(4,29)

【分析】根据题意得出相应规律求解即可.

【解答】解：•・•(1，1)一(2,3)-(3,7)-(4,15)-P

:.(1,21-1)-*(2,22-1)-*(3,23-1)-(4,24-1),

・•・2点的坐标为(5,25-1),即为(5,31),

故选：C.

8.(2023春•玉环市校级期中)对点G,y)的一次操作变换记为4(x,歹)，定义其变换法则如下：P](x,y)=

(x+y,x-y)；且规定(x,y)=P\(P,；.|(x,y))(〃为大于1的整数).如修(1,2)=(3,-1),P?

(1,2)=Pi(Pi(I,2))=尸[13,-1)=(2,4),%(1，2)=尸1(尸2(1，2))=PX(2,4)=(6,-

2).则P2023(1，-1)=()

A.：(),2lftll>B.(0,-2,011)

C.(0,-2l°12)D.(0,21012)

【分析】根据操作方法依次求出前几次变换的结果，然后根据规律解答.

【解答】解：P\（L-I）=（0,2）,

P2（1，-1)=P\(Pi(L-D)=Pi(0,2)=(2,-2),

(1,-1）=Pi（尸2（1，-1））=尸1（2,-2)=(0,4)=(0,22),

-I))=P|(0,4)=(4,-4)=(22,4),

尸4（1，-I)=P](尸3(1,

-1)=P\(P<1>-1»=P\(22,-22)=(0,23),

P5(1,4

020233，-I)=(0，21012).

故答案为：D.

9.（2023秋•江北区月考）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点。运动到点4

（1,I）,第二次运动到点P2（2,1）,第三次运动到点尸3（3,0）,第四次运动到点2（4,-2）,第五次运动

到点心（5,（））,第六次运动到点尸6（6,2）,按这样的运动规律，点七023的纵坐标是（）

【分析】根据图象可以得出规律，溶动后的点的坐标特点可以发现规律，横坐标与次数相等，纵坐标每6次运动

组成一个循环：P|（1,1）,P2<2,1）,P3（3,0）,P4（4,-2）,P5（5,0）,P6（6,2）,P-j（7,0）,P8

（8,1）...»再根据规律直接求解即可.

【解答】解：观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点4（1,1）,第二次运动到点P2（2,1），第三次

运动到点P3（3,0）,第四次运动到点尸4（4,-2）,第五次运动到点（5,0）,第六次运动到点4（6,2）,

运动后的点的坐标特点可以发现规律，横坐标与次数相等，纵坐标每6次运动组成一个循环：P|（1,1）,尸2

(2,1),P3(3,0),P4(4,-2),P5(5,0),P6(6,2),P7(7,0),%(8,1)…,

72023=7X289,

，动点尸2023的坐标是（2023,0）,

工动点22023的纵坐标是0，

故选：B.

1（）.（2023秋•慈溪市月考）如图，在平面直角坐标系中，△小力2小，△43444，△为//7，…都是斜边在X轴上，

斜边长分别为2,4,6,…的等腰直角三角形，若△442/3的顶点坐标分别为小（2,0）,4（1，1），43（（），

0）,则依图中所示规律，力2023的坐标为（）

A.(-1010,0)B.(-1008.0)C.(2,-505)D.(1,506)

【分析】观察图形可以看出小〜4；45〜48.…每4个为一组，由于2023+4=505余3,42023在X轴负半轴，纵

坐标为0,再根据横坐标变化找到规律即可解答.

【解答】解：观察图形可以看出小〜4；4〜月8……每4个为一组，

72（1234-4=505……3,

・・・42021在4轴负半轴，纵坐标为0，

VJj,J7,小i的横坐标分别为0,-2,-4,

则44“+3的横坐标为-2〃，

•"2023的横坐标为-2X505=-1010,

・・・力2023的坐标为（-1010,0）.

故选：A.

11.（2。20秋•东阳市期末）如图，在平面直角坐标系中，点小在x轴的正半轴上，⑤在第一象限，且是

等边二角形.在射线08］上取电约，为，…，分别以与s，B必,…为边作等边二角形AS力2约，△

当用当，…使得小，力2，43，…在同一直线上，该直线交y轴于点C若。小=1,ZOA\C=30<1,则点我的

横坐标是（）

C.256

【分析】根据题意求山点办，治，处的坐标，然后找出8点坐标的变化规律，即可求出比的横坐标・

【解答】解：•••△O小办是等边三角形，0m=1,

・・・8|的横坐标为。小=。为，

设©（_1_,y）,则g）2+了2=]2,

解答或y=（舍），

22

：.B]（X返），

22

・・・。々所在的直线的解析式为y=^r,

•Q4i=l,NO为C=30°,△。小8[是等边三角形,

.N514C=9O°，

•/。々小=/8/242=60°，

•B\A\//〃242,

・上当小。=/4242m=90°，

・上当42小=30°，

•8|42=2/118|=2,

•仪的横坐标为且,

2

片北「手,

B（2,6巨）,

22

同理:同77%）

22

（耳唔,

2

总结规律:

B\的横坐标为』，

2

82的横坐标为工+1=反，

22

%的横坐标为工+1+2=工，

22

为的横坐标为工H+2+4=』»,

22

・••点B9的横坐标是上+1+2+4+8+16+32+64+128=旦1.

22

故选：B.

12.（2023春♦路桥区期中）如图，在平面直角坐标系中，动点尸从坐标原点（0,0）出发，以每秒一个单位长度

的速度按图中箭头所示的方向运动，第1秒运动到点（1,0）,第2秒运动到（1,1）,第3秒运动到（0,1）,

第4秒运动到点（0,2）,…则第2023秒点尸所在位置的坐标是（)

A.;44,1)B.(1,44)C.(44,0)D.(0,44)

【分析】分析点〃在坐标系中的运动路线，寻找点P运动至x轴或y轴时的点坐标的规律.

【解答】解：根据题意列出P的坐标寻找规律.

P\(1,0)：

尸8⑵0)；

尸9(3,0)；

P24(4，0)：

。48(6,0)：

即尸2〃⑵+2)坐标为(2〃，0).

尸2024<44,0).

•••02023坐标为尸2024（44,0）退回一个单位（44,1）.

故选：A.

13.（2022春•诸暨市期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形小81G。],D1E1E2B2,4282c2。2，D2E3E4B3,

43氏。3。3…按如图所示的方式放置，其中点必在》轴上，点Ei，%，。2,原，当，…在X轴上，已知正

方形小SG5的边长为2,NSGO=60°,41G〃&C2〃&Q….则点力2022的纵坐标为（）

3

【分析】利用正方形的性质、含30°角直角三角形性质及勾股定理得出小的纵坐标，进而得出变化规律即可得

出答案.

【解答】解：如图，过点小作小G]_Lx轴于点G1，过点々作41Q_L/1G|于点尸1，过点月2作力2G2Lr轴于点

G],过点G作立尸2，42G2于点尸2,

过点43作A3G3±X轴于点G3，过点作B3F3YA3G3于点&,

•••五方形小小。1功的边长为2,Z5|Ci<>=60°,S|G〃62c2〃63c3,

卢1-82&，D2E5-B5E4,ZD}C}E]=ZC2B2E2-^CyB5E4-30°,N8℃i—/4口与一90°

AD\E\=OC\=A\F\—11

:.E?B2=I，

在RtAZ?|OC|中，。41=581'12_0笠2=)22-F=«,

VZOG\F\=ZBiOCi=ZGiFi5i=90°,

・•・匹边形OBiBGi是矩形,

・"iG[=O8i=«,

.,.J|GI=F|GI+JIFI=V3+1=（恒）■1+（近）

33

即点小的纵坐标为：（近）7+（近）°：

33

同理可得：点前的纵坐标为：（4）°+（近）*：

33

点出的纵坐标为：（近）'+（1）2;

33

点4的纵坐标为：（返）〃-2+（近）H-1.

33

・•・点朋（））2的纵坐标为：（近）2。圆+（返）2021.

33

故选：C.

14.（2023秋•舟山月考）如图所示，长方形力8co的两边4C、C。分别在x轴、j，轴上，点C与原点重合，点力

（-1,2）,将长方形48。沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点力的对应点记为小；经过第二次翻滚,

点力的对应点记为42；…，依次类推，经过第2023次翻滚，点力的对应点力2023的坐标为（）

B(C)Ox

A.13032,1）B.（3033,0）C.（3033,1）D.（3035,2）

【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点力对应点一循环，先求出2023+4的商和余数，从而解答本题.

【解答】解：如图所示：

观察图形可得经过4次翻滚后点A对应点一循环，

20234-4=5053,

•:点.,4(-1,2),长方形的周长为：2(2+1)=6,

：,A3(3,0),

,经过505次翻滚后点力对应点力2023的坐标为(6X505+1+2,0),即(3033,0).

故选：B.

15.(2023秋•义乌市期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点4(0,2),点8在第一象限内，ZOAB=\20°,

AO=AB,将△力08绕点。逆时针旋转，每次旋转60°,则第2023次旋转后点8的坐标为()

A.(273,0)B.(V3,3)c.(-V3,3)D.(-2V3,0)

【分析】求出向〜生的坐标，探究规律，利用规律解次问题即可.

在中，/AHB=9G,NB4H=180°-120°=60°,AB=OA=2,

；・力方=/)4・cos60°=1,BH=4^AH=M，

•：4BOH=30°,

：.OB=2BH=2y/3,B(V3»3),

由题意Bi(-V3»3),B2(-2«,0),B3(-V3»-3),九(畲，-3),B5(2«,0),6次一个循

环，

720234-6=337-1,

・，・历023(-V^，3),

故选：C.

16.(2024•浙江模拟)生活中很多图案都与斐波那契数列1,1,2,3,5,8,…相关，如图，在平面直角坐标系中,

依次以这组数为半径作90°的圆弧，得到一组螺旋线，若各点的坐标分别为P|（-1,0）,P2（0,1）,P3（1，

【分析】观察图象，找出图中每个点的运动轨迹与数组的变化规律，推出P7的坐标，即可解决问题.

【解答】解：观察发现：Pi（-h0）先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到P2（0,1）：P2（0,1）

先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到P3（1，0）；

03（1，0）先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到匕（・1，-2）；

。4（-1，-2）先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到尸5（-%1）；

2（-%1）先向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到尸6（1，6）；

根据1,1,2,3,5,8,13,…的变化规律可知，

06（1，6）先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到P7（9，-2）；

故答案为：（9,-2）.

17.（2024春•玉环市期末）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.请你观察图中正方形

小色82。2。2,4383c3。3…每个正方形四条边上的整点的个数.按此规律推算出正方形42538253。253。253

四条边上的整点共有2024个.

【分析】根据题意，依次求出正方形四条边上的整点个数，发现规律即可解决问题.

【解答】解：由所给图形可知，

正方形小©G5四条边上的整点个数为：8=1X8；

正方形42&。2。2四条边上的整点个数为：16—2X8；

正方形力383c3。3四条边上的整点个数为：24=3X8；

所以正方形4冏3四条边上的整点个数为8〃个，

当〃=253时，

8/?=8X253=2024（个），

即止方形彳253例53。253。253四条边上的整点个数为2024个.

故答案为：2024.

18.（2023秋•江北区期末）如图，在平面更角坐标系中，直线/与x轴交于点81，与），轴交点于。，且081=1,

NOD8|=60°,以08]为边长作等边三角形小08],过点小作小治平行于x轴，交直线/于点治，以小当为

边长作等边三角形力2小历，过点42作力2为平行于x轴，交直线/于点阳，以42%为边长作等边三角形

力3483,…，按此规律进行下去，则点4的横坐标是31.5.

【分析】观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可.

【解答】解：・・・。为=1,ZODBi=60°,

设OD=x,则。8]=2x,

在长△OQ当中，

。加为产股为

即:一+口=⑵）2,

解得：x=®,

3

.*.OD=近，当（1,0）,NO6m=30°,

3

：,D（0,■近），

3

如图所示，过力1作为力_LO由于4wyOA=^OB\=­t

22

即Al的横坐标为工=21二L,

22

由题可得/小828]=N08|0=30°,N&小81=/小8。=60°,

・•・/小582=90°，

:.A1^2=2A[B[=2,

过/b作《28JL小