三角形的内角 （讲义）-2026-2027学年八年级数学上册（人教版）

13.3.1三角形的内角（讲义）

学习目标

1.知道三角形内融和定理的内容。

2.理解三角形内角和定理的证明思路（主要指通过拼合的方法）。

3.能运用三角形内角和定理解决简单的角度计算问题和判断三角形的类型。

知识点梳理

1.三角形内角的定义：

讲解：三角形中，相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

一个三角形有三个内角。

2.三角形内角和定理：

（1）内容：三角形三个内角的和等于180度。

（2）讲解：无论三角形的形状和大小如何，它的三个内角的度数相加起来，总

和始终是180度。这是三角形的一个非常重要的性质。

3.三角形内角和定理的探究与证明思路（撕拼法）：

（1）探究过程：我们可以通过动手操作来发现这个定理。将一个三角形的三个

内角剪下来，然后把它们的顶点拼在一起，使三个角的一条边顺次在一条直线

上，这时你会发现，这三个角正好组成了一个平角。因为平角的度数是180

度，所以三角形的三个内角和就是180度。

（2）证明思路提示：（详细证明会在课堂学习，预习中了解思路即可）在纸上

任意画一个三角形，过它的一个顶点作一条直线平行于这个顶点的对边，利用

平行线的性质（例如：两直线平行，内错角相等），可以将三角形的另外两个

内角“转移”到这条直线匕与这个顶点的内角组成一个平角，从而说明三角

形内角和为180度。

4.三角形内角和定理的应用：

(1)已知三角形的两个内角的度数，求第三个内角的度数。

■方法：用180度减去已知的两个内角的度数之和，所得的差就是第三

个内角的度数。

・公式表示：在aABC中，ZA+ZB+ZC=180度，所以NC=180

度-NA-ZBo

■例如1：在一个三角形中，己知两个内角分别是30度和60度，求第

三个内角的度数。解：第三个内角的度数=180度-30度-60度

=90度,

■例如2：在一个三角形中，已知两个内角分别是45度和45度，求第

三个内角的度数。解：第三个内角的度数二180度-45度-45度

=90度。

(2)已知三角形中一个内角的度数以及另外两个内角之间的关系(如相等、倍数

关系等)，求各内角的度数。

•方法，设其中一个未知角为x度(或根据关系设为含x的代数式)，根

据三角形内角和定理列出方程，解方程求出未知角的度数。

•例如：在一个三角形中，ZA=50度，ZB=ZC,求NB和NC的度

数。解：设NB=NC=x度。根据三角形内角和定理可得：50度+

x+x=180度50度+2x=180度2x=180度-50度=130度x

二65度所以NB=ZC=65度。

(3)判断三角形的类型(按角分类)。

■方法：在求出三角形三个内角的度数后，如果有一个角是90度，那么

它是直角三角形：如果有一个角大于90度，那么它是钝角三角形；如

果三个角都小于90度，那么它是锐角三角形。

■例如：一个三角形的三个内角分别是30度、60度、90度，这是一个

直角三角形。

三、知识总结

1.核心知识点：三角形三个内角的和等于180度（三角形内角和定理）。

2.重要应用：

（1）己知三角形的两个角，求第三个角。

（2）已知三角形角的关系，求各角的度数。

（3）判断三角形的形状（锐角、直角、钝角三角形）。

3.思想方法：转化思想（将三角形内角和问题转化为平角问题）。

4.注意事项：在运用定理进行计算时，要注意单位“度”的使用，并且计算要准确。

巩固练习

一、选择题

1.若直角三角形中有一锐角为15°,则另一锐角为（）

A.15°B.65°C.75°D.85。

2.在ZkABC中，如果乙4+48=90°,那么△48C是（）

A.直角三角形B.纯角三角形C.锐角三角形D.斜三角形

3.在△ABC中，若乙4=90。，则/B+/C（）

A.120°B.45°C.60°D.90°

4.在△ABC中，乙力=248=72。，贝吐C等于（）

A.30°B.36°C.72°D.108°

5.在A/IBC中，44二20。，4B=70。，则△ABC的形状是（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形

6.如图，Rt△ABC中，ZACB=90°,CD_LAB于点D,则下列结论不一定成立的是（）

A.Zl+Z2=90°B.Z2=Z3

C.N1=N4D.Zl=30°

的度数为（)

D.325°

8.如图，AB//CD,ACJ_BC于点C,图中与NCAB互余的角有（

AB

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

9.ABC中，ZC=90°,44一=30°,则乙4=.

10.△48C中，Z.C=30°,乙4与乙8的度数比是1:2,则乙A的度数是.

11.已知△A8C中，AD为边BC上的高，LBAC=50°,^CAD=20°,则40

12.如图，AB〃CD,ZBAE=ZDCE=45°.填空：

•・•AB〃CD,

•••zl+45°+42+45°=.

・•・Zl+Z2=

，ZE=

13.如图，从地面48上点B处射向平面镜AC上点。的光线经过反射后的光线是。E,根据光的反射原

理可知，^ADB=^CDE,若乙力=70。，△480=40。，则乙BOE的度数是

c

B

14.一副含有30。和45。的直角三角尺叠放如图，则图中乙。的度数是

15.如图，在△ABC中,Z/1=50°,41=30。，Z2=40°,zO的度数是

16.如图，ZkABC中，Z.ACB=90°,CDJL4B于点D,/.BCD=36°,Z.CEA=70°,则

LEAB=_________

三、解答题

17.如图，在△ABC中，AD_LBC于点D,AE平分NBAC.

(1)若NB=30。，ZEAD=45°,求NACB的度数.

（2）通过以上计算，试猜想NEAD,ZACB,NB之间有什么数量关系，并说明理由.

18.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AB边上的高线CD与NCAB的平分线AE交于点F.若

ZCAE=25°,求NCFE的度数.

19.学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题:

已知：如图，AB//CD.

【初步感知】如图1,若乙C=3乙B,求的度数;

【拓展延伸】如图2,当点从尸在两平行线之间，且在位于8c异侧时，求证：+ZE=ZC+

乙F;

【类比探究】如图3,若乙48E=3zE8P,乙CFE=3乙EFP,若4E=88°,4c=130°,直接写出

乙BPF的度数.

20.已知，△ABC中，ZC>ZB,AE平分NBAC,M是AE上一点，MN_LBC于N.

（1）如图①，当点M与A重合时，若/B=40。，ZC=80°,求NEMN的度数:

（2）如图②，当点M在线段AE上（不与A,E重合），用等式表示NEMN与NB,NC之间的

数量关系，并证明你的结论；

（3）如图③，当点M在线段AE的延长线上，连接MC,过点A做MC的垂线，交MC的延长

线于点F,交BC的延长线上于点D.

①依题意补全图形；

②若NB=a。，ZACB=p°,ZD=y°,则NAMC

（用含a,[3,y的式子表示）

参考答案

1.C

2.A

3.D

4.C

5.B

6.D

7.B

8.B

9.60°

10.50°

11.30。或70。

12.180°；90°；90°

13.40°

14.105°

15.120°

16.16

17.(1)解：由已知,得ND=90。，ZBAC=2ZBAE.

若NB=30°,ZEAD=45°,则NBAE=15。，ZBAC=30°,ZACB=120°.

(2)解：ZACB-ZB=2ZEAD.

理由如下：

由己知，WZAED=90°—ZEAD,ZBAE=ZAED-ZB=90°—ZEAD-ZB,

则乙84c=2/.BAE=180°-2^EAD-248.

而乙AC8=180°一乙8—Z-BAC=180°-ZB-(180°-2ZEAD-2ZB)=2ZEAD+ZB,

即NACB-NB=2NEAD.

18.解：ZCAE=25°,AE平分NCAB,

AZEAB=ZCAE=25°,

•・•CD是△ABC的高，

AZADC=90°,

・•・ZAFD=900-ZEAB=65°,

・•・ZCFE=ZAFD=65°

19.解：【初步感知】解：vAB//CD,

:.+々C=180°,

vLC=3/-B>

:.LB4-3乙B=180°,

LB=45°；

【拓展延伸】证明：过点E作EM//AB,过点F作FN//AB,

vAB//CD,

AB//CD//EM//FN,

LB+乙BEF+Z.FEM=180°,乙EFN+乙EFC+ZC=180°,乙EFNLFEM,

•••LB+乙BEF=Z.C+乙CFE；

【类比探究】102°

20.(1)解：

VZB=40°,ZC=80°,

・tZBAC=180°-40°-80°=60。.

又TAE平分NBAC,

AZCAE=ZBAC=30°,

VZC=80°,ZMNC=90°,

AZCMN=10o,

，ZEMN=ZCAE-ZCMN=3O°-1O°=2O0；

(2)解：ZEMN=i(ZC-ZB).