2026年高考数学一轮复习（新高考）重难点专训01 排列组合中的常见方法技巧（学生版+解析）

重难点专训01排列组合中的常见方法技巧

解题方法及技巧提炼................................................................1

题型通法及变式提升................................2

题型一：特殊元素（位置）优先法.............................................................2

题型二：相邻问题与不相邻问题...............................................................2

题型三：分组分配问题.......................................................................3

题型四、涂色问题............................................................................3

题型五：数字排列问题.......................................................................4

题型六：定序问题............................................................................5

题型七、相同元素隔板法.....................................................................5

题型八：双面手问题.........................................................................6

题型九：配对模型............................................................................7

题型十：最短路径与爬楼梯问题...............................................................7

重难专题分层过关练................................................................9

巩固过关....................................................................................9

创新提升...................................................................................10

解题方法及技巧提炼TP

一、特殊元素与特殊位置优待法

对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。

二、插空法（不相邻问题）

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两

端空隙中插入即可

三、捆绑法（相邻问题）

解题思路：对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列,

注意捆绑部分的内部顺序。

四、定序问题（消序法）

在排列问题中限制某儿个元素必须保持一定顺序称为定序问题，这类问题用消序法求解比较方便快捷

五、多面手问题

•般要通过分类讨论，根据多面手参与的角色类型拆分计算。通常将多面手视为“动态元素”，分析其

被分配到不同任务的情况（例如不参与、参与A任务、参与B任务或同时参与两种任务等），再结合剩余

单一能力者进行组合计算。该方法通过穷举多面手的所有合理分配路径，结合加法原理完成整体计数。

六、涂色问题：

根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法；（2）根据使用颜色总数

分类讨论；（3）根据某2个不相邻区域是否同色分类讨论；（4）根据相间区域使用颜色的种类分类讨论;

（5）遇到点或线或面的涂色问题，可将空间问题平面化转化成区域涂色问题。

七、隔板法

将几个相同的元素分给〃?个不同的对象有G”种方法可描述为〃-1个空中插入m-1块板.

八、分组分配问题

〃个不同元素按照某些条件分配给左个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问

题；将〃个不同元素按照某些条件分成左组，称为分组向题。分组问题有不平均分组、平均分组、和部分

平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而

后者即使2组元素个数相同，但因对•象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

若其中有均匀分组的情况，应注意不要重复，有〃组均匀，最后必须除加；

若是完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象

■题型通法及变式提升＜＜＜、

题型一：特殊元素（位置）优先法

【例1】甲、乙、丙、丁4人排成一排，则甲不在排首的概率为（）

A.!B.-C.；D.—

4324

【例2】某景区新开通了A,B,C3个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每

名志愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且丁不体验C项目，则不同的

体验方法共有（）

A.12种B.18种C.24种D.30种

【变式1-1】有2位老师和4名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（）.

A.32种B.64种C.96种D.144种

【变式1・2】将d排成一列，〃不在首位且〃不在末位的不同排法共有种.

【变式1-314个家长和3个儿童去爬山，7个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同

的排列种数为种.

题型二：相邻问题与不相邻问题

【例3】某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中

甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（）

A.36种B.72种C.144种D.288种

【例4】现有3名男生和3名女生要与班主任站成一排合影，班主任站中间，则3名女生有且仅有2名相

邻的站法总数为.（结果用数字作答）.

【变式2-1】某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，

“谷雨”，“芒种”，“白露"，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里」要求“雨水”和“谷雨”两

块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（）

A.144B.240C.336D.456

【变式2-2】将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车

与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（）

A.6B.12C.18D.24

【变式2-3】两名老师和甲、乙等五名学生站成一排，要求甲不站最左边，两名老师相邻，且乙和老师不

相邻，则不同的排法共有（）

A.774种B.796种C.816种D.834种

题型三：分组分配问题

【例5】已知4位学生被分配到4、B、C三地学习，每地至少分配一位学生且每位学生只能去一个地方学

习，则不同的分配方式有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

【例6】2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震.现从各省共抽派7支抢险

工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（）

A.1800B.16800C.14280D.25200

【变式3-1】哈尔滨市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等六名教师被随机地分到A及。，。四个不同的中

学，且每个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法（）

A.1080B.1560C.2640D.3960

【变式3-21某户外探险俱乐部组织10名成员（6名男性，4名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战.为

了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组（不区分两组的顺序），且4名女性不能在同一组，则

不同的分组方法共有（）

A.60种B.120种C.180种D.720种

【变式3-3】学校开展班级轮值活动，高二某班有AB,C,。四个轮值小组负责甲、乙、丙三个地点的站

岗值班任务，每个小组负责一个地点，每个地点至少有一个小组负责，且A小组不去甲地点，则不同的任

务分配方法种数为.（用数字作答）

题型四、涂色问题

【例7】用四种颜色给下图的6个区域涂色,每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的

C.120D.144

［例8］某社区广场有一个如图所示的花坛,花坛有1,2,3,4四个区域，现有6种不同的花卉可供选择,

要求相邻区域不能种植同•种花卉，中间圆圈区域不种植花卉.若从所有种植方案中任意选一种，则这种方

案中花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为（）

c16

A.—D.—

1363

【变式4-1］如图,某社区为墙面A、B、C、。四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色,

相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂法有（）

B.24种C.48种D.144种

【变式4-2】如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.现有红、

黄、蓝、绿四种不同的颜色供选择给赵爽弦图涂色，要求每个区域只涂一种颜色且相邻两个区域颜色不同,

不同的涂色方法总数为（）

②

①

/⑤/③

A.48B.24C.144D.72

【变式4-3】如图所示，现要给固定位置的四棱锥P-ABC。的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜

色，可供选择的颜色共有5利。则不同的涂色方案共有一种.

题型五：数字排列问题

【例9】从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，用这5个数字组成的没有重复数字的五

位数的个数为（）

A.7200B.19200C.11040D.12000

【例10］若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位二的数字都大，则称这个数为“凸数”，如

360、253等都是“凸数”.用0,1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数

中“凸数”的个数为（）（用数字作答）

A.20B.25C.30D.40

【变式5-1］（多选）用数字（）』,2,3,4组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（）

A.一共可以组成96个数B.一共可以组成120个数

C.一共可以组成偶数60个D.一共可以组成72个大于2000的数

【变式5-2】有6张卡片分别写有数字1J122,3,从中任取4张，可排出不同的四位数的个数

【变式5-3】用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字且至多有一位数字是偶数的四位个数,

那么这样的四位数一共有_个.

题型六：定序问题

【例11】现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层,

若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）

A.8400B.11760C.13440D.20160

【例12］某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脑肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪

时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡盹肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的

下锅顺序共有（）

A.12种B.16种C.24种D.28种

【变式6-1】重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，

表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的

2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（）

A.10B.20C.60D.30

【变式6-2】如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆2个，另一堆是3个，现需要全部装运，每次只能从

其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（）

777777777777/777/777777777/7

A.10B.20C.60D.120

【变式6-3】要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要再插入5个歌唱节目，则共有一种插

入方法.

题型七、相同元素隔板法

【例13】某校庆典活动开场舞安排高中三个年级的16名学生共同完成，要求每个年级至少安排1名学生,

则名额的分配方案共有（）

A.105种B.455种C.120种D.560种

【例14】从5个班级中选10人组成校篮球队，每个班级至少选1人，则不同的选法有一种.

【变式7-1】2025年5月17日进行全国高中数学联赛（江苏赛区）预赛，某校拥有11个参加预赛的名额,

现将这11个名额分配给高二的四个班级，有班级可以不分配名额，则名额分配的不同种数为（）

A.455B.364C.210D.120

【变式7-2】15个相同的小球放入编号为1,2,3的盒子内，盒子内的小球数不小于编号数，则不同的放

法有一种.

【变式7・3】方程x+），+z+w=l6共有一组正整数解，共有_组非负整数解.

题型A：双面手问题

【例15】“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端

午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现

要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）.

A.26种B.31种C.36种D.37种

【例16】某县医院联合专家去农村义务会诊，其中有5人只精通中医，4人只精通西医，还有2人既精通

中医又精通西医，现从这II位专家中选4名中医4名西医，有多少种不同的选法？

【变式8-1】高二年级某班要准备一个节目在学校艺术节里展演，报名参加的同学中有5人只会唱歌，2人

只会跳舞，另外还有1人既能唱歌又会跳舞，现在节目需要2人唱歌，2人跳舞，则不同的选人方案共有

种.（用数字作答）

【变式8-2】某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中

选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有一种.

【变式8-3】已知II名运动员中有5人只擅长足球，4人只擅长篮球，另外2人篮球与足球都擅长.

（1）若让这II名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法

种数；

（2）从这11名运动员中选派4人参加某项活动，要求这4人中有2人擅长足球，有2人擅长篮球，求满足条

件的选派方法种数.

题型九：配对模型

【例17】某人家的抽屉里有4双不同花色的袜子，从中随机任取3只，则这3只袜子中恰有2只花色相同

的概率为（）

3323

A.—B.—C.—D.—

78716

【例18】有三对双胞胎共6人，从中随机选出2人，且不能是同一对双胞胎的选法种数为（）

A.10B.12C.13D.30

【变式9-1】已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2

个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（）

A.288B.144C.72D.36

【变式9-2］从6双不同的鞋子中任取4只，恰是两双的选法有一种，恰有一双的选法有一种.

【变式9-3】有两个家庭共8人暑假到新疆结伴旅游（每个家庭包括一对夫妻和两个孩子），他们在乌鲁

木齐租了两辆不同的汽车进行自驾游，每辆汽车乘坐4人，要求每对夫妻乘坐同一•辆汽车，且该车上至少

有一个该夫妻自己的孩子，则满足条件的不同乘车方案种数为

题型十：最短路径与爬楼梯问题

【例19】某楼梯一共有8个台阶，甲同学每步可以登一个或两个台阶，一共用6步登上该楼梯，则甲同学

登上该楼梯的不同方法数是（）

A.10B.15C.20D.30

【例20］（多选）如图，正方形网格棋盘，其中A，A,4位于棋盘上一条对角线的4个交汇

处.在棋盘M，N处的甲、乙两个质点分别要到MM处，它们分别随机地选择一条沿网格实线走的最短

路径，以相同的速度同时出发，直到到达N,M处为止，则下列说法正确的有（）

A.甲从〃到达N处的走法种数为20

B.甲从M必须经过上到达N处的走法种数为9

C.甲、乙能在A处相遇的走法种数为36

D.甲、乙能相遇的走法种数为164

【变式10-1］（多选）2024年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动.小明在如

图的街道E处，小华在如图的街道/处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（）

A.小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条

B.小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条

C.若图中〃处修路不通，则小明到老年公寓选择的最短路径条数为15条

D.若小明要去图中H处取参加活动的必需物资，则小明到老年公寓选择的最短路径条数为25条

【变式10-2］如图，沿着箭头从点P走到点。，有一种不同的最短路径.

Q

【变式10-3】某人要经过一段有：4级台阶的楼梯，他每次迈步时都是一步迈两级或三级台阶，那么他的

走法有一种.

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巩固过关

1.“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备

分别为6个相同的跳箱和3箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则

不同的分配方案有（）

A.35种B.70种C.140种D.210种

2.某电影院一排有7个座位，中间有条过道，过道左侧有4个座位，右侧有3个座位，现有包含小明，小

刚，小强在内的7位同学购买了某一排的座位，其中小明想和小刚坐在一起，小强想坐在右侧，则共有

（）种不同的排法.

A.216B.264C.312D.528

3.花江大峡谷被誉为“地球的裂缝”，是贵州喀斯特地貌类型最为齐全的天然亚热带岩溶景观博物馆，自

2022年1月花江峡谷大桥正式开工建设以来，贵州桥梁集团等承建单位的建设者们不畏严寒酷暑，奋战在

花江大峡谷600多米的云山雾海里，为大桥早日建成攻坚克难、不懈努力.某日，从张师傅、李师傅、王

师傅等8名花江峡谷大桥建设工人中选取4人轮休，要求张师傅和李师傅不能同时轮休、且张师傅和王师

傅必须同时轮休或在岗，若轮休的4人需要在四个不同时间返回待岗室进行设备检查，且每人只需返回一

次，则不同的轮休方案有（）

A.360种B.480种C.600种D.720种

4.如图，某社区为墙面A、B、C、。四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共

边）不能用同一种颜色，若只有囚种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（）

AB

CD

A.12种B.24种C.48种D.84种

5.现有6个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不同方式分别从中拿取3个球：

甲从所有球中一次性随机抽取3个；乙将小球平均分为A,3两堆后，先从A堆中一次性取，个，再从8

堆中一次性取3T个（0<i&3）,则乙的不同取法种数比甲多种.

6.某校安排甲，乙，丙，丁共4位教师分别去高一，高二，高三三个年级任教，其中每个年级至少安排

一位教师，若甲，乙不去高三年级但能去其他两个年级，丙，丁都能去三个年级，则不同的安排方案的种

数为.（用数字作答）

7.将四张标有1、2、3、4的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中

至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按4-321取走卡片的顺序是“和谐序”，按I-

234取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这4张卡片，则取K顺序是“和谐序”的概

率为.

123

4

8.2025年3月1口起，《新能源汽车运行安全性能检验规程》正式实施，新能源汽车的动力蓄电池安全

充电检测和电气安全检测成为必检项目.现将九款新能源汽车分别编号为1,2,3,9,从中随机抽取

四款汽车进行检测，则使得抽出的汽车号码存在连续编号的取法种数为

9.如图，在矩形A8C。中，A8=2BC=2,M,N分别为边A8，CO的中点，在以A,B,C,D,

N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相反的向量共有一对.

4MB

10.2025年为我省新高考综合改革实施第二年，为进一步提升高考备考业务能力，考虑派八中、九中、十

中、新阳、职中、新梦想六所学校的校长去江苏省、河北省、湖北省、重庆市四个地方培训，每个地方至

少有一名校长去培训，但八中校长和九中校长不能在同一个地方培训，则不同的分配方案有一种.

创新提升

1.某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能（A/）技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键

5次，每次点击随机生成数字。或1或2,点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖

券码为0,则获一等奖：如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一

次抽奖，则他获二等奖的概率为（）

A80「25「70-20

A.---B.—C.---D.—

2438124381

2.10名象棋手进行单循环赛（每两名选手比赛一场），规定两人对局胜者得2分，平局得1分，负者得0

分.比赛结束，1（）名选手得分互不相同，且第2名得分是后5名的总得分和的则第2名的得分为

3.2024年10月30口，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空

间站.为领悟航天精神，感受中国梦想，某市组织了一次航天知识竞赛.已知该市A,四所学校各

派两名学牛.参加本次竞赛，这8名学生要坐在如下表所示的座位，开赛前大会，则同一学校的两名学生在

同一列和同一行中均不相邻，且每一行有且只有3个不同学校的学生的概率为

4.互不相同的正整数满足（2025—）（2025-3（2025-c）（2O25-"）=6,满足条件的有序实数对

有组（结果用数值表示）.

重难点专训01排列组合中的常见方法技巧

解题方法及技巧提炼................................................................

题型通法及变式提升................................................................2

题型一：特殊元素（位置）优先法.............................................................2

题型二：相邻问题与不相邻问题...............................................................2

题型三：分组分配问题.......................................................................3

题型四、涂色问寒............................................................................3

题型五：数字排列问题.......................................................................4

题型六：定序问题............................................................................5

题型七、相同元素隔板法.....................................................................5

题型八：双面手问题.........................................................................6

题型九：配对模型............................................................................7

题型十：最短路径与爬楼梯间翘...............................................................7

重难专题分层过关练................................................................9

巩固过关....................................................................................9

创新提升...................................................................................10

,>>>解题方法及技巧提炼<<<、

一、特殊元素与特殊位置优待法

对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。

二、插空法（不相邻问题）

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两

端空隙中插入即可

三、捆绑法（相邻问题）

解题思路：对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列,

注意捆绑部分的内部顺序。

四、定序问题（消序法）

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题，这类问题用消序法求解比较方便快捷

五、多面手问题

一般要通过分类讨论，根据多面手参与的角色类型拆分计算。通常将多面手视为“动态元素”，分析其

被分配到不同任务的情况（例如不参与、参与A任务、参与B任务或同时参与两种任务等），再结合剩余

单•能力者进行组合计算。该方法通过穷举多面手的所有合理分配路径，结合加法原理完成整体计数。

六、涂色问题：

根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法；（2）根据使用颜色总数

分类讨论；（3）根据某2个不相邻区域是否同色分类讨论；（4）根据相间区域使用颜色的种类分类讨论;

（5）遇到点或线或面的涂色问题，可将空间问题平面化转化成,区域涂色问题。

七、隔板法

将n个相同的元素分给m个不同的对象（〃>ni）,有种方法可描述为n-\个空中插入m―1块板.

八、分组分配问题

〃个不同元素按照某些条件分配给％个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问

题；将〃个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组向题。分组问题有不平均分组、平均分组、和部分

平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而

后者■即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对丁后者必须先分组后排列。

若其中有均匀分组的情况，应注意不要重复，有〃组均匀，最后必须除加；

若是完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象

题型通法及变式提升<<<、

题型一：特殊元素（位置）优先法

【例1】甲、乙、丙、丁4人排成一排，则甲不在排首的概率为（）

A.：B.|C.\D.1

【答案】D

【详解】将4人全排列共有A：=24种排列，

若甲在排首，将其余3人全排列共有A；=6种，则甲不在排首的排列共有24-6=18种，

1Q4

因此甲不在排首的概率为9=].

244

故选：D

【例2】某景区新开通了A,8,C3个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每

名志愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且丁不体验C项目，则不同的

体验方法共有（）

A.12种B.18种C.24种D.30种

【答案】C

【详解】若甲、乙、丙3人体验的项目各不相同，丁体验小8之一，则有C；A；=12种体验方法；

若甲、乙、丙3人中有2人体验的项目相同，丁体验A、8之一，

则有C；C；A；=12种体验方法,

故不同的体验方法共有12+12=24种.

故诜：C.

【变式1-1］有2位老师和4名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（）.

A.32种B.64种C.96种D.144种

【答案】D

【分析】

【详解】2位老师不能分开，即将他们捆绑为一个整体，2位老师的顺序可交换，有A；=2种排法，

老师不排在首尾，由于将2位老师看成一个整体了，与4名学生一共是5个位置在排列，

2位老师不能选首尾的2个的位置，只能选中间的3个位置中的一个，2位老师选定后，剩下4名学生在4

个位置全排列，

所以有C；A：=3x4x3x2x1=72种排法,

根据分步乘法计数原理，不同的排法一共有A；C；A：=144种.

故选：D.

【变式1-2】将。，4。/,当/排成一列，〃不在首位且力不在末位的不同排法共有种.

【答案】504

【详解】根据题意将。力Cd，G/徘成一列，有A：=720种排法，

而。在首位,有A；=120种排法,同理6在末位,有A；=120种排法，

当。在首位,同时b在末位有A：=24种排法,

则。不在首位且力不在末位的排法共有720-120-120+24=504种.

故答案为：504.

【变式1-3】4个家长和3个儿童去爬山，7个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同

的排列种数为种.

【答案】1440

【详解】第一步，先从4个家长中选2个家长排在排头和排尾，共有A：=I2种排法；

第二步，将剩余的5人排在队伍中间，共有A；=120种排法.

所以，满足条件的排法种数有12x120=1440种.

故答案为：1440

题型二：相邻问题与不相邻问题

【例3】某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中

甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（）

A.36种B.72种C.144种D.288种

【答案】C

【详解】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有A；A；=12种站法；

第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有A：=12种站法.

根据分步乘法计数原理，不同的站法共有12x12=144种.

故选：C

【例4】现有3名男生和3名女生要与班主任站成一排合影，班主任站中间，则3名女生有且仅有2名相

邻的站法总数为.（结果用数字作答）.

【答案】432

【详解】班主任站中间位置，只有I种站法；

从3名女生中选2名女生并“捆绑”，有C；种选法；“捆绑”的2名女生内部有A；种排列顺序；

3名男生全排列，有A；种排法，3名男生排列后形成4个空位（包括两端）：

从4个空位中选2个空位插入“捆绑”的女生整体和剩余1名女生，有A：种插空方法；

根据分步乘法计数原理，总站法数为C；xA；xA；xA：=3x2x6x12=432.

故答案为：432

【变式2-1】某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，

“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两

块展板不相邻，且'泊露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（）

A.144B.240C.336D.456

【答案】C

【详解】根据题意，第一步，让“雨水”和“谷雨”不相邻，不同放置方式种数为A：4；

第二步，让“雨水和“谷雨”不相邻且“白露和“寒露”相邻，不同放置方式种数为内隹用；

所以不同放置方式种数为父&-/1；&=336.

故选：C.

【变式2-2】将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车

与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（）

A.6B.12C.18D.24

【答案】B

【详解】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放，

所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有A；种排法，与余下的两辆车全排有A；种排法，

所以共有A；♦A；=12种不同的停放方法.

故选：B.

【变式2-3】两名老师和甲、乙等五名学生站成一排，要求甲不站最左边，两名老师相邻，且乙和老师不

相邻，则不同的排法共有（）

A.774种B.796种C.816种D.834种

【答案】C

【详解】不考虑甲的排列限制，先不排乙和两名老师，其他人任意排列有A：种排法，

再将两名老师（捆绑在一起）和乙插入五个空隙中，有A；种排法，即此时排法有A：A；A；=960种,

而甲站最左边的排法有A；A；A；=I44种，

故符合条件的排法共有960-144=816利I

故选：C.

题型三：分组分配问题

【例5】已知4位学生被分配到A、B、。三地学习，每地至少分配一位学生且每位学生只能去一个地方学

习，则不同的分配方式有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

【答案】D

【详解】根据题意，先从4人中选2人组成一组，有种方法，

然后将3组学生分配到A、B、C三地学习，有A；种方法，

由分步计数原理知共存C：A；=36种不同的分配方法，

故选：D.

【例6】2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震.现从各省共抽派7支抢险

工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（）

A.1800B.16800C.14280D.25200

【答案】B

【详解】分组分配上有3,1,1,I,1与2,2,1,I,1两种方式.

I

若是3,1,II，1，则有上.A；=4200ft；

A4

若是2,2,11,・A；=12600种.

所以共有4200+12600=16800种.

故选:B.

【变式3/】哈尔滨市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等六名教师被随机地分到四个不同的中

学，且每个中学至少分到一名教师,共有多少种不同分法（）

A.1080B.1560C.2640D.3960

【答案】B

【详解】依题意，可分为两类情况：第一类，将八名教师按照分配到A及。,。四个不司的中学,

右螺c；c；c：

XA：=480种分法;

第二类，将六名教师按照2:2:1:1分配到A5,G。四个不同的中学，有xA：=1080种分法.

A武

故由分类加法计数原理，共有480+1080=1560种不同分法.

故选：B.

【变式3-21某户外探险俱乐部组织10名成员（6名男性，4名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战.为

了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组（不区分两组的顺序），且4名女性不能在同一组，则

不同的分组方法共有（）

A.60种B.120种C.180种D.720种

【答案】B

C2C3

【详解】由题意可知分两种情况：一种是2名女性和3名男性一组，剩下5人一组，则有安=60种方

法

另一种情况是I名女性和4名男性一组，剩下5人一组，则C：C：=60种方法,

由分类加法原理可知共有60+60=120种不同的分组方法.

故选:B.

【变式3-3】学校开展班级轮值活动，高二某班有AB,C,。四个轮值小组负责甲、乙、丙三个地点的站

岗值班任务，每个小组负责一个地点，每个地点至少有一个小组负责，且A小组不去甲地点，则不同的任

务分配方法种数为.（用数字作答）

【答案】24

【详解】若甲地点去一个小组，从BGO组选一组去甲地点，有C；=3种,

再将剩下的3个小组分配到剩下的2个地点，且每个地点至少有1个小组，有C；A；=6种，此时共有

3x6=18种：

若甲地点去两个小组，从8C,。组选两个小组去甲地点，有C；=3种，

将利卜.的2个小组分配至IJ剩卜.的2个地点有A；=2种，此时共存3x2=6种.

综上，不同的任务分配方法种数为18+6=24种.

故答案为：24

题型四、涂色问题

【例7】用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的

涂法（）

E

D

A.72B.96C.120D.144

【答案】C

【详解】设四种颜色分别为1、2、3、4,

（1）四种颜色都用：

先涂区域8,有4种填涂方案，不妨设涂颜色1,

再涂区域C,有3种填涂方案，不妨设涂颜色2,

再涂区域E,有2种填涂方案，不妨设涂颜色3,

若区域A填涂颜色2,则区域。，户填涂颜色1、4或4、3,

若区域A填涂颜色4,则区域填涂颜色1、3或4、3,

共4种不同的填涂方法.由分步乘法计数原理可得，共有4x3x2x4=96种不同的涂法.

（2）四种颜色只用其中的三种颜色：

即当AC同色，睨。同色，瓦尸同色，共有4x3x2=24种不同的涂法.

综上所述，根据分类相加计数原理可得，共有24+96=120种不同涂法.

故选:C

【例8】某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1,2,3,4四个区域，现有6种不同的花卉可供选择,

要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉.若从所有种植方案中任意选一种，则这种方

案中花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为（）

【答案】B

【详解】当区域I与区域3种植同一种花卉时，该花坛种植方案共有C；C；C；C；=15。种；

当区域1与区域3不种植同一种花卉时，该花坛种植方案共有=480种.

故该花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为」51三

150+48021

故选:B