中考数学 重难专项突破8 主从联动问题

中蓍数学

重难专项、专题突破

专项8主从联动问题

俞典例精讲

类型一动点的轨迹是直线

[2025.14>26(1)(3),2024、2023、2022.13]

例1如图，在△力6C中，D为BC边上一点,连接力O,点七在上,

且BC=6.

(1)当点。从点B运动到点。时，请在图中画出点£的运动轨迹；(不写

作法)

解：(1)如解图，点£的

运动轨迹为线段4刍；

RD

⑵则点E运动的路径长为2.

【解法提示】=

VDE=2AE,Un

•・•点。在BC上运动，工点£的轨迹为线段Ei%，

与BC平行，•・•△NEiE2s△/BC，••・^^=啜:

,:BC=6,：.EXE2={BC=2.

(2)则E)的最小值为W.

【解法提示】如解图，过点尸作尸E，_LCG于点中，9：AABC

和均为等边三角形，：.AB=AC,AD=AEfABAC

=ZDAE=6Q°,：.ZBAD=ZCAE9

且△/C£(SAS),：.ZABD=ZACE=6Q°,

•••点。在运动过程中，N4CE始终等于60°,4

，当EFJ_CG,即当点E与点E，重合时，E尸的长最小，

最小值为E下的长，••♦/C=Z6=4,尸为/。的中点，/勺

ACF=2,：.EfF=CF^n60°=V3,'。

厂的最小值为遍.解图

方法解读

条件：定点力,动点尸，Q,ZPAQ=a9竟为定值A,点尸在直线BC

上运动.

情形1：），Q,P三点共线

情形2：A9Q9尸三点不共线

结论：当点尸的轨迹在直线上时，点。的轨迹也在直线上:

⑴产，。两点轨迹所在直线的夹角等于“：

(2)P,。两点轨迹长度之比等于PP：20=A.

几何画板动态演示

AA

BPCBPC

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类型二动点的轨迹是圆[2023.26(1)(2)]

例3如图，在中，ZACB=90°,AC=59BC=129。是以

点力为圆心，3为半径的圆上一点，连接5D,"是的中点.

⑴请在图中画出点M的运动轨迹；(不写作法)

解：(1)如解图，点”的运动轨迹为

B

R

解图

(2)则CM的最小值为5・

【解法提示】如解图，连接OM,AD,CO,

•••41是50的中点，AOM//AD,OM=-AD,

2

，0M=|,工点/在以。为圆心，|

为半径的圆上，yZACB=90°,AC=5fBC=

12,•・.ZB=13,：.CO=^9・・・CM的最小值为产

解图

例4如图，线段NB=8,尸是平面内一个动点，且8尸=2,连接力P,

以ZP为斜边在/P上方作RtZk/CP,且。=。尸，连接5C.

⑴请在图中画出点C的运动轨迹；（不写作法）

解：（1）如解图，点C的运动轨迹为

解图

(2)则8C的最大值为5Y2.

【解法提示】如解图，以44为斜边，在上方作等

腰RtaZ5Z),连接CO,则6。=4低，易得*=*=

APAB

—,ZCAD=ZPAB:4CADS/\PAB,：.—=—

29PBAD

=y,VBP=29：.CP=V2,

•・•点P在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，

•••点C在以点。为圆心，鱼为半径的圆上运动，当4

B,C,。三点共线，且点。在5。延长线上时，5c最解图

大，最大值为4鱼+鱼=5鱼.

方法解读

条件：定点4动点尸，。，/PA?=a,四为定值A,点尸在。。上运

动.

情形1：z,Q

情形2：A9Q

结论：当点尸的轨迹在圆上时，点。的轨迹也在圆上：

(1)两圆心与定点连线的夹角等于主、从动点与定点连线的夹角，即

ZOAM=ZPAQ；

(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比，也等于

两圆半径之比，即/尸：AQ=AO：AM=PO：QM=k.

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命针对训练

1.如图，00的直径46=4,尸为00上的动点，连接力尸，。为4尸的

中点，若点尸在圆上运动一周，求点。经过的路径长.

解：如解图，连接02，

VAB=49：.AO=29

丁。为力产的中点，/.OQ±AP9

：.ZAQO=90°,

解图

.,•点。在以力。为直径的圆上运动,

•工点P在圆上运动一周，点2经过的路径长为加・40=2元.

2.如图，在RtZk4BC中，ZACB=90°,CA=CB=29CD±AB于点、

D,七为6c的中点，尸为CO上一动点，尸为力尸的中点，连接尸石，求

尸E的最小值.

解：如解图，当点尸与点。重合时，£4的中点为

P,当点尸与点。重合时，尸力的中点为尸3连接上

EP',EPZ

ff

PPI则P尸〃〃CD,EP//AB9

,:CDLAB9

解图

由题意得，点尸在上运动，

•:Epgpp、

，当点尸在P”位置时，P£最小，

在△ABC中，ZACB=90°,CACB=2,

：.AB=2y/2,

:.EPff=-AB=y[2

29解图

•••尸石的最小值是鱼.

3.如图，在口力5CD中，BC=<2AC,且Z6_LZC,歹为45边上一动

点，将尸C沿C尸折叠，点B的对应点为夕，E为夕。的中点，设点尸

从点6运动到点力的过程中，点E经过的路径长为加，46的长为〃，求

配的值.

n

解：如解图，点夕在弧58〃上运动，则点E的运

动轨迹为弧MV,

以点C为圆心，长为半径画弧血？〃，使得

NBCB"=90°,取5C的中点再以点C为

圆心，CM长为半径画弧MN,使得NMCN=

90°,

解图

VBC=y[2AC,ABLAC,

：

•cosNACB=­BC=—29

：.ZACB=45°,BC=42AB=42n9

工当点/运动到点力时，

点B的对应点落在点5",NBCB”=90°

VCE=-CBf：.CM=-BC=—n

29229

•901TCM\[2n•mV2n

..m=--------=——n••一=——・

18049n4

4.如图，在腰长为2的等腰Rt△46C中，尸为BC边上一动点，以4P,

OP为直角边向右作等腰RtZk/PD,M为尸。的中点.在点P从点B运动到

点。的过程中，求点M经过的路径长.

解：如解图，取8c的中点AT,以/C为直角边作

等腰RtZi/lCO”,取C。"的中点M”,连接

由题意得，当点尸在点B处时，点M在点M处，

当点尸在点C处时，点M在点处，

解图

A线段MW”即为点M的运动轨迹,

分别过点M”,。〃作BC的垂线，交BC的延长线

于点£,尸，

易得M〃£是^CFD”的中位线,

和△力C。”都是等腰直角三角形，

：.ZDffCF=180°—ZACB—ZACDff