人教A版必修第二册高一下数学：平面与平面垂直

8.6.3平面与平面垂直

【学习目标】1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单

的二面角的平面角.2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直3掌握面

面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.

知识梳理

知识点一二面角的概念

1.定义：从一条直线出发的两仝生玉面所组成的图形.

2.相关概念：

⑴这条直线叫做二面角的棱；

(2)两个半平面叫做二面角的面

3.画法：

平卧式宜立式

4.记法：二面角a—/—6或二面角a—AB—B或二面角P~~L0或二面角P—AB—Q.

5.二面角的平面角：⑴若有①。豆/；②。4三原08三人③。4工/,OBYJ,则二面角«-/

一8的平面角是/A08.

(2)二面角的平面角a的取值范围是(rWaW18()。.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

知识点二平面与平面垂直

1.平面与平面垂直的定义

(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互

相垂直.

Q)画法：

⑶记作：

2.平面与平面垂宜.的判定定理

文字语言如果•个平面过另•个平面的垂线,那么这两个平面垂直

符号语言/±a,lugaLB

图形语言

知识点三平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的支线,

文字语言

那么这条直线与另一个平面垂直

符号语言aC\p=hqUa,a_L/=>a_L£

图形语言

判断正误

1.组成二面角的平面角的丙边所在直线所确定的平面与二面角的棱垂直.（V）

2.若平面a内的一条直线垂直于平面”内的任意一条直线，则aJ_4（V）

3.若平面a_L平面从任取直线/仁图则必有/_1_夕.（X）

4.若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则该直线也垂直于另一平面.（J）

题型探究

一、二面角的求法

例1如图，是。。的直径，出垂直于00所在的平面，C是圆周上的一点，且以=AC,

求二面角P-BC-A的大小.

解由已知必，平面A8C,8CU平面A8C,

,\PAA.BC.

是。0的直径，且点。在圆周上,

，AC_LBC.

又：%n4C=A,勿，ACU平面以C,

JBCJL平面PAC.

又PCU平面以C,APC1BC.

又TBC是二面角P-BC-A的棱，

AZPCA是二面角P-BC-A的平面角.

由附=AC知是等腰直角三角形，

AZPCA=45°,即二面角P-BC-A的大小是45。.

反思感悟在二面角棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，即两射线夹

角为所求二面角的平面角.

跟踪训练1如图，在正方体ABCO-4'B'CD'中：

①二面角。'-AB一。的大小为.

②二面角A'—A8—。的大小为.

答案①450②90。

解析①在正方体A8CD—4'B'C'D'中，4B_L平面4。'，所以A8_L4。'，

因此N。'A。为二面角乃'一4/3—。的平面角.在RtaO'D4中，ND'AD=450,所以二

面角O'—AB-。的大小为45。.

②因为48_L平面AD',所以A8_LAO,AB1AA1,因此NA'A。为二面角4'-AB~D

的平面角，又N4'AQ=90。，所以二面角A'一43—。的大小为90。.

二、平面与平面垂直的判定

例2在边K为a的菱形A5CO中，ZAfiC=60n,尸C_L平面A6C。，求证：平面〃£>6_1_平

面B4C

证明：PC_L平面48C。，8DU平面ABCD,：.PC±BD.

•・•四边形ABC。为菱形，

：.AC1BD,

又PCnAC=C,PC,ACU平面弘C,

・•・8O_L平面PAC.

•/8Z)U平面PBD,・•・平面PDB1平面以C.

反思感悟证明平面与平面垂龙的方法

(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角.

(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互

相垂直.

跟踪训练2如图，已知三棱锥S-ABC中，侧棱S4=SB=SC,N4BC=90。，

求证：平面/WC_L平面ASC.

证明作S”_LAC交AC干点H,连接84,

,:SA=SC,：.AH=HC.

在RtZkA8C中，〃是AC的中点，

BH=^AC=AH,

又SH=SH,SA=SB,

•••△SA”四△SBH(SSS),

:.SHLRH,

又ACCBH=H,AC,平面48C,

，5〃_L平面ABC,

又S”u平面ASCfJ平面ABC1平面ASC.

三、平面与平面垂直的性质定理

例3如图，在三棱锥夕一人8。中，见J_平面48C,平面以8J_平面P8C.

求证：BCVAB.

证明如图，在平面布8内,

D

A

B

作于点D.

••・平面平面PBC,

旦平面乃ABA平面PBC-PB,

ADU平面PAB,

・・・AO_L平面PBC.

又BCU平面PBC,：.ADLBC.

又・・・%_L平面ABC,8CU平面ABC,J.PAVBC,

又•••必CAD=A,JBCA,平面PAB.

又八BU平面以8,：.BCLAB.

反思感悟利用而面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：（1）两个平

面垂直：（2）直线必须在其中一个平面内：（3）直线必须垂直于它们的交线.

跟踪训练3如图，边长为2的正方形4CQ七所在的平面与平面人8C垂直，AD与CE的交

点为M,ACLBC.

求证：AM_L平面E8C

证明•・•平面ACOE_L平面ABC,平面4CQEC平面A3C=4C,BCU平面ABC,BC1AC,

，BC_L平面AC7）E

又AMU平面ACDE,：.BCLAM.

丁四边形ACQE是正方形，：.AM±CE.

又BCRCE=C,BC,ECU平面EBC,

・・・AM_L平面EBC.

随堂练习

1.已知/_La,则过/与a垂直的平面（）

A.有1个B.有2个C.有无数个D.不存在

答案C

解析由面面垂直的判定定理知，凡过/的平面都垂直亍平面a,这样的平面有无数个.

2.对于直线机，〃和平面a,B，能得出a_L/?的一个条件是（）

A.〃?_L〃，机〃Q,n//p

B.aC°=m,〃Ua

C.m//n,〃邛，mUa

D.m//n,nA-P

答案C

解析,：,1邛，m〃n,：.mLB，又/〃u”，由面面垂直的判定定理，得a_L£.

3.从空间一点P向二面角a—/一6的两个面a/分别作垂线PE,PF,E,尸为垂足，若NEPF

=60°,则二面角。一/一夕的平面角的大小是（）

A.60°B.1200

C.60。或120°D.不确定

答案C

解析VPEla,PF_L£,

，P,E,尸三点确定的平面垂直于a和4

过点E作/的垂线，垂足为O,连接O凡易知LLO〃且P,E,O,尸四点共面，

则NFOE为二面角的平面角，

如图①所示，

此时，NFOE+NEPF=180。,

，二面角。一/一夕的平面角为120。.

当点P的位置如图②所示时，

此时NFOE=NEPF,

・•・二面角。一/一夕的平面角为60。.

4.下列命题正确的是（）

A.平面a内的一条直线a垂直于平面p内的无数条直线，则3

B.若直线m与平面a内的一条直线平行，则

C.若平面a_L6且则过a内一点P与/垂直的直线垂直于平面夕

D.若直线。与平面。内的无数条直线都垂直，则不能说一定有。，。

答案D

解析A项，平面a内的一条直线a垂直于平面夕内的任意一条直线，则故A错误;

B项，直线，〃与平面a内的一条直线平行，也可能〃?U”，故B错误；

C项，平面。_1夕，且则过a内一点户与/垂直的直线，只有当此直线在Q内时才

垂直于外，故C错误；

D项，。与平面a内的任意一条直线都垂直可以推出故D正确.

5.已知一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，若这两个二面角的

平面角均为锐角，则这两个二面角的关系是（）

A.相等B.互补

C.相等或互补D.既不相等也不互补

答案A

解析画图易得到满足已知条件的两个二面角相等或互补，若它们的平面角均为锐角，则这

两个二面角相等.

小结

1.知识清单：

（1）二面角以及二面角的平面角.

（2）平面与平面垂直的判定定理.

（3）平面与平面垂直的性质定理.

2.方法归纳：转化法.

3.常见误区：面面垂直性质定理中在其中一个而内作交线的垂线，与另一个平面垂直.

课时练

基础巩固

I.过平面a外两点且垂直于平面a的平面（）

A.有且只有一个B.有一个或两个

C.有且仅有两个D.有一个或无数个

答案D

2.直线/_L平面a,/u平面夕，则a与夕的位置关系是（）

A.平行B.可能重合

C.相交且垂直D.相交不垂直

答案C

解析由面面垂直的判定定理，得。与小垂直.

3.下列命题中正确的是（）

A.平面a和4分别过两条互相垂直的直线，则a》

B.若平面a内的一条直线垂直于平面夕内的两条平行直线，则a_L夕

C.若平面a内的一条直线垂直于平面夕内的两条相交直线，则a_L夕

D.若平面a内的两条直线垂直于平面4内的无数条直线，则aLp

答案C

解析当平面。和口分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面。和夕有可能平行，故A

错；由直线与平面垂直的判定定理知，B,D错，C正确.

4.在二面角。一/一£的棱/上任选一点O,若NAOB是二面角。一/一0的平面角，则必须具

有的条件是（）

A.A0L30,AOUQ,BOU0

B.AOLLBOA-1

C.ABLl,AOUa,BOUp

D.AO_L/,BOVL且AOUa,BOUp

答案D

5.如图，已知矩形ABC。所在的平面，则图中互相垂宜的平面有（）

AH

A.2对B.3对

C.4对D.5对

答案D

解析_L平面A3cD・•・平面外。_L平面ABCD,

平面小8_L平面ABCD,

又由题意可得CD_L平面%。，48_1_平面以。，BCJ_平面以8,

，平面尸CO_L平面以。，平面小B_L平面以。，平面尸8C_L平面附8,，共有5对互相垂

直的平面.

6.如图所示，在三棱锥D—ABC中，若4B=CB,AD=CD,E是AC的中点，则下列说法中

正确的是.（填序号）

①平面4月。，平面ABD；

②平面A8C_L平面BCQ；

③平面A4C_L平面BDE,且平面ACO_L平面BDE；

④平面ABCJ•平面ACD.且平面4coJ_平面UDE.

答案③

解析由A8=C8,AD=CDfE为AC的中点知，AC_LO£,ACLBE.又DECBE=E,DE,

BEU平面BDE,从而ACL平面BDE,故③正确.

7.二面角a—I—(J的大小为60°,异面直线a,b分别垂直于a,夕，则a与b所成角的大小是

答案60°

解析过直线〃上一点作人的平行线〃，则根据二面角的定义和线面垂直的性质可知，

a与》的夹角为60。，所以。与b所成角的大小是60。.

8.已知两条不同的直线机，〃，两个不同的平面a,fi,给出下列结论：

①若m垂直于a内的两条相交直线，则〃?_La；

②若〃则，"平行于〃内的所有直线：

③若mUa,〃U/?,且a〃夕，则〃z〃“；

④若〃u£,〃_La,则a_l_&

其中正确结论的序号是.(把正确结论的序号都填上)

答案①④

解析①中的内容即为线面垂直的判定定理，故①正确；②中，若〃?〃a,则〃?与a内的直

线平行或异面，故②错误；③中，两个平行平面内的直线平行或异面，所以③错误：④中的

内容为面面垂直的判定定理，故④正确.

9.在直三棱柱A5C—4冏G中，ABLBC,。为棱CG上任一点.

(I)求证：直线4向〃平面A5O；

(2)求证：平面/WDJ_平面BCCiBi.

证明(1)由直三棱柱ABC—ABCi,得4S〃4A

因为45。平面A8。，A8U平面A8。，所以直线人向〃平面A8D

(2)囚为三棱柱ABC-AiBiCi为直三棱柱，所以

又因为A8_LBC,B&u平面BCG&,8CU平面BCGB,且Cl8C=8,所以AB_L平面

BCC\B\.

又因为ABU平面AB。，所以平面AB/5_L平面BCGBi.

10.如图，在三棱锥A-8C。中，ABLAD,BC1BD,平面ABO_L平面8CD,点E,RE与

A,。不重合)分别在棱A0,3。上，且EF_LAD

E

求证：（1）E厂〃平面人8C；

（2）AO_LAC

证明（1）在平面A3。内，

因为A8_L4Q,EFLAD,则A8〃EE

又因为七尸。平面ABC,A5U平面ABC,

所以E尸〃平面ABC

（2）因为平面/WD_L平面BCD,

平面4BOG平面BC/）=BD,BCU平面BCQ,BCLBD,

所以8C_L平面ABD

因为AQU平面A4O,所以3C_LA。.

又AB_LAO,8CnAB=8.ABU平面ABC,

8CU平面ABC,

所以AO_L平面ABC

又因为ACU平面ABC,所以AO_LAC.

综合运用

11.已知平面a_L平面小则下列命题中真命题的个数是（）

①以内的任意直线必垂直于外内的无数条直线；

②在夕内垂宜于a与4的交线的直线必垂直于«内的任意一条直线；

③a内的任意一条直线必垂直于夕.

A.OB.3C.2D.I

答案C

解析①设aC夕=/,au*口,b_U,则a_L〃，故万内与b平行的无数条直线均垂直于

a内的任意直线，为真命题；②夕内垂直于a与6交线的直线垂直于平面a,则它垂直于a

内的任意直线，为真命题；③a内不与文线垂直的直线K垂直于从为假命题.

12.如图，已知六棱锥P—4BCDE/的底面是正六边形，布"L平面4BC,PA=2AB,则下列

结论中正确的是（）

AR

A.PBYAD

B.平面南8_L平面PBC

C.直线6c〃平面PAE

D.直线2。与平面ABC所成的角为45。

答案D

解析・・・％_L平面A8C,・・・NAQP是直线产。与平面ABC所成的角.

;六边形人8CO石厂是正六边形，：,AD=2ABt

PA2AB

••・（川1乙4。尸=而=加=1,・•・直线尸。与平面A6C所成的角为45c.

13.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2加，则侧面与底面所成的二面角的大小

为.

答案600

解析正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2#,则底面边长为2小，底面积为12,

所以正四棱锥的高为3,所以侧面与底面所成的二面角的正切值为