2025-2026学年人教版八年级数学下册同步练习 第2课时 正方形的判定

第2课时正方形的判定

基础提优题目

1.下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形是正方形的是（）

2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列三个结论:①当AB=BC时.它是菱形;②当AC_LBD时，它是

矩形:③当AC=BD,AC1BD时，它是正方形.其中结论正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

（第2题）（第3题）

3.如图,E,F,G,H分别是AB,BC,CD.DA的中点.要使四边形EFGH是正方形，BD,AC应满足的条件是.

4.如图.正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE〃BD.DE〃AC.若4C=返则点E到边CD的距离为

B

（第4题）（第5题）

5.如图.菱形ABCD的对角线ACBD相交于点0,点E,F同时从点0出发在线段AC上以1cm/s的速度反

向运动1点E,F分别到达A,C两点时停止运动），设运动时间为ts，连接DE,DF,BE,BF,已知△ABD是边长为6cm

的等边三角形，当t=时，四边形DEBF为正方形.

6J2025商丘期中|如图在矩形ABCD中,DE平分NADC交边BC于点E,过点E作EF〃DC交边AD于点F,

连接BD.

（1）求证:四边形EFDC是正方形:

(2诺BE=2,DE=3&求BD的长.

综合应用题学

7.如图所示为“赵爽弦图”，其中△ABE/CBF,ACDG.AADH是四个全等的直角三角形，且两条直角边长之比

为1：2,连接BG,DE,分别交AE.CG于点M,N.连接MN,则四边形GBED和四边形GMEN的面积比为（）

A.5:2B.2:lC.V2:lD.V3：l

（第7题）（第8题）

8」2025淮北二模］如图在正方形ABCD中点E,F分别是AB,BC的中点,DE,AF交于点G.连接CG,EF,DF,则下

列说法正确的个数为（）

©△ADE^ABAF;®DG:DE=4:5;

③依次连接AE,EF,DF,AD的中点P,Q,M,N,则四边形MNPQ为等腰梯形.

A.OB.lC.2D.3

9.如图，在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是边BM,CM的中点，当AB:AD=时，四

边形MENF是正方形.

10⑴将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A处，得到折痕DE,如图①.求证:

四边形AEA'D是正方形.

（2照图①中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C处，点B落在点B处,

得到折痕EF,BC交AB于点M.如慢②.线段MC与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由.

创新拓展题

II如图,四边形ABCD为正方形点E为线段AC上一点，连接DE,过点E作EF_LDE.交射线BC于点F,以

DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.

⑴求证矩形DEFG是正方形；

(2诺44=2,。£=诿求CG的长度；

⑶当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30。时，直接写出NEFC的度数.

第2课时正方形的判定

1.B2.C3.AC二BD且AC_LBD

4.0.5【点拨】如图.连接EO,交CD于点H.,・・CE〃BD,DE〃AC,；・四边形OCED是平行四边形.在正方形AB

CDcfAC1BD,OD=OC,AZCOD=90°.AOCED®.EH=CD,OE±CD.AC=V2,

AAB=4。=。。=1.口£7/=：。。=().5.即点E至I」边CD的距离为0.5.

5.3【点拨】由题意得OE=OF=tcm,.\EF=2tcm，・,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,，OB=OD,A

C_LBD.又・・・OE=OF,・••四边形DEBF是菱形.，当EF二BD时,四边形DEBF是正方彩:△ABD是边长为6cm的

等边三角形,，BD=6cm.由EF=BD⑵=6,解得t=3,・,•当匚3时.四边形DEBF是正方形.

6.(1)【证明】•・•四边形ABCD是矩形、

,AD〃BC,NADC=ZC=90°.

•・•EF〃DC.・•・四边形EFDC为平行四边形.

VZC=90°,・•・四边形EFDC为矩形.

VDE平分NADC,'ZADE=ZCDE.

VAD/7BC,

・•・ZADE=ZDEC.AZCDE=ZDEC./.CD=CE.

J四边形EFDC是正方形.

⑵【解】在RtACDE中,CD=CE,DE=3&

；・CD=CE=3./.BC=BE+EC=2+3=5.

2222

・•・在RtABCD中,5D=V^C+CD=I/5+3=V54.

7.B

8.C【点拨】•・•四边形ABCD是正方形,・・・AD=BC=AB,NABC=NBAD=9(r.,・・E,F分别是AB.BC的中点,...A

E=BF.；・Z\ADEg/\BAF(SAS).故①正确;，ZADE=ZBAF.VZDAG+ZBAF=90°,.\ZDAG+ZADE=90°.AZAGE

=90o.・・.AFJ_DE.设正方形ABCD的边长为2a,则AE=a,ADE=6a.工AG=a.UDG=y/AD2-AG2=

DE75a5

J(2a)2-律4，=苧〃□QG：DE=4：5.故②正确:・・・P.Q,M,N分别是AE.EF,DF,AD的中点，［PN=；ED,PNUED,QM=

；ED,QMED,PQ=^AF,PQAF,MN』F,MNAF.PN0MpN=QM,PQ〃MN.PQ=MN,・'.四边形PQMN是平行

四边形由①②可知,AF二ED.AF_LDE,:.PN=QM二PQ=MN,NPNM=90。.・••平行四边形PQMN是正方形.故③错误.综

上①②正确，，正确的个数为2.故选C.

9.1:2【点拨】•・•四边形ABCD是次巨形,・・・AB=CD.NA=ND=/ABC=NDCB=90°.：AB:AD=l:2,M是AD的

中点,・・・AB=AM=DM=DC.AZABM=ZAMB=ZDMC=ZDCM=45°.AZBMC=90°,ZMBC=ZMCB=45°.

.\BM=CM.VN,E,F分别是BC,BM,CM的中点,.,•1\4£=1^^^^〃81\0^〃。\4.，四边形MENF是菱形.又：/BMC

=90。,••・四边形MENF是正方形.

10.(1)【证明】•・•四边形ABCD是矩形，

AZA=90°,AB/7CD.

由折叠得AD=A*D,AE=A'E,ZADE=ZA'DE.

•IAB〃CDJNAED-NA'DE-NADE.

・•・AD=AE.JAD=AE=A'E=A'D.

，四边形AEA'D是菱形.

•・・NA=90。,，四边形AEA'D是正方形.

(2)【解】MC'=ME.

证明:如图.连接CE,由(1)知AD=AE.•・•四边形ABCD是矩形,AD=BC,/EAC'=NB=90。.

由折叠知B,C'=BC,ZB=ZB1=90°.

,,

A4E=RC',ZEAC=ZR'=90°

又

/.RCAEC'A^RtAC'EB'(HL).

・•・ZCEA=ZEC'B'.AMC'=ME.

.(1)【证明】作EPJ_CD于点P,EQJ_BC于点Q,.・・/EQF=NEPD=90。,由题意知NDCA=/BCA=45o,；.EQ=EP,

ZQEC=ZPEC=45°.

在矩形DEFG中,NDEF=90。，

••・/PED+/FEC=45°.

又:NQEF+NFEC=45°,・・・ZQEF=ZPED.

・•・AEQF^AEPD(ASA).；・EF=ED.

・•・矩形DEFG是正方形.

(2)【解】如图①，在正方形ABCDA】中,AB=BC=2,NB=90。，LAC=V2AB=2y/2.

CEC=V2^AE=CE.

・••点F与点C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知OG=V5.

(3)【解】NEFC=120。或30°.【点拨】①当DE与AD的夹角为30。时，点F在BC边上,/ADE=30。,如图②

所示，易得/A